Đây là tài liệu tổng hợp một số kinh nghiệm của a - SV KSTN K60 ĐH BKHN, dành cho các e SV các khóa sau mới vào và học môn Giải tích đại cương, cụ thể là kinh nghiệm thi cuối kì GT2 và GT3. Đó phần lớn là những kinh nghiệm đặc biệt a rút ra trong quá trình học. Hi vọng giúp đỡ các e phần nào! :)
Trang 1GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG
Kỹ thuật giải & Kinh nghiệm thi cuối kì II
Lâm Hữu Minh∗Ngày 7 tháng 6 năm 2016
Tóm tắt nội dungTài liệu ngắn này sẽ cung cấp đến các bạn một số kỹ thuật bổ sung ngoài những phươngpháp cơ bản để phục vụ cho việc thi cuối kì môn Giải tích II và III, bao gồm 4 phần quantrọng là: Tích phân bội, Tích phân đường và tích phân mặt, Chuỗi, và Phương trình viphân
Tài liệu không mang tính hệ thống lại lý thuyết hay công thức, mà là sự khám phá
mở rộng, gồm những kỹ thuật ghi nhớ công thức và một số phương pháp giải nhanh, bảnchất công thức, hay lưu ý quan trọng khi làm bài Đó đều là những kinh nghiệm của tôitrong quá trình học, nhưng do thời gian hạn hẹp nên không thể đưa hết vào đây được.Tài liệu đặc biệt thích hợp với những bạn theo học nghành Toán - Tin nói riêng và tất
cả những ai có sự yêu thích đối với Toán học và đam mê khám phá nói chung Một sốphương pháp tôi đưa ra có thể ứng dụng vào việc lập trình những phần mềm liên quanđến việc tính toán, phân tích
Mong rằng các bạn sẽ thấy nó có ích cho kì thi cuối kì 2, và quan trọng là hãy chia
sẻ cho bạn thân của mình!
∗ SV ĐH Bách Khoa HN, sherlockttmt@gmail.com
Trang 2Mục lục
1.1 Cách vẽ miền D và V 3
1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu? 9
1.3 Lưu ý khi đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu 10
2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT 11 2.1 Tham số hóa tích phân đường cong kín 11
2.2 Tích phân đường sang tích phân suy rộng 12
2.3 Tìm hàm số có vi phân toàn phần đã biết trước 12
2.4 Làm gọn tích phân đường loại 2 14
2.5 Tính toán nhanh hơn trong tích phân mặt loại 2 16
3 CHUỖI 18 3.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm bất kì 18
3.2 Xét hội tụ của chuỗi ∞ X n=1 lnpf1(n) q pf2(n) . 19
3.3 Tính đạo hàm hoặc tích phân của chuỗi hàm 19
3.4 Nhớ khai triển Maclaurin các hàm cơ bản 20
3.5 Xét tính hội tụ dạng chuỗi ∞ − ∞ và 0 − 0 21
4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 23 4.1 PTVP không mẫu mực 23
4.2 Đưa PTVP về dạng đẳng cấp 23
4.3 Đưa PTVP về dạng toàn phần 23
4.4 Tách phân thức hữu tỉ nhanh nhất 24
Trang 31 TÍCH PHÂN BỘI
1.1 Cách vẽ miền D và V
Nhiều bạn hỏi: khi nào cần vẽ hình trong bài toán tích phân bội khi làm bài thi?
Câu trả lời đơn giản thôi: vẽ được thì hãy vẽ ra, không vẽ nổi hoặc hình quá phức tạp thì thôi,cái quan trọng là tìm được cận, vì đôi khi, chỉ cần đổi biến số 1 phát là ra luôn tích phân mà khôngcần giải thích bằng hình, và trong ứng dụng thực tế, người ta cũng cố hạn chế việc phải dựa vào hình
vẽ như vậy vì không phải cái gì cũng có thể thấy rõ ràng được mà phải tư duy trừu tượng! Nếu ở lớp
12 các bạn học hình không gian tốt (có thể vừa đọc đề vừa tưởng tượng, tính toán không cần nháp) thìmục này không quan trọng lắm đâu!
