Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh.. Gọi d và d' lần lượt là cỏc tiếp tuyến với ủường trũn tại A và B.. 6.1 Chứng minh tam giỏc CMD cõn và CD là tiếp tuyến của ủường trũn O; 6.2
Trang 1Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn
ubnd tỉnh lai châu
hội đồng tuyển dụng
cộng hoà x hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TUYỂN DỤNG VIấN CHỨC NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2016 - 2017 MễN TOÁN - CẤP THCS Thời gian làm bài: 120 phỳt khụng kể thời gian chộp ủề
(Đề thi chỉ cú 01 trang)
Bài 1 (10 ủiểm) Thực hiện phộp tớnh
11.13+13.15+ +19.21
Cõu 2 (10 ủiểm)
2.1) Chứng minh rằng số tự nhiờn cú dạng abba chia hết cho 11
2.2) Tỡm cặp số (x, y) biết: 1 3y 1 5y 1 7y
+ = + = +
Cõu 3 (10 ủiểm)
3.1) Cho a, b, c, d ≥0 Chứng minh rằng: (a+c)(b d)+ ≥ ab+ cd
3.2) Cho a, b, c, d ≠0, c + d = 1 và c d 1
a+ =b ac bd
+ Chứng minh rằng a = b
Cõu 4 (20 ủiểm)
4.1) Giải phương trỡnh sau: x 241 x 220 x 195 x 166 10
4.2) Giải hệ phương trỡnh:
3
3
= +
= +
Câu 5 (10 ủiểm)
Cho phương trỡnh: x2 - mx + m - 1 = 0 Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trỡnh Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 2
2 2
1 2 1 2
+ + + +
Câu 6 (30 ủiểm)
Cho ủường trũn tõm O ủường kớnh AB = 2R Gọi d và d' lần lượt là cỏc tiếp tuyến với
ủường trũn tại A và B Điểm C thuộc ủường thẳng d (C khỏc A), ủường thẳng vuụng gúc với OC tại
O cắt d và d' thứ tự tại M và D
6.1) Chứng minh tam giỏc CMD cõn và CD là tiếp tuyến của ủường trũn (O);
6.2) Chứng minh rằng khi C di chuyển trờn ủường thẳng d thỡ tớch AC.BD khụng ủổi;
6.3) Điểm C ở vị trớ nào trờn ủường thẳng d thi diện tớch tứ giỏc ABDC nhỏ nhất? Tớnh giỏ trị nhỏ nhất ủú theo R
Câu 7 (10 ủiểm) Cho a + b + c = 0, abc 0≠ Rỳt gọn biểu thức sau:
B =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Hết
- Thớ sinh khụng ủược sử dụng tài liệu
- Giỏm thị khụng giải thớch gỡ thờm
đề chính thức
Trang 2Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
h−íng dÉn gi¶i Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
1.2)
11.13+13.15+ +19.21
Giải
+ + + = − + − + + − = − =
2.1) Chứng minh rằng số tự nhiên có dạng abba chia hết cho 11
2.2) Tìm cặp số (x, y) biết: 1 3y 1 5y 1 7y
+ = + = +
Giải
2.1) Vì abba=a.1001 b.110 11.91a 11.10b+ = + =11(91a 10b) 11+ ⋮
2.2) ĐKXĐ x ≠ 0
- Vì x ≠ 0 nên từ : 1 5y 1 7y
+ = + ⇒ 4(1 + 5y) = 5(1 + 7y) ⇔
15y = -1 ⇒ y = 1
15
−
- Từ 1 3y 1 5y
+ = + ⇒ x = 12(1 5y)
2 5(1 3y)
+ = + Vậy (x, y) = (2;
1 15
−
)
3.1) Cho a, b, c, d ≥0 Chứng minh rằng: (a+c)(b d)+ ≥ ab+ cd
3.2) Cho a, b, c, d ≠0, c + d = 1 và c d 1
a+ =b ac bd
+ Chứng minh rằng a = b
Giải
3.1) (a+c)(b d)+ ≥ ab+ cd ⇔ +(a c)(b d)+ ≥ + +ab cd 2 ab.cd ⇔ad+bc≥2 ad bc
⇔ − ≥ (ñúng) Từ ñó suy ra ñiều phải chứng minh
