Đề thi khảo sát chất lượng giáo viên THCS môn toán tỉnh vĩnh phúc năm học 2015 2016(có đáp án)

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN NĂM HỌC 2015-2016 MÔN TOÁN; CẤP THCS Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề  x +1  x −1 x − + x ÷: Câu (2,0 điểm) Cho biểu thức P =  x +1  x −1  x −1 a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x = + 15 c) Tìm tất giá trị x để P = x x2 Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = có đồ thị ( P ) đường thẳng ( d ) có phương trình y = x − m ( m tham số) a) Tìm m biết ( d ) qua điểm A nằm ( P ) A có hoành độ b) Khi m = , tìm tọa độ điểm M ( x1 ; y1 ) thuộc ( P ) điểm N ( x2 ; y2 ) thuộc ( d ) cho x1 + x2 = −1 y1 = y2 Câu (1,0 điểm) Một ca-nô chạy xuôi dòng sông ngược dòng 250km Nếu ca-nô xuôi dòng ngược dòng 40 phút 140km Tính vận tốc riêng ca-nô vận tốc dòng nước, biết vận tốc dòng nước vận tốc riêng ca-nô xuôi hay ngược dòng không đổi Câu (1,0 điểm) Cho phương trình x − 2(m + 1) x + m − = ( x ẩn, m tham số) a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m b) Tìm biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào tham số m Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn ( O; R ) , AB dây ( O ) có độ dài R K điểm cung lớn AB Gọi M điểm tùy ý cung nhỏ BK ( M ≠ B, K ) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ đường thẳng qua B song song với KM cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai P a) Chứng minh điểm A, N , K , P đỉnh hình bình hành b) Chứng minh tam giác KMN tam giác c) Xác định vị trí M để tổng MA + MK + MB có giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho ( n + 9n − ) M( n + 11) Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c số thực dương abc = ab bc ca + 5 + Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a + b + ab b + c + bc c + a + ca Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN  NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN – CẤP THCS  Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm 1,00 a) x > , ta có: x ≠ Điều kiện xác định P:  0,50 ( P= 0,25 P= ) ( x +1 − ) x − + x ( x − 1) x − x −1 x x + x ( x − 1) x = 4x 0,25 b) 0,50 −1 = + 15 +   −1   −1 = P  = = −1 Suy ra: P  ÷ ÷ ÷ ÷  + 15    Có: = 0,25 0,25 c) 0,50 4 x = x  x =   P = x ⇔  x > ⇔   x = x ≠  x > 0, x ≠   ⇔ x = 2 0,25 0,25 Câu (1,0 điểm) a) Tìm A(2; 2) Tìm m = b) Nội dung trình bày Điểm 0,50 0,25 0,25 0,50 1 x2 có: (d ) : y = x − , y1 = (1), y = x2 − (2) 2 2 Theo giả thiết: x1 + x1 = −1 (3) y1 = y2 (4) 0,25 Khi m = 1    Thay (5) vào (1) có: x1 + x1 + 12 = (6) Từ (2) (3) (4) có: y1 =  − x1 − − ÷ (5) 2 Giải (6) (2) (3) (4) (5) ta có: M (−2; 2) , N (1; ) M (−6;18) , N (5; ) 0,25 Câu (1,0 điểm) Nội dung trình bày Điểm Gọi vận tốc riêng ca-nô x km/h, vận tốc dòng nước y km/h (đk: x>y>0) 0,25 xuôi dòng vận tốc ca-nô (x+y) km/h, ngược dòng (x-y) km/h Ca-nô xuôi dòng ngược dòng 250km, ta có phương trình: 4(x+y)+3(x-y)=250 (1) 0,25 Ca-nô xuôi dòng ngược dòng 40 phút (2/3 