Sau đây, tôi sẽ cung cấp cho các bạn một phương pháp đơn giản để phác thảo được hầu hết cácmặt trong không gian mà bài toán tích phân bội trong đề thi có thể ra, tôi gọi nó là phương pháp tổngquát hóa
Tóm tắt: ta sẽ xây dựng một vài phần đơn giản của mặt, sau đó liên kết các phần với nhau và dùng trínhớ của ta về những hình không gian mẫu đã từng thấy, sự liên hệ từ 2 chiều sang 3 chiều để đưa radạng đúng, hoặc dạng gần đúng (phác thảo) của mặt cần tìm Nói cách khác: ta dựa vào một số tínhchất đặc biệt để từ một vài nét riêng tổng quát thành hình đầy đủ!
Đầu tiên, ta cần nắm các tính chất sau đây:
?) Xét mặt (S) trong không gian có PT z = f (x, y), (S) là mặt đối xứng qua:
a) mp Oxz nếu f (x, −y) = f (x, y)
b) mp Oyz nếu f (−x, y) = f (x, y)
c) trục Oz nếu f (−x, −y) = f (x, y) (hay gặp (S) là mặt tròn quay trục Oz)
d) trục Ox nếu f (x, −y) = −f (x, y)
e) trục Oy nếu f (−x, y) = −f (x, y)
f) gốc tọa độ nếu f (−x, −y) = −f (x, y) (hay gặp (S) là mặt kín tâm ở gốc tọa độ)
(Nếu cho PT dạng y = f (x, z) hay x = f (y, z) cũng tương tự)
?) Nếu mặt (S) đối xứng qua trục Oz, thì giao tuyến (nếu có) của nó với 2 mp Oxz và Oyz là cácđường đối xứng qua Oz, giao tuyến của nó với mp Oxy (nếu có) là đường nhận gốc O làm tâmđối xứng (tương tự khi (S) đối xứng qua Oy, Oz)
?) Nếu mặt (S) đối xứng qua mp Oxz, thì hình chiếu D của nó xuống mp Oyz và Oxy lần lượtnhận Oz và Ox làm trục đối xứng
?) Mặt (S) là mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz khi PT của (S) không chứa z (tương tựvới Ox, Oy)
Trang 4Sau đây ta xét vài VD vẽ mặt từ cơ bản đến phức tạp Theo như tóm tắt phương pháp ở trên, ta cầnphải nhớ hình dạng một số mặt cơ bản, và 6 VD đầu tiên là các mặt cơ bản (quy ước gọi tất cả các mặttrong 6 VD đó là mặt (S)) Vì lí do kỹ thuật nên tôi không thể đưa được bất cứ hình ảnh minh họanào vào tài liệu này, vì thế các bạn hãy vẽ hình đàng hoàng ra giấy nháp và tưởng tượng theo hướng dẫn!
2
p +
y2
q , vì f (−x, −y) = f (x, y) nên mặt (S) nhận trục Oz làm trục đối xứng, do
đó 2 giao tuyến của nó với Oxz và Oyz là đều là các đường đối xứng qua Oz
Bây giờ, từ 2 giao tuyến đã tìm được, các bạn có thể sử dụng trí tưởng tượng của mình để tổngquát hóa nó thành toàn bộ mặt (S) của chúng ta được chứ?
Vâng, nó chính là mặt Paraboloit eliptic, đây là 1 tên gọi ghép, thể hiện rằng nó là 1 parabol khônggian, nhưng cái "miệng" của nó ở phía trên (là giao tuyến của nó với mp z = h > 0) thì là 1 elip
2
p và z = −
y2
q ,nhưng không đơn giản để liên kết 2 cái giao tuyến đó lại với nhau vì chúng ngược nhau!
