skkn một phương án tiếp cận khái niệm xác suất trên quan điểm thực nghiệm

Có một số vấn đề tác giả nhận thấy như sau: - Học sinh chỉ được yêu cầu tính xác suất một cách máy móc bằng công thức Laplace cổ điển mà không hề hiểu mục đích của việc tính xác suất, ý

1

Một phương án tiếp cận khái niệm xác suất trên quan điểm thực nghiệm

A MỞ ĐẦU

Dạy – học xác suất mới được đưa vào dạy-học trong chương trình toán THPT những năm gần đây Có một số vấn đề tác giả nhận thấy như sau:

- Học sinh chỉ được yêu cầu tính xác suất một cách máy móc bằng công thức Laplace cổ điển mà không hề hiểu mục đích của việc tính xác suất, ý nghĩa của việc tính xác suất …

- Tính xác suất để làm gì?

- Nói rằng xác suất của một biến cố nào đó xảy ra trong một phép thử là , điều đó có nghĩa là gì?

Phải dạy-học như thế nào để học sinh thấy được việc cần thiết phải tính xác suất trong thực tiễn, và biết vận dụng vào các hoạt động của bản thân như thế nào

Từ đó dẫn tác giả đến việc thực hiện một nghiên cứu quanh việc dạy học xác suất phổ thông, với những nhiệm vụ cụ thể sau:

- Phân tích lịch sử hình thành khái niệm xác suất, rút ra kết luận cần thiết;

- Phân tích chương trình dạy học xác suất phổ thông;

- Đề xuất một phương án dạy học xác suất hiệu quả

2

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

1 Các giai đoạn nảy sinh và phát triển

Có 4 giai đoạn chủ yếu:

- Từ trung đại đến nửa đầu TK 17: xác suất lấy cơ chế của một khái niệm toán

học không tên, không định nghĩa và xuất hiện như một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết các vấn đề tính toán cơ hội trong vài trò chơi may rủi

- Nửa sau TK 17: Xác suất đã có tên nhưng vẫn chưa có định nghĩa toán học

chính thức, được nảy sinh và phát triển với việc giải quyết vấn đề chia tiền cá cược mà người khởi xướng là Pascal và Fermat Nó hoạt động trong cơ chế công cụ và bắt đầu là một đối tượng nghiên cứu

- Nửa đầu TK 18 đến cuối TK 19: Xác suất chính thức lấy cơ chế của một khái

niệm toán học, được Laplace định nghĩa là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra

- Thế kỷ 20: Xác suất được định nghĩa một cách hình thức bằng phương pháp tiên

đề Tính toán xác suất ngày càng phát triển và là công cụ giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau

2 Cách tiếp cận xác suất

a) Tiếp cận theo Laplace

- Xác suất của một biến cố là tỉ số của số trường hợp thuận lợi với số tất cả các trường hợp có thể xảy ra

- Đặc điểm: không gian mẫu hữu hạn và các biến cố đồng khả năng xảy ra

- Công cụ giải toán: các phép đếm và đại số tổ hợp

b) Tiếp cận thống kê

- Xác suất của một biến cố là một giá trị mà tấn suất tương đối của biến cố đó dao động quanh giá trị này khi thực hiện một số lượng lớn các phép thử

- Đặc điểm: xác suất chỉ được biết sau thực nghiệm

c) Tiếp cận tiên đề

- Xác suất được định nghĩa như một độ đo không âm bị chặn được xác định trên một tập hợp trừu tượng mô hình hoá các kết cục có thể của một phép thử ngẫu nhiên

3

- Đây là một mô hình thuần toán học cao cấp nên cách tiếp cận này quá khó hiểu đối với học sinh PTTH

II PHÂN TÍCH CHƯƠNG TRÌNH DẠY HỌC

1 Cách tiếp cận xác suất

Chủ yếu dựa vào cách tiếp cận của Laplace (tính xác suất bằng công thức cổ điển), trong khi tiếp cận theo quan điểm thống kê hết sức mờ nhạt, tiếp cận theo quan điểm tiên đề hoàn toàn vắng bóng

Như vậy, có thể nói việc dạy học xác suất ở trường phổ thông chủ yếu tập trung

vào nhiệm vụ “tính xác suất” mà hoàn toàn không quan tâm đến việc thiết lập “nghĩa thực tế” của xác suất (“nghĩa” mà tiếp cận thống kê của khái niệm xác suất có thể đem