giờ) 140km, ta có phương trình: 3(x+y)+(2/3)(x-y)=140 (2)  4( x + y ) + 3( x − y ) = 250 7 x + y = 250  ⇔ Từ (1) (2) ta có:  (3) 11x + y = 420 3( x + y ) + ( x − y ) = 140 0,25 Giải (3) có: x=35, y=5 Vậy vận tốc riêng ca-nô 35km/h vận tốc dòng nước 5km/h Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày a) Có: ∆ ' = ( m + 1) − ( m − ) = m + m + 0,25 Điểm 0,50 0,25  19  =  m + ÷ + > với m, suy đpcm 2  b) 0,25  x1 + x2 = ( m + 1)  x1 x2 = m − 0,50 Gọi x1 , x2 nghiệm PT, theo định lý Viet ta có:  0,25  x + x = ( m + 1) ⇔ ⇒ x1 + x2 − x1 x2 = 10 Vậy hệ thức cần tìm x1 + x2 − x1 x2 = 10 2 x1 x2 = 2m − 0,25 Câu (3,0 điểm): K P M O A N H B Nội dung trình bày a) » = PK » ⇒ MB = PK (1) Do MK P BP ⇒ MB MB = AN (2) Từ (1) (2) suy PK = AN (3) » = KB » MB » = PK » suy »AP = KM ¼ hay PK P AN (4) KA Từ (3) (4) suy PK, AN cạnh đối hình bình hành hay suy đpcm b) Gọi H trung điểm AB , OH ⊥ AB sin ·AOH = AH suy ·AOH = 600 = OA Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 0,25 ·AKB = ·AOB = ·AOH = 600 , tam giác AKB tam giác Do KM = AP KN = AP , suy ra: KM = KN · KMN = ·ABK = 600 Từ ta có tam giác KMN tam giác c) Có: MA + MK + MB = MA + NM + AN = 2MA ≤ R » Dấu “=” xảy ⇔ MA đường kính hay M điểm cung bé BK » Vậy: Max ( MA + MK + MB ) = R ⇔ M điểm cung bé BK 0,25 0,25 0,25 1,0 0,5 0,5 Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày ( n + 9n − ) M( n + 11) ⇔ n ( n + 11) − ( n + 1) M( n + 11) ⇔ ( 2n + ) M( n + 11) Điểm 0,25 0,25 ⇔  ( n + 11) − 20  M( n + 11) 0,25 ⇔ 20M( n + 11) ⇔ n = Vậy n = giá trị cần tìm 0,25 Câu (1,0 điểm): Nội dung trình bày Chứng minh: a + b ≥ a b + b a 5 3 2 2 Thật vậy, a + b ≥ a b + b a ⇔ a ( a − b ) − b ( a − b ) ≥ 5 Điểm ⇔ ( a3 − b3 ) ( a − b ) ≥ ⇔ ( a − b ) ( a + ab + b ) ( a + b ) ≥ 0,25 Dấu xảy a = b ab ab abc c ≤ = = = 2 a + b + ab a b + b a + ab a b + b a + a b + b a + abc a + b + c bc a ca b ≤ ; ≤ Tương tự có: 5 b + c + bc a + b + c c + a + ca a + b + c a b c + + = , dấu ‘=’ xảy a = b = c = Suy ra: P ≤ a+b+c a+b+c a+b+c Vậy Pmax = a = b = c = Khi đó: 0,25 0,25 0,25 Yêu cầu: + Điểm toàn tính đến 0,25; + Với ý từ 0,5 điểm trở lên, tổ chấm thống để chia nhỏ đến 0,25; + Với ý, Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với bước kết bắt buộc phải có Nếu thí sinh giải theo cách khác trình bày đủ kết cho điểm tối đa ý + Trong ý, thí sinh sai từ đâu không cho điểm từ + Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình ý không cho điểm liên quan ý  ...SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA CHUYÊN MÔN GIÁO VIÊN  NĂM HỌC 2015- 2016 MÔN: TOÁN – CẤP THCS  Câu (2,0 điểm) Nội dung trình bày... trình bày Điểm 0,50 0,25 0,25 0,50 1 x2 có: (d ) : y = x − , y1 = (1), y = x2 − (2) 2 2 Theo giả thi t: x1 + x1 = −1 (3) y1 = y2 (4) 0,25 Khi m = 1    Thay (5) vào (1) có: x1 + x1 + 12 = (6)... trình bày đủ kết cho điểm tối đa ý + Trong ý, thí sinh sai từ đâu không cho điểm từ + Bài hình học bắt buộc phải vẽ đủ hình, không vẽ đủ hình ý không cho điểm liên quan ý