HOT>>>>>>>>>> Bài tập về chứng minh hình học phẳng OXY cực hay của Thầy Đoàn Trí Dũng..........Những bài tập điển hình này sẽ giúp chúng ta rèn luyện tư duy để chứng minh các tính chất trong bài toán về hình học phẳng OXY
MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Biên soạn: Đoàn Trí Dũng Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD CE I tâm ngoại tiếp Chứng minh rằng: a) BDEC tứ giác nội tiếp b) IA ^ DE c) IA trung trực MN d) AM AN e) A M = A N = A E A B = A D A C = A H A K a) Học sinh tự chứng minh N A Ï Ô–IA C = 90 - –A BC b) Ì D IA ^ DE –A BC = –A DE Ô Ó c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất E H dây cung tâm, ta có IA qua trung điểm MN Do M I IA trung trực MN d) Vì câu c) nên ta có câu d) C B K 1 e) –A ME = sdA N , –A BM = sdA M mà AM AN 2 Như –A ME = –A BM DA ME ∽ DA BM A M = A E A B Vì BDEC tứ giác nội tiếp nên AE AB AD.AC Vì BEHK tứ giác nội tiếp nên AE AB AH AK Kiến thức cần nhớ: ∑ Khái niệm góc đáy tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung: –IA C = 900 - –A BC ∑ Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương: DA ME ∽ DA BM A M = A E A B Bài 2: Tam giác ABC vuông A, đường cao AE E trung điểm BD Đường tròn cắt AC G a) EA EG b) EG tiếp tuyến đường tròn tâm F c) EC AD EG.AC a) AGDE nội tiếp nên –AGE = –ADE Mà A –ADE = –ABE = –EAG EA = EG b) –EGD = –EAD = –EAB = –DCG Mà G –DCG = –FGC = 90 - –DGF –EGD = 900 - –DGF EG ^ GF B E D F C c) –GEC = –GAD DGEC ∽ DDAC Ta có điều phải chứng minh Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Các đường cao hạ vuông góc AD, BK, BE, CF M , N , P trung điểm Chứng minh rằng: a) DE ^ A C , DF ^ A B b) MP , MN trung trực DE , DF c) M tâm ngoại tiếp tam giác DEF d) DDEF ∽ DABC e) K , E , M thẳng hàng a) –A DE = –A BE = 900 - –BA E = –A CD A K N E P H B D I C M mà –A CD = 900 - –DA C DE ^ A C Tương tự ta có DF ^ AB b) MP // AC nên MP ^ DE Mặt khác P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trung trực DE Vậy MP trung trực DE Tương tự cho MN c) Vì câu b) nên có câu c) F ( ) d) Ta có –DEF = –A BC , –DFE = –A CB DDEF ∽ DA BC g.g e) –MEF = 900 - –EDF = 900 - –BA C = –A BK = –A EK = 1800 - –KEF đpcm Bài 4: MD ME vuông góc với AC BC P Q trung điểm AB DE a) BM DE BA.EM b) DA PM ∽ DDQM c) PQ ^ QM A M P D Q B E C ÔÏ–EMD = –DCB = –A MB DEMD ∽ DBMA ta suy a) Ì ÔÓ–DEM = –DCM = –A BM BM DE BA.EM b) Từ câu a) ta suy DA PM ∽ DDQM c) DA PM ∽ DDQM DA DM ∽ DPQM –PQM = –A DM Vậy PQ ^ QM Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng kỹ thuật đổi đỉnh chéo tam giác đồng dạng Bài 5: Hình vuông ABCD E điểm đoạn BC Đường tròn đường kính AE cắt BD F Tiếp tuyến A đường tròn cắt CD G Chứng minh rằng: a) DFAE vuông cân b) FA = FE = FC c) FA G 450 đồng thời AGDF nội tiếp d) G , F , E thẳng hàng e) F trung điểm GE a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE tam giác A B E d) AGDF nội tiếp nên –GFA = –GDA = 900 Do ta có G , F , E thẳng hàng e) GAE vuông cân nên ta có đpcm F G FAE vuông Lại có –FEA = –FBA = 450 tam giác FAE vuông cân b) Vì F nằm trung trực AC nên FA = FE = FC c) DEAB = DGAD GAE tam giác vuông cân –FA G = 900 - –FA E = 450 nên AGDF nội tiếp C D Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD đường kính AE kéo dài cắt đường tròn K, J trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC a) BHCD hình bình hành b) A H c) EH 2IJ EK d) KA phân giác góc BK M e) IH 3IG A F H M I G B E K C J a) BH ^ A C ,CD ^ A C BH // CD Tương tự BD // CH BHCD hình bình hành b) BHCD hình bình hành J trung điểm HD Do ta có điều phải chứng minh c) –EBH = –EAC = –EBK Ta có điều phải chứng minh d) –BKA = –BCA = –AKM Ta có điều phải chứng minh AG e) Ta có: mà J trung điểm HD G trọng AJ tâm tam giác AHD Ta có điều phải chứng minh D Bài 7: Tam giác OAB vuông cân O Kẻ đường thẳng qua A cắt OB M Kẻ đường thẳng qua B vuông góc AM H cắt đường tròn