Đây là tài liệu hay giúp học sinh nắm lại kiến thức về phương trình, bất phương trình chứa căn, các bài tập đã được chia dạng với ví dụ cụ thể để học sinh dễ theo dõi và tự học, cuối của chủ đề có bài tập ôn tổng hợp để học sinh rèn luyện thành thục các kỹ năng
] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2015 – 2016 Chủ đề 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC (Trong chủ đề này, đề cập đến phương trình, bất phương trình hiểu phương trình, bất phương trình chứa thức) I) Cơng thức chung 1) a n n 2)a b a n b n 3)a b a n1 b n1 II) 4)a b a n b n 5)a b a n1 b n1 Phương pháp biến đổi tương đương 1) Các dạng phương trình, bất phương trình bản: f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x TH 1: TH : TH 1: TH : Ví dụ: a) x x 3x (Đại học khối D năm 2006) …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Chúc em thành công! a) x x 3x b)4 x 1 x 10 x …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… c) x x x …………………………………………… …………………………………………… d) Định m để phương trình x mx x có hai nghiệm …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… phân biệt ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… ……………………………………………… 2) Các kỹ hỗ trợ: a) Bình phương hai vế phương trình, bất phương trình: Để bình phương hai vế phương trình hay bất phương trình cần đảm bảm hai vế KHƠNG ÂM (Ví dụ: ta có 4> -6 khơng thể có 42 > (-6)2 ) Ví dụ: 5x x x (Đại học khối A năm 2005) ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài tập: 1) x x 1 x x x 2) Định m để phương trình x mx x có nghiệm b) Chuyển vể phương trình, bất phương trình tích Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh Ví dụ: x x ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài tập: x2 1) 1 1 x 2) x x x x x4 3) Chứng minh với giá trị m dương x x m x ln có hai nghiệm thực phân biệt (Đại học khối B năm 2007) Một số dạng đặc biệt chuyển phương trình tích: a c x b d , chuyển thành Dạng: ax +b cx d m m ax +b cx d ax+b cx d x3 Dạng: u v u.v , chuyển thành u 1 v 1 Ví dụ: x 3x Ví dụ: i ) x x x 3x ii) x x x3 x Dạng: au bv ab uv chuyển thành u b v a Ví dụ: i) x x x x x x ii) x3 x 3x x x x x c) Chuyển dạng A1 A2 An A1 , A2 , , An số KHƠNG ÂM Khi A1 A2 An Ví dụ: x2 3x x x 2 x ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài tập: 4x y2 y 4x2 y d) Lập phương dùng cho tốn có dạng Ví dụ: x x x 3 A3 B 3C ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… e) Giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn mẫu đặt điều kiện để phân thức xác định (mẫu khác 0) Đối với tốn bất phương trình cần lưu ý tìm giá trị x làm cho mẫu thức dương hay âm trước nhân chia khử mẫu Ví dụ: x 16 x 3 x 3 7x (Đại học khối A năm 2004) x 3 ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………… Bài tập: a ) x 3 x x b) 51 x x 1 1 x f) Bài tập tổng hợp Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh Bài 1: Giải phương trình a ) x x x x 1 x x b) x x x x x Bài 2: Giải bất phương trình sau: x x x 10 x x 2 Bài 4: Giải phương trình: x x2 x x Bài 3: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: x x x Bài 6: Giải phương trình sau: a) x x b) x x c) x x x d ) x 1 x 1 x x2 e) x x g ) x 3x x f ) x 3x Bài 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x m x m x m Bài 8: Tìm m để phương trình: 4x x x m a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt Bài 9: Giải bất phương trình sau: a) x2 3 x b) x x x x x x c) x x x x x x Bài 10: Giải phương trình: a) x x x x x c)4 x x III) x b) x 4x 4 x x3 d )2 x x x e)2 x x x 3x x x Phương pháp đặt ẩn phụ 1) Dạng 1: Phương trình ax bx c k px qx r , (trong a b ) p q Cách giải: Đặt t = px qx r (t 0), phương trình cho trở thành t t Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh Ví dụ: a) x x x x c) x x2 3 20 x x b)( x 5)(2 x) x 3x d )2 x x 3x 21x 16 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh 2) Dạng 2: Phương trình f ( x) g ( x) ( , , R * ; f ( x) g ( x) k số) Cách giải: Đặt t = f ( x) (t 0), g x k t x 27(2 x 3) 2 2x 1 x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 3) Dạng 3: Phương trình