ON THI CAO HOC TOAN CC 1 Chuong_2_T4

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 2: Chuỗi Số Dương CHUỖI SỐ KHÔNG ÂM Chương II: II 1.Định nghĩa: Chuỗi số không âm chuỗi ∞ ∑ un với n =1 Các tiêu chuẩn xét hội tụ chuỗi số dương un ≥ 0, ∀n a) Tiêu chuẩn tích phân Cho hàm số f (x) liên tục, không âm đơn điệu giảm [1, ∞) ∞ Khi Chuỗi +∞ f (n) hội tụ ⇔ f (x) dx ∑ ∫ n =1 hội tụ Chương 2: Chuỗi Số Dương a) Tiêu chuẩn tích phân: (tt) VD1: Xét chuỗi ∞ ∑ α n =1 n ∗ Nếu α0 Chương 2: Chuỗi Số Dương xét hàm f ( x) = 1α x VD 1(tt) Hàm liên tục, không âm đơn điệu giảm Mà +∞ ∫ 1 dx α x      hội tụ Vậy chuỗi Riemman Chương 2: Chuỗi Số Dương α >1 phân kỳ ∞ ∑ α n =1 n [1, ∞ ) α ≤1      hội tụ α >1 phân kỳ α ≤1 ∞ VD2: Xét chuỗi ∑ n=2 Xét hàm f (x) = n ln n x ln x Hàm liên tục, không âm đơn điệu giảm +∞ +∞ +∞ d (ln x ) dx = Mà = ln( ln x) | = + ∞ ∫2 x ln x Vậy tích phân ∫2 +∞ ∫2 ln x dx x ln x phân kỳ Theo tiêu chuẩn tích phân Chương 2: Chuỗi Số Dương [2,+∞) ∞ ∑ n =2 n ln n phân kỳ Giới hạn & liên tục – Vô bé vô lớn γ n +b   α 5) lim 1 + ÷ n →∞ βn + a   =e α γ β b) Tiêu chuẩn so sánh 1: Cho hai chuỗi số không âm thoả điều kiện ∃N; ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ un ∑ 0≤ un ≤ vn, ∀n ≥ N Khi đó: ∞ Nếu chuỗi ∞ un ∑ hội tụ chuỗi ∑ n =1 n =1 Hoặc chuỗi ∞ ∑u n =1 Chương 2: Chuỗi Số Dương hội tụ ∞ n phân kỳ chuỗi ∑v n =1 n phân kỳ b) Tiêu chuẩn so sánh 1: (tt) ∞ VD1: Cho chuỗi số ∑ 5n + n n =1 n n Ta có: n 2  < n ≤   + n  5 ∞ Mà chuỗi n   ∑ n =1   hội tụ (đây chuỗi CSN | q | = < 1) ∞ Nên theo tiêu chuẩn so sánh chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương n ∑ n n =1 + n hội tụ 10 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: Cho hai chuỗi số không âm ∞ ∞ un , ∑ ∑ n =1 n =1 u Giả sử tồn lim n = k n→∞ ∞ ∞ • k = : chuỗi ∑ hội tụ chuỗi ∑ un n =1 ∞ • k = +∝ : chuỗi n =1 hội tụ ∞ un hội tụ chuỗi ∑ hội tụ ∑ n =1 n =1 • < k < +∝ : hai chuỗi hội tụ phân kỳ Đặc biệt k=1 ⇔ un : chuỗi hội tụ phân kỳ Chương 2: Chuỗi Số Dương 12 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ VD1: Xét chuỗi số n =1 3n + n + Ta có: n +1 Mà chuỗi Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương với n → ∞ ~ n ∞ ∑ n =1 n ∞ ∑ n =1 3n + n + n +1 hội tụ (α = > 1) 3n + n + n +1 hội tụ (ss2) 13 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) VD2: Xét chuỗi số Ta có với ∑ n =1 n + 1− n −1 n4 n+ − n− un = n n →∞ Mà chuỗi ∞ ∞ ∑ n =1 n ∞ ∑ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương n =1 = n ( n + + n − 1) ~ n4 hội tụ (α = > 1) n + 1− n −1 n4 hội tụ (ss ) 14 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ VD3: Xét chuỗi số Ta có Mà chuỗi ∑ n n n n =1 1 un = : n n n n ∞ ∑ n n =1 ∞ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương phân kỳ (α = 1) ∑ nn n n =1 phân kỳ(ss 2) 15 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ VD4: Xét chuỗi số n =2 Ta có n +1 ×ln( ) n −1 n 2 un = ×ln(1 + )~ × : n −1 n n n −1 n với n → ∞ ∞ Mà chuỗi (α = > 1) hội ∑ 2 n=2 n tụ ∞ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương ∑ n =2 n +1 ×ln( ) hội tụ (ss 2) n −1 n 16 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ VD5: Xét chuỗi số n =1 Ta có ∑ n =1 n hội tụ ∞ Nên chuỗi n arctg (n + 2) 2 u n = n arctg ~ (n + 2) ∞ Mà chuỗi ∑ n =1 Chương 2: Chuỗi Số Dương 3 1 n × = với n n3 n →∞ (α = > 1) n arctg hội tụ (ss 2) (n + 2) 17 ∞ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: Cho chuỗi số không âm un+1 Giả sử tồn giới hạn lim =D ∞ ∗ Nếu D1 ∗ Nếu D=1 chưa có kết luận Chương 2: Chuỗi Số Dương 18 d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) Chú ý: Ta có un = f (n) ⇒ un +1 = f (n + 1) n +1 un = a ⇒ un +1 = a n n +1 un = n ⇒ un +1 = (n + 1) n un = n ! ⇒ un +1 = (n + 1)! = n !.(n + 1) un = (2n)! ⇒ un +1 = (2n + 2)! = (2n)!.(2n + 1)(2n + 2) un = (2n + 1)!! = 1.3.5 (2n + 1) ⇒ un +1 = (2n + 3)!! = (2n + 3).un un = 2.5.8 (3n − 1) ⇒ un +1 = 2.5.8 (3n − 1).(3n + 2) = un (3n + 2) Chương 2: Chuỗi Số Dương 19 d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) Chú ý: Tất có chứa tích liên tiếp dùng TC D’Alembert ∞ n n! ∑ n VD1: Xét chuỗi số n =1 n n n +1 Ta có n! n !.( n + 1) un = n ⇒ un +1 = n +1 n (n + 1) un +1 3.n n 3 = = → D = >1 n n u n (n + 1) e  1 1 + ÷  n ∞ n n ! Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n phân kỳ n =1 n Chương 2: Chuỗi Số Dương 20 d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) ∞ n 2 + n VD2: Xét chuỗi số ∑ n!+ ln n n =1 n + 5n v = Ta có un = ~ n n! n!+ ln n v n + Mà = → D = ∗Nếu c = chưa có kết luận Tuy nhiên ta chứng minh Cn = n un ≥ 1, ∀n ≥ N ta kết luận chuỗi phân kỳ Chương 2: Chuỗi Số Dương 22 e) Tiêu chuẩn Cauchy: (tt) VD1: Xét chuỗi số ∞ n ∑ n n =2 (ln n) Ta có: n un = → C =0 [...]... 