tài liệu là phần tập hợp kiến thức chủ đạo lớp 11 và phần thể tích đầu lớp 12, luyện tập và cách làm rất kỹ, các công thức và phương pháp chứng minh đã được rút lại rõ ràng dễ hiểu giúp học sinh luyện tập có hứng thú
Hình học khơng gian BÀI TẬP CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (11-12) I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Hệ thức tam giác thường BC = AB + AC − AB AC.cos A o Định lý Cosin: CosA = AB + AC − BC 2 AB AC o Hệ quả: o Cơng thức tính độ dài đường trung tuyến: AM = 2 ( AB + AC ) − BC a b c = = = 2R sin A sin B sin C o Định lý sin: o Cơng thức diện tích: (R: bán kính đường tròn ngoại tiếp) 1 abc S = BC AH = AB AC.sin A = = p( p − a)( p − b)( p − c) = p.r 2 4R a+b+c p= ( : chu vi, r : bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) Hệ thức tam giác vng BC = AB + AC 2 AC = CH CB AB AC = AH BC AB = BH BC AH = HB HC 1 = + 2 AH AB AC MA = MB = MC = o Trung điểm M cạnh huyền cách đỉnh: BC Ngược lại, tam giác có trung điểm cạnh cách đỉnh tam giác vng HÌNH PHẲNG HÌNH KHƠNG GIAN Cho tam giác đều: ( cạnh ) S= Diện tích × ; Đường cao S= Diện tích hình thang: S= cạnh × đáy lớn + đáy bé × đường cao Trang Thể tích khối chóp: V = B.h (B: diện tích đáy, h: chiều cao) Thể tích lăng trụ: V = B.h Hình học khơng gian Diện tích hình vng: S = ( cạnh ) S= Diện tích hình thoi: Đường tròn: Chu vi Diện tích mặt cầu: S = 4pR Tích đường chéo C = 2π R V = ; Diện tích S =πR Thể tích khối cầu: pR 3 Kĩ xác định chân đường cao: Từ chân đường cao ta xác định góc cạnh bên đáy; góc mặt bên đáy; quy đổi tính khoảng cách từ chân đường cao Hình chóp Hình chóp có mặt bên vng với đáy Hình chóp có mặt bên vng với đáy (hoặc cạnh bên vng với đáy) Cho S.ABC hình chóp tam giác SH đường cao hình chóp, với H tâm đáy ABC ⊥ Cho hình chóp S.ABC có (SAC) (ABC) theo giao SH ⊥ AC tuyến AC Khi đó, hạ H SH đường cao hình chóp SH ⊥ AC Trình bày: Kẻ H SH ⊥ AC = ( SAC ) ∩ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) SH ⊂ ( SAC ) Ta có: ∆SAC Nếu cân S H trung điểm AC Cho S.ABC có (SAB) (SAC) vng với đáy Khi đó, đường cao giao tuyến SA hai mặt Trình bày: ( SAB) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) ( SAC ) ⊥ ( ABC ) ( SAB) ∩ ( SAC ) = SA Lăng trụ lăng trụ đứng, có đáy đa giác Kỹ xác định góc: Cho hình chóp S.ABC có SH đường cao Trang Hình học khơng gian a) Xác định góc cạnh bên SA đáy: Góc cạnh bên mặt đáy góc cạnh bên hình chiếu lên đáy Như ta phải tìm hình chiếu cạnh bên lên đáy Trình bày: Ta có: ïìï A = SA Ç ( ABC ) Þ í ïïỵ SH ^ ( ABC ) AH hình chiếu SA lên (ABC) nên góc SA đáy góc SA AH, góc · SAH =a b) Xác định góc mặt bên (SBC) đáy: Các bước thực hiện: + Xác định giao tuyến mặt bên đáy + Từ chân đường cao kẻ vng góc với giao tuyến Chỉ đường + Xác định góc α ⊥ giao tuyến góc đường thẳng vng với giao tuyến Trình bày: + Ta có: + Kẻ HI Ta có: ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC ⊥ BC I HI ⊥ BC ⇒ ( SHI ) ⊥ BC ⇒ SI ⊥ BC SH ⊥ BC (hai đường Trang ⊥ giao tuyến BC HI SI) Hình học khơng gian + Suy · , HI = SIH (·( SBC ) , ( ABC ) ) = ( SI ) · =α II BÀI TỐN TÍNH THỂ TÍCH + Giới thiệu đề bài: Xác định đường cao (nếu đề chưa nói) góc đối tượng (nếu có) + Tính tốn: Tìm chiều cao thể tích Lưu ý: Trong trường hợp phức tạp nên vẽ đáy hình phẳng để tính III BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG a Cơng cụ: Đưa tốn tính k/c từ chân