Nhận thấy, nếu cho y = h, thì z = x
Bây giờ lại coi x là hằng số, nghĩa là khi ta quét (S) bằng mp x = k song song với Oyz, thì thuđược 1 họ các parabol hướng xuống z = −y
Trang 5bolic" ở đây vì khi cắt mặt này bằng mp z = h thì giao tuyến thu được nhìn chung là hypebol x
2
p −
y2
q = hĐặc biệt, giao tuyến của (S) với mp Oxy là cặp đường thẳng √x
Rất nhiều người đã biết đến mặt này, vì vậy chúng ta đi nhanh qua thôi
Nó là mặt Elipxoit, vì các giao tuyến của nó với các mp tọa độ đều là các elip có tâm là O (lầnlượt cho x, y, z bằng 0 sẽ thấy ngay)
Trường hợp đặc biệt của nó là mặt cầu quen thuộc, khi a = b = c = R
Cho z = 0, giao tuyến của (S) với Oxy là elip x
c2 = 1, và giao tuyến của (S) với Oyz cũng là 1 hypebol tương tự
Giả sử dùng mp z = h song song với Oxy quét qua (S), tập các giao tuyến thu được đều là elip:
Bằng cách vẽ tầm 5 elip của họ (elip đầu tiên là x
2
a2+y
2
b2 = 1 đã vẽ rồi), ta dễ dàng tổng quát hóa mặt (S)!
(S) được gọi là mặt Hypeboloit một tầng, để hiểu rõ hơn tên gọi này hãy làm tiếp VD5
Có lẽ nhiều người sẽ thấy khó tin khi biết rằng, mặt Hypeboloit 1 tầng uốn cong 1 cách mềm mạinày thực chất được tạo bởi vô số đường thẳng! Mặc dù điều đó đã có nói trong sách Toán THPT
Mặt này cũng nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, nhưng không giao với Oxy mặc dù nó "có mặt"
ở cả phần dương và âm của Oz, vì khi z = 0 thì x
2
a2 +y
2
b2 = −1 vô nghĩa!
Trang 6Như vậy ta chỉ cần vẽ (S) với z > 0, rồi lấy đối xứng qua mp Oxy là được toàn bộ mặt (S).
Cuối cùng, lấy đối xứng phần vừa vẽ được qua Oxy, ta sẽ được tầng thứ 2 của mặt (S), đó là lí
do vì sao (S) có tên là mặt Hypeboloit hai tầng
x
a +
zc
Tương tự, giao điểm giữa (S) và Oyz là cặp đường thẳng y
Cũng như VD4, mặt nón này là quỹ tích của 1 đường thẳng, khi ta xoay đường thẳng đó quanh
1 trục không trùng với nó và đi qua 1 điểm cố định trên nó Nếu trục xoay không cắt đường thẳng này,khi đó mặt tạo ra sẽ là Hypeboloit 1 tầng!
Trong các bài toán tích phân bội, người ta thường cho mặt này là z =px2+ y2
Nhận xét Nói chung, trong 6 VD đầu tiên này, mỗi VD đều có nhiều hơn 1 cách để tổng quáthóa, các bạn hãy tự làm thêm những cách khác, ngoài việc nắm thêm được nhiều tính chất thì còngiúp ta nhìn bài toán từ nhiều góc độ khác nhau, từ đó có thêm kinh nghiệm khi gặp phải những mặt
"không mẫu mực"!
Ví dụ 7.z =√x + y
Trang 7Nhìn đơn giản mà không đơn giản đâu nhé! Các bạn hãy thử vẽ nó xem sao, liệu có chút gì giống
6 mặt cơ bản phía trên chăng?
Ta gọi nó là mặt (K) cho đỡ chán! Nó không có tính chất nào về đối xứng như lý thuyết đã nêu,
ta tìm giao tuyến của nó với Oxy bằng cách cho z = 0 ⇒ y = −x, giao tuyến là 1 đường thẳng qua gốctọa độ
Giao tuyến với Oxz và Oyz: lần lượt cho y = 0 và x = 0 ⇒ z =√x và z =√y
Với 3 cái giao tuyến đã vẽ được, 1 thẳng 2 cong có vẻ méo liên quan gì đến nhau cả, liệu có thểtổng quát hóa được không?
