skkn hướng dẫn học sinh lớp 11 giải bài tập hình học không gian

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1/.Trong chương III của hình học không gian lớp 11, sau phần quan hệ song songhọc sinh sẽ được học các kiến thức về quan hệ vuông góc.Trong hình học phẳng họcsinh cũng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị Trường THPT Ngô Quyền

Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2015 - 2016

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: LÊ THANH HÀ

2 Ngày tháng năm sinh: 13/02/1962

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất: tốt nghiệp ĐHSP Toán

- Năm nhận bằng: 1982

- Chuyên ngành đào tạo: ĐHSP Toán

III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy học Toán

- Số năm có kinh nghiệm: 34 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

+ Năm học 2011 - 2012, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh ôn tập bằng

cách thuyết trình”.

+ Năm học 2012 – 2013, thực chuyên đề: “Sử dụng Hàm số bậc hai và Dấu

Tam thức bậc hai để giải toán”

+ Năm học 2013 – 2014, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải

bài tập Hình học Không gian” ( Phần I )

+ Năm học 2014 – 2015, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải

bài tập Hình học Không gian” ( Phần II )

+ Năm học 2015 – 2016, thực hiện chuyên đề: “Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải

bài tập Hình học Không gian” ( Phần III )

Tên sáng kiến kinh nghiệm:

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI BÀI TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

( PHẦN III )

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1/.Trong chương III của hình học không gian lớp 11, sau phần quan hệ song songhọc sinh sẽ được học các kiến thức về quan hệ vuông góc.Trong hình học phẳng họcsinh cũng đã học các kiến thức về hai đường thẳng vuông góc và nhiều kết quả các em

đã biết vẫn còn đúng trong không gian Tuy nhiên trong không gian, định nghĩa haiđường thẳng vuông góc phải được phát biểu đầy đủ vì hai đường thẳng không có điểmchung cũng có thể vuông góc Trong không gian còn có quan hệ vuông góc giữa đườngthẳng và mặt phẳng , giữa hai mặt phẳng ; vì vậy các mối quan hệ trở nên phức tạp hơnnhiều và có những kết quả trong hình học phẳng học sinh cũng đã học không còn đúngtrong không gian

2/ Việc vẽ hình không gian và giải các bài toán hình học không gian nói chung làmột khó khăn rất lớn cho học sinh Sau khi học xong chương II các em mới chỉ biếtcách giải các bài toán về quan hệ song song nên bài toán về quan hệ vuông góc là hoàntoàn mới với các em

Nếu được giáo viên hướng dẫn cẩn thận phương pháp giải các dạng bài toán cơ bảnthường gặptrong chương này thì học sinh sẽ dễ dàng tiếp thu kiến thức và trên cơ sở đócác em sẽ tự mình làm được các dạng bài tương tự và nâng cao Năm học 2014 - 2015

tôi đã thực hiện chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan

hệ song song trong không gian.Trong phạm vi chuyên đề này tôi tiếp tục trình bày chuyên đề hướng dẫn học sinh giải các bài toán thường gặp về quan hệ vuông góc trong không gian.

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1/ Chương trình sách giáo khoa 11 ban Cơ bản và Nâng cao đang sử dụng hiệnnay, phần kiến thức về Hình học Không gian đã được trình bày theo tinh thần giảm tải

về mức độ hàn lâm Yêu cầu chứng minh các Định lí đã được giảm nhẹ rất nhiều so vớinội dung chương trình phân ban lần trước, các ví dụ minh họa được trình bày trong mỗibài học cũng có nội dung đơn giản Nội dung bài tập cũng được các tác giả chọn lọctheo hướng tập trung vào các nội dung kiến thức cơ bản nhất, cắt bỏ bớt những bài tập

có nội dung yêu cầu cao so với trình độ của đa số học sinh Và cũng chính vì thế mà cácbải toán hình học Không gian trong các đề thi Đại học và cao đẳng hiện nay cũng dễhơn so với trước Tuy nhiên với đa số các em học sinh học, Hình không gian vẫn là mônhọc khó Đa số các em nghe giảng lí thuyết có thể hiểu vấn đề nhưng khi áp dụng vàolàm bài tập cụ thể thường không biết cách trình bày bài giải nên rất ngại làm bài