đến dễ dàng hơn), cũng như các kỹ thuật đặc trưng cho nghĩa thực tế này

Như vậy, học sinh sẽ đồng nhất xác suất với một con số chính xác biểu thị khả năng xảy ra của một biến cố Khi đó, xác suất tính được mang tính chất lý thuyết, trong

khi xác suất của một biến cố nhìn từ góc độ thống kê sẽ gần với thực tế hơn và trong nhiều trường hợp là không tránh khỏi (ví dụ: thả một chiếc đinh xuống mặt sàn, tính xác suất biến cố mũ đinh rớt xuống trước…)

2 Các đối tượng liên quan đến khái niệm xác suất

Các phép thử ngẫu nhiên có mặt trong sách giáo khoa hoàn toàn là các phép thử

có các kết quả có đồng khả năng xuất hiện, không hề có một phép thử nào có các kết quả không đồng khả năng

Đại số tổ hợp có vai trò quyết định trong việc tính xác suất Khái niệm tần số, tần

suất xuất hiện của một biến cố thể hiện sự liên quan mật thiết của thống kê với xác suất Tuy nhiên chúng chỉ mang tính hình thức mờ nhạt, khi đề cập đến định nghĩa thống kê của khái niệm xác suất

Từ đó dẫn đến 2 “thừa nhận ngầm ẩn” trong lớp học như sau:

- Muốn tìm xác suất của một biến cố thì phải sử dụng công thức của định nghĩa cổ điển của xác suất

- Học sinh không cần phải kiểm tra tính có các kết quả đồng khả năng xuất hiện của các phép thử khi giải một bài toán về xác suất bằng định nghĩa cổ điển của xác suất

III MỘT PHƯƠNG ÁN DẠY HỌC KHÁI NIỆM XÁC SUẤT

Xin nhắc lại, nghĩa thực tế của khái niệm xác suất là: sự ổn định của tần suất xuất

hiện của biến cố xảy ra khi số lượng phép thử là tương đối lớn

4

Có thể đề xuất một số mô hình dạy học xác suất mang lại nghĩa đúng cho xác suất như sau:

Lớp học được tổ chức xoay quanh một tình huống thực tiễn: GV dùng 1 chai đen (HS không thể nhìn thấy những gì bên trong), bên trong đựng bi xanh và bi đỏ Khi dốc ngược chai, bi sẽ lăn về hướng miệng chai và HS có thể nhìn thấy màu của 1 viên trong

đó qua một khe trong suốt cạnh miệng chai Nhiệm vụ của HS là tìm hiểu trong chai có bao nhiêu bi mỗi loại

Kịch bản cụ thể:

1 Tạo tình huống, gợi động cơ

Pha 1 Làm việc tập thể: GV đưa cho cả lớp xem 1 chai đen, được bịt kín Giới

thiệu: “Đây là một chai đen, bên trong có một số vật Nhiệm vụ của chúng ta bây giờ là phải cho biết càng nhiều thông tin càng tốt những vật trong chai này, với điều kiện là không được bóc vỏ, không được làm vỡ hay thực hiện bất cứ hành động nào ảnh hưởng đến hình thức của vỏ chai.”

Hình 1 Mô hình “chai đen”

Khe trong suốt ở gần miệng chai cho phép HS “đọc” được màu của 1 viên bi lăn xuống

Pha 2 Chia nhóm: Chia lớp thành các nhóm, mỗi nhóm khoảng 6 đến 8 học sinh

Giao cho mỗi nhóm 1 chai giống hệt chai đã giới thiệu với cả lớp (nội dung các chai này hoàn toàn giống nhau)

2 Học sinh làm việc theo nhóm để hình thành biểu tượng về khái niệm

Phỏng đoán lần 1

5

Giáo viên đặt câu hỏi cho các nhóm: các em có 1 phút để tìm hiểu càng nhiều thông tin càng tốt về những vật trong chai này

Học sinh sẽ lật chai để quan sát các viên bi, có khi là xanh, có khi là đỏ lần lượt xuất hiện ở khe trong suốt cạnh miệng chai

Sau 1 phút, các nhóm phải đi đến thống nhất: trong chai có những viên bi có kích thước giống nhau, nhưng có hai loại: bi xanh và bi đỏ

Phỏng đoán lần 2

Giáo viên thông báo (nếu học sinh không đoán ra được): Bên trong có tất cả 5 viên

bi, gồm 2 màu, xanh và đỏ Nhiệm vụ tiếp theo của các nhóm là trong 3 phút, phải cố gắng tìm hiểu xem trong chai có bao nhiêu bi xanh và bao nhiêu bi đỏ

