CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGÔ THỊ THÚY ĐỀ TÀI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Định HÀ NỘI - 2015 Chương CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.1 Các phương trình lượng giác 1.1.1 Dạng phương trình Về nguyên tắc, phương trình lượng giác giải phải dẫn ba dạng phương trình lượng giác sau: sin x = m; cos x = m; tan x = m Phương trình cot x = m ↔ tan x = (m = 0) Nhưng phương trình hay gặp nên ta m viết nghiệm để tiện sử dụng 1.1.2 Cách giải biện luận Phương trình sin x = m Nếu |m| > phương trình vô nghiệm Nếu |m| ≤ phương trình có nghiệm là: x = arcsin m + 2kπ (k ∈ Z) y = (π − arcsin m) + 2kπ Hay gộp nghiệm ta x = (−1)k arcsin m + kπ, k ∈ Z π π mà sin α = m Trong arcsin m cung α ∈ − ; 2 Đặc biệt: • Nếu m = x = kπ π • Nếu m = x = + 2kπ π • Nếu m = −1 x = − + 2kπ (k ∈ Z) Phương trình cos x = m • Nếu |m| > phương trình vô nghiệm • Nếu |m| ≤ phương trình có nghiệm x = ± arccos m + 2kπ(k ∈ Z) Trong arccos m cung α ∈ [0; π] mà cos α = m Đặc biệt: • Nếu m = x = π + kπ • Nếu m = x = 2kπ (k ∈ Z) • Nếu m = −1 x = π + 2kπ Phương trình tan x = m (cos x = 0) π π Phương trình có nghiệm x = arctan m + kπ Trong arctan m cung α ∈ (− ; ) 2 mà tan α = m Phương trình cot x = m (sin x = 0) Phương trình có nghiệm x = arccot m + kπ Trong arccot m cung α ∈ (0; π) mà cot α = m Chú ý: • Nếu sin x = sin a nghiệm x = a + k2π x = (π − a) + k2π (k ∈ Z) • Nếu cos x = cos a nghiệm x = ±a + k2π (k ∈ Z) • Nếu tan x = tan a nghiệm x = a + kπ (k ∈ Z) • Nếu cot x = cot a nghiệm x = a + kπ (k ∈ Z) 1.1.3 Các công thức lượng giác Giải phương trình lượng giác dùng công thức lượng giác để biến đổi tương đương phương trình dạng phương trình Chú ý lượng giác có công thức sau: (1) sin2 x + cos2 x = 1∀x (2) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a cos(a ± b) = cos a cos b ± sin a sin b (3) tan x = sin x (cos x = 0) cos x Các công thức khác suy từ công thức Chẳng hạn nên lưu ý công thức sau: (4) Công thức góc nhân đôi Trong (2) cho a = b = x ta được: sin 2x = sin x cos x cos 2x = cos2 x − sin2 x Lại lưu ý (1) (3) ta được: cos 2x = cos2 x − = − sin2 x sin 2x sin x cos x tan x tan 2x = = − sin2 x = cos 2x cos x − tan2 x (chia tử số mẫu số cho cos2 x) (5) Công thức chia đôi x ta được: x x sin x = sin cos 2 x x x x cos x = cos2 − sin2 = cos2 − = − sin2 2 2 x tan = 2t t = tan x tan x = x − t2 − tan2 Trong (4) thay x = (6) Công thức hạ bậc Trong (4) giải cos2 x, sin2 x theo cos x ta được: + cos 2x − cos 2x sin2 x = cos2 x = (7) Công thức nhân ba Trong (2), cho a = 2x, b = x dùng công thức (4) ta được: sin 3x = −4 sin3 x + sin x cos 3x = cos3 x − cos x (8) Biến đổi tổng thành tích Trong (2) đặt a + b = x; a − b = y, a = x+y x−y ;b = ta được: 2 x+y x−y cos 2 x+y x−y sin x − sin y = cos sin 2 x−y x+y cos cos x + cos y = cos 2 x+y x−y cos x − cos y = −2 sin sin 2 sin x + sin