2/ Từ những lí do trên bản thân tôi nhận thấy cần thiết phải phân loại các bài toántrong chương quan hệ vuông góc thành một số dạng khác nhau, hướng dẫn thật kĩ chohọc sinh phương pháp giải từng dạng với những bài tập minh họa cụ thể sẽ giúp họcsinh nắm vững kiến thức, bên cạnh những kiến thức về hình học không gian các em đãhọc ở phần trước các em sẽ cảm thấy tự tin hơn khi học Hình không gian Đây khôngphải giải pháp hoàn toàn mới với các giáo viên đã dạy Hình học Không gian nhưng tùy

vào đối tượng học sinh, mỗi giáo viên sẽ chọn cho mình cách giảng dạy để học sinh dễtiếp thu bài và làm bài tập tốt nhất Do phân phối chương trình rất hạn chế nên để thựchiện được giải pháp này tôi sử dụng số tiết học tự chọn trong chương trình cho phép vàcác giờ học tăng tiết do hoc sinh tự nguyện đăng kí và nhà trường tổ chức dạy vào buổichiều Kết quả cho thấy tỉ lệ học sinh nắm vững lí thuyết và biết giải bài tập Hình họckhông gian thay đổi rất rõ.

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

VỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

Dạng 1 : Chứng minh hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau.

Phương pháp : • Sử dụng định nghĩa góc của hai đường thẳng

• Chứng minh đường này vuông góc với mặt phẳng chứa đường kia

Từ (*) và (**) suy ra: ·ACD=900 hay AC⊥CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CD⊥(SAC)⇒CD ⊥SC hay ∆SCD vuông tại C

Ví dụ 2 : Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD

là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung

điểm SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE

và BC CMR: MN ⊥BD

Giải: Gọi P là trung điểm của AB và SA, O là

giao điểm của AC và BD

Ta có: PM là đường trung bình của tam giác EAD

Nên PM //AD và AD = 2 PM

Theo giả thiết ABCD là hình vuông , N là trung điểm BC nên PM // CN và PM = CN.Vậy : PMCN là hình bình hành , suy ra MN// PC(*)

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và

CD Chứng minh rằng: AM ⊥BP

Giải: Gọi H là trung điểm của AD, I là giao diểm

của AN và BP, K là giao điểm của AN và BH

Vì ∆SAD đều nên SH ⊥ AD

Suy ra: ABN∆ = ∆BCP⇒BAN CBP ANB BPC· =· ,· =·

mà ·BAN + ·ANB=900⇒CBP ANB· + · =900 hay AN ⊥BP (1)

Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chữ nhật nên K là trung điểm của HB hay

/ / (**)

MK SH

Từ (*) và (**) suy ra: BP⊥MK(2)

Từ (1), (2) suy ra: BP⊥(AMN)⇒BP⊥ AM

Dạng 2 : Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

Phương pháp :

• Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P)

• Chứng minh d song song với đường thẳng b mà vuông góc với (P)

• Dùng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình

vuông, tam giác SAB là tam giác đều,

(SAB) (⊥ ABCD) Gọi H và I lần lượt là trung điểm

của AB và AD Chứng minh : IC ⊥(SHD)

Mà ·ADH DIC+· =900⇒IKD· =900 Hay IC ⊥HD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IC⊥(SHD)

Ví dụ 2 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA⊥(ABC)a/ Chứng minh : BC⊥(SAC)

b/ Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC Chứng minh : AE ⊥(SBC)

c/ Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D Chứng minh : SB ⊥( )Pd/ Đường thẳng DE cắt BC tại F Chứng minh :AF ⊥(SAB)

Dạng 3 : Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc

Phương pháp : • Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc vớimặt phẳng kia

• Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900

Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình

thoi và SA = SC Chứng minh : (SBD) (⊥ ABCD)

Giải: Ta có: AC⊥BD(1) (giả thiết)

Mặt khác: SAC là tam giác cân tại A và O là trung

điểm của AC nên SO⊥ AC(2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC⊥(SBD)mà

AC⊂ ABCD nên (SBD) (⊥ ABCD)

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

Suy ra : ·ABM +BAC· =900 ⇒ ·AIB =900 Hay BM ⊥ AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BM ⊥(SAC) mà BM ⊂(SAC) nên (SAC) (⊥ SMB)

