Tổng hợp các bài bất đẳng thức trong các đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016 Người tổng hợp: ĐINH XUÂN HÙNG (Dinh Xuan Hung) PHẠM NGỌC HÙNG(phamngochung9a) Bài 1...............................................
Tổng hợp bất đẳng thức đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán năm 2016 VMF-DIỄN ĐÀN TOÁN HỌC www.diendantoanhoc.net Người tổng hợp: ĐINH XUÂN HÙNG (Dinh Xuan Hung) PHẠM NGỌC HÙNG(phamngochung9a) ĐỀ BÀI Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= a2 b2 c2 − a2 b − ab − a − + + ( a + 1)(b + 1)bc (b + 1)(c + 1)ca (c + 1)( a + 1) ab Bài Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a + b+c b + c+a c +2 a+b ( a2 + b2 + c2 ) ab + bc + ca Bài Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị lớn : T= 4 1 + + − − − a+b b+c a+c a b c Bài Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn xy + yz + xz = Tìm giá trị lớn : 2x 2y z2 + + + x2 + y2 + z2 P= Bài Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn : x + y + z = Tìm giá trị lơn nhỏ biểu thức: √ T = 1+x+ Bài Cho a, b, c > cho a + b + c ≤ P = (3 + + y2 + + z2 Tìm Min 1 1 1 + )(3 + + )(3 + + ) a b b c a c Bài Tìm a, b, n ∈ N biết a + b = 22007 ab = 2n − với a, b lẻ, b > a > Bài Cho x, y, z ∈ R thỏa mãn ( x + 1)2 + ( y + 2)2 + ( z + 3)2 ≤ 2010 Tìm Min A = xy + y( z + 1) + z( x − 2) Bài Cho a, b, c dương thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 ≤ 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a b c + + b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 − √ √ ( ab + bc + ac)3 − abc Bài 10 Cho a, b, c số thực không nhỏ 1.Chứng minh rằng: a b c 18 + + ≥ 2a − 2b − 2c − + ab + bc + ac Bài 11 Cho x, y, z số thực thoả mãn : x2 + y2 + z2 = 2.Tìm GTNN biểu thức : P = | x + y − z| + | y + z − x| + | z + x − y| a+b+c Bài 12 Cho a, b, c số thực thoả mãn ≤ 4abc Tìm GTLN biểu thức: 2016 √ √ √ a b c √ + √ + √ P= a + bc b + ca c + ab √ Bài 13 Cho ba số thực x, y, z thuộc đoạn (0; 4) thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: √ 1 √ +√ + ≥ 16 − y2 16 − x2 16 − z2 Bài 14 Cho x, y, z > 0; 7( x2 + y2 + z2 ) = 11( xy + yz + zx) Tìm Max,Min ( x + y + z)3 P= ( x + y)( y + z)( z + x) Bài 15 Cho a, b, c > a2 + b2 + c2 = 3.Tìm Min P = ( a + b + c)(∑ a2 b2 +1 ) Bài 16 Cho a, b ∈ (0, 1); ( a3 + b3 )( a + b) = ab(1 − a)(1 − b) Tìm giá trị lớn : √ 1+ a2 +√ 1 + b2 + 3ab − a2 − b2 Bài 17 Cho x, y, z ≥ 0; x + y + z = 3; Tìm max P = x2 y + y2 z + z2 x Bài 18 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số : √ √ √ − 4x + + x − 4x2 − + x − 4x + √ √ y= − 4x + + x + Bài 19 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 1 + P= + + 3 abc ( a + b) (b + c) (c + a)3 Bài 20 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a + b + c + abc = 4.Tìm giá trị nhỏ P= a2 + b2 + c2 + abc ( a + b + c)2 − Bài 21 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a2 + ab + b2 = c( a + b + c) Tìm giá trị lớn biểu thức: P= ( a + c)2 (b + c)2 ab ab + + + 2a2 + 2ac + c2 2b2 + 2bc + c2 ( a + b)2 a2 + 4ab + b2 Bài 22 Với số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lướn biểu thức: P = ( x2 − xy + y2 )( y2 − yz + z2 )( z2 − xz + x2 ) Bài 23 Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c 3abc Tìm Giá trị lớn biểu thức: a4 + b4 ab + c2 a2 + b2 + 2c2 √ P= − − ( a2 + c2 + 2) b2 + c2 a2 (b2 + c2 ) + b2 ( a2 + c2 ) c3 a3 + b3 a2 b + b2 c + c2 a Bài 24 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN 16 P= x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 +1 xy + yz + zx + x+y+z + Bài 25 Cho x, y, z ∈ [1; 3] thỏa mãn y + z − 4x = 0.