y = sin (9) Biến đổi tích thành tổng Từ công thức (2) suy được: sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = [sin(a − b) + sin(a + b)] cos a cos b = [cos(a − b) + cos(a + b)] (10) Từ công thức (2) suy công thức lệch pha sau: π − x) = cos x π cos( − x) = sin x π tan( − x) = cot x π cot( − x) = tan x π sin( + x) = cos x π cos( + x) = − sin x π tan( + x) = − cot x π cot( + x) = − tan x sin(x + 2π) = sin x cos(x + 2π) = cos x tan(x + π) = tan x cot(x + π) = cot x sin[x + (2k + 1)π] = − sin x cos[x + (2k + 1)π] = − cos x tan[x + (2k + 1)π] = tan x cot[x + (2k + 1)π] = cot x sin( 1.2 Phương trình hạ bậc bậc 1.2.1 Dạng phương trình sin2 = a cos2 = a 1.2.2 Cách giải biện luận Dùng công thức hạ bậc ta đưa dạng phương trình bản: • sin2 x = a ⇔ − cos 2x = a ⇔ cos 2x = − 2a • cos2 x = a ⇔ + cos 2x = a ⇔ cos 2x = 2a − Phương trình bậc dạng a cos x+b sin x = c 1.3 1.3.1 Dạng phương trình a cos x + b sin x = c 1.3.2 Cách giải biện luận 1) Nếu a2 + b2 = ⇒ a = b = 0, phương trình trở thành: cos(x) + sin(x) = c ⇒ c = 0, vô nghiệm c = 0, nghiệm ∀x √ 2) Nếu a2 + b2 > 0, chia vế cho a2 + b2 = ta được: a b c √ cos x + √ sin x = √ a2 + b a2 + b a2 + b Do √ a a2 + b 2 + √ √ b a2 + b 2 = nên ta đặt: a b c = cos t; √ = sin t; √ =m a2 + b a2 + b a2 + b Ta được: cos x cos t + sin x sin t = m hay phương trình cos(x − t) = m a Chú ý: Nếu đặt √ = sin α, ta dẫn phương trình bản: sin(x + α) = m a2 + b 1.4 1.4.1 Phương trình bậc hai dạng a(f (x))2 + bf (x) + c=0 Dạng phương trình Xét phương trình bậc có dạng: a[f (x)]2 + bf (x) + c = 0, f (x) hàm lượng giác biểu thức hàm lượng giác 1.4.2 Cách giải Giải phương trình bậc hai theo đối số t = f (x), dẫn phương trình bậc hai t, sau giải phương trình bậc hai để tìm t tìm x 1.5 1.5.1 Phương trình đẳng cấp theo sin x cos x Dạng phương trình 1, Phương trình đẳng cấp bậc theo sin x, cos x phương trình có dạng: a sin2 x + b sin x cos x + c sin2 x + d = 2, Phương trình đẳng cấp bậc theo sin x, cos x phương trình dạng: a sin3 x + b sin2 x cos x + c sin x cos2 x + d cos3 x = 3, Phương trình đẳng cấp bậc n theo sin x, cos x phương trình dạng: an sinn x + an−1 sinn−1 x cos x + + a1 sin x cosn−1 x + a0 cosn x = 1.5.2 Cách giải Chia hai vế phương trình cho sinn x (hoặc cosn x) lũy thừa bậc cao sau lý luận khác Riêng phương trình đẳng cấp bậc 2, dùng công thức hạ bậc đưa phương trình bậc sin 2x cos 2x 1.6 1.6.1 Phương trình đối xứng theo sin x cos x Cách giải Phương pháp chung hạ bậc, dùng đẳng thức đáng nhớ để dẫn phương trình quen thuộc 1.6.2 Các kiến thức cần nhớ Công thức hạ bậc: − cos 2a + cos 2a cos2 a = sin2 a = Các đẳng thức: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) = (a + b)3 − 3ab(a + b) a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) = (a − b)3 + 3ab(a + b) 1 a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab = (a − b)2 + 2ab = [(a + b)2 + (a − b)2 ]ab = [(a + b)2 − (a − b)2 ] 1.7 Một số mẹo lượng giác Nên ý số phép biến đổi lượng giác sau (gọi mẹo lượng giác) 1.7.1 Đổi biến cos 2x = t sin 2x = t Vì cos x2 = − cos 2x + cos 2x ; sin2 x = nên: t • Nếu toán lượng giác có sin2 x, cos2 x cos 2x đổi biến cos 2x = t (−1 ≤ t ≤ 1) • Nếu toán lượng giác có sin2 x, cos2 x sin 2x đổi biến sin 2x = t (−1 ≤ t ≤ 1) 1.7.2 Đổi biến t = tan x x = t, nên dẫn phương trình lượng giác phương trình đại số theo t sau giải phương trình lượng giác x tan = t Vì hàm lượng giác biến đổi theo tan Tuy nhiên cần thận trọng không nghiệm Chẳng hạn, giải phương trình x sin x + cos x = 1, mà đặt tan = t thường bị nghiệm x = (2k + 1)π (k ∈ Z), x phương trình xuất phát điều kiện, đổi biến tan = t lại đòi x hỏi cos = (x = (2k + 1)π, k ∈ Z) x Vì vậy, cần xét xem cos = có nghiệm phương trình xuất phát hay không? 1.7.3 Đổi biến t = af (x) ± b với ab > 0, f (x) f (x) hàm lượng giác biểu thức lượng giác b2 b2 2 ± 2ab, nên toán lượng giác có a f (x) + f (x) f (x) b b ta đặt t = af (x) ± af (x) ± f (x) f (x) Vì t2 = a2 f (x) + 1.8 1.8.1 Phương trình lượng giác bậc cao Dạng phương trình Phương trình lượng giác bậc cao phương trình mà bậc hàm số lượng giác lớn 1.8.2 Cách giải Phương pháp giải loại phương trình biến đổi dẫn phương trình đại số bậc cao Giải phương trình đại số bậc cao phương trình 1.9 Phương trình tích 1.9.1 Dạng phương trình Phương trình tích phương trình biến đổi vế trái phương trình f (x) = thành tích nhân tử 1.9.2 Cách giải Nếu f (x) = ⇔ f1 (x)f2 (x) fn (x) = nghiệm f (x) = hợp nghiệm phương trình f1 (x) = 0, f2 (x) = 0, , fn (x) = 1.10 Các dạng phương trình không tắc Phương pháp giải gọn phải nhận quen dạng 1.10.1 Phương pháp ước lượng vế - Nếu vế ≤ M , vế lại ≥ M suy vế điểm điểm nghiệm - Nếu không tồn điểm phương trình vô nghiệm 1.10.1.1 Ví dụ Ví dụ Giải phương trình: sin3 x + cos3 x = − sin4 x Giải Nhận thấy V T = sin x + cos x ≤ sin x + cos2 x = 1, dấu đạt khi: 3 cos x = 0, sin x = sin3 x = sin2 x ⇔ cos x = cos x cos x = 1, sin x = V P = − sin4 x ≥ 1, dấu đạt sin4 x = ⇔ sin x = ±1 π Vậy phương trình cho tương đương với: sin x = ⇒ x = + 2kπ, k ∈ Z Ví dụ Giải phương trình: sin x sin 2x sin 3x = Giải Vì | sin x| ≤ 1; | sin 2x| ≤ 1; | sin 3x| ≤ nên vế trái ≤ Vậy phương trình có nghiệm   | sin x| = | sin 2x| =  | sin 3x| = Nếu | sin x| = cos x = | sin 2x| = |2 sin x cos x| = = Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ Giải phương trình: sin πx − x2 + 5x − 12, 25 = Giải Phương trình cho tương đương với: sin πx = x − 5x + 12, 25 ⇔ sin πx = x − +6 Nhận thấy vế trái = sin πx ≤ Dấu xảy khi: π sin πx = ⇒ πx = + 2kπ ⇒ x = 2k + , k ∈ Z 2 Vế phải = x− 2 + ≥ 6, dấu xảy khi: 5 = ⇒ x = ứng với k = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = x− Ví dụ Tìm cặp số (a, b) để với x ta có: a(cos x − 1) + b2 + − cos(ax + b2 ) = Giải Điều kiện cần: Vì