đường kính OB K cắt OA I a) IM ^ AB b) OMI tam giác vuông cân c) HO phân giác góc MHI d) OKH tam giác vuông cân a) M trực tâm tam giác ABI ta có điều phải chứng minh b) IM ^ AB –MIO = 900 - –OA B = 450 Ta có điều phải chứng minh A E c) OMHI nội tiếp có OM OI nên HO phân giác góc MHI d) –OHK = –OMI = 45 –OKH = 900 ta có điều phải chứng minh M O B H K I Bài 8: Tam giác vuông ABC có I trung điểm BC Phân giác góc A cắt đường tròn D, hạ DE DF vuông góc với cạnh tam giác a) FAED hình vuông b) E , I , F thẳng hàng A a) Vì có ba góc vuông nên DEAF hình chữ nhật Mặt khác AD phân giác nên DE DF FAED hình vuông b) –EIB = –EDB = 900 - –EBD = 900 - –DCF = –CDF = –CIF ta có điều phải chứng minh E I B C F D Bài 9: Tam giác ABC cân A D, BF ,CE đường cao I trung điểm AH điểm J thỏa mãn DJ DB Hạ JK vuông góc với BF G trung điểm AB a) IG ^ GD, IE ^ ED b) IGED nội tiếp c) JKF tam giác vuông cân d) DK phân giác góc JDF A I G F H B –JFK = –JCB = –JBC = 450 Ta có điều phải chứng minh d) K D thuộc trung trực JF nên ta có điều phải chứng minh J E D a) IG // BH GD // AC mặt khác BH ^ AC GI ^ GD –IEH = –IHE = –DHC = 900 - –ECD = 900 - –DEC ta có IE ^ ED b) Từ câu a) ta có câu b) c) B , E , J , F ,C nằm đường tròn tâm D đường kính BC K C Bài 10: Hình vuông ABCD N trung điểm CD Đường tròn đường kính BN cắt AC E BE cắt AD M, MN cắt đường tròn I a) b) c) d) e) A MDNE nội tiếp BEN tam giác vuông cân MF , NE , BI đồng quy H BI BC FEI tam giác vuông Q B E M H I D F N a) Học sinh tự chứng minh b) EBCN tứ giác nội tiếp nên –EBN = –ECN = 450 ta có điều phải chứng minh c) MF , NE , BI ba đường cao nên đồng quy d) –IBN = –NEC = –NBC DIBN = DCBN ta có điều phải chứng minh e) –EIB = –ECB = 450 , –FIB = –FNE = –FCB = 450 ta có điều phải chứng minh C Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC D E Gọi M trung điểm BC a) D, H , E thẳng hàng b) AM ^ DE A ÏÔ–A HD = 1800 - 2–HA B a) Ì D, H , E thẳng hàng – A HE = 180 – HA E ÔÓ E F b) –A EH = –A HD = 900 - –HA B = –A BH B C H M € –A EH = 900 - –MCA = 900 - –MA C Ta có điều phải chứng minh D Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Hạ đường DG , DM , DJ , DK vuông góc với cạnh tương ứng Chứng minh rằng: a) G , M , J , K thẳng hàng b) JM // EF c) IA ^ JM A E F H G B J M K I D C Ï Ô–GMB = –GDB = 90 - –A BD a) Ì G , M , J thẳng hàng Tương tự, ta có điều phải – DMJ = – DHJ = – A DG = – A BD Ô Ó chứng minh b) –HJM = –HDM = –HAE = –HFE JM // EF c) FE ^ IA IA ^ JM Bài 13: Trực tâm H Gọi M N điểm đối xứng D qua AB AC a) M , F , E , N thẳng hàng b) GI // EF c) A, F , D,C , N thuộc đường tròn d) H tâm nội tiếp tam giác DEF A Ï Ô–MFG = –BFD = –BCA a) Ì ta có điều phải –CFE = –CBE = 900 - –BCA N Ô Ó chứng minh E b) Học sinh tự chứng minh F I H c) –DAN = 2–DAI = 2–DFC = –DFN ta có điều M phải chứng minh d) Học sinh tự chứng minh G B D C Bài 14: Hình vuông ABCD E BC Dựng AF vuông góc AE I trung điểm EF Kẻ EG // CD EF cắt AD J a) AECF nội tiếp b) AEF tam giác vuông cân FA FK FC EGFK hình thoi EK = BE + DK Tam giác CKE có chu vi nửa chu vi ABCD g) GJK tam giác vuông cân c) d) e) f) F J A G I B E D K C a) Học sinh tự chứng minh b) DABE = DADF ta có điều phải chứng minh c) FA = FI FE = FK FC d) –GEI = –KFE = –KEI ta có điều phải chứng minh e) EK = EG = FK = FD + DK = BE + DK f) C DCKE = EC + CK + EK = BE + DK + CK + EC = C A BCD g) Học sinh tự chứng minh Bài 15: Tâm nội tiếp I Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh D E Đường thẳng qua I vuông góc AI cắt cạnh F G BI cắt DE H M trung điểm đoạn thẳng BC a) DFIB ∽ DGCI b) c) d) e) BF CG = IF = IG IHEC nội tiếp BH ^ HC MH // AB A D H F I B a) –GIC = –A IC - 900 = 1800 - M A C B - - 900 = 2 Ta có điều phải chứng minh b) Từ câu a) ta có câu b) B C A c) –HIC = –DIB = + = 900 - = –HEA ta có 2 điều phải chứng minh d) Từ câu c) ta có câu d) e) – ta có điều phải =– = chứng minh E G C