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P= y2 + z2 − 4x2 x2 y2 + y2 z2 + z2 x2 − 7x4 Bài 26 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn: ab + bc + ac = 1.Tìm Min biểu thức: P= b a2 + + 16( a + c)(b2 + ac) a + 16(b + c)( a2 + bc) c + a ab Bài 27 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị lớn biểu thức: 3b − c 3c − a 3a − b + + a2 + ab b2 + bc c2 + ca P = ( a + b + c) Bài 28 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx + xyz = Chứng minh rằng: 1 √ +√ +√ y x z ≥ ( x + 2) ( y + 2) ( z + 2) Bài 29 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + 2y + 3z = Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x2 (5 − 6x) + 4y2 (5 − 12y) + z2 (45 − 162z) Bài 30 Cho số thực x, y, z thỏa x > 2, y > 1, z > Tìm giá trị lớn của: P= x2 + y2 + z2 − 2(2x + y − 3) Bài 31 Cho a, b, c dương thoả − y( x − 1)( z + 1) 1 + + = Tìm GTNN : a b c P = ( a + 1)(b + 1)(c + 1) + √ a2 + b2 + c2 + Bài 32 Cho x, y, z thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN biểu thức P= √ 3x2 + 3y2 2z z2 + z + − − 3z x + y ( x + 1)( y + 1) Bài 33 Cho x, y, z thực dương: x + y + = z Tìm GTNN của: P= ∑ x3 + x + yz ( z + 1) 14 ( x + 1)( y + 1) Bài 34 Cho ≤ a, b ≤ Tìm max P = √ a 2b2 + +√ b 2a2 + Bài 35 Cho a, b, c > thỏa a2 + b2 + c2 = TÌm giá trị lớn của: bc a3 b3 + b3 c3 ab + − A= + c2 + a2 24a3 c3 Bài 36 Cho a, b, c dương thỏa: 4a 2c b c (1 + ) + (1 + ) = b b a a Tìm GTNN: P= Bài 37 Cho x, y, z > thỏa mãn bc 2ca 2ab + + a(b + 2c) b(c + a) c(2a + b) 1 16 + + = Tìm giá trị lớn x y z x+y+z ( x − y)( y − z)( z − x) P= xyz Bài 38 Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xy + xz + 10yz Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3x3 P = 8xyz − y + z2 + + = 30 Tìm GTLN : a b c √ b + 2c − 72a2 + c2 P= a Bài 39 Cho a, b, c > thoả (3a + 2b + c) Bài 40 Cho số dương x, y Tìm giá trị lớn biểu thức: P= x2 + 3y2 + 3x2 + y2 − 3( x + y)3 Bài 41 Cho x, y, z số dương thỏa mãn xy + xz + = x Tìm giá trị lớn P = ( xy + xz + 2) + y 1− 3z Bài 42 Cho a, b, c ∈ [1; +∞) thỏa mãn 3( a + b + c) = a2 + b2 + c2 + 2ab.Tìm GTNN biểu thức: a2 a P= + ( a + b) + a a + c2 Bài 43 Cho a, b, c số thực dương thay đổi, tìm giá trị nhỏ của: P= ( a + c)( a + 4b + c)( a + b + c)3 abc [5( a2 + b2 + c2 ) + ab + bc + ca] Bài 44 Cho a, b, c dương thoả a + b + c = Tìm GTNN : P= a2 16b2 − 27( a + bc)2 + (1 − a)2 + 5bc 36( a + c)2 Bài 45 Cho x, y, z > thỏa mãn xyz = Tìm giá trị nhỏ bểu thức: P= x3 + x4 +y+z + y3 + y4 +z+x + z3 + z4 +x+y − 8( xy + yz + zx) xy + yz + zx + Bài 46 Cho số thực không âm x,y,z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ của: P= √ √ √ ( xyz)2 + x3 + y3 + z3 − xy − yz − zx + x + y + z Bài 47 Cho a,b,c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ab2 16c4 a2 + + ( a + b)2 (b2 + ac)(c + a) (c + a)4 Bài 48 Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn: abc( a + b + c) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 8bc P= − ( a + b)( a + c) bc(b + c2 ) + Bài 49 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn: x + y + = z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= y z2 + x + + x + yz y + zx z + xy Bài 50 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 = y2 + z Tìm giá trị lớn biểu thức: 3z2 (1 + 2xy) z √ + P= ( x + y2 )(1 + z2 ) (1 + z2 ) + z2 Bài 51 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2( x + 3z) y2 xz + + x + 2z y + yx xz + yz Bài 52 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 = 3xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x2 y x2 + y2 + P= + y + yz z + x x + z2 Bài 53 Cho x,y số dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = xy + Tìm giá trị lớn biểu thức: √ 24 xy x3 y3 P= + + y + x3 + x + y + Bài 54 Cho 1 < x ≤ y ≥ Tìm giá trị nhỏ nhất: P = x2 + y2 + x2 y2 [(4x − 1) y − x]2 Bài 55 Với a, b, c > a2 + b2 + c2 + = a2 b2 c2 Chứng minh rằng: abc( a + b + c) ≥ 2( ab + bc + ca) Bài 56 Cho x, y, z số thực dương thỏa x( y2 + z2 ) = yz( y + z).Tìm GTNN của: z y + 1+y 1+z + ( x + 1)2 + 2yz(1 − x) (1 + x)(1 + y)(1 + z) Bài 57 Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 + 2( a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) ≥ 3( a3 b + b3 c + c3 a) Bài 58 Giả sử x,y số thực không âm thỏa mãn: x2 + y3 ≥ x3 + y4 Chứng minh rằng: x3 + y3 ≤ Bài 59 Với a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: − a2 − b2 − c2 P = ab + bc + ca + ( a + b + 3c) Bài 60 Cho số thực a, b, c thỏa mãn ≤ a ≤ b ≤ c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: a2 + c2 ac ( a + b) (b + c) (c + a) − P= abc 10 Bài 61 Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= ( a + b) + (b + c) + (c + a)2 Bài 62 Cho x, y, z > x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN: P= + z2 + ( x + y)2 + x2 + ( y + z)2 + y2 ( x + z)2 Bài 63 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( a + b)(b + c)(c + a) + 2016 a+b+c Bài 64 Cho a,b,c thuộc [0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức: P = abc + (1 − a)(1 − b)(2 − c) + 1 a b c + + + + + 3 b+c+1 a+c+1 b+a+1 1+a 1+b 1+c Bài 65 Cho số a,b thuộc [ ; 1] Tìm Min của: P = a5 b + ab5 + − 3( a + b) a2 + b2 Bài 66 Cho x,y,z thuộc [1; 2] Tìm giá trị lớn biểu thức: E= 2( xy + yz + zx) y+z+4 + − √ xyz + 2(2x + y + z) 2x( y + z) + yz + yz + Bài 67 Cho x,y,z thuộc [1; 2] Tìm giá trị lớn của: 1 F = ( x + y + z)( + + ) x y z Bài 68 Cho a,b,c,d thuộc [1;2] Chứng minh rằng: ( a2 + b2 + c2 + d2 )( 1 1 + + + ) ≤ 25 a b c d Bài 69 Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn: a + b + c ≤ 2.Tìm GTNN biểu thức: √ √ √ a a b b c c √ √ √ P= + + + √ a + ab + b b + bc + c c + ca + a 27 abc Bài 70 Cho a,b,c số thưc dương thỏa mãn: a + b + c = ab + bc + ca Tìm GTNN biểu thức: b3 c3 a3 + + b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 a2 − ab + b2 Bài 71 Cho a,b,c số dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 ≤ 3.Tìm GTNN biểu thức: P= a2 1 + + + ab b + bc c + ca Bài 72 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a + b + c = Tìm Max biểu thức: a2 b + b2 c + c2 a + abc + 4abc(3 − ab − bc − ca) Bài 73 Cho số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = Chứng minh rằng: ∑ x3 ≥1 x2 + 2yz Bài 74 Cho ≤ c ≤ b ≤ a ≤ Tìm biểu thức: b c ( a − c)2 a + + − P= b+c c+a a+b Bài 75 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a2 + b2 + c2 ≥ a + b + c Tìm GTNN biểu thức: P= a2 ∑ b+c Bài 76 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác với a + b + c = Tìm Min của: P = 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc Bài 77 Cho a, b, c > abc = Chứng minh: ∑ a2 (b + c) ≥ Bài 78 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm GTNN biểu thức: x ∑ − x2 Bài 79 Cho x, y, z ≥ 1.Tìm GTNN biểu thức: ∑ x2 + x3 + 8 + x2 y2 z2 Bài 80 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx + Tìm GTNN biểu thức: 3x( x2 + y2 + z2 ) 