Ta sẽ quét 1 họ giao tuyến của (K) bằng mp y = k song song với Oxz, giao tuyến là nửa đườngparabol z = √x + k (do z ≥ 0) Vì điều kiện là x ≥ −k nên họ nửa đường parabol này đều có đỉnhnằm trên đường y = −x (chính là giao tuyến của (K) và Oxy) Ta vẽ khoảng dăm ba đường trong họnày để tí nữa tổng quát hóa cho dễ
Tương tự, khi quét (K) bằng mp x = h song song với Oyz, ta cũng thu được họ nửa đường parabol
z = √y + h, cũng có đỉnh nằm trên đường y = −x, nói chung là giống y hệt họ kia chỉ khác là 2 họnằm "vuông góc" nhau vì 2 mp quét vuông góc với nhau
Như thế là quá đủ để ta vẽ được chính xác mặt (K) rồi! Xem ra cũng không khó lắm, cái khó ởđây chỉ là sự khác biệt với 6 mặt cơ bản vì không có yếu tố đối xứng như lý thuyết đã nêu, do vậy kháchẳn với 6 VD trước đó Dẫu sao vẽ mặt có sự đối xứng vẫn dễ hơn
Sau khi đã vẽ xong, ta lại nhận ra 1 tính chất như thế này: mặt z = √x + y có thể có được bằngcách xoay mặt z = √x hoặc z = √y 1 góc 45o quanh trục Oz Lí do vì 3 mặt đó giống nhau, đềuhợp bởi các nửa parabol có đỉnh xuất phát từ 1 đường thẳng: mặt z = √x là mặt trụ có đường sinhsong song với Oy nên các đỉnh parabol nằm trên Oy, tương tự, mặt z =√y có các đỉnh parabol nằmtrên Ox, mặt z =√x + y có các đỉnh nằm trên x+y = 0, mà đường x+y = 0 đều hợp với Ox, Oy góc 45o
Nếu khám phá, có lẽ các bạn sẽ đặt câu hỏi: nếu chỉ quay như vậy thì liệu mặt z = √x có trùnghoàn toàn với z =√x + y hay không? Chắc chắn là có, vì khi cắt mặt (K) bằng mp z = h, ta đượcđường x + y = h2, và khi cắt 2 đường parabol z = √x và z = √y cũng bằng z = h, 2 điểm cắt là(h2; 0; h) và (0; h2; h) cũng nằm trên x + y = h2 Điều đó chứng tỏ 3 mặt trụ nửa parabol (K), z =√x
và z =√y giống hệt nhau Và vì vậy ta có thể xây dựng (K) bằng 1 phép xoay, dễ hình dung hơn nhiều!
Trang 8x2 + y2 = 2ax ⇔ (x − a)2 + y2 = a2 là 1 mặt trụ có đường chuẩn là đường tròn tâm (a; 0) trênOxy, đi qua O, còn x2+ y2 = 2az là paraboloit, có đỉnh tại O, do đó giao tuyến của chúng chắc chắn
đi qua O Kết hợp 2 PT ta được x2+ y2 = 2ax = 2az ⇒ giao tuyến đó nằm trên mp z = x, hay chính
là giao của trụ x2+ y2 = 2ax và mp z = x Mp z = x là phân giác của 2 mp Oxy và Oyz, do đó vẽđơn giản cái giao tuyến, nó là 1 elip
Vậy nếu hỏi cận thì ta có:
Ta sẽ làm khác với 6 VD đầu: xác định giao tuyến của (K) với 2 mp z = x và z = y Thay lầnlượt z = x và z = y vào PT của (K) ta thu được y2+ 2z22
= a2y2 và x2+ 2z22
= a2x2
Ta có: y2+ 2z22 = a2y2 ⇔ y2+ 2z2− ay
y2+ 2z2+ ay = 0, đó là cặp đường y2+ 2z2± ay = 0.Tuy nhiên đường y2+ 2z2+ ay = 0 chỉ là 1 điểm gốc vì y ≥ 0, do đó ta xét z =
2p2 (−y2+ ay) Như vậy đường y
2+ 2z2− ay = 0 đồng biến với z khi 0 ≤ y ≤ a
Cuối cùng thì ta đã vẽ xong 3 cái giao tuyến của (K) với 3 mp Oxy, z = x và z = y trong gócphần tám thứ nhất, lần lượt có PT x2+ y2 = a2, y2+ 2z2− ay = 0 và x2+ 2z2 − ax = 0 (2 cái saugiống hệt nhau) Từ đây, ta bắt đầu tổng quát hóa
Trong góc phần tám thứ nhất, (K) giống như 1 cái gì đó rất khó miêu tả nếu không có hình ảnh!Tuy nhiên sau khi lấy đối xứng nó qua các mặt phẳng tọa độ, thì toàn bộ mặt (K) giống như 1 chiếcbánh dầy, mép tròn, nhưng chính giữa bị đâm lõm vào đến tâm (gốc O), và trục Oz xuyên qua đó! Nó
có thể quay quanh Oz như 1 chiếc bánh xe!