đường cao: • Nếu AB//(P) d(A, (P)) = d(B, (P)) Nếu AB cắt (P) O • d ( A, ( P ) ) AO = d ( B, ( P ) ) BO b Bài tốn tính k/c từ chân đường cao H đến mặt bên (SBC) + B1: Cách dựng: Xác định (SBC) giao với đáy giao tuyến BC Kẻ HK ⊥ BC K, kẻ HI ⊥ SK I + B2: Chứng minh mặt phẳng vừa dựng vng với giao tuyến: Từ suy HI = + B3: Tính ( SHK ) ⊥ BC ⇒ HI ⊥ BC HI ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , ( SBC ) ) = HI HS HK HS HK = SK HS + HK (dùng hệ thức đường cao tam giác vng để tính) Lưu ý: + Để tính HI ta phải tính HK, nên vẽ đa giác đáy hình phẳng để tính HK cho + Nếu mặt phẳng cần tính khoảng cách vng với đáy theo giao tuyến khoảng cách từ điểm đáy, lúc cần kẻ vng góc với ∆ ∆ , ta quy tính IV BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Có trường hợp a) Nếu hai đường thẳng vng với a Trang ⊥ b: Dựng đoạn vng góc chung: Hình học khơng gian + Dựng mp(P) chứa cạnh bên a + Kẻ BA b) ⊥ a A Khi AB ⊥ ⊥ với cạnh đáy b B (thường (P) chứa ln đường cao) a, AB ⊥ b ⇒ AB đoạn vng góc chung ⇒ d ( a, b ) = AB Hai đường chéo nhau: Dựng mặt phẳng song song: ∈ + Ta dựng (P) chứa cạnh bên a (P)//b, B b + Khi đó, ta có: d(a, b) = d(b, (P)) = d(B, (P)), sau đó, đưa tính khoảng cách từ chân đường cao Nhận xét: Trong hai trường hợp, ta thường chọn mặt phẳng chứa cạnh bên V BÀI TỐN XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP + Bước 1: Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Dựng trục đường tròn ngoại tiếp + Bước 2: Tìm cạnh bên d song song cắt trục cạnh bên d cắt trục ∆ ∆ Trong mp(d, ∆ ∆ đáy ) dựng đường trung trực điểm I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Bước 3: Tính bán kính R BÀI TẬP Phần 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SC = a V= mặt bên SAB tam giác Gọi K trung điểm AD Tính thể tích khối chóp chứng minh CK vng a3 góc SD ĐS: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM ⊥ VC MNP = BP tính thể tích khối tứ diện CMNP ĐS : 3 a 96 (B_2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng VA NIB = (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB ĐS : Trang a 36 Hình học khơng gian (D_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình AH = chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích VS BCM = khối tứ diện SMBC theo a ĐS : 14 a 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN VS BMDN = a3 3 cos ϕ = 5 ĐS : ; (D_2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A VA.BCMN = đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ĐS : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, 3 a 50 BC = 2a, AB = a Cạnh SA vng với đáy góc (SBC) đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách V= từ trọng tâm G tam giác SAB đến (SBC) ĐS: a3 a , d G , ( SBC ) = 4 ( ) AC = a Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B, d ( AB, SC ) V= , SA vng với đáy Góc SB a3 24 d ( AB , SC ) = a đáy 600 Tính thể tích khối chóp ĐS: , (A_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, Hình chiếu S lên đáy SD = trung điểm AB Biết 3a ( d A , ( SBD ) Tính thể tích 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, ) ĐS: AC = a V = a3 2a ,d = 3 Hình chiếu S lên đáy trung điểm AB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) S.ABCD d ( D, ( SAC ) ) V= ĐS: a3 d= , Trang 2a 22 11 450 Tính thể tích Hình học khơng gian 11 Cho S.ABCD có đáy hình thang vng A D Cạnh AD = DC = a, AB = 