8( y2 + z2 ) P= + ( x + y + z)2 2y2 + 2z2 + xy + xz Bài 81 Cho x, y, z > xy2 z2 + x2 z + y = 3z2 Tìm max P= z4 + z4 ( x4 + y4 ) Bài 82 Cho ba số thực a, b, c thay đổi thuộc [1; 2] thỏa mãn: a + b + c ≤ Chứng minh đẳng thức: a2 ∑ bc + > Bài 83 Với số thực ≤ a, b, c ≤ thỏa mãn: a + b + c = Tìm Min √ P = ∑ a+1 Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ac ≤ Tìm GTNN của: 12 + 4ab + ( a + b)(c + 3) 2( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) + ( a + 1)(b + 1) 2c Bài 85 Cho a, b, c > thỏa mãn: a2 b2 + b2 c2 + ≤ 3b Tìm giá trị nhỏ : P= 4b2 + + 2 ( a + 1) (2b + 1) (3 + c)2 Bài 86 Cho x, y, z số thực thuộc khoảng (1; 4) Tìm giá trị lớn biểu thức: √ ( x + y − z)2 ( y + z − x)2 √ ( z + x − y)2 + − P = yz zx xy Bài 87 Cho a, b, c > thỏa mãn a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = Tìm giá trị nhỏ P = 4( a2 b2 c2 + + ) + 2a3 − a + b4 + b2 − b + c3 + c2 a+b b+c c+a Bài 88 Cho a, b, c > CMR: a b c a+1 b+1 c+1 + + ≤ + + b+1 c+1 a+1 b c a Bài 89 Cho x,y số thực thỏa mãn: x, y ∈ [1; 3] Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x3 x y+1 + + + x( y − 2x) + ( x + 2y + 2)( y + 1) − 6y + 5( x + y + 1) 25 Bài 90 Cho x,y số không âm thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( x + z) z 3x2 + 4y2 + 8z2 + z y + + − − 2 16z x +y Bài 91 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: 4z2 + 41 = 9xy(2z + 3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y P= + + √ ( z2 + 5) x2 + 9yz y2 + 9zx 10 Bài 92 Cho số thực a, b, c thuộc đoạn [1; 3] thỏa mãn: a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + 12abc + 72 − abc P= ab + bc + ca Bài 93 Xét số thực x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 3(2x2 + 2x + 1) + 2x2 + (3 − √ + 2x2 + (3 + 3) x + √ 3) x + Bài 94 Với số thực dương a, b thỏa mãn: a2 + b2 = ab + Tìm GTLN biểu thức: P= √ − 3ab + a−2 b−2 + 2 a +1 b +1 Bài 95 Cho x, y, z thuộc [0; 2] thỏa: x + y + z = Tim min: P= ∑ x2 + y2 + + ∑ √ xy Bài 96 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = 1.CMR 1 + + + ≥1 2 ( a + 1) (1 + b) (1 + c) (1 + a + b + c)2 Bài 97 Cho ba số thực a, b, c cho c = { a; b; c } ≥ 1.hãy tìm GTNN biểu thức S= √ 36 a+b+c−1 + + (2a + b)2 4(2b + a)2 + 45(c − 1)2 Bài 98 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn xyz = x + y + z z > Hãy tìm GTLN biểu thức M= x2 1 − + +1 y +1 6z ( z2 + 1)3 Bài 99 Cho a, b, c > a + 4b + 9c = Chứng minh a3 + b3 + c3 ≥ 1296 Bài 100 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1.Tìm GTLN của: P = 9xy + 10yz + 11zx Bài 101 cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xy + 2z.Tìm GTNN: P=( x y 8z3 + ) + y2 + z2 x2 + z2 ( x2 + z2 )( y2 + z2 ) Bài 102 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1.CMR √ a4 + b2 c2 b4 + a2 c2 c4 + a2 b2 √ + √ + √ ≥ a2 b2 + c2 b2 a2 + c2 c2 a2 + b2 10 Bài 103 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: abc = Chứng minh rằng: ∑ a2 + ∑ ab ≥ 10 ∑ a Bài 104 Cho x, y, z > thỏa mãn x2 + y2 + z2 = ( xy + 2yz + zx) Tìm giá trị lớn của: P= x − y2 + z2 ( x + y + z)3 Bài 105 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 9ab + 17bc + 14ac + 12c − 18 > a2 + b2 + c2 = 14.