Để tìm hiểu thông tin trong chai, mỗi nhóm sẽ lần lượt dốc ngược chai nhiều lần, ghi nhận kết quả là bi xanh hay bi đỏ xuất hiện Trong quá trình thực hiện, để có được kết luận đáng tin, học sinh tự phải biết đảo chai để các bi xuất hiện một cách ngẫu nhiên Sau đó xác định tỉ lệ số lần xuất hiện bi xanh và bi đỏ trên số lần dốc ngược chai càng lớn càng tốt và đưa ra kết luận về số bi xanh và bi đỏ trong chai

Giáo viên lần lượt hỏi kết quả dự đoán của mỗi nhóm, hỏi cách mà mỗi nhóm thực hiện để đưa ra dự đoán như vậy Từ đó làm nổi bật lên phương pháp chung mà các nhóm đã thực hiện: Dốc ngược chai nhiều lần, ghi nhận số lần xuất hiện bi xanh và bi

đỏ Xác định tỉ lệ số lần xuất hiện bi xanh trên tổng số lần thực hiện dốc chai Tỉ lệ này thể hiện gần đúng tỉ lệ số bi xanh trên tổng số bi trong chai

3 Làm việc cả lớp để đi đến khái niệm xác suất của biến cố

Giáo viên hỏi cả lớp: “kết quả của nhóm nào là đáng tin hơn cả?”

Cả lớp sẽ thống nhất là kết quả mà nhóm thực hiện phép thử nhiều lần nhất là đáng tin hơn cả Từ đó đi đến kết luận: kết quả thu được càng đáng tin nếu ta thực hiện phép thử càng nhiều lần Tuy nhiên, với 3 phút, học sinh chỉ có thể thực hiện dốc chai khoảng 150-200 lần, vẫn chưa thực sự lớn Giáo viên đặt vấn đề: giá như chúng ta có nhiều thời gian hơn, chúng ta có thể khảo sát chai với nhiều lần kiểm chứng hơn, thì dự đoán đưa

ra sẽ đáng tin hơn nữa

Phỏng đoán lần 3

Giáo viên giới thiệu một “chai đen điện tử” đã được chuẩn bị trước Đó là một phần mềm ứng dụng lập trình VBA trên nền Power Point1, đã được cài đặt trước, sẽ cho phép thực hiện phép thử lên đến hàng trăm, hàng ngàn lần và ghi nhận kết quả một cách nhanh chóng Việc của người sử dụng là nhập số lần cần thực hiện phép thử, sau đó

1

Cách thực hiện “Chai đen điện tử” sẽ được đề cập chi tiết ở phần IV của đề tài này

6

nhấn nút lệnh, máy sẽ tự động thực hiện phép thử, tự động ghi nhận số bi xanh, số bi đỏ xuất hiện và tính tỉ lệ số lần xuất hiện bi xanh trên tổng số lần thực hiện phép thử

Từ tỉ lệ số lần xuất hiện bi xanh trên tổng số lần thực hiện phép thử ngẫu nhiên, giáo viên cùng cả lớp tính ra số bi xanh, số bi đỏ trong chai Đến khi cả lớp cùng thống nhất kết quả đó là đáng tin và phù hợp với dự đoán của nhiều nhóm thì giáo viên giới thiệu khái niệm “xác suất xuất hiện bi xanh” và công thức tính xác suất, sử dụng ngôn ngữ “biến cố” và “không gian mẫu” để đưa ra công thức tính xác suất cổ điển2

4 Tình huống củng cố khái niệm

Giáo viên đưa ra trò chơi: Sử dụng một hộp rỗng (có thể là hộp phấn), bỏ vào đó 2 viên phấn màu trắng và 2 viên màu vàng có kích thước giống hệt nhau Như vậy, trong hộp có 4 viên phấn Chia lớp thành 2 dãy, gọi là đội A và đội B Sau đó cho 1 học sinh bất kỳ lên bốc 2 viên phấn ngẫu nhiên (không được nhìn vào hộp) Nếu 2 viên phấn này cùng màu thì đội A thắng, nếu 2 viên phấn này khác màu thì đội B thắng, đội thua phải trực nhật thay cho đội thắng trong 1 ngày

Hình 2 Bốn viên phấn gồm hai viên trắng, hai viên vàng được bỏ vào hộp kín

Vấn đề đặt ra: trò chơi này có công bằng không? Nếu chưa công bằng thì phải đặt

ra luật như thế nào để trò chơi này là công bằng?