Nhận xét Những bài toán kiểu này rất thích hợp để rèn luyện tưởng tượng đấy! Việc tưởng tượngnằm ở bước tổng quát hóa, khi đó não ta phải tìm 1 hình dạng thích hợp nào đó để nó có thể sinh ranhững giao tuyến đã vẽ được, nói chung là phải thỏa mãn đầy đủ các tính chất đã khảo sát Phương
Trang 9pháp quét mặt cần vẽ bằng 1 mặt phẳng có vector pháp tuyến cố định để xác định 1 họ giao tuyến cóthể ứng dụng trong Đồ họa để lập trình vẽ các mặt trong không gian 3 chiều với PT cho trước!
Tóm lại, sơ sơ mấy bài đơn giản như vậy để các bạn nắm bắt được phương pháp thôi, không cầnphải dài dòng quá, vì trong đề thi sẽ không có 1 mặt nào có hình dạng quá quái gở đâu, hơn nữa cónhiều cách đổi biến để tìm được cận mà không cần phải xác định hình dạng mặt gốc Chẳng hạn VDcuối, trong bài thi thực tế ta sẽ chuyển sang tọa độ cầu!
1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu?
Ta có 3 bộ công thức đổi biến (đổi tọa độ) sau đây trong tích phân bội:
ai thấy khó nhớ hệ CT thứ 3 có thể viết ra nó một cách dễ dàng như hệ CT thứ nhất, thậm chí ngay
cả khi không làm BT nhiều, vì thực ra cả 3 bộ đều có chung 1 quy tắc (bản chất)!
Bây giờ tôi sẽ viết tắt "HTĐ" thay cho "hệ tọa độ"
Đúng ra HTĐ thứ nhất ở trên phải gọi là tọa độ tròn thì đúng hơn là tọa độ cực, vì miền D sẽđược bao ở trong hình tròn x2+ y2 ≤ r2, và được biểu diễn qua các thông số của hình tròn đó HTĐthứ 2 với thứ nhất thực ra là một, vì thêm trục Oz vào thì hình tròn x2+ y2≤ r2 sẽ được kéo dài theo
Oz thành 1 hình trụ (tọa độ trụ), bản chất không khác gì nhau, đó là lí do tại sao định thức Jacobicủa cả 2 hệ này đều là J = r!
Tuy nhiên hệ CT thứ 3 thì lại có J = −r2sin θ, đó là sự khác biệt, ta sẽ tìm ra điểm chung với 2
hệ kia
Dễ thấy điểm chung thứ nhất là cả 3 hệ đều liên quan đến hình tròn! HTĐ cực thì là hình tròn
x2+ y2 ≤ r2 trong mặt Oxy, HTĐ trụ thì là một hình trụ có trục là Oz Hình chiếu của cả 2 hệ nàylên Oxy đều là hình tròn x2+ y2≤ r2, tham số hóa đường tròn đó ta thu được x = r cos ϕ, y = r sin ϕ
Vì HTĐ trụ khi chiếu hình trụ lên Oyz và Oxz đều không thu được hình tròn, nên đối với trục z chỉgiữ nguyên là z = z mà thôi
Như vậy khi 1 HTĐ chiếu lên 1 mặt phẳng tọa độ nào đó cho hình chiếu là 1 đường tròn, thì ứngvới mặt đó ta sẽ có hệ thức dạng
Trang 10, kết hợp với hệ thức đầu, ta thu được kết
quả lâu nay vẫn dùng (mà méo hiểu lắm!):
+ Góc ϕ là góc của Ox, nên chỉ x chứa cos ϕ, các trục còn lại phải lấy sin ϕ, tuy nhiên Oz khôngnằm trong mp của ϕ (là mp Oxy) nên z không chứa sin ϕ, vậy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (như CT đổitọa độ cực)
+ Góc θ là góc của Oz, nên chỉ z được lấy cos θ, tức là z = r cos θ, các trục còn lại phải lấy sin θ, dogóc θ quay cả trong Oxz và Oyz, nên bổ sung thêm x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ Xong!