2a Hình chiếu S lên đáy trung điểm BC tam giác SBC đều.Tính thể tích V= d ( A, ( SBC ) ) ĐS: a3 ,d = a 12 (D_2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a ·ABC = BAD · = 900, BA = BC = a, AD = Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) a d ( H , ( SCD ) ) = ĐS : AB = 4a, S ABCD 13 Cho hình chóp có đáy ABCD hình thang vng A D, AD = DC = 2a Hình chiếu đỉnh S đáy trung điểm H cạnh AD Biết Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng V = 2a d ( A ,(SBC ) ) = , SA = a ( SBC ) ĐS: 4a 95 19 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang bên SA vng góc với đáy SA = ( d A , ( BCNM ) ) 2a ·ABC = BAD · = 900, BA = BC = a, AD = 2a Cạnh Gọi M, N thứ tự trung điểm SA SD Tính thể V= a3 a ,d = tích S BCNM ĐS: 15 (D_2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a Cạnh SA vng góc với đáy , · BAD = 1200 , M trung điểm BC · SMA = 450 Tính theo a thể tích khối chóp VS ABCD = a3 d ( D ,(SBC ) ) = a S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC) ĐS : ; · BAD = 60 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, Cạnh SD vng góc với đáy Góc SB đáy d ( A ,(SBC ) ) = 450 Tính thể tích khối chóp a 21 Trang d ( A, ( SBC ) ) VS ABCD = ĐS : a3 ; Hình học khơng gian 17 (A_2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = 2a, CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích VS ABCD = 15 a hình chóp S.ABCD theo a ĐS : 18 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Tính thể tích khối chóp a3 V= tan góc (SBC) (SCD) ĐS: , tan α = −2 19 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a, SA = V= a Tính thể tích khối chóp ĐS: a3 20 Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối VSABC chóp d(A,(SBC)) ĐS: a3 = 12 21 Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc V= α Tính thể tích ĐS: a tan α 12 22 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên a, góc hợp mặt bên đáy V= α ( 4a tan α + tan α ) ⇒α= α π Tính thể tích khối chóp Tìm để thể tích lớn ĐS: 23 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối VSABCD = a3 a 42 ,d = chóp d(A,(SBC)) ĐS: 24 (B_2004) Cho hình tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 0 ϕ ( < ϕ < 90 ) Tính tan góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo VS ABCD = ϕ ϕ Tính thể a tan ϕ tích khối chóp S.ABCD theo a ĐS : 25 (B2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A cạnh SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích VS ABH = khối chóp S.ABH theo a ĐS : 11 a 96 Trang Hình học khơng gian 26 (A_20002) Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giá AMN thể tích S.ABC thể tích A.BCMN, biết mặt phẳng (AMN) vng góc với mặt phẳng (SBC) S∆AMN = a 10 16 VSABC = a3 a3 , VA.BCMN = 24 32 ĐS : , 27 Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SA SC Biết BM a 14 24 V= vng với AN Tính thể tích khối chóp ĐS: 28 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA= 3a, BC= 4a; mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB= 2a khoảng cách từ điểm B đến (SAC) theo a ĐS : SBC= 300 VS ABC = 3a3 29 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng A, Tính thể tích khối chóp S.ABC d ( B,(SAC ) ) = ; · ABC = 300 7a , SBC tam giác cạnh a mặt bên SBC vng góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách VS ABC = từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) ĐS : a3 16 d ( C ,(SAB) ) = ; a 39 13 