f x g x d f x g x k , với f x g x c Ví dụ: số Cách giải: t f x g x (tìm điều kiện t) Ví dụ: x x2 x x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… a) x x x2 x Chúc em thành công! b) Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 4) Dạng 4: Phương trình x a b 2a x b x a b 2a x b cx d Cách giải: - ĐK: x b Đặt t = x b x 23 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 5) Dạng 5: Phương trình [f ( x) g ( x)] [ f ( x) g ( x)] 2 f ( x) g ( x) ( Ví dụ: x 6 x 9 x 6 x 9 2 2 0) Cách giải: Đặt t = f ( x) g ( x) ( đặt điệu kiện cho t ), suy t f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Ví dụ: a) x x x2 x 35 x x x x 12 x 16 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chúc em thành công! b) Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 6) Dạng 6: Phương trình f ( x) g ( x) f ( x).g ( x) ( ) Cách giải: - ĐK: f ( x) g ( x) Xét khả sau f ( x) - Nếu f(x) = g(x) = dẫn đến giải hệ g ( x) g ( x) g ( x) - Nếu f(x) > 0, ta chia vế pt cho f(x) ta 0 f ( x) f ( x) Đặt t = g ( x) (t 0), pt cho trở thành t t f ( x) - Nếu f(x) < 0, ta chia vế pt cho -f(x) Ví dụ: a) 2( x x 2) x b) x2 3x x 3x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 7) Dạng 7: Phương trình af ( x) b.g ( x) f ( x) c.h( x) , a.b.c Cách giải: ĐK: f ( x) Đặt t = f ( x) ( t ) Đưa tốn đặt ẩn phụ t chứa ẩn x xem x số Ví dụ: ( x 3) 10 x x x 12 b) 2 x x x2 16 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chúc em thành công! Trang ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 8) Dạng 8: Phương trình m f ( x) n g ( x) c , f x g x k số u m f ( x) Cách giải: đặt điều kiện phù hợp cho v n g ( x) Ví dụ: a) x x b) x x2 3x x2 ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 9) Dạng 9: Phương trình [f ( x)]n b a n af x b Cách giải: Nếu n chẵn đk: af x b Đặt X = f(x), Y = n X n b aY af x b , ta hệ pt n (hệ đối xứng loại II) Y b aX Ví dụ: x3 3 3x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Chúc em thành công! Trang 10 ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… d ac 10) Dạng 10**: Phương trình ax b c(dx e)2 x ( ) e bc Cách giải: - ĐK ax b Đặt ax b dy e suy ax b (dy e)2 ta chuyển hệ đối xứng loại II Ví dụ: x x x ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 11) Bài tập tổng hợp: 1)( x 4)( x 1) x x 2)( x 1) x x 3)2 x x 3x 21x 16 4) x 5)4 x 3x x x 6) 7) x x ( x 1)(3 x) 8) x x x x 9) x x x x 10) x x x x x x 1 2 2x 1 2 x 1 2x x3 11) x x x x 10 x 16 12) x 17 x x 17 x 13)2 x x x x 3x 14)2( x 2) x 15) x x x x 16) x x x 17)(4 x 1) x x x Chúc em thành công! Trang 11 ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh 18) x 3x ( x 3) x 19)4 x x x x 20) x 3 x 21) x x 22) x x 4 x 16 x 15 23) x x 24) x x 25) x 4 x 13 x IV) Hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa thức 1) Phương pháp biến đổi tương đương x y Ví dụ 1: Giải x y ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2 x y Ví dụ 2: Giải 2 y x ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… 2 x y m x xy ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Ví dụ 3: Định m để hệ phương trình sau có nghiệm Chúc em thành công! Trang 12 ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… x xy y x y 185 Ví dụ 4: Giải x xy y x y 65 ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… x y x y Ví dụ 5: Giải y x y x ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình sau x y 1) y x x y xy x y 3) 3 x y Chúc em thành công! x y xy 2) x y x y xy 420 4) y x xy 280 Trang 13 ] Giáo viên: Th.s Bùi Minh Tâm - Th.s Lư Tư Hùng Trường THPT Lương Thế Vinh x y x y 5) 2 2 x y x y x y x y a 6) a 0 2 2 x y x y a 3 2 x y x y xy 8) x y x y x y 2 7) x y x y x y 9) y x2 x y xy m x y m Bài 2: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm phân biệt 2) Phương pháp đặt ẩn phụ x y xy Ví dụ: Giải hệ phương trình (Đề thi đại học khối A năm 2006) x y ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………… Bài tập: Giải hệ phương trình sau 3 x y xy 1) xy x y xy 2) x y 2 x y 3) x y x y x y 4) x y x y x x y 3 y 5) 2 x y y x y xy 14 6) 2 x y xy 84 Chúc em thành công! Trang 14