ON THI CAO HOC, TOAN CC1Chuong_6_PTVP_CAP_2

Đại học Quốc gia TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Khoa: Khoa Học Ứng Dụng Bộ môn: Toán Ứng Dụng Chương 6: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 5.Phương trình tuyến tính cấp hệ số Phương trình tuyến tính cấp hệ số có dạng tổng quát là: y "+ a1 y '+ a2 y = f ( x) (1) với số thực Phương trình tuyến tính cấp tương ứng : y "+ a1 y '+ a2 y = (2) a) Phương trình tuyến tính cấp với hệ số số: y"+ a1 y '+ a2 y = (2) Phương trình k + a1k + a2 = (3) gọi phương trình đặc trưng phương trình (1,2) ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt k1 , k Lúc này: Nghiệm tổng quát phương trình (2) là: y = c1e k1 x + c2 e k2 x ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép k1 = k2 Lúc này: Nghiệm tổng quát phương trình (2) là: y = (c1 + c2 x)e k1 x ∗ Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm phức k1 = α + iβ  k2 = α − iβ Lúc này: Nghiệm tổng quát phương trình (2) là: αx y = e (c1 cos β x + c2 sin β x) VD1: Giải phương trình vi phân: y"+4 y '+3 y = Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm k + 4k + = k1 = −1, k2 = −3 Suy nghiệm tổng quát phương trình là: −x y = c1e + c2e −3 x VD2: Giải phương trình vi phân: y"−10 y '+25 y = Ta có: Phương trình đặc trưng: k − 10k + 25 = có nghiệm kép k1 = k2 = Suy nghiệm tổng quát phương trình là: y = (c1 + c2 x)e 5x VD3: Giải phương trình vi phân: y"+2 y '+4 y = Ta có: Phương trình đặc trưng: có nghiệm phức: k + 2k + =  k1 = −1 + i  k2 = −1 − i Suy nghiệm tổng quát phương trình là: −x y = e (c1 cos 3.x + c2 sin 3.x) b) Phương trình tuyến tính cấp không với hệ số số: y "+ a1 y '+ a2 y = f ( x) (1) Nghiệm tổng quát phương trình có dạng: y= y+ y y  Với   * y ∗ nghiệm tổng quát phương trình nhất: y"+ a1 y '+ a2 y = nghiệm riêng phương trình không nhất: y"+ a1 y '+ a2 y = f ( x ) Cách tìm nghiệm riêng y* αx f ( x) = e Pn ( x) Trường hợp Nếu α nghiệm phương trình đặc trưng: thì: k + a1k + a2 = y * = eαx H n ( x) Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng: k + a1k + a2 = thì: y = e Hn ( x).x αx * Nếu α nghiệm đơn phương trình đặc trưng: k + a1k + a2 = thì: y* = eα x Hn ( x).x2 VD1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y"−3 y '+2 y = e ( x + x) 3x Nghiệm tổng quát phương trình có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm k − 3k + = có k1 = , k2 = ⇒ y = c1e + c2e x 2x 10 Bước 2: Tìm * y f ( x ) = 18cos3 x − 30sin x (α = 0,β =3, m = 0, n = 0⇒ l = 0) Ta có: α ± iβ đặc trưng nên = ±3i nghiệm phương trình y* = e ( A cos 3x + B sin x).x ox Lấy y * vào phương trình đầu ta tính 22 9.| y* = ( A cos x + B sin x).x 0.| y*/ = (−3 A sin x + 3B cos x).x + ( A cos x + B sin x) 1.| y*/ / = −9.( A cos x + B sin 3x).x + 2.(−3 A sin x + B cos x) ⇒ 2.(−3 A sin x + B cos x) = 18 cos x − 30 sin x −β −6 A = −30 ⇒ 6 B = 18 A=5 , B=3 Vậy nghiệm tổng quát phương trình đầu là: y = (c1 cos 3x + c2 sin 3x) + (5 cos 3x + 3sin 3x).x 23 VD5: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y "− y '+ y = cos xe2 x Nghiệm tổng quát phương trình có dạng: ∗ y= y+ y Bước 1: Tìm y Phương trình đặc trưng nghiệm kép k − 4k + = có k1 = k2 = ⇒ y = (c1 + c2 x)e 2x 24 Bước 2: Tìm nghiệm y* Ta có: f ( x) = e cos 3x ⇒ α = 2, β = 3, m = n = ⇒ l = 2x α+iβ=2+3i không nghiệm phương trình đặc trưng nên y* = e2x.