Bai tap dien hinh CM hinh phang doan tri dung

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG Biên soạn: Đoàn Trí Dũng Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD CE I tâm ngoại tiếp Chứng minh rằng: a) BDEC tứ giác nội tiếp IA ⊥ DE b) c) IA trung trực MN AM = AN d) A M = A N = A E A B = A D A C = A H A K e) a) Học sinh tự chứng minh ∠IA C = 900 − ∠A BC ⇒ IA ⊥ DE  ∠A BC = ∠A DE b) c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất dây cung tâm, ta có IA qua trung điểm MN Do IA trung trực MN d) Vì câu c) nên ta có câu d) 1 ∠A ME = sdA¼N , ∠A BM = sdA¼M 2 AM = AN e) mà Như ∠A ME = ∠A BM ⇒ ∆A ME ∽ ∆A BM ⇒ A M = A E A B Vì BDEC tứ giác nội tiếp nên Vì BEHK tứ giác nội tiếp nên A E A B = A D A C A E A B = A H A K Kiến thức cần nhớ: • • ∠IA C = 900 − ∠A BC Khái niệm góc đáy tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung: ∆A ME ∽ ∆A BM ⇒ A M = A E A B Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương: Bài 2: Tam giác ABC vuông A, đường cao AE E trung điểm BD Đường tròn cắt AC G EA = EG a) b) EG tiếp tuyến đường tròn tâm F EC A D = EG A C c) ∠ A GE = ∠A DE a) AGDE nội tiếp nên Mà ∠A DE = ∠A BE = ∠EA G ⇒ EA = EG ∠ EGD = ∠ EA D = ∠EA B = ∠DCG b) Mà ∠DCG = ∠FGC = 90 − ∠DGF ∠EGD = 90 − ∠DGF ⇒ EG ⊥ GF ∠GEC = ∠GA D ⇒ ∆GEC ∽ ∆DA C c) Ta có điều phải chứng minh M,N,P Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I Các đường cao hạ vuông góc AD, BK, BE, CF trung điểm Chứng minh rằng: DE ⊥ A C , DF ⊥ A B a) MP , MN DE , DF b) trung trực DEF c) M tâm ngoại tiếp tam giác d) ∆DEF ∽ ∆A BC K ,E,M e) thẳng hàng a) ∠A DE = ∠A BE = 900 − ∠BA E = ∠A CD mà ∠A CD = 90 − ∠DA C ⇒ DE ⊥ A C Tương tự ta có DF ⊥ A B MP ⊥ DE b) MP // AC nên Mặt khác P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trung trực DE Vậy MP trung trực DE Tương tự cho MN c) Vì câu b) nên có câu c) ( ) ∠DEF = ∠A B C , ∠DFE = ∠A CB ⇒ ∆DEF ∽ ∆A BC g.g d) Ta có 0 ∠MEF = 90 − ∠EDF = 90 − ∠BA C = ∠A BK = ∠A EK = 180 − ∠KEF ⇒ e) Bài 4: MD ME vuông góc với AC BC P Q trung điểm AB DE a) b) BM DE = BA EM ∆A PM ∽ ∆DQM đpcm PQ ⊥ QM c) a) ∠EMD = ∠DCB = ∠A MB ⇒ ∆EMD ∽ ∆BMA  ∠DEM = ∠DCM = ∠A BM suy BM DE = BA EM ta ∆A PM ∽ ∆DQM b) Từ câu a) ta suy ∆A PM ∽ ∆DQM ⇒ ∆A DM ∽ ∆PQM ⇒ ∠PQM = ∠A DM c) PQ ⊥ QM Vậy Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng kỹ thuật đổi đỉnh chéo tam giác đồng dạng Bài 5: Hình vuông ABCD E điểm đoạn BC Đường tròn đường kính AE cắt BD F Tiếp tuyến A đường tròn cắt CD G Chứng minh rằng: a) ∆FA E vuông cân FA = FE = FC b) ·FA G = 450 A GDF c) đồng thời nội tiếp G, F, E d) thẳng hàng e) F trung điểm GE a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE tam giác FAE vuông Lại có ∠FEA = ∠FBA = 450 tam giác FAE vuông cân b) Vì F nằm trung trực AC nên FA = FE = FC ∆EA B = ∆GA D ⇒ GA E c) tam giác vuông ∠FA G = 90 − ∠FA E = 450 cân nên A GDF d) A GDF nội tiếp ∠GFA = ∠GDA = 900 nội tiếp nên G, F, E Do ta có thẳng hàng e) GAE vuông cân nên ta có đpcm Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD đường kính AE kéo dài cắt đường tròn K, J trung điểm BC G trọng tâm tam giác ABC a) BHCD hình bình hành uuuur uur A H = 2IJ b) EH = EK c) · BKM KA d) phân giác góc uuur uuur IH = 3IG e) BH ⊥ A C ,CD ⊥ A C ⇒ BH a) // CD Tương tự BD // CH BHCD hình bình hành b) BHCD hình bình hành J trung điểm HD Do ta có điều phải chứng minh ∠EBH = ∠EA C = ∠EBK c) Ta có điều phải chứng minh d) ∠ BKA = ∠BCA = ∠A KM Ta có điều phải chứng minh AG = AJ e) Ta có: mà J trung điểm HD G trọng tâm tam giác AHD Ta có điều phải chứng minh Bài 7: Tam giác OAB vuông cân O Kẻ đường thẳng qua A cắt OB M Kẻ đường thẳng qua B vuông góc AM H cắt đường tròn đường kính OB K cắt OA I IM ⊥ A B a) b) OMI tam giác vuông cân · MHI c) HO phân giác góc d) OKH tam giác vuông cân a) M trực tâm tam giác ABI ta có điều phải chứng minh ∠MIO = 900 − ∠OA B = 450 IM ⊥ A B b) Ta có điều phải chứng minh OM = OI · MHI c) OMHI nội tiếp có nên HO phân giác góc 0 ∠OHK = ∠OMI = 45 ∠OK H = 90 d) ta có điều phải chứng minh Bài 8: Tam giác vuông ABC có I trung điểm BC Phân giác góc A cắt đường tròn D, hạ DE DF vuông góc với cạnh tam giác a) FA ED hình vuông E,I,F b) thẳng hàng a) Vì có ba góc vuông nên DEAF hình chữ nhật Mặt khác DE = DF FA ED AD phân giác nên hình vuông 0 ∠EIB = ∠EDB = 90 − ∠EBD = 90 − ∠DCF = ∠ CDF b) = ∠CIF ta có điều phải chứng minh A D, BF , CE Bài 9: Tam giác ABC cân Hạ JK a) b) c) d) đường cao I trung điểm AH điểm J thỏa mãn DJ = DB vuông góc với BF G trung điểm AB IG ⊥ GD, IE ⊥ ED IGED nội tiếp JKF tam giác vuông cân · JDF DK phân giác góc BH ⊥ A C ⇒ GI ⊥ GD a) IG // BH GD // AC mặt khác 0 ∠IEH = ∠IHE = ∠DHC = 90 − ∠ECD = 90 − ∠DEC IE ⊥ ED ta có b) Từ câu a) ta có câu b) B , E , J , F ,C c) nằm đường tròn tâm D đường kính BC ∠JFK = ∠JCB = ∠JBC = 450 Ta có điều phải chứng minh d) K D thuộc trung trực JF nên ta có điều phải chứng minh Bài 10: Hình vuông ABCD N trung điểm CD Đường tròn đường kính BN cắt AC E BE cắt AD M, MN cắt đường tròn I a) MDNE nội tiếp b) BEN tam giác vuông cân MF , NE , BI c) đồng quy H BI = BC d) e) FEI tam giác vuông a) Học sinh tự chứng minh ∠EBN = ∠ECN = 450 b) EBCN tứ giác nội tiếp nên ta có điều phải chứng minh MF , NE , BI c) ba đường cao nên đồng quy d) ∠ IBN = ∠ NEC = ∠NBC ∆IBN = ∆CBN đó ta có điều phải chứng minh ∠EIB = ∠ECB = 450 ∠FIB = ∠FNE = ∠FCB = 450 e) , ta có điều phải chứng minh Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB AC D E Gọi M trung điểm BC D, H , E a) thẳng hàng b) A M ⊥ DE a) ∠A HD = 1800 − 2∠HA B ⇒ D, H , E  ∠A HE = 180 − 2∠HA E ∠A EH = b) thẳng hàng ∠A HD = 900 − ∠HA B = ∠A BH ⇔ ∠A EH = 900 − ∠MCA = 900 − ∠MA C Ta có điều phải chứng minh Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I DG , DM , DJ , DK Hạ đường vuông góc với cạnh tương ứng Chứng minh rằng: G, M ,J , K a) thẳng hàng b) JM // EF IA ⊥ JM c) ∠GMB = ∠GDB = 900 − ∠A BD  ∠DMJ = ∠DHJ = ∠A DG = ∠A BD a) b) chứng minh ∠ HJM = ∠ HDM = ∠ HA E = ∠ HFE G, M ,J đó JM // EF thẳng hàng Tương tự, ta có điều phải c) FE ⊥ IA ⇒ IA ⊥ JM Bài 13: Trực tâm H Gọi M N điểm đối xứng D qua AB AC M , F,E,N a) thẳng hàng b) GI // EF A, F , D, C , N c) thuộc đường tròn d) H tâm nội tiếp tam giác DEF ∠MFG = ∠BFD = ∠BCA  ∠CFE = ∠CBE = 90 − ∠BCA a) ta có điều phải chứng minh b) Học sinh tự chứng minh c) ∠ DA N = 2∠ DA I = 2∠ DFC = ∠ DFN phải chứng minh d) Học sinh tự chứng minh Bài 14: Hình vuông ABCD E BC Dựng AF vuông góc AE I trung điểm EF Kẻ EG // CD EF cắt AD J a) AECF nội tiếp b) AEF tam giác vuông cân FA = FK FC c) d) EGFK hình thoi EK = BE + DK e) f) Tam giác CKE có chu vi nửa chu vi ABCD g) a) GJK tam giác vuông cân Học sinh tự chứng minh ∆ A BE = ∆ A DF ta có điều phải chứng minh FA = FI FE = FK FC c) ∠GEI = ∠KFE = ∠KEI d) ta có điều phải chứng minh b) ta có điều e) EK = EG = FK = FD + DK = BE + DK C ∆CKE = EC + CK + EK = BE + DK + CK + EC = C A BCD f) g) Học sinh tự chứng minh Bài 15: Tâm nội tiếp I Đường tròn nội tiếp tiếp xúc cạnh D E Đường thẳng qua I vuông góc AI cắt cạnh F G BI cắt DE H M trung điểm đoạn thẳng BC a) ∆FIB ∽ ∆GCI BF CG = IF = IG 2 b) c) IHEC nội tiếp BH ⊥ HC d) e) MH // AB ∠GIC = ∠A IC − 900 = 1800 − a) A C B − − 900 = 2 Ta có điều phải chứng minh b) Từ câu a) ta có câu b) B C A ∠HIC = ∠DIB = + = 900 − = ∠HEA 2 c) ta có điều phải chứng minh d) Từ câu c) ta có câu d) ∠MHB = ∠MBH = R HBA e) ta có điều phải chứng minh