phương trình với x, nên với x = π x = 2π ta có: − 2a + b2 = cos(aπ + b2 ) (1) b2 = cos(2πa + b2 ) − (2) Từ (2) suy b2 ≤ ⇒ b = Cũng từ (2) lại có cos(πa) = ⇒ a ∈ Z Mặt khác, từ (1) suy ra: cos(πa) = − 2a ⇒ −1 ≤ − 2a ≤ ⇒ ≤ a ≤ ⇒ a = a = Điều kiện đủ: Với a = 0, b = x ta có: − cos = − = (đúng) Với a = 1, b = x ta có: cos x − cos x = (đúng) Vậy có cặp (a, b) (0; 0) (1; 0) Ví dụ Với giá trị a phương trình: + sin2 ax = cos x có nghiệm Giải Vì phương trình đối xứng theo x, nên có nghiệm x có nghiệm −x Vậy muốn có nghiệm x = −x ⇒ x = Do sin x cos x hàm tuần hoàn, nên a hữu tỷ sin ax tuần hoàn phương trình có nghiệm khác Vậy để phương trình có nghiệm a vô tỷ 1.10.1.2 Bài tập Bài Giải phương trình sau: 10 1) sin14 x + cos13 x = 2) cos x sin 2x cos 5x = 3) sin πx + x2 − 3x + 5, 25 = Bài Tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình: 2 1 + sin2 x + = 12 + sin y 2 cos x sin x √ b) cos 3x + − cos2 3x = 2(1 + sin2 2x)     x   3x  81 c) sin3 + + cos + = cos2 4x x sin3 cos3 x 2 a) cos2 x + Bài Chứng minh rằng: Với a > phương trình sin4 x + cos4 x = a vô nghiệm Bài Tìm tất cặp số (a, b) để với x ta có: 1) a sin x + b = sin(ax + b) 2) aex + b = eax+b , biết e = 2, 71828 (ex ) = ex 3) a ln x + b = ln (ax + b), biết (ln x) = với ∀x > x Bài Giải phương trình: ln | cos x| + sin5 x − = 11 1.10.2 Biến đổi vế trái phương trình f (x) = tổng hạng tử dấu Nếu f (x) = ⇔ f1 (x) + f2 (x) + + fn (x) = Với fi (x) ≥ fi (x) ≤ với ∀i = 1, n thì:  f1 (x) =    f2 (x) = f (x) = ⇔    fn (x) = 1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác Ta thường dùng bất đẳng thức Côsi Bunhiakopsky 1.10.3.1 Ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: cos x − + cos 2x cos x < cos x ≤ Điều kiện: < cos 2x ≤ Phương trình cho tương đương với: −1=1 cos 2x Giải cos x(1 − cos x) + cos 2x(1 − cos 2x) = Theo điều kiện bất đẳng thức cosin ta có:  cos x + − cos x   = cos x(1 − cos x) ≤ 2 cos 2x + − cos 2x   cos 2x(1 − cos 2x) ≤ = 2 ⇒ cos x(1 − cos x) + cos 2x(1 − cos 2x) ≤ Dấu = xảy khi:    cos x = cos x = − cos x ⇔ cos 2x = − cos 2x  2 cos x = Hệ vô nghiệm, phương trình cho vô nghiệm 12 1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác 1.10.4.1 Ví dụ Ví dụ Giải phương trình sau: log3 tan x = log2 sin x (1) Giải tan x > Điều kiện xác định: sin x > Khi phương trình cho tương đương với: log3 tan2 x = log2 sin x sin2 x ⇔ log3 = log2 sin x − sin2 x Đặt t = log2 sin x ⇒ sin x = 2t Thay vào phương trình ta được: 4t =t − 4t 4t ⇔ = 3t − 4t ⇔ 4t + 12t = 3t log3 ⇔ t + 4t = (2) t t 4 + 4t Có f (t) = ln + 4t ln > ∀t ∈ Z Xét hàm số f (t) = 3 ⇒ f (t) hàm tăng R ⇒ Đồ thị hàm số f (t) cắt đồ thị hàm g(t) điểm Mà f (−1) = nên t = −1 phương trình (2)  nghiệm π x = + k2π Với t = −1 ⇒ sin x = ⇒  (k ∈ Z) 5π x= + k2π π Đối chiếu điều kiện xác định nghiệm x = +k2π (k ∈ Z) thỏa mãn Còn nghiệm 5π 5π x= + k2π (k ∈ Z) loại tan + k2π < 6 13 Chương