30 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a · SBA = 300 Tam giác SAB vng S, nằm mặt phẳng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm d ( A, ( SDN ) ) V = a3 a ,d = 2 cạnh AB, BC Tính thể tích S.ADCN ĐS: 31 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCDvà VS ABCD = a3 d ( A ,(SCD) ) = a 21 khoảng cách từ điểm A đến (SCD) ĐS : ; 32 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, góc SA đáy 45 Hình chiếu vng góc S lên đáy điểm H thuộc cạnh BC cho Tính thể tích S.ABC d( M ,(SAB)) V= ĐS: Phần Trang a 21 a 651 ,d = 36 62 BC = BH Gọi M trung điểm SC Hình học khơng gian 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, AB = a, ·ABC = 300 Hình chiếu S lên đáy trung điểm I cạnh BC Góc (SAC) đáy 60 Tính thể tích khối chóp V= S.ABC khoảng cách AI SB ĐS: S A BC D 34 Cho hình chóp có đáy hình vng cạnh phẳng đáy trọng tâm 60° Tính theo V= a3 3a ,d = 16 14 a H tam giác thể tích khối chóp A BD S A BCD a Hình chiếu vng góc , cạnh bên SA S lên mặt tạo với mặt phẳng đáy góc A D, SC khoảng cách hai đường thẳng a3 a 15 , d( AD , SC ) = ĐS: 35 (A_2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách VS ABC = a 12 42a d ( SA, BC ) = hai đường thẳng SA BC theo a ĐS : ; 36 (A_2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai VS.CDMN = 3 a 24 d( DM , SC ) = 19 a đường thẳng DM SC theo a ĐS : ; 37 Cho S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Góc SC đáy 60 Hình chiếu S lên đáy điểm H thuộc đoạn BD cho d ( CH , SM ) VS.CDMH = HD = 3HB Gọi M trung điểm AD Tính thể tích S.CDMH 3a 30 a 30 , d ( CH , SM ) = 64 ĐS: 38 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu vng góc S lên BI = AI mặt phẳng đáy I thuộc AB cho Góc mặt bên (SCD) mặt đáy 60 V= Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách AD SC ĐS: Trang 10 a3 3a 93 ,d = 31 Hình học khơng gian 39 (D_2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, tam giác SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích V= khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA, BC ĐS: 40 Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thoi cạnh AB = a · BCD = 120 , Gọi M trung điểm SC Tính thể tích S.ABCD d ( DM , BC ) 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh 2a, a3 a ,d = 24 , SA=a SA vng với đáy V = a3 ĐS: · BAD = 600 Cạnh a 15 ,d = SA vng với mặt phẳng (ABCD) Góc SB đáy 60 Gọi M trung điểm SD a) Tính thể tích khối chóp S.BCD Đs: VSBCD = 2a b) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SCD ) d= ĐS: d= c) Tính khoảng cách hai đường thẳng BM AD ĐS: 42 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân C, 2a 15 a AB = 4a , SC = a Các mặt (SAC) (SBC) vng với đáy Gọi M, N trung điểm AB AC Tính thể tích S.ABC d ( CM , SN ) V= 32 a 4a ,d = 3 ĐS: 43 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh SA vng với (ABCD) Góc SC d ( SB, AC ) V= a3 a 10 ,d = đáy 45 Tinh thể tích khối chóp S.ABCD ĐS: 44 (A_2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB= BC= 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 SN theo a ĐS : Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB VS.BCMN = 3a d( AB , SN ) = ; 39 a 13 Trang 11 Hình học khơng gian 45 (Chun Vinh 2014 lần 1) Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a, AB = a Gọi M trung điểm BC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách AM, SB ĐS: V= a 11 a 517 ,d = 12 47 46 (Chun Vinh 2016 lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O Cạnh SD vng với đáy, d( AC , SB) · AD = a , AOB = 120 V = a3 , d = 450 Góc (SBC) đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD a ĐS: 47 (B_2007) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC d ( MN , AC ) = ĐS : a Các dạng hình chóp khác 48 Cho S.ABC có tam giác ABC cân A, AB = AC = 3a, BC = 2a Các mặt (SAB), (SBC), (SAC) tạo với đáy góc 600 Kẻ SH đường cao hình chóp (H nằm tam giác ABC) Chứng minh H V= tâm đường tròn nội tiếp SA vng BC Tính thể tích ĐS: 49 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân A, 2a3 3 AB = a , SA = SB = SC Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC bán V= kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: 50 Cho S.ABC có a3 2a ,R = 3 · · · SA = a , SB = 2a , SC = 3a , ASB = CSA = 60 , BSC = 90 V= Tính thể tích S.ABC ĐS: a3 Phần 51 Cho S.ABC có tam giác ABC vng A, AB = a, ·ABC = 600 Hình chiếu S lên đáy điểm H thuộc đoạn BC cho BC = 4BH Góc SA đáy 60 Tính thể tích khối chóp V= bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: Trang 12 a3 a ,R = Hình học khơng gian S ABC 52 Cho hình chóp S góc đỉnh 600 có đáy tam giác vng B, AB = a ; AC = 2a xuống mặt đáy trung điểm cạnh AC Góc Hình chiếu vng SB mặt phẳng đáy S ABC a) Tính thể tích khối chóp V = ĐS: b) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng a3 ( SAB ) c) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS: S ABC a 15 Smc = ĐS: 16 πa 53 Cho S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a Mặt (SBC) vng với đáy, tam giác SBC vng S, · SCB = 300 V= Tính thể tích khối chóp a3 2a , d B, ( SAC ) = 13 ( ) d ( B, ( SAC ) ) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp ĐS: 2a 3 R= , 54 Cho S.ABCD có đáy hình thoi AC = a 3, BD = a Mặt (SCD) vng với đáy Cạnh SB SC tạo với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABCD bán kính mặt cầu ngoại V= tiếp S.ABC ĐS: a3 ,R = a Phần 4: Lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' 55 Cho lăng trụ đứng BC ' tạo với ( AA ' C ' C ) tiếp lăng trụ ĐS: Đường thẳng góc 300 Tính thể tích lăng trụ Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại V = a3 56 Cho lăng trụ đứng có đáy ABC vng A, AC = a, ·ACB = 600 ABC A ' B ' C ' có đáy ABC cân A, AB = AC = a, d ( I , ( A ' BC ' ) ) V= · BAC = 1200 , BB ' = a a3 a 21 ,d = 14 Gọi I trung điểm CC’ Tính thể tích lăng trụ ĐS: ABC A ' B ' C ' AB = BC = a 57 Cho lăng trụ đứng có đáy BAC tam giác vng cân, Tính thể tích lăng trụ chứng minh AB ' ⊥ A ' C V= ĐS: Trang 13 a3 Hình học khơng gian 58 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' V= Tính thể tích lăng trụ ĐS: cạnh đáy a Đường chéo A’C tạo với ( AA ' B ' B ) góc 300 a3 59 (D_2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC tam giác vng, AB = BC = a, AA' = a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' V ABC A' B' C' = a3 2 d( AM , B ' C ) = a 7 khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C ĐS : ; 60 (D_2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến (IBC) ĐS : VI ABC = a ; d ( A, ( IBC )) = 2a 5 61 (B_2010) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ VABC A' B'C ' = 3 a R= 7a 12 cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a ĐS : ; ABC A ' B ' C ' AB ' ⊥ BC ' 62 Cho lăng trụ có chiều cao a Biết Tính thể tích lăng trụ ĐS: V = a3 A BC