Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ Chương 3: CHUỖI CÓ DẤU BẤT KỲ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI a.Định lý ∞ Cho chuỗi số I = ∑ un , un ∈ R n =1 ∞ Nếu chuỗi J = ∑ un hội tụ n =1 hội tụ Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ ∞ un ∑ n =1 ≤ ∞ un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 b Định nghĩa ∞ un ∑ n =1 ∗ Nếu chuỗi ∞ hội tụ chuỗi gọi hội tụ tuyệt đối ∗ Nếu chuỗi ∞ ∞ un ∑ n =1 hội tụ mà un gọi bán hội tụ ∑ n =1 un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 phân kỳ chuỗi Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert Cauchy ∞ điều kiện cần mà biết chuỗi ∞ phân kỳ lúc chuỗi Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ un ∑ n =1 un ∑ n =1 phân kỳ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) VD1: Xét chuỗi ∞ sin n ∑ n n =1 Ta có: sin n ≤ 2 n n hội tụ (α = > 1) ∞ Vậy chuỗi Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ ∞ Mà chuỗi ∑ n =1 n ∞ nên sin n ∑ n =1 n hội tụ sin n ∑ n =1 n hội tụ tuyệt đối I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) n ( − ) ∑ n n =1 n n un = (−1) ⋅ n VD2: Xét chuỗi Đặt ∞ Ta có: n u n +1 n = × ÷ →D = > un n + 1 ∞ Vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert chuỗi ∞ phân kỳ nên chuỗi Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ un ∑ n =1 un ∑ n =1 phân kỳ I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ VD3: Xét chuỗi Đặt n 2n −1 (−1) ∑ 3n + n =1 n n 2n −1 un = (−1) ⋅ 3n + Ta có: n n 2n − un = ÷→ C = < 3n + Vậy theo tiêu chuẩn Cauchy chuỗi ∞ hội tụ nên chuỗi Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ un ∑ n =1 ∞ un ∑ n =1 hội tụ tuyệt đối I.SỰ HỘI TỤ TUYỆT ĐỐI (tt) ∞ VD4: Xét chuỗi Đặt un = (−1) Ta có: n un ~ ⋅ n 1 ⋅ tg ⋅ sin n n = n n2 ∞ ∞ Mà sin ( − ) tg ∑ n n n =1 n ∑ n =1 n ∑ un hội tụ(ss2) hội tụ (α = > 1) nên n =1 ∞ Vậy Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ un ∑ n =1 hội tụ tuyệt đối II CHUỖI ĐAN DẤU a Định nghĩa Chuỗi có dạng ±(a1 − a2 + a3 − a4 + + (−1) n +1 an + ) với an > gọi chuỗi đan dấu b Tiêu chuẩn Leibnitz ∞ ∑ (−1) n an , an > ∗ Nếu dãy an đơn điệu giảm lim an = Xét chuỗi đan dấu n =1 n →∞ chuỗi đan dấu hội tụ ∗ Chuỗi đan dấu thoả mãn tiêu chuẩn Leibnitz gọi chuỗi Leibnitz Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ II CHUỖI ĐAN DẤU (tt) ∞ VD1: Xét chuỗi ( − ) ⋅ ∑ n ln n n=2 n Nhận xét Đây chuỗi đan dấu với a n = dương n ln n đơn điệu giảm lim an = n →∞ Vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz ∞ ∑ (−1) n n =1 an hội tụ gọi chuỗi Leibnitz Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ II CHUỖI ĐAN DẤU (tt) VD2: Xét chuỗi ∞ n (−1) ⋅ ∑ n + n +1 n =1 n n Nhận xét: Đây chuỗi đan dấu với a n = n + n + x Xét hàm f (x) = x + x +1 − x +1 Ta có: f ′( x ) = 2 < ; ∀x > ( x + x +1) n dãy số dương giảm an = n + n +1 Vậy an→0 nên chuỗi đan dấu hội tụ theo Leibnitz Chương 3: Chuỗi Có Dấu Bất Kỳ 10