ỨNG DỤNG 2.1 Ứng dụng lượng giác để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Khi giải toán chứng minh đẳng thức bất đẳng thức, số trường hợp ta chuyển chúng thành toán lượng giác để giải, công việc gọi phương pháp lượng giác hóa Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa xác định thông qua dấu hiệu đặc biệt biến có mặt toán dấu hiệu lại xác định thông qua miền giá trị chúng với công thức lượng giác thông thường Chẳng hạn, khoảng xác định |x| ≤ 1, thông thường đổi biến x = cos t (0 ≤ t ≤ π) điều kiện ràng buộc ẩn quy dạng x2 + y = a2 (a > 0) ta đặt x = a sin α, y = a cos α có x + y + z = xyz, ta đặt x = tan α, y tan β, z = tan γ α + β + γ = kπ Sau đặt ẩn phụ, ta quy toán ban đầu toán lượng giác Giải toán lượng giác, từ ta có kết toán đại số 2.1.1 Ví dụ Ví dụ Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ thỏa mãn điều kiện sau: xy + yz + zx = (1) Chứng minh x (1 + y )(1 + z ) +y + x2 (1 + x2 )(1 + z ) +z + y2 Giải Đặt x = tan α, y = tan β, z = tan γ với α, β, γ ∈ [0, π/2) 14 (1 + x2 )(1 + y ) =2 + z2 Khi (1) có dạng tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = ⇔ tan α(tan β + tan γ) = − tan β tan γ − tan β tan γ ⇔ tan α = = cot(β + γ) tan β + tan γ π ⇔ α + β + γ = + kπ 3π π 3π nên ≤ + kπ < hay − ≤ k < 2 2 π Vì k ∈ Z nên k = Vậy α + β + γ = Ta có: Do α + β + γ ∈ 0; (1 + y )(1 + z ) (1 + tan2 α)(1 + tan2 α) = tan α + x2 + tan2 α cos α sin α = tan α = cos β cos γ cos β cos γ cos(β + γ) cos β cos γ − sin β sin γ = = cos β cos γ cos β cos γ = − tan β tan γ = − yz x Vậy x (1 + y )(1 + z ) = − yz + x2 Tương tự: y (1 + x2 )(1 + z ) = − xz + z2 z (1 + y )(1 + x2 ) = − xy + z2 Từ suy x (1 + y )(1 + z ) +y + x2 (1 + x2 )(1 + z ) +z + y2 Điều phải chứng minh 15 (1 + x2 )(1 + y ) = 3−(xy+yz+zx) = + z2 2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại số Để lượng giác hóa phương trình bất phương trình đại số ta sử dụng nhận xét sau: 1) Nếu −1 ≤ x ≤ tồn α β với − π π ≤ α ≤ ; ≤ β ≤ π cho sin α = x 2 cos β = x 2) Nếu ≤ x ≤ tồn số α, β với ≤ α ≤ π π ≤ β ≤ cho: x = sin π 2 x = cos β 3) Với số thực x, tồn số α với − π π < α < cho x = tan α 2 4) Nếu số thực x, y thỏa mãn x2 + y = tồn số α với ≤ α ≤ 2π cho x = cos α y = sin α Ngoài ra, số dấu hiệu nhằm giúp phát phương pháp lượng giác hóa nhanh - Nếu biến x thỏa mãn điều kiện |x| ≤ a (a > 0) lượng giác hóa cách π π đặt x = a sin α với α ∈ − ; x = a cos α với α ∈ [0; π] 2 - Nếu biến x, y tham gia toán thỏa mãn: a2 x2 + b2 y = c2 với a, b, c > Khi c c ta lượng giác hóa cách đặt x = sin α; y = cos α với α ∈ [0; 2π] a b √ - Nếu toán xuất biểu thức x2 + x2 + lượng giác √ π π hóa cách đặt x = tan α với số α ∈ − ; Khi x2 + = 2 cos α x2 + = cos2 α √ - Nếu toán xuất biểu thức − x2 lượng giác hóa cách √ π π đặt x = sin α với α ∈ − ; , − x2 = cos α Hoặc đặt x = cos α với 2 √ α ∈ [0; π] − x2 = sin α √ - Nếu toán xuất biểu thức