Cả lớp có thể “chơi thử” vài lần để hiểu vấn đề và tăng hứng thú giải quyết vấn đề,

khi chơi nhiều lần, có thể đi đến kết luận: trò chơi này không công bằng

Cả lớp cùng suy nghĩ để giải thích vì sao trò chơi không công bằng, từ đó đưa ra giải pháp điều chỉnh luật chơi để trò chơi công bằng hơn

Bốc ngẫu nhiên 2 viên phấn từ 4 viên, có kết quả;

Bốc được 2 viên cùng màu, có kết quả;

2

Kịch bản dẫn dắt đến công thức tính xác suất cổ điển được chỉ ra trong phần phụ lục 2 của đề tài này

7

Bốc được 2 viên khác màu, có kết quả;

Xác suất bốc được 2 viên cùng màu là ;

Xác suất bốc được 2 viên khác màu là

Vậy khả năng xảy ra 2 viên khác màu là gấp đôi khả năng xảy ra cùng màu Do đó trò chơi này không công bằng

Muốn trò chơi này công bằng, phải đưa ra luật “2 ăn 1”, tức là nếu 2 viên cùng màu, bên A thắng, bên B phải trực nhật cho bên A 2 ngày; ngược lại, nếu 2 viên khác màu, bên B thắng, bên A chỉ phải trực nhật cho bên B 1 ngày

Như vậy, qua trò chơi, học sinh học được cách tính xác suất của biến cố ngẫu nhiên, đồng thời biết cách vận dụng khái niệm xác suất để kiểm tra một trò chơi may rủi

có công bằng không Hơn thế nữa, học sinh biết cách bổ sung thêm “luật” để trò chơi là công bằng Hoạt động này giúp học sinh tiếp cận khái niệm xác suất phù hợp với sự ra đời và phát triển của xác suất trong lịch sử

Một số nhận xét về phương án dạy học đã đề ra:

Tiến trình dạy học nêu trên khác tiến trình dạy học trong SGK và một số tiến trình thường gặp: tiến trình SGK đi từ công thức định nghĩa khái niệm xác suất bằng công thức tính cổ điển rồi đến khái niệm xác suất thực nghiệm; tiến trình nêu trên giúp học sinh tiếp cận với khái niệm xác suất thực nghiệm trước rồi mới dẫn đến công thức tính xác suất cổ điển Điều này là phù hợp với quá trình nhận thức của tư duy: từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng

Trong quá trình xây dựng khái niệm xác suất, học sinh được “khám phá” xác suất theo đúng quy trình của lịch sử Lúc đầu, xác suất đóng vai trò là công cụ ngầm ẩn, chưa có tên và chưa có định nghĩa Sau đó học sinh được tiếp cận công thức tính xác suất cổ điển, lúc này nó đã có tên gọi, định nghĩa, và hoạt động ở cơ chế đối tượng nghiên cứu Sau cùng, học sinh vận dụng khái niệm xác suất để giải quyết một vấn đề thực tiễn, khảo sát tính công bằng của một trò chơi may rủi

Trong tiến trình dạy học ở trên, cần lưu ý rằng hoạt động không đặt nặng vấn đề xác định chắc chắn số bi mỗi loại trong chai đen, điều này là không cần thiết Mục đích chính là học sinh được phỏng đoán một cách có cơ sở nội dung của chai đen, trên hoạt động tự khám phá ra “giá trị xác suất” và sử dụng nó vào việc giải quyết nhiệm vụ của nhóm, từ đó đưa ra một dự đoán “đáng tin nhất”

Tính ngẫu nhiên (đồng khả năng xuất hiện) phải được học sinh tính đến trong quá trình “đọc chai đen” để có được kết quả đáng tin Như vậy học sinh phải lắc đều chai mỗi khi đọc kết quả để các bi xuất hiện là xuất hiện ngẫu nhiên Đồng thời “luật số lớn”

8

cũng được học sinh ngầm ẩn tuân thủ, khi cố gắng thực hiện càng nhiều lần “đọc chai đen” càng tốt Như vậy, một số vấn đề liên quan đến xác suất (như phép thử ngẫu nhiên, luật số lớn…) đã được tính đến trong bài dạy

Qua các hoạt động trên sẽ giúp học sinh hiểu hơn về nghĩa thực tế của việc tính xác suất, từ đó cho họ biết mục đích cần tính xác suất để làm gì, có những cách tính xác suất nào v.v…

IV SỬ DỤNG LẬP TRÌNH VBA ĐỂ GIẢ LẬP CHAI ĐEN TRÊN NỀN POWER POINT

Ngôn ngữ lập trình VBA (Visual Basic for Application) là một ứng dụng lập trình trên Microsoft Office, cho phép thực hiện lập trình như lập trình Visual Basic (nhưng không hoàn toàn giống nhau) để có được những tương tác hai chiều giữa người dùng với sản phẩm Office