3.2) Từ c + d = 1 và c d 1
a+ =b ac bd
+ ⇒
⇒ (b - bd + ad)(a - ad + bd) = ab
⇔ ab - abd + b2d - abd + abd2 - b2d2 + a2d - a2d2 + abd2 - ab = 0 (Chú ý d ≠0)
⇔ - 2ab + b2 + a2 + 2abd - b2d - a2d = 0 ⇔ (a - b)2 - d(a - b)2 = 0 ⇔ (a - b)2(1 - d) = 0
Vì c + d = 1 và c ≠0 ⇒ d ≠1 nên (a - b)2 = 0 ⇒ a = b
4.1) Giải phương trình sau: x 241 x 220 x 195 x 166 10
4.2) Giải hệ phương trình:
3
3
= +
= +
Gi¶i
Trang 3Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
4.2)
3
3
= +
= +
3
- y3 + 2(x - y) = 0 ⇔ (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = 0
⇔
− =
2 2
x y 0
y 3y
x = y
TH1: x = y = -1
2
=
=
⇔
− − = = ±
Vậy x = y =1 hoặc x = y = 1 5
2
±
trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 1 2
2 2
1 2 1 2
+
Giải
Điều kiện ñể phương trình bậc có hai nghiệm x1, x2 là:
∆ ≥ 0 ⇔ m2 - 4m + 4 ≥ 0 ⇔ (m - 2)2 ≥ 0 ñúng ∀ m Khi ñó áp dụng hệ thức Vi-Ét ta có:
1 2
+) Tìm giá trị lớn nhất của A:
A =
+ = + − − + = − − ≤
Vậy: Max A = 1 khi m = 1
+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A:
A =
Vậy: Min A = -1
2 khi m = -2
6.1) Chứng minh ∆CMD cân và CD là tiếp tuyến của (O)
+) Xét ∆AOM và ∆BOD có:
A= =B 90 (t/c của tiếp tuyến)
OA = OB = R (gt)
O1=O2 (ñối ñỉnh)
⇒ ∆AOM = ∆BOD (g.c.g)
⇒ OM = OD mà CO ⊥ MD (gt)
⇒ ∆CMD cân tại C
+) Từ O kẻ OE ⊥ CD tại E CD∈
Xét ∆AOC và ∆EOC có:
A = =E 900
OC - cạnh chung
C1=C2 (t/c ñường cao trong tam giác cân CMD)
⇒ ∆AOC = ∆EOC (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ OA = OE = R ⇒ CD là tiếp tuyến của (O)
6.2) Chứng minh AC.BD không ñổi
F 1
2
2 1
E
O
M
D C
B A
Trang 4Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
- Vì CD là tiếp tuyến của (O) tại tiếp ñiểm E ⇒ AC = CE, BD = DE (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)
- Áp dụng hệ thức giữa cạnh và ñường cao trong tam giác vuông OCD ta có:
OE2 = EC.ED ⇒ OE2 = AC.BD ⇒ AC.BD = R2 không ñổi
6.3) Tìm vị trí của C ñể diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất, tìm diện tích nhỏ nhất ñó theo R
Gọi F là trung ñiểm của CD ⇒ OF là ñường trung bình của hình thang vuông ABDC
Khi ñó: SABDC = AC BD.AB 2.OF2R 2R.OF
ABDC nhỏ nhất khi OF nhỏ nhất ⇒ E ≡ F
⇒ ABDC là hình chữ nhật và AC = R Vậy Min SABDC = 2R2 khi C cách A một khoảng bằng R
Cho a + b + c = 0, abc≠0 Rút gọn biểu thức sau:
B =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
Giải
+) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b)3 = -c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3
⇒ a3 + b3 - 3abc = -c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
+ ) Từ a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c ⇒ a2 + b2 + 2ab = c2 ⇒ c2 - a2 - b2 = 2ab
Tương tự: a2 - b2 - c2 = 2bc và b2 - c2 - a2 = 2ca
Khi ñó: B =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
=
+ +