x2 − lượng giác hóa cách đặt √ π 3π x= với α ∈ 0; ∪ π; , x2 − = tan α cos α 2 Ngoài ra, số dấu hiệu thông qua công thức hàm số tan , chẳng hạn - Nếu có biểu thức A = a+b lượng giác hóa cách đặt: a = tan α, b = tan β − ab Khi A = tan(α + β) 16 - Nếu có số a, b, c mà a + b + c = abc ta đặt: a = tan α, b = tan β, c = tan α với α + β + α = kπ 2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình Trong hệ phương trình lượng giác, dấu hiệu nhằm phát phương pháp lượng giác hóa giống phần phương trình bất phương trình đại số 2.3.1 Ví dụ Ví dụ Với a, b số cho trước, giải hệ phương trình: x + a2 = y + b y + b2 = (x − b)2 + (y − a)2 Giải Đặt R2 = x2 + a2 ⇒ x = R cos α; a = R sin α Từ R2 = y + b ⇒ y = R cos t; b = R sin t Hệ thức R2 = (x − b)2 + (y − a)2 có dạng: R2 = (R cos α − R sin t)2 + (R cos t − R sin α)2 = R2 (cos2 α − cos α sin t + sin2 t) + R2 (cos2 α2 cos t sin α + sin2 α) = R2 [2 − 2(sin α cos t + cos α sin t)] = 2R2 [1 − sin(α + t)] ⇒ sin(α + t) = = sin 30◦ • Nếu α + t = 30◦ t = 30◦ − α , ta được: √ x + y = R cos t = R cos 30 cos α + R sin 30 sin α = 2 √ x a ◦ ◦ b = R sin t = R cos α sin 30 − R sin α cos 30 = − √ √2 từ suy nghiệm x = 2b + a 3, y = 2a + b ◦ ◦ • Nếu α + t = 150◦ t = 150◦ − α, ta được: √ x y = R cos t = R cos 150 cos α + R sin 150 sin α = − + 2 √ x a b = R sin t = R cos α sin 150◦ − R sin α cos 150◦ = + 2 √ √ từ suy nghiệm x = 2b − a 3, y = 2a − b ◦ ◦ 17 2.4 Ứng dụng lượng giác toán cực trị Phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số với mục đích thay đổi hình thức toán dẫn tới việc tìm GTNN, GTLN hàm số lượng giác Phương pháp đặc biệt tỏ hiệu hàm đại số nhiều ẩn với dạng thường gặp là: "Tìm GTLN GTNN hàm số u = f (x; y), biết x2 + y = Khi ta lựa chọn việc đặt x = cos t y = sin t, t ∈ [0; 2π] Tóm lại, để sử dụng phương pháp lượng giác hóa tìm GTNN, GTLN hàm số ta thự bước sau: • Bước 1: lượng giác hóa hàm số • Bước 2: thực tìm GTLN GTNN hàm số lượng giác • Bước 3: kết luận 2.5 Nhận dạng tam giác Muốn biết tam giác có tính chất (đều, vuông, cân, ) ta thường sử dụng phép biến đổi lượng giác để tính góc cạnh Ngoài ta sử dụng phương pháp khác như: sử dụng phương pháp đánh giá dựa tính chất tam giác hàm số, so sánh cạnh, Để rõ phương pháp ta xét vài ví dụ sau 2.5.1 Ví dụ Ví dụ 10 Chứng minh tam giác ABC cân thỏa mãn hệ thức: C B a) ptan tan = p − c (1) 2 r 2C b) = 2sin + (2) R Giải a) Áp dụng định lý hàm số cosin sin ta có: a2 + b − c p(p − c) C cos = 1+ = 2 2ab ab C p(p − c) C C ⇒ cos = sin = − cos2 = ab 2 18 (p − a)(p − b) ab B C (p − a)(p − b) = , tương tự tan = p(p − c) Khi đẳng thức (1) trở thành Do tan p (p − a)(p − b) p(p − c) (p − a)(p − c) p(p − b) (p − a)(p − c) =p−c p(p − b) ⇔a=b Vậy tam giác ABC cân B r A B C = sin sin sin (3) R 2 A B C cos A + cos B + cos C = + sin sin sin (4) 2 r Nên từ (3) (4) ta có + = cos A + cos B + cos C, đẳng thức tương đương