Bài 1. (3,0 điểm) Chứng minh biểu thức 10n +18n 1 chia hết cho 27 với n là số tự nhiên. Bài 2. (4,0 điểm) Giải phương trình : Bài 3.(6,0 điểm) a(3,0 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn .Tìm giá trị của biểu thức b(3,0 điểm) Cho: Chứng minh T nhỏ hơn 2010 BÀI 4. (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm hai đường chéo và diện tích tam giác AOB bằng 4 ,diện tích tam giác COD bằng 9 .Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD. Bài 5. (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB cố định .M là một điểm di động trên đường chéo AC .Kẽ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với BC .Xác định vị trí của M trên AC sao cho diện tích của tam giác DEF nhỏ nhất .Tính giá trị nhỏ nhất đó.
PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2011-2012 Đề đề nghị Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (Không kể thời gian phát đề ) Bài (3,0 điểm) Chứng minh biểu thức 10n +18n -1 chia hết cho 27 với n số tự nhiên Bài (4,0 điểm) Giải phương trình : 8+ x −3 + 5− x −3 = Bài 3.(6,0 điểm) 2 a/(3,0 điểm) Cho số thực x,y,z thỏa mãn x + y + z + 1 + + =6 x y z Tìm giá trị biểu thức P = x 2010 + y 2011 + z 2012 b/(3,0 điểm) Cho: T = 1+ 1 1 1 1 + + + + + + + + + 1+ + 2 2 3 2009 2010 2010 20112 Chứng minh T nhỏ 2010 BÀI (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo diện tích tam giác AOB ,diện tích tam giác COD Tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD Bài (4,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có AB cố định M điểm di động đường chéo AC Kẽ ME vuông góc với AB MF vuông góc với BC Xác định vị trí M AC cho diện tích tam giác DEF nhỏ Tính giá trị nhỏ PHÒNG GD-ĐT PHÙ MỸ TRƯỜNG THCS MỸ CHÁNH BÀI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP CẤP HUYỆN Môn: TOÁN Năm học: 2011-2012 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM Với n=0 ta có 100 +18.0-1 =0 chia hết cho 27 Với n ≥ ta có Bài (3,0 điểm) 10n − + 18n ( ) = ( 10 − 1) 10n −1 + 10n −2 + + 10 + + 18n ( = 10n −1 + 10n − + + 10 + − n + 3n ( ) ) = 10n −1 − + (10n −2 − 1) + + (10 − 1) + (1 − 1) + 3n Vì 10 − 1M3 3n M3 ,do đó: 10 − + 18nM27 k Bài (4,0 điểm) 1,0 đ 1,0 đ n 8+ x −3 + 5− x −3 = Điều kiện: ≤ x ≤ 28 Đặt x − = y ( y ≥ ) 0,5 đ 0,5 đ Phương trình cho có dạng: + y + − y = Bình phương hai vế biến đổi ,ta được: ( + y) ( − y) 0,5 đ = ⇔ y2 + 3y − = y =1 y −1 = ⇔ ( y − 1) ( y + ) = ⇔ ⇔ y + = y = −4 ( loai ) Với y=1,ta có: x − = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x=4 1,0 đ 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ a/(3,0 điểm) Áp dụng bất đẳng thức a + Bài (6,0 diểm) ≥2 a2 Đẳng thức xảy a=1 a= -1 ,ta : 1 x + ÷+ y + ÷+ z + ÷ ≥ x y z Đẳng thức xảy x2=y2=z2 =1 Ta có kết sau: • P=1 ,khi (x;y;z) ∈ { ( 1; −1;1) , ( 1; −1; −1) , ( −1; −1; −1) , ( −1; −1; −1) } • P= 3, (x;y;z) ∈ { ( 1;1;1) , ( 1;1; −1) , ( −1;1;1) , ( −1;1; −1) } 0,5 đ 1,0 đ 0,75 đ 0,75 đ b/(3,0 điểm) xét số hạng tổng quát : n ( n + 1) + ( n + 1) + n 1 An = + + = n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) + 2n ( n + 1) + = Suy ra: n ( n + 1) An = n ( n + 1) + n ( n + 1) n ( n + 1) + 1 = 2 n ( n + 1) = 1+ 0,5 đ 1 − n n +1 0,5 đ 0,5 đ Cho n lấy giá trị từ đến 2010 ta : 1 1 1 1 T = + − ÷+ 1 + − ÷+ + 1 + − − ÷+ + ÷ 3 4 2009 2010 2010 2011 1 = 2009 + − Suy T < 2010 2011 1,0 đ 0,5 đ B A Bài (3,0 điểm) O D C Ta có : S AOB S AOD OA = = ÷ S BOC SCOD OC Mà S AOB = 4, SCOD = , nên S AOD S BOC = S AOB SCOD = 4.9 = 36 Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số dương ,ta có S AOD + S BOC ≥ S AOD S BOC = 12 Vậy: S ABCD = S AOD + S BOC + S AOB + SCOD ≥ 25 Đẳng thức xảy SAOD=SBOC hay tứ giác ABCD hình thang Vậy giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD 25 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ Bài (4,0 điểm) hình vẽ A E M D 0,5 đ B F C Đặt AE =x,CF=y suy MF=CF=BE=y , suy x+y=a S DEF = S ABCD − S DAE − S DCF − S BEF ax ay xy = a2 − − − 2 a xy a xy = a2 − ( x + y ) − = − 2 2 Ta có SDEF nhỏ xy nhỏ a2 a x+ y xy ≤ = x = y = ÷ 0,5 đ 1,0 đ 1,0 đ Lúc điểm M trung điểm AC S DEF 0,5 đ a a 3a = − = 2 *Ghi : Mọi cách giải khác lập luận chặt chẽ cho điểm tối đa 0,5 đ