Nhận xét Cái khó chịu khi học Toán Cao Cấp là có quá nhiều thứ khó hiểu mà không biết phảilàm sao! Hãy tìm cách hiểu bản chất của nó, đó mới đúng là học Toán Cao Cấp, không như ở THPT
ôn thi ĐH chủ yếu tập trung vào các kỹ thuật và công thức giải BT
1.3 Lưu ý khi đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu
1 Khi tính
Z Z
D
f (x, y)dS, mà miền D chứa PT kiểu đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (hoặc
elip), f (x, y) cũng chứa PT đường tròn (elip) nhưng khác, chẳng hạnp(x − m)2+ (y − n)2+ p,thì không nên sử dụng tọa độ cực
Ví dụ 1.Tính diện tích σ của phần mặt x2+ y2 + z2 = 4 phía trong mặt x
Trang 11Đến đây sẽ có nhiều người nghĩ ngay đến việc chuyển sang tọa độ cực, vì thấy cả miền Dlẫn hàm dưới dấu tích phân đều có thể "làm đẹp" trong tọa độ cực Tuy nhiên miền D là PT củaellipse, hàm dưới dấu tích phân lại liên quan đến 1 đường tròn khác, do đó nếu đặt tọa độ cựcsuy rộng theo D thì sẽ làm chop4 − x2− y2 phức tạp thêm, và ngược lại.
Vậy ta sẽ tính như bình thường thôi, tưởng tượng qua có vẻ sẽ cồng kềnh nhưng phải đặt bút rồimới được nhận xét:
Z
0
dyp
q 1− x2 4
Ví dụ 2.Tính I =
Z Z Z
V
zp
Chính vì lúng túng này, ta chỉ nên đổi sang tọa độ trụ thôi:
√3a2− r2
Z
r2 2a
Trang 12f ds bằng cách tham số hóa đường cong C, khi đó ta tham số sang dạng lượng giác, thì mới
có 2 giá trị của tham số để biểu thị cùng 1 điểm trên C (đường cong kín)
Ví dụ 1.Tính
I
C
p2y2+ z2ds với C :
+∞
Z
−∞
f (x(t), y(t), z(t))px02(t) + y02(t) + x02(t)dt
Ví dụ 1.Tính độ dài s của đường x = aetcos t, y = aetsin t, z = aet từ (0; 0; 0) ,→ (a; 0; a)
Ta có: ds =px02(t) + y02(t) + z02(t)dt =pa2e2t((cos t − sin t)2+ (cos t + sin t)2+ 1)dt = aet√
3dt
Tìm cận t: tại (0; 0; 0) ta có z = aet = 0 ⇒ t = ??? Rõ ràng không tìm được giá trị cụ thể nàocủa t! Do đó ta cho t → −∞, thì cả x, y, z → 0, vậy điểm (0; 0; 0) ứng với t = −∞ Còn điểm (a; 0; a)thì t = 0 rồi Vậy tích phân như sau:
s =Z
√
3 (đvđd)
2.3 Tìm hàm số có vi phân toàn phần đã biết trước
Cái này là để phục vụ cho việc làm gọn tích phân đường loại 2
Sau đây là cách làm tổng quát cho 2 biến và 3 biến (nhiều biến dễ dàng suy ra công thức tươngtự):
Trang 131 Tìm u biết du = P dx + Qdy, đã học bên PT vi phân toàn phần:
P dx + C(y) = F (x, y) + C(y) (C(y) là hàm cần tìm tiếp theo), do đó:
u0y = Fy0(x, y) + C0(y) = Q ⇔ C0(y) = Q − Fy0(x, y) ⇒ C(y) =
Z(Q − Fy0)dy
2 Tìm u biết du = P dx + Qdy + Rdz, tương tự:
Cách 2 Tính nguyên hàm - đạo hàm riêng
⇒ u0z = Fz0+ G0z+ K0(z) = R ⇔ K0(z) = R − Fz0 − G0z ⇒ K(z) =
Z(R − Fz0− G0z)dz
Bây giờ ta sẽ làm 2VD:
Ví dụ 1.Tìm hàm u biết du =
2 + xsin y
dx −(x
2 + 1) cos y
2 sin2y dy
Trang 142 sin2ydy =
1
2 sin y + CVậy u = 2x + x
Trang 15Tích phân
C
P1dx + Q1dy sau đó sẽ đơn giản hơn tích phân ban đầu rất nhiều Đối với tích phân đường
loại 2 trong không gian 3 chiều
Với C : x2 + y2+ 3 = 4x, y ≤ 0, hướng từ A(1; 0) ,→ B(3; 0)
Câu này trong đề thi cuối kì KSTN K59! Ta sẽ giải 3 cách, xem các bạn thấy cách nào đơn giảnnhất và thông minh nhất!