2 > 1) 3n + n + 1 4 n +1 2 hội tụ (ss2) 13 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) VD2: Xét chuỗi số Ta có với ∑ n =1 n + 1 n 1 3 n4 n+ 1 − n− 1 un = n n →∞ Mà chuỗi ∞ ∞ 1 5 ∑ 4 n =1 n ∞ ∑ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương n =1 3 4 = 2 3 n ( n + 1 + n − 1) 4 ~ 1 5 n4 5 hội tụ (α = > 1) 4 n + 1 n 1 3 n4 hội tụ (ss 2 ) 14 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ VD3: Xét chuỗi số Ta có Mà chuỗi ∑ n n n n =1 1 1 un... Nếu D =1 thì chưa có kết luận Chương 2: Chuỗi Số Dương 18 d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) Chú ý: Ta có un = f (n) ⇒ un +1 = f (n + 1) n +1 un = a ⇒ un +1 = a n n +1 un = n ⇒ un +1 = (n + 1) n un = n ! ⇒ un +1 = (n + 1) ! = n !.(n + 1) un = (2n)! ⇒ un +1 = (2n + 2)! = (2n)!.(2n + 1) (2n + 2) un = (2n + 1) !! = 1. 3.5 (2n + 1) ⇒ un +1 = (2n + 3)!! = (2n + 3).un un = 2.5.8 (3n − 1) ⇒ un +1 = 2.5.8 (3n − 1) .(3n... : n n n n ∞ 1 ∑ n n =1 ∞ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương 1 phân kỳ (α = 1) 1 ∑ nn n n =1 cũng phân kỳ(ss 2) 15 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ VD4: Xét chuỗi số n =2 Ta có 1 n +1 ×ln( ) n 1 n 1 2 1 2 2 un = ×ln (1 + )~ × : 3 n 1 n n n 1 n 2 với n → ∞ ∞ Mà chuỗi 2 3 (α = > 1) hội 3 ∑ 2 2 n=2 n tụ ∞ Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương ∑ n =2 1 n +1 ×ln( ) cũng hội tụ (ss 2) n 1 n 16 c) Tiêu chuẩn... =1 Ta có 2 1 4 ∑ 3 n =1 n hội tụ ∞ Nên chuỗi 1 n arctg (n + 2) 2 2 1 u n = n arctg ~ 2 (n + 2) 3 ∞ Mà chuỗi 3 ∑ n =1 Chương 2: Chuỗi Số Dương 3 3 1 1 n × 2 = 4 với n n3 2 n →∞ 4 (α = > 1) 3 1 n arctg cũng hội tụ (ss 2) 2 (n + 2) 2 17 ∞ d) Tiêu chuẩn D’Alembert: Cho chuỗi số không âm un +1 Giả sử tồn tại giới hạn lim =D ∞ ∗ Nếu D 1. .. =1 hội tụ ∞ un hội tụ thì chuỗi ∑ vn hội tụ ∑ n =1 n =1 • 0 < k < +∝ : hai chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Đặc biệt khi k =1 ⇔ un : vn 2 chuỗi trên cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ Chương 2: Chuỗi Số Dương 12 c) Tiêu chuẩn so sánh 2: (tt) ∞ ∑ VD1: Xét chuỗi số n =1 3n + n + 1 Ta có: 4 n +1 2 Mà chuỗi Nên chuỗi Chương 2: Chuỗi Số Dương 3 với n → ∞ ~ 2 n ∞ 1 ∑ 2 n =1 n ∞ ∑ n =1 3n + n + 1 4 n +1. .. (3n + 2) Chương 2: Chuỗi Số Dương 19 d) Tiêu chuẩn D’Alembert: (tt) Chú ý: Tất cả các bài có chứa tích liên tiếp đều dùng TC D’Alembert ∞ n 3 n! ∑ n VD1: Xét chuỗi số n =1 n n n +1 Ta có 3 n! 3 n !.( n + 1) un = n ⇒ un +1 = n +1 n (n + 1) un +1 3.n n 3 3 = = → D = >1 n n u n (n + 1) e  1 1 + ÷  n ∞ n 3 n ! Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∑ n phân kỳ n =1 n Chương 2: Chuỗi Số Dương 20 d)... ∑ n!+ ln n n =1 n 2 + 5n 2 v = Ta có un = ~ n n! n!+ ln n v 2 n + 1 Mà = → D = 0 1 thì ∗Nếu c = 1 thì chưa có... chuẩn so sánh 1: (tt) ∞ VD2: Cho chuỗi số Ta có: ln n ∑ n =2 n ln n un = > 1 > 0 ; ∀n ≥ 3 n n Mà chuỗi ∞ 1 1 ∑ 2 n n =2 phân kỳ ( α =1/ 2