Dạng 4 : Các bài toán về góc

1 Xác định góc giữa hai đường thẳng a và b chéo nhau

Phương pháp :

Cách 1: (a,b) = (a’,b’) trong đó a’, b’ là hai đường thẳng cắt nhau và lần lượt song song

với a và b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt nhau a’, b’và lần lượt song song với a và b

Cách 2: (a,b) = (a,b’) trong đó b’ là đường thẳng cắt đường thẳng a và song song với b

Tức là chọn trên a (hoặc b) một điểm A rồi từ đó kẻ một đường thẳng qua A và song song với b (hoặc a)

Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC

và AD, MN a= 3 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD

Giải: Gọi I là trung điểm của BD

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600

Ví dụ 3 : Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam

giác vuông tại A, AB a AC a= , = 3 Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABC) là trung điểm của BC Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’?

Giải: Gọi H là trung điểm của BC

Hay : cos(AA B C', ' ') cos(= BB BC', ) = cos·HBB'

Xét tam giác AA’H có µ 0 1

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

(SAB) (⊥ ABCD), H là trung điểm của AB, SH = HC, SA = AB

Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

nên tam giác SAH vuông tại A hay SA⊥ AB

mà (SAB) (⊥ ABCD) và có giao tuyến AB

Do đó: SA⊥(ABCD) và AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mp(ABCD)

Vậy góc giữa thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là ·SCA

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với

mặt phẳng đáy, SA a= 6 Tính sin của góc giữa:

do đó: SB là hình chiếu vuông góc của SC trên mp(SAB)

Vậy góc giữa SC và (SAB) là ·BSC

Ta có: ·

2sin

Xét tam giác vuông SAB có: 1 2 12 12 72 6

3 Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q)

Phương pháp: Ngoài cách dùng định nghĩa ta thường dùng cách sau

Công thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) là hình chiếu của (H) trên

mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ là góc giữa mặt phẳng chứa (H) và mp(α) Lúc đó, ta

có công thức : 'S =S.cosϕ

Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

Tính số đo của góc giữa (BA’C) và (DA’C)

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a,

· 1200

BAC= , BB’= a, I là trung điểm của CC’ Tính cosin của góc giữa hai mp(ABC) và(AB’I)

Giải: Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu vuông góc của

tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ là góc giữa hai

ϕ = .

Ta có:

2 0

10

ABC

AB I

S S

AH = AB + SA = a ⇒ = Vậy, ( ,( )) 2

Mặt khác, xét tam giác vuông SAO có: 1 2 1 2 12 92 2

a AK

AK = AO + SA = a ⇒ = Vậy, ( ,( )) 2

3

a

d A SBD =

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều,

(SAB) (⊥ ABCD) Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD Tính ( ,(d I SFC))

Mặt khác, xét hai tam giác vuông AID và DFC có: AI = DF, AD = DC

Suy ra, AID∆ = ∆DFC ⇒·AID DFC ADI= · ,· =DCF·

mà ·AID ADI+ · =900⇒ DFC ADI· + · =900 hay FC ⊥ID (**)

Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì B’C//A’D nên B’C//(A’BD)

Do đó ( ',( 'd B A BD))=d B C A BD( ' ,( ' ))=d C A BD( ,( ' ))

Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ CH ⊥BD, (H BD) (1)∈ .

Mặt khác, 'A O⊥(ABCD)⇒ A O CH' ⊥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: CH ⊥( 'A BD)⇒d B A BD( ',( ' ))=CH

Xét tam giác vuông BCD có: 1 2 1 2 12 42 3

a CH

CH = BC +CD = a ⇒ = Vậy: ( ',( ' )) 3

∆ là tam giác đều cạnh a, (SBC) (⊥ ABC) Tính ( ,(d C SAB))

Giải: Trong mặt phẳng (ABC) vẽ hình chữ nhật

ABDC Gọi M, I, J lần lượt là trung điểm của BC,

CD và AB Lúc đó, CD//(SAB) hay

Từ (1) và (2) suy ra: IH ⊥(SAB) hay ( ,(d C SAB))=IH

Xét tam giác SIJ có: 1 1 .