Cách 2 Tham số hóa Ta có C: (x − 2)2+ y2 = 1, do đó tham số C: x = 2 + cos t, y = sin t Khi
đó t : π ,→ 0 và dx = − sin tdt, dy = cos tdt, thay vào ta được:
I =
0
Z
π
−√5 + 2 cos t sin tdt + sin t sin t(2 + cos t) + ln 2 + cos t +√5 + 2 cos t cos tdt
Có lẽ chúng ta nên đưa tích phân này cho các bạn lớp 12 tính để dành thời gian đọc cách 3!Cách 3 Rút gọn tích phân Ta tách như sau:
sin2t cos t(2 + cos t)dt = −π
8 (tách ra 2 cái là xong thôi!).
Vậy: I = 4 − π
8
Trang 16Mấu chốt ở đây là khi tính
C
P dx + Qdy, trước tiên ta so sánh Py0 và Q0x, nếu chúng bằng nhau thì
chỉ cần tìm hàm u sao cho du = P dx + Qdy là xong, nếu không thì xem xét tách bớt ra ngoài một sốthành phần trong P và Q sao cho đống còn lại là 1 vi phân toàn phần của hàm u nào đó Có lẽ nênlàm thêm 1 VD nữa để so sánh các cách kỹ hơn
x +
y
xcos
yx
dy
Đây cũng là 1 câu trong đề thi cuối kì của KSTN, K60! Đề cho cộc lốc thế này thì chỉ có thể làtích phân không phụ thuộc đường, nhưng cũng phải kiểm tra cho nó đầy đủ các giai đoạn
Vì vậy, ta chọn đường thẳng cho đơn giản: y = πx ⇒ dy = πdx, thay vào được:
(2;2π) (1;π) = 1
Vâng! Đối với VD này thì cách nhóm vi phân tốn thời gian hơn (chủ yếu ở việc tìm hàm u), nhưng đềukhông khó
Nói chung: nếu người ta không cho đường C, thì chỉ cần chứng minh lại là "tích phân không phụthuộc đường", tiếp theo nên dùng cách chọn C là đường thẳng nối 2 điểm, còn nếu P dx + Qdy khácồng kềnh thì ta sẽ đưa về du
2.5 Tính toán nhanh hơn trong tích phân mặt loại 2
Trang 17Phương trình miền trên và dưới lần lượt là: x = f (y, z), x = g(y, z), vậy:
I1 =
Z Z
D 1
(P (f, y, z) − P (g, y, z))dydz
(Trên lấy dấu dương, dưới lấy dấu âm)
?) Bước 3: lặp lại bước 2 cho I2 (tích phân với Oy) và I3 (tích phân với Oz), rồi cộng các kết quảlại
Như vậy nếu mặt S bao gồm các mặt cong trơn từng mảnh, thì những mặt có vai trò giống hệt nhau
ta chỉ cần tính tích phân cho 1 mặt rồi nhân lên, hoặc 1 mặt nào đó mà các trục tọa độ có vai trò nhưnhau đối với nó, ta cũng tính đối với 1 trục rồi nhân lên
Tất nhiên nếu S là mặt kín đã thấy thỏa mãn điều kiện định lý Ostrogradsky thì áp dụng định lýnày vẫn là nhanh nhất!
PT của S đối với mp Oyz (hay với trục Ox) là: x = ±pa2− y2− z2 Hình chiếu của S lên Oyz
là nửa hình tròn D1: y2+ z2≤ a2 ứng với z ≥ 0, biên của D1 chia S thành 2 phần: phần trên (x ≥ 0)