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: √ 8(7 + ab) 36 +√ P= √ 9ab + 17bc + 14ac + 12c − 18 a+b+c+3 Bài 106 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn < ab + bc + ca − abc ≤ Tìm giá trị nhỏ ab + bc + ca − biểu thức: P = a +2 2 b +2 c +2 a + b + c − abc ab + bc + ca − +2 Bài 107 Cho số thực dương x, y, z.Tìm GTNN biểu thức + ( x + y + z)2 + √ √ 7x + y + xy + 18 xyz Bài 108 Cho x, y, z > thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: P= ∑ x ( y + z) ≥ 2xyz − yz Bài 109 Chứng minh với a, b, c dương, ta có: a2 + b2 + c2 8abc + ≥2 ab + bc + ca ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 110 Cho số thực không âm thỏa mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức: P = ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) 2 = + Tìm giá trị nhỏ : c a b a b c P= + +√ b + 2c a + 2c a + b2 + c2 Bài 111 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn : Bài 112 Cho x, y dương thỏa mãn : x4 + y4 + P= = 9xy − Tìm GTLN biểu thức : xy ( x3 + y3 )( x2 + y2 ) − 1 + 2xy Bài 113 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn : a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= a2 b2 + − ( a + b)2 2 (b + c) + 5bc (c + a) + 5ac 11 Bài 114 Cho số không âm a, b số dương c thỏa mãn a3 + b3 = c(c − 1) Tìm giá trị lớn nhỏ của: P= a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 Bài 115 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a > 0, b + c > 0, a2 + b2 + c2 = 1.CMR √ a3 b3 + c3 + ≥ b2 − bc + c2 a2 Bài 116 Giả sử x, y, z ba số thực dương thỏa mãn x > y xy + ( x + y) z + z2 = 1.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P= + + 2 4( x − y) ( x + z) ( y + z)2 Bài 117 cho số thực dương a, b, c thỏa mãn c( a2 + b2 ) = a + b Tìm GTNN biểu thức: P= 1 + + + ( a + 1)2 (1 + b)2 (1 + c)2 ( a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài 118 Cho x, y, z số thực thỏa mãn 5−x + 5− y + 5− z = 1.CMR 25 x 25 y 25 z 5x + y + 5z + + ≥ x + y+ z y + x+ z z + x+ y Bài 119 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2016.Tìm GTNN biểu thức 5x2 + xy + 3y2 + Bài 120 Cho x, y ∈ R thỏa mãn 3x2 + xy + 5y2 + x2 + xy + 2y2 + 2x2 + xy + y2 2y ≥ x2 Tìm GTNN biểu thức: y ≤ −2x2 + 3x P = x4 + y4 + ( x + y)2 Bài 121 Cho số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0.Tìm GTLN biểu thức: P= x2 + y2 + z2 − 2(2x + y − 3) − y( x − 1)( z + 1) Bài 122 Cho số thực a, b dương thỏa mãn ab ≥ 1.Tìm GTNN biểu thức: T= 1 + − 1+a 1+b 32 2a(1 + a) + 2b(1 + b) + Bài 123 Cho x, y, z > thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2, với x = max { x, y, z} y2 + z > Tìm giá trị nhỏ của: 6x2 6y2 z P= + + x + z y + z 2x + y3 Bài 124 Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm GTNN của: P= ∑ ( a + b)2 + 30 ( ab + bc + ca) 12 ( a + b + c)2 Bài 125 Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1.CMR ≥ 343 abc 1 = 7.Tìm GTNN của: Bài 126 Cho x, y số thực dương thỏa mãn ( xy + x + y)( + ) + xy x y √ y2 + 1 x2 + P= + − ( x + y + 1)( + ) y x x y 36 + a2 b + b2 c + c2 a Bài 127 Cho x ≥ y ≥ z ≥ Tìm giá trị nhỏ của: P= xy + yz + zx + + + 2 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)2 Bài 128 Cho x, y, z > thỏa x + y + z = Tìm Min: x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx y2 z + z2 x x2 y + Bài 129 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn : xyz + ≥ 2( x + y + z) Tìm giá trị lớn biểu thức : √ √ 2x2 − 4x + + 2y2 − 4y + + 2z2 − 4z + + xyz + 2( x + y + z) Bài 130 Cho a, b, c số thực thuộc [2; 4] ab + bc + ac = 26 Tìm giá trị lớn biểu thức: P= a2 + b2 + c2 + 100 abc − a+b+c Bài 131 Cho a, b, c dương thỏa mãn 8c2 + 4ab = ( a + b + 2c)2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 2c 10( a + b)2 c + − 4( a + b) a + b + c 3( a + b)2 + 5c2 Bài 132 