Giải: Gọi M là trung điểm của CD, E là giao

điểm của hai đường thẳng AD và BC

Từ (1) và (2) suy ra: DH ⊥(SBC) hay ( ,(d D SBC))=DH

Xét tam giác vuông SBD có: 1 2 12 1 2 32 2 3

a DH

DH = SD + BD = a ⇒ = Vậy, ( ,( )) 2 3

2 Tính Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d’

Phương pháp:

Cách 1:

- Xác định đường thẳng vuông góc chung của d và d’

- Tính độ dài đoạn vuông góc chung

Cách 2:

- Tìm mp(P) chứa d’ và song song với d

- Khi đó ( , ')d d d =d d P( ,( ))=d A P( ,( )) với A là một điểm bất kỳ thuộc d

Ví dụ cho cách 1:

Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD có AB = a, tất cả các cạnh còn lại bằng 3a Tính

( , )

d AB CD

Giải: Gọi I, J lần lượt là trung điểm của CD và AB.

Vì ACD và BCD là các tam giác đều nên:

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần

lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM,

Ta có: A B' ' ( ) ⊥ IJ (vì ABC A’B’C’ là hình lăng trụ đứng)

và IC ⊥ A B' ' (vì ∆A’B’C’ là tam giác đều)

nên ' ' (A B ⊥ CIJ)⇒ IH ⊥ A B' ' (2).

Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (CA B' ') hay (d AB CB, ')=IH

Xét tam giác vuông CIJ có:

Từ (1), (2) suy ra: IH ⊥ (SBC) hay (d AD SB, )= IH

Xét tam giác SIJ có: 1 1 .

Ví dụ 3 : Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD là

tam giác đều, (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Tính (d SA BD, )

Giải: Qua A kẻ đường thẳng d song song với

BD Gọi O là giao điểm của AC và BD; I, M lần

lượt là trung điểm của AD và OD; N là giao điểm

Mặt khác ta có:

/ /

(**)/ /

a

d SA BD =

Ví dụ 4 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tai B, AB = BC = 2a,

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600 Tính (d AB SN, )

Giải: Gọi I là trung điểm của BC.

Do MN//BC nên N là trung điểm của AC Do đó, IN//AB

c/ SB và (SAC)

d/ AC và (SBC)

Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh

a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc với nhau Gọi I là trung điểm của AB

a/ Chứng minh (SAD) ⊥ (SAB)

b/ Tính góc giữa SD và (ABCD)

c/ Gọi F là trung điểm của AD C/m: (SCF) ⊥ (SID)

Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD ; ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều ,

mp(SAB) ⊥mp(ABCD)

a/ Gọi I là trung điểm AB CMR : SI ⊥ (ABCD)

b/ Chứng minh : tam giác SBC và SAD vuông

c/ Tính góc giữa các cạnh bên và đáy

Bài 5 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt bên SAB là tam giác

vuông tại A và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) ; AB = a, AD = a 2

a/ Chứng minh : SA ⊥ (ABCD), (SAD) ⊥ (SCD)

b/ Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh : AH ⊥ (SBC),

(SBC) ⊥(AHC)

c/ Chứng minh : DH ⊥SB

d/ Tính góc giữa (SAC) và (SAD)

Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O Cho (SAB) ⊥ABCD),(SAD) ⊥ (ABCD)

a/ Chứng minh : SA ⊥ (ABCD), BD ⊥ (SAC)

b/ Gọi AH, AK là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD CMR: AH vuông góc với (SBC), AK vuông góc với (SCD)

c/ Chứng minh : (SAC) vuông góc với (AHK)

d/ Cho biết SA = a hãy tính góc giữa (SAC) và (SCD) Dựng và tính đoạn vuônggóc chung của hai đường thẳng AB và SC

Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a tâm O SA⊥ (ABCD), SA = a

a/ Chứng minh : Các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông

b/ Chứng minh : BD vuông góc với SC

c/Tính góc giữa SC và (ABCD); (SBD) và (ABCD)

d/ Tính góc giữa (SCD) và (ABCD) Tính diện tích hình chiếu của ΔSCD trên (ABCD)

Bài 8 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi

H là điểm thuộc (ABC) sao cho OH⊥ (ABC)

2 Khi OA = OB = OC = a Tính góc giữa OA và (ABC); (OBC) và (ABC)

Bài 9 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ADC nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với nhau, tam giác ABC vuông tại A, AB = a; AC = b, tam giác ADC vuông tại D,

CD = a