với R r C B−C C = −2 sin + sin cos (5) R 2 C B−C C Thế đẳng thức (5) vào đẳng thức (2) ta được: sin2 − sin cos + =0 2 2 B−C C B−C hay sin =0 + sin − cos  2 2 B−C   B=C sin =0 Tức ⇒ C C B−C  sin = 2 sin − cos =0 2 Vậy tam giác ABC cân C b) Ta có: 2.6 Cực trị tam giác Bài toán tìm GTLN, GTNN biểu thức liên quan đến cạnh, góc đường tam giác toán khó Đòi hỏi người làm phải vận dụng thành thạo công thức lượng giác, đẳng thức bất đẳng thức lượng giác quen thuộc Đồng thời biết kết hợp khéo léo với bất đẳng thức thường dùng bất đẳng thức Côsi, bất đẳng thức Jensen 2.6.1 Ví dụ Ví dụ 11 Cho ABC có cạnh a, b, c la , lb , lc độ dài đường phân giác tương ứng với đỉnh A, B, C Tìm giá trị lớn biểu thức: 1 P = (la + lb ) + (la + lc ) + (lb + lc ) c b a 19 Giải Ta có: S ABC =S ABD +S ADC A A ⇒ bc sin A = cla sin + bla sin 2 2 A A A ⇔ 2bc sin cos = la sin (b + c) 2 A b+c ⇔ cos = la bc A 1 ⇔ cos = la + (1) b c Chứng minh tương tự ta có: 1 + a c 1 + a b B = lb C cos = lc 2 cos (2) (3) Cộng (1), (2) (3) ta được: cos B C A + cos + cos 2 = la 1 + b c + lb 1 + a c + lc 1 + a b 1 = (la + lb ) + (la + lc ) + (lb + lc ) (4) c b a A B C + cos + cos , ta có: 2 A B C π A+B π + cos T + cos = cos + cos + cos + cos ≤ cos 2     π π A+B C A+B C + + − −   4 12  12  = 2.2 cos  cos    2 Đặt T = cos C π + 12  A+B C π + + π π π  12  ≤ 2.2 cos  + = cos  = cos 24  Suy ra: √ √ π π π 3 T + ≤ cos ⇔ T ≤ cos ⇔ T ≤ ⇔ 2T ≤ 3 6 √ A B C Vậy cos + cos + cos ≤3 2 √ √ 1 Theo (4) ta có: (la + lb ) + (la + lc ) + (lb + lc ) ≤ 3 ⇔ P ≤ 3 c b a √ Vậy P đạt GTLN 3, xảy ABC tam giác 20 [...]... thể đặt: a = tan α, b = tan β, c = tan α với α + β + α = kπ 2.3 Ứng dụng lượng giác để giải hệ phương trình Trong hệ phương trình lượng giác, các dấu hiệu nhằm phát hiện được phương pháp lượng giác hóa cơ bản giống trong phần phương trình và bất phương trình đại số 2.3.1 Ví dụ Ví dụ 9 Với a, b là 2 số cho trước, giải hệ phương trình: x 2 + a2 = y 2 + b 2 y + b2 = (x − b)2 + (y − a)2 2 Giải Đặt R2 =... lại, để sử dụng phương pháp lượng giác hóa tìm GTNN, GTLN của hàm số ta thự hiện các bước như sau: • Bước 1: lượng giác hóa hàm số • Bước 2: thực hiện tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác • Bước 3: kết luận 2.5 Nhận dạng tam giác Muốn biết một tam giác có tính chất gì (đều, vuông, cân, ) ta thường sử dụng các phép biến đổi lượng giác để tính các góc hoặc cạnh Ngoài ra ta còn sử dụng các phương pháp khác... một số trường hợp ta có thể chuyển chúng thành các bài toán lượng giác để giải, công việc này được gọi là phương pháp lượng giác hóa Việc lựa chọn phương pháp lượng giác hóa được xác định thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến có mặt trong bài toán và các dấu hiệu đó lại được xác định thông qua miền giá trị của chúng cùng với các công thức lượng giác thông thường Chẳng hạn, nếu khoảng xác định... (1 + x2 )(1 + y 2 ) = 