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn: x2 + y2 + z2 = Tìm GTLN: P = 7( xy + yz + zx) − 9xyz Bài 133 Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn: ab + bc + ca = Tìm GTNN: P= 1 + + a+b b+c c+a Bài 134 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 5( a + b + c) − 2ab Tìm GTNN: √ Q = a + b + c + 48 √ +√ a + 10 b+c Bài 135 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + 6z2 = 4z( x + y) Tìm GTNN: P= x3 y3 + + y( x + z)2 x( y + z)2 x2 + y2 z 100 3a + 57b + 7c = 3abc + Tìm GTNN: a P = a+b+c Bài 136 Cho a, b, c số dương thỏa mãn: ab ≥ 13 Bài 137 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng: 25 2 1 4ab 1 4bc 1 4ac 27 Bài 138 Cho x, y, z 0;1 thỏa mãn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức: P 1 x 1 y 1 z 1 Bài 139.Cho x,y,z số thực không âm.Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: P 1 x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z Bài 140.Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 2 1 9 2 a b c a ab b b bc b c ca c Bài 141.Cho a b c 2b c 42a b c 18 Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab bc ca 13 2a 5b b 4bc Bài 142.Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 1 1 ab bc ca Bài 143.Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhỏ nhất: P x y z y z x z x y 3 Bài 144.Cho x,y,z số thực thỏa mãn điều kiện: x y z Tìm giá trị nhỏ của: P xy yz 10 xz x z x y z 14 Bài 145.Cho số dương x,y,z thỏa mãn xyz+x+y=z Tìm giá trị lớn của: P x 1 y 1 z 1 Bài 146 Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 2 1 3 3 9 2 a b c a ab b b bc b c ca c Bài 147.Cho số thực không âm a,b,c thỏa mãn c=min{a;b;c} Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 2b c 2 64 2a c P a b 2 b c a c ab bc ac Bài 148.Cho số thực dương thay đổi a,b,c thỏa mãn: a b c a b c a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P aa 2b bb 2c 2 cc 2a 2 abc Bài 149.Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z xy x z y z x y z 2 Bài 150.Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a max b; c a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P ab c bc a ca b 5 Bài 151.Cho số thực x,y,z không âm hai số đồng thời Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1 P xy yz xz 2 y z z x x y Bài 152.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn: x z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y y z 40 P z xy x yz x y z 2 x2 y2 z2 1 4 15 Bài 153.Cho số thực không âm a,b,c a+b+c=2 Tìm giá trị lớn biểu thức: P a2 a b2 b c2 c Bài 154 (bài 24) Bài 155.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : x y 8z 20 Tìm giá trị lớn của: P 2x yz x2 y z 100 x 4 yz x y z Bài 156.Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn: x y z Tìm giá trị lớn của: P x y 2z Bài 157.Cho x,y,z thỏa mãn z y x Tìm giá trị lớn của: P x y y z z 1 z Bài 158.Cho x,y số thực dương thỏa mãn : xy+x+y=3 Tìm giá trị lớn biểu thức: P 3x 3y xy x2 y2 y 1 x 1 x y Bài 159.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn : x y z Tìm giá trị lớn biểu thức: P x y z 1 1 x 1 y 1 z Bài 160.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x>y xy x y z z 1.Tìm giá trị nhỏ của: P 1 2 x z y z 2 4x y 16 Bài 161.Cho a, b, c ;1 a+b+c=2 Tìm giá trị lớn của: 2 P b2 c2 a2 1 2 ac a c b ab a b c 2 ac ab Bài 162.