A ¢B ¢C ¢ 63 Cho lăng trụ tam giác phẳng đáy góc A B ¢, BC ¢ 60° V= có cạnh đáy Tính theo a a , mặt phẳng ( A BC ¢) tạo với mặt thể tích khối lăng trụ cosin góc hai đường ( ) 3a 3 ,cos ·AB′, BC ′ = 13 thẳng ĐS: 64 (D_2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a a d ( A, ( BCD ' ) ) = 48 (BCD’) theo a ĐS : ; 65 (B_2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc VA.BB'C ' = · BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA’ N trung điểm cạnh CC’ Chứng minh Trang 14 Hình học khơng gian bốn điểm B’, M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài canh AA’ theo a để tứ giác AA ' = a B’MDN hình vng ĐS : · ABCD A ' B ' C ' D ' BAD = 600 AB ' ⊥ BD ' 66 Cho lăng trụ đứng đáy hình thoi cạnh a, Biết Tính thể tích lăng trụ ĐS: a3 V= 67 Cho lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh đáy a, góc (ACD’) (AA’D’D) a3 V= ( B ' AC ) ⊥ ( D ' AC ) 600 Tính thể tích lăng trụ chứng minh ĐS: AB = a, AD = 2a, AA ' = a ABCD A ' B ' C ' D ' 68 Cho hình hộp chữ nhật có a) Tính d ( AD ', B ' C ) d ( AD ', B ' C ) = a ĐS: b) Gọi M cạnh AD cho c) Tính thể tích tứ diện AM = 3DM d ( M , ( AB ' C ) ) = AB ' D ' C 69 Cho hình lập phương MKA ' B ' a) Tính thể tích ĐS: b) ABCD A ' B ' C ' D ' b) Tính diện tích tam giác Tính d ( M , ( AB ' C ) ) A ' KM a V = , c) 2a 3 cạnh a, M trung điểm BB’, K trung điểm Đ’ d ( B ' D ', A ' M ) V = ĐS: a a3 d= 12 , Phần 5: Lăng trụ xiên ABC A ' B ' C ' 70 Cho khối lăng trụ BB' B, C Cạnh bên V= chữ nhật ĐS: 71 Cho khối lăng trụ có đáy tam giác cạnh a, điểm A' cách ba điểm A, tạo với đáy góc 60 Tính thể tích lăng trụ, chứng minh BCC ' B ' hình a3 ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a, BB’ = a Hình chiếu đáy trung điểm I AC a) Tính góc cạnh bên đáy Chứng minh V = b) Tính thể tích lăng trụ ĐS: ACC ' A ' a3 Trang 15 hình vng ĐS: 300 B' lên Hình học khơng gian C 72 Cho lăng trụ có độ dài cạnh a hình chiếu bình hành lên tâm hình a3 V= , tan α = ( AA', ( ABC ) ) ABB ' A ' ( ABB ' A ') Tính thể tích lăng trụ góc ĐS: ABC A ' B ' C ' 73 (B_2014) Cho khối lăng trụ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ lên đáy trung điểm AB Góc A’C đáy 60 Tính thể tích lăng trụ d ( B, ( AA ' C ' C ) ) V= ĐS: 3a 3 3a 13 ,d = 13 74 (A_2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA ' = 2a , đáy tam giác vng A, AB=a, AC= a hình chiếu đỉnh A’ (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối AA ' BC ' VA ' ABC = ' a3 cos ϕ = chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng , ĐS: ; 75 (B_2009) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc BB’ (ABC) 60 0; tam giác ABC vng C · BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên (ABC) trùng với trọng V A ' ABC = tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a ĐS : 76 Tính thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' biết AA ' B ' D ' a 208 V = tứ diện cạnh a ĐS: 77 (B_2011) Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD hình chữ nhật, AB a, a3 AD = a 1 1 Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD A ) (ABCD) 1 600 VABCD A' B'C' D' = khoảng cách từ điểm B đến (A BD) theo a ĐS : 1 78 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình thoi cạnh a, V= thể tích lăng trụ d(BD, A’C) ĐS: a3 a ,d = 2 Trang 16 Tính thể tích khối lăng trụ 3 a d ( B1 , ( A1 BD) ) = ; a · BAD = 600 , A ' A = A ' B = A ' D = a Tính