Bai8 NHAN DANG MAT BAC 2

NHẬN DẠNG MẶT BẬC Nhận dạng mặt bậc Phương trình tổng quát mặt bậc 2: Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + ax + by + cz + d = số hạng bậc phải khác Phương trình tắc mặt bậc x2 y2 z + + =1 a b c 2 2 x +y +z =R 2 ( + + +) Mặt cầu x y z + − =1 a b c Ellipsoid x y z + − = − 2 a b c Hyperboloid tầng ( + + −, C ≠ ) Hyperboloid tầng 2 x y z + − = 2 a b c Nón ( + + −, C = ) x y (Dạng thường gặp nón) z = 2+ a b 2 x y cz + d = + Paraboloid elliptic ( + + ) a b 2 x y cz + d = − a b Paraboloid hyperbolic ( + − ) 2 2 x y + = 2 a b Trụ elliptic x y − =1 a b Trụ hyperbolic y = px Trụ parabolic biến Hình ảnh mặt z Ellipsoid y x 2 x y z + + = a b2 c Mặt cầu x2 + y + z = R2 Hyperboloid Hai tầng z x y z= 2− a b x2 y2 z= 2− a2 b 2 x y z + − = −1 a b c Một tầng z2 x y2 z= 2− a b x2 y2 z + − =1 a b c Nón z y x 2 z x y = 2+ 2 c a b Vẽ nón Cách phân loại mặt bậc 2: • Đưa dạng tồn phương phương trình tổng qt tắc • Khử số hạng bậc (nếu có số hạng bậc chung) để đưa pt dạng tắc nhận dạng Trong chương trình vẽ mặt tắc Ví dụ x − xy + z + x = 2 y y   ⇔x− ÷ − + z2 + x = 2  Y Y 2 ⇔X − +Z +X + =0 2 1 1  ⇔  X + ÷ − ( Y − 1) + Z − + = 2 4  x + xy + y + z = ⇔ ( x + y) + y + z = 2 z = x + xy − y 2 ⇔ z = ( x + 2y) − 5y z = x − xy + y ⇔ z = ( x − 2y) 2 2 x + y − z + xy − x − y − z + = 2 2 y  ⇔  x + ÷ + y − 5z − x − y − z + = 2  Y  ⇔ X + Y − 5Z −  X − ÷− 4Y − Z + = 2  2 1 2   ⇔  X − ÷ + ( Y − 1) −  Z + ÷ 2 5   4 = −2 + + − = − 2 5 2 x − y − yz − x − z + = ⇔ x − ( y + z ) + z − 8x − 2z + = 2 ⇔ X − Y + Z − X − 2Z + = ⇔ ( X − ) − Y + ( Z − 1) = 2 Ví dụ Tìm pt tắc phân loại mặt bậc 2: / x + y − z − 10 xy + xz + yz − 16 x − 16 y − z + 72 = 2 (1) Đưa dạng tồn phương (các số hạng bậc 2) dạng tắc phép biến đổi trực giao: Q( x, y , z ) = x + y − z − 10 xy + xz + yz Q( x, y, z ) = x + y − z − 10 xy + xz + yz 2 = x′ − y ′ Phép biến đổi 2   2 x    x′   ÷  y ÷ = −1 2  y ′ ÷  ÷  ÷  ÷  z ÷   ÷ ÷ ′ z  −4 3 ÷       x = x′ + y ′ + z ′ , y = − x′ + y ′ + z ′  3 3 ⇔ ′ ′ − y z z = +  3 2 x + y − z − 10 xy + xz + yz − 16 x − 16 y − z + 72 =  x = x′ + y ′ + z ′ ,  3  − x′ y′ z′  + + y = 3   y′ z′ − +  z = 3 Phương trình (1) viết lại 2 ′ ′ x y z′ ⇔ − = −1 8 -16 -16 -8 x′2 − y′2 −24 z ′ + 72 = Paraboloid hyperbolic 2 ′ ′ x y z′ − = −1 8 2 2 / x + y + z − xy + xz (2) + x + y + 16 z − = Đưa dạng tồn phương tắc x + y + z − xy + xz = x′2 + y′2 + z ′2 Phép biến đổi:  x   −1 3  x′   y ÷ =  3 −1 ÷ y′ ÷  ÷  ÷ ÷  z ÷  −1 3 ÷ z′ ÷      Phương trình (2) viết lại 3x′2 + y′2 + z′2 + 12 y′ + 12 z′ − = 2 ⇔ x′ + 6( y′ + 1) + 9( z′ + 3) − 18 = 2 ′′ ′′ ′′ ⇔ 3x + y + z = 18 2 x′′ y′′ z′′ ⇔ + + =1 Elippsoid / z = xy Dùng phép biến đổi Lagrange x = x′ + y′, y = x′ − y′, z = z ′ 2 ′ ′ ′ z =x −y Parapoloid hyperbolic Các mặt phẳng song song mặt tọa độ z z z y x y x x y y=a x=a z=a Một số mặt phẳng z z y x x+y=1 x x+z=1 Một số mặt phẳng z y=x x y z + + =1 a b c