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x>y>z>0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P y z x2 x y y z z xz z Bài 163.Cho số thực dương x,y,z với x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x y z x3 y3 z xyz xy yz xz Bài 164.Cho hai số thực x>1,y>1 Tìm giá trị nhỏ của: x P y3 x2 y2 x 1 y 1 Bài 165.Cho x,y,z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P x 2x y 25 y yz z y 33 xy x y 4 81 x 2y z 72 z Bài 165.Cho x, y, z 1;2 Tìm giá trị nhỏ của: x y P 2x y z 2x y z Bài 166.Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn: x y z Tìm giá trị nhỏ lớn của: P x y y z z x 5 Bài 167.Cho x,y,z >0 thỏa mãn : x y z Tìm giá trị nhỏ : P x y z 12 x y y zz x 2 1 x y z 17 Bài 168.Cho a,b,c,d số thực không âm có tổng 4.Tìm giá trị nhỏ của: P a b c d 4abcd Bài 169.Cho x,y,z số thực không âm thỏa mãn: x y z P 1 x2 y2 1 z4 19 Tìm giá trị lớn của: x y z 4 12 Bài 170.Cho a, b, c a+b+c=2 Chứng minh rằng: P a b c 4abc Bài 171’.Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn xy+yz+xz+xyz=4 Chứng minh rằng: 1 3 x 2 y 2z 2 x y z Bài 171.Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ac=1 Chứng minh rằng: P abc ab bc ca 3 bc ca ab Bài 172.Cho số thực x,y x y 3 xy Tìm giá trị nhỏ của: P x4 y4 x2 y2 x2 y2 1 Bài 173.Cho a,b,c số thực không âm thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ của: P a b b c c a 3ab bc ac a b c Bài 174.Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện xy+x+y=3 Tìm giá trị lớn : P 3x 3y 1 y x 1 x y 1 x y 18 Bài 175.Cho a, b 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: a P 2b b 2a Bài 176.Cho số thực dương x,y,z thỏa mãn x+y+z=4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y2 z3 P x x y Bài 177.Cho a,b,c số thực dương thỏa mãn a b c a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ của: P a c 3b c b Bài 178.Cho x,y,z ba số thực tùy ý thuộc đoạn [0;1] Tìm giá trị lớn biểu thức: P x 1 x 1 y 2 z y z 1 Bài 179.Cho ba số thực x,y,z thay đổi thỏa mãn : xy=1+z(x+y) Tìm giá trị lớn biểu thức: P xy xy 1 z 2 1 x 1 y 1 z2 Bài 180.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S a,b,c độ dài bca acb abc cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện 2c+b=abc Bài 181.Cho a,b,c số thực thỏa mãn a, b, c 0;1 ab+bc+ac=1 Tìm giá trị nhỏ của: a 1 2b P b Bài 182.Cho x,y số thực thỏa mãn x y 1 3x y x y Tìm Min Max của: P x y 3x y x2 y2 1 19 Bài 183.Cho a,b,c >0 thỏa mãn a b c a,b,c đôi khác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1 2 a b b c c a2 Bài 184.Cho số x, y, z 1;1 x+y+z=0 Tìm giá trị nhỏ của: P 1 x 7x2 7y2 7z 1 y 1 z 9 Bài 185.Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn : a b c ab 2bc 2ca Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P c2 a b c 2 c2 ab 2 ab a b To be continue… 20 [...]... 2 2 2 2 y z z x 2 x y Bài 152.Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn: x 2 z 2 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x 2 y 2 y 2 z 2 40 P 2 z xy x 2 yz 3 x y z 2 x2 y2 z2 1 4 15 Bài 153.Cho các số thực không âm a,b,c và a+b+c=2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P a2 a 3 b2 b 3 c2 c 3 Bài 154 (bài 24) Bài 155.Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn... 4 Bài 119 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2016. Tìm GTNN của biểu thức 5x2 + xy + 3y2 + Bài 120 Cho x, y ∈ R thỏa mãn 3x2 + xy + 5y2 + x2 + xy + 2y2 + 2x2 + xy + y2 2y ≥ x2 Tìm GTNN của biểu thức: y ≤ −2x2 + 3x P = x4 + y4 + 2 ( x + y)2 Bài 121 Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x > 2, y > 1, z > 0.Tìm GTLN của biểu thức: P= 1 2 x2 + y2 + z2 − 2(2x + y − 3) − 1 y( x − 1)( z + 1) Bài. .. 