Dưới đây, tác giả giả lập một “Chai đen điện tử” bằng ứng dụng VBA for PowerPoint

1 Tạo các nút điều khiển

TextBox1 Nhập số lần cần thực hiện phép thử

Label1 Hiển thị số lần đang thực hiện phép thử

Label2 Hiển thị kết quả (màu bi) ở phép thử đang hiển thị

Label3 Hiển thị số lần xuất hiện bi xanh

Label4 Hiển thị số lần xuất hiện bi đỏ

Label5 Hiển thị tần suất xuất hiện của bi xanh (tỉ lệ số lần xuất hiện bi xanh

trên tổng số lần đã thực hiện phép thử) ScrollBar1 Cho biết mức độ xuất hiện bi xanh đã thực hiện

ScrollBar2 Cho biết mức độ xuất hiện bi đỏ đã thực hiện

CommandButton1 Nút lệnh cho phép bắt đầu thực hiện phép thử

CommandButton2 Nút lệnh cho phép thực hiện lại phép thử

2 Lập trình lệnh cho các nút điều khiển

a) Lệnh cho nút điều khiển TextBox1

Private Sub TextBox1_Change()

If Me.TextBox1.Value = "" Then Me.TextBox1.Value = 0

Me.ScrollBar1.Value = 0

Me.ScrollBar2.Value = 0

Me.Label3.Caption = 0

Me.Label4.Caption = 0

Me.ScrollBar1.Max = Me.TextBox1.Value

Me.ScrollBar2.Max = Me.TextBox1.Value

Me.Label1.Caption = 0

9

End Sub

b) Lệnh cho nút điều khiển CommandButton1

Private Sub CommandButton1_Click()

While Val(Me.Label1.Caption) < Me.TextBox1.Value

DoEvents

Me.Label2.Caption = Rnd()

If Val(Me.Label2.Caption) < 0.6 Then

Me.ScrollBar1.Value = Me.ScrollBar1.Value + 1

Me.Label2.BackColor = &HFF0000

Me.Label2.ForeColor = &HFF0000

Else

Me.ScrollBar2.Value = Me.ScrollBar2.Value + 1

Me.Label2.BackColor = &HFF

Me.Label2.ForeColor = &HFF

End If

Me.Label3.Caption = Me.ScrollBar1.Value

Me.Label4.Caption = Me.ScrollBar2.Value

Me.Label5.Caption = Round(Me.ScrollBar1.Value/(Val(Me.Label1.Caption)+1),3) Slide3.Label1.Caption = Me.Label5.Caption

Me.Label1.Caption = Val(Me.Label1.Caption) + 1

Wend

End Sub

c) Lệnh cho nút điều khiển CommandButton2

Private Sub CommandButton2_Click()

Me.Label1.Caption = 0

Me.ScrollBar1.Value = 0

Me.ScrollBar2.Value = 0

Me.Label3.Caption = 0

Me.Label4.Caption = 0

Me.ScrollBar1.Max = Me.TextBox1.Value

Me.ScrollBar2.Max = Me.TextBox1.Value

Me.Label1.Caption = 0

End Sub

3 Cách sử dụng “Chai đen điện tử”

Nội dung trong “Chai đen điện tử” hoàn toàn giống như những “Chai đen” mà học sinh được thực nghiệm, về tổng số bi, số bi xanh và số bi đỏ

10

Giao diện của “Chai đen điện tử” như sau:

Người dùng cần nhập số lần cần thực hiện vào ô , đó là một số nguyên dương, có thể lớn tùy ý

Sau đó nhấn vào nút lệnh , “Chai đen điện tử” sẽ lần lượt thực hiện các phép “đảo chai” để đưa ra các kết quả gồm:

- Tổng số bi xanh và bi đỏ tính cho đến thời điểm đang thử:

- Tỉ số của số lần xuất hiện bi xanh trên tổng số lần thử tính đến thời điểm đang thử

- Người sử dụng có thể làm lại phép thử, bằng cách nhấn vào nút lệnh

- Hoặc có thể thực hiện lại phép thử với số lần thử khác, khi đó chỉ cần nhập lại số lần thực hiện và nhấn vào nút lệnh

VI TỔNG KẾT

1 Những kết quả đạt được

- Phân tích lịch sử hình thành để thấy được những đặc trưng của khái niệm xác suất, từ đó rút ra ba phương pháp tiếp cận khái niệm xác suất trong dạy-học

- Phân tích chương trình dạy-học khái niệm xác suất ở trường phổ thông, gồm cách tiếp cận khái niệm xác suất và các vấn đề liên quan (như phép thử ngẫu nhiên, đại số tổ hợp…)