3−(xy+yz+zx) = 2 1 + z2 2.2 Ứng dụng lượng giác để giải phương trình đại số, bất phương trình đại số Để lượng giác hóa các phương trình và bất phương trình đại số ta sử dụng các nhận xét sau: 1) Nếu −1 ≤ x ≤ 1 thì tồn tại α và β với − π π ≤ α ≤ ; 0 ≤ β ≤ π sao cho sin α = x 2 2 và cos β = x 2) Nếu 0 ≤ x ≤ 1 thì tồn tại các số α, β với 0 ≤ α ≤ π π và 0 ≤ β ≤ sao cho: x = sin π 2... sin = 2 sin − cos =0 2 4 2 2 2 Vậy tam giác ABC cân tại C b) Ta có: 2.6 Cực trị tam giác Bài toán tìm GTLN, GTNN của các biểu thức liên quan đến các cạnh, các góc và các đường trong tam giác là bài toán khó Đòi hỏi người làm phải vận dụng thành thạo các công thức lượng giác, đẳng thức và bất đẳng thức lượng giác quen thuộc Đồng thời biết kết hợp khéo léo với các bất đẳng thức thường dùng như bất đẳng... Hệ này vô nghiệm, vậy phương trình đã cho vô nghiệm 12 1.10.4 Dùng hàm số để giải phương trình lượng giác 1.10.4.1 Ví dụ Ví dụ 7 Giải phương trình sau: 2 log3 tan x = log2 sin x (1) Giải tan x > 0 Điều kiện xác định: sin x > 0 Khi đó phương trình đã cho tương đương với: log3 tan2 x = log2 sin x sin2 x ⇔ log3 = log2 sin x 1 − sin2 x Đặt t = log2 sin x ⇒ sin x = 2t Thay vào phương trình ta được: 4t =t... của a thì phương trình: 1 + sin2 ax = cos x có nghiệm duy nhất Giải Vì phương trình đối xứng theo x, nên nếu có nghiệm thì x cũng có nghiệm −x Vậy muốn có nghiệm duy nhất thì x = −x ⇒ x = 0 Do sin x và cos x là các hàm tuần hoàn, nên nếu a hữu tỷ thì sin ax tuần hoàn và do đó phương trình có nghiệm khác 0 Vậy để phương trình có nghiệm duy nhất thì a vô tỷ 1.10.1.2 Bài tập Bài 1 Giải các phương trình sau:... với ∀x > 0 x Bài 5 Giải phương trình: ln | cos x| + sin5 x − 1 = 0 11 1.10.2 Biến đổi vế trái của phương trình f (x) = 0 về tổng các hạng tử cùng dấu Nếu f (x) = 0 ⇔ f1 (x) + f2 (x) + + fn (x) = 0 Với fi (x) ≥ 0 hoặc fi (x) ≤ 0 với ∀i = 1, n thì:  f1 (x) = 0    f2 (x) = 0 f (x) = 0 ⇔    fn (x) = 0 1.10.3 Dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác Ta thường dùng các bất đẳng thức cơ bản... suy ra nghiệm x = 2b − a 3, y = 2a − b 3 ◦ ◦ 17 2.4 Ứng dụng lượng giác trong bài toán cực trị Phương pháp lượng giác hóa để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số với mục đích thay đổi hình thức của bài toán dẫn tới việc tìm GTNN, GTLN của hàm số lượng giác Phương pháp này đặc biệt tỏ ra hiệu quả đối với các hàm đại số nhiều ẩn với dạng thường gặp nhất là: "Tìm GTLN và GTNN của hàm số u =... a, b, c > 0 Khi đó c c ta có thể lượng giác hóa bằng cách đặt x = sin α; y = cos α với α ∈ [0; 2π] a b √ - Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức x2 + 1 hoặc x2 + 1 thì có thể lượng giác √ π π 1 hóa bằng cách đặt x = tan α với số α ∈ − ; Khi đó x2 + 1 = và 2 2 cos α 1 x2 + 1 = cos2 α √ - Nếu trong bài toán xuất hiện biểu thức 1 − x2 thì có thể lượng giác hóa bằng cách √ π π đặt x = sin α với α ∈ −