3abc + Tìm GTNN: 3 a P = a+b+c Bài 136 Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: ab ≥ 13 Bài 137 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn: a+b+c=1 Chứng minh rằng: 25 2 2 2 1 4ab 1 4bc 1 4ac 3 27 Bài 138 Cho x, y, z 0;1 thỏa mãn x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: P 1 1 1 2 2 x 1 y 1 z 1 2 Bài 139.Cho x,y,z là các số thực không âm.Tìm giá... z) ≥ 2xyz 4 − yz Bài 109 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có: a2 + b2 + c2 8abc + ≥2 ab + bc + ca ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 110 Cho các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 Tìm GTNN của biểu thức: 2 P = ( a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) 2 2 1 = 2 + 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của : 2 c a b a b c P= + +√ 2 b + 2c a + 2c a + b2 + c2 Bài 111 Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn : Bài 112 Cho x, y... 2 Bài 156.Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn: 1 2 x 1 2 y 1 z 2 5 Tìm giá trị lớn nhất của: P x 3 y 3 2z 3 Bài 157.Cho x,y,z thỏa mãn 0 z y x 1 Tìm giá trị lớn nhất của: P x 2 y 2 y z z 2 1 z Bài 158.Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn : xy+x+y=3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P 3x 3y xy x2 y2 y 1 x 1 x y Bài 159.Cho các. .. ( x3 + y3 )( x2 + y2 ) − 1 1 + 2xy Bài 113 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn : a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P= a2 b2 3 + − ( a + b)2 2 2 4 (b + c) + 5bc (c + a) + 5ac 11 Bài 114 Cho các số không âm a, b và số dương c thỏa mãn a3 + b3 = c(c − 1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: P= a2 + b2 + c2 ( a + b + c)2 Bài 115 Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a > 0,... P 3 1 1 1 ab bc ca Bài 143.Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa mãn: x+y+z=1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: P x y z y z x z x y 3 3 3 Bài 144.Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện: x 2 y 2 z 2 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P 4 xy 4 yz 10 xz 1 x z x y z 1 14 Bài 145.Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz+x+y=z Tìm giá... x 1 y 1 z 1 2 Bài 146 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=3 Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 3 3 2 2 2 9 3 2 2 a b c a ab b b bc b c ca c 2 Bài 147.Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn c=min{a;b;c} Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2b c 2 64 2 2a c P a b 2 2 b 2 c 2 a 2 c 2 ab bc ac Bài 148.Cho các số thực dương... 2b 2 bb 2c 2 cc 2a 2 1 abc Bài 149.Cho các số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y 2 z 2 xy x 2 z y 2 z x y z 2 Bài 150.Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a 7 max b; c và a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P ab c bc a ca b 5 5 5 Bài 151.Cho các số thực x,y,z không âm và không có hai số nào... của: Bài 126 Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn ( xy + x + y)( 2 + 2 ) + xy x y √ y2 + 1 1 1 x2 + 1 P= + − ( x + y + 1)( + ) y x x y 36 + a2 b + b2 c + c2 a Bài 127 Cho x ≥ y ≥ z ≥ 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của: P= 2 3 xy + yz + zx 1 + + + 2 2 4 ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1)2 Bài 128 Cho x, y, z > 0 thỏa x + y + z = 3 Tìm Min: x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx y2 z + z2 x x2 y + Bài 129 Cho x, y, z là các số