(Acos3x + Bsin3x) nghiệm riêng phương trình đầu Lấy y* vào phương trình đầu ta tính 25 4.| y* = e2 x ( A cos x + B sin 3x) −4.| y*/ = 2e2 x ( A cos x + B sin 3x) + e2 x (−3 A sin 3x + B cos x) 1.| y*/ / = (4 − 9)e2 x ( A cos 3x + B sin 3x) + 4e2 x (−3 A sin 3x + 3B cos 3x) ⇒ −9.e2 x ( A cos 3x + B sin x) = cos 3x.e2 x α −β Vậy −9 A = ⇒ −9 B = 2α A = − ,B = y = (c1 + c2 x)e 2x 2x − cos x.e 26 • Nguyên lý chồng chất nghiệm f (x) = f1(x) + f2(x) αx f1 ( x), f ( x ) có dạng e Pn (x ) hay αx e [ Pn ( x) cos βx + Qm ( x) sin βx] * * * Khi đó: Nghiệm riêng y = y1 + y2 Với y    *  y2 * Với nghiệm riêng phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f1 ( x) nghiệm riêng phương trình: y"+ a1 y '+ a2 y = f ( x) 27 VD6: Tìm nghiệm tổng quát phương trình vi phân: y"− y ' = 5e − sin x x Nghiệm tổng quát phương trình là: y = y+ y Bước 1: Tìm ∗ y Phương trình đặc trưng k −k =0 có nghiệm k1 = 0, k2 = ⇒ y = c1e + c2e ox x 28 Bước 2: Tìm * y f ( x) = f1 ( x) + f ( x) với f ( x) = − sin x y = Với * y1 Vậy * f1 ( x) = 5e , x * y1 + * y2 nghiệm riêng phương trình y"− y ' = 5e (α = 1, Pn ( x) = 5) x Ta có: trưng nên: α =1 nghiệm phương trình đặc y = e A.x * x 29 Lấy Với * y1 vào phương trình y"− y' = 5e x ta tính A=5 * y2 nghiệm riêng phương trình: y"− y ' = − sin x (α = 0, β = 2, Pn ( x ) = 0, Qm ( x ) = −1) Ta có: α ± iβ = ±2i nghiệm phương trình đặc trưng nên: y = B cos x + C sin x * 30 Lấy y * vào phương trình 1 B=− ,C= 10 ta tính y= y+ y + y Vậy = (c1e ox y"− y ' = − sin x x * x * + c2e ) + xe + ( − cos x + sin x ) 10 5.Phương trình Euler a)Dạng: (ax + b)2 y "+ a1 (ax + b) y '+ a2 y = f ( x) với (1) a, b, a1 , a2 số thực 31 b) Cách giải: Đổi biến: t = ln| ax + b |⇔| ax + b|= e ⇔ ax + b = ±e t  ' a ' ' ' ×yt  yx = yt tx =  ax + b ⇒ a a a ' "  y" = − ×yt + ( ytt × ) xx  ax + b ax + b (ax + b) Khi t a a −b ± e '' ' (1) ⇔ ytt + ( − 1) yt + y = f ( ) a a a a (2) 32 t VD: Giải phương trình Euler: x y"−xy'+ y = ln x Đặt: Thế (trong miền x>0) t = ln x ⇒ x = e  y x' = ⋅ yt' x  ⇒  y "xx = ( ytt" − yt' )  x t y " xx ,y ' x vào phương trình đầu ta được: 33 y − 2y + y = t " tt ' t Đây phương trình tuyến tính cấp không hệ số ⇒ y = y + y* • Phương trình đặc trưng có nghiệm kép k − 2k + = k1 = k2 = ⇒ y = (c1 + c2t ).e • t f (t) = t (α = 0, Pn(t) = t) 34 α = nghiệm phương trình đặc trưng ⇒ y* = e ( At + B) ot phương trình Lấy nghiệm riêng y − 2y + y = t " tt ' t (*) y * vào phương trình (*) ta tính A = 1, B = ⇒ y* = t + ⇒ y = (c1 + c2t )e + (t + 2) t ⇒ y = (c1 + c2 ln x) x + (ln x + 2) 35 VD: Giải phương trình Euler: (2 x − 1) y "+ 8(2 x − 1) y '+ y = x Đặt: t = ln|2 x − 1|⇔|2 x − 1|= e ⇔ x = ± e + t t ' " " ' y = ×yt ⇒ yxx = ( ytt − yt ) 2x −1 (2 x − 1) ' x Thế y " xx ,y ' x vào phương trình đầu ta được: y + y + y = ±e + " tt ' t t 36 [...]... y" = − ×yt + ( ytt × ) xx 2  ax + b ax + b (ax + b) Khi ấy t a a 1 −b ± e '' ' 1 2 (1) ⇔ ytt + ( − 1) yt + 2 y = 2 f ( ) a a a a (2) 32 t VD: Giải phương trình Euler: 2 x y"−xy'+ y = ln x Đặt: Thế (trong miền x>0) t = ln x ⇒ x = e  y x' = 1 ⋅ yt' x  ⇒  y "xx = 1 ( ytt" − yt' ) 2  x t y " xx ,y ' x vào phương trình đầu ta được: 33 y − 2y + y = t " tt ' t Đây là phương trình tuyến tính cấp 2 không