bất đẳng thức hình học

Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Tiền bạc ? Rồi hết Sắc đẹp ? Rồi phai … Chỉ có : Tri thức vào khồi óc Tình cảm vào tim Sẽ Sống với thời gian (Trần Phương 1990) Cuộc sống người liên tục kiếm tìm khẳng địng giá trị thân Mỗi vật có chỗ đứng giới thay đổi nhờ giá trị người ta không nhận vật nhận giá trị quan hệ so sánh Chính quan hệ tạo bất đẳng thức Bất đẳng thức Hình học sống Vì kính gừi đến quí thầy cô bạn chuyên đề vế “Bất đẳng thức Hình học”, mong muốn người bạn thân thiết người yêu Toán học Trong trình soạn thảo, dù cố gắng, chắn chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót định mong nhận ý kiến đóng góp từ quí thầy cô bạn Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Chương 1: Các kiến thức hình học số bất đẳng thức thường dùng………… Chương 2: Bất đẳng thức Hình học……….……… ………………………………………… 13 • Bất đẳng thức tam giác………………………… ……………………….………13 • Bất đẳng thức đa giác giác hình tròn…………………………………… 23 • Bất đằng thức diện tích……………………………………………………………… 31 • Bất đẳng thức khác ………………………………………………………………………36 Chương 3: Bài tập tự rèn luyện bất đẳng thức Hình học ……………………………………47 Phụ lục: Sơ lược vài nét Lịch sử Toán học …………………………………………………52 Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học (O) : Đường tròn tâm O (O; R) : Đường tròn tâm O, bán kính R ∆ABC : Tam giác ABC SABC Tác giả: Phạm Trung Vinh : Diện tích ∆ABC (ABC) : Đường tròn ngoại tiếp ∆ABC a,b,c : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ∆ABC ha, hb, hc : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC ma, mb, mc : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC la, lb, lc : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ∆ABC R, r : Bán kính đường tròn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ra, rb, rc : Bán kính đường tròn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ∆ABC đpcm : Điều phải chứng minh 2p : Chu vi tam giác n ∑a k =1 k n ∏a k =1 k = a1 + a2 + + an = a1a2 an Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Ở chương này, nhắc lại số kiến thức hình học số bất đẳng thức thường sử dụng Chương gồm phần: • Các kiến thức hình học • Một số bất đẳng thức thường dùng I Các kiến thức hình học: Định lí 1: Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, d khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Khi đó,ta có 2Rr = R2 – d2 Định lí 2: Cho ∆ABC Nếu · ABC > · ACB AC > AB ngược lại Định lí 3: Cho trước ∆ABC ∆A’B’C’ có cặp cạnh AB = A’B’ AC = A’C’ Ta có bất · · đẳng thức BAC > B ' A ' C ' BC > B’C’ Định lí 4: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N dường thẳng d cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài (tương tự cho mặt phẳng (P) bất kì) Định lí 5: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N mặt phẳng (P) cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài Định lí 6: tam giác vuông ABC A’B’C’ có µ = µ ' = 900 AB = A’B’ Nếu A A · ABC ≥ · ' B ' C ' AC ≥ A’C’ A Định lí 7: Trong góc tam diện, mặt nhỏ tổng hai mặt Định lí 8: Tổng mặt góc đa diện lồi nhỏ 2π Định lí 9: Tổng góc nhị diện góc tam diện lớn π nhỏ 3π Định lí 10: Bán kính hai đường tròn R ≥ r, khoảng cách tâm chúng d Điều kiện cần đủ để hai đường tròn cắt R – r ≤ d ≤ R + r Định lí 11: Các số dương a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b > c, b + c > a c + a > b Định lí 12: Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác.Khi ta có: MB + MC < AB + AC Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Định lí 13: Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác ngắn Định lí 14: Trong tam giác ABC kí hiệu độ dài đường cao, la độ dài đường phân giác, ma độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ta có bất đẳng thức : ma ≥ la ≥ Định lí 15: Đường trung tuyến AM tam giác ABC nhỏ nửa tổng cạnh AB AC xuất phát từ đỉnh A Định lí 16: Hình tròn nội tiếp hình tròn lớn chứa nột tam giác Định lí 17: Một tứ giác lồi bị chứa tứ giác khác ( không thiết lồi ) chu vi tứ giác bị chứa nhỏ chu vi tứ giác chứa bên Định lí 18: Trong nửa mặt phẳng bị chia đường thẳng qua điểm A B có đường gấp khúc AC1C2…CkB AD1D2…DpB cho đa giác AC1C2…CkB AD1D2…DpB đa giác lồi Nếu đa giác AC1C2…CkB chứa đa giác AD1D2…DpB bên đường gấp khúc AC1C2…CkB dài đường gấp khúc AD1D2…DpB Định lí 19: Một đa giác có chu vi không nhỏ chu vi đa giác tạo bao lồi Định lí 20: Nếu đa giác lồi chứa đa giác lồi khác chu vi đa giác lớn chu vi đa giác nằm Định lí 21: Độ dài đoạn thẳng nằm đa giác lồi không lớn khoảng cách lớn nối đỉnh Định lí 22: Cho (O; r) điểm M Khi ta có : R – d ≤ MN ≤ R + d Với N điểm đường tròn d khoảng cách từ M tới tâm đường tròn Định lí 23: Cho (O; r) điểm M đường tròn Khi ta có : d – R ≤ MN ≤ d + R Định lí 24: Cho trước điểm M hình tròn tâm O Trong dây cung qua M, dâycungvuông góc với MO có độ dài nhỏ Định lí 25: Gọi P giao điểm đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≤ 2O1O2 cho dây cung qua P.Dấu « = » xảy ⇔ MN // O1O2 Định lí 26: Diện tích tam giác ABC không lớn Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn AB.BC Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Định lí 27: Diện tích tứ giác ABCD không vượt Tác giả: Phạm Trung Vinh AB.BC + AD.DC Định lí 28: Trong tam giác có chu vi tam giác có diện tích lớn Nguyên lí đoạn thẳng: Đoạn thẳng AB đường ngắn nối hai điểm A B cho trước mặt phẳng ⇒ Ta có hệ sau: 1/ Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba 2/ Đường gấp khúc nối hai điểm A B cho trước có độ dài lớn độ dài đoạn thẳng AB 3/ Độ dài cung AB đường tròn cho trước qua A B lớn độ dài đoạn thẳng AB Nguyên lí đường vuông góc ngắn đường xiên: Đoạn vuông góc ngắn đường xiên Định lí cạnh góc tam giác: Trong tam giác ứng với góc lớn cạnh lớn ngược lại Hệ thức lượng tam giác : • Trong tam giác vuông : A B H C  AB2 + AC2 = BC2  BH.BC = AB2  AH2 = BH.CH  • 1 = + 2 AH AB AC Trong tam giác thường Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh  Định lí hàm Cos: a = b + c − 2bc cos A b = c + a − 2ca cos B c = a + b − 2ab cos C  Định lí hàm số Sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C  Các công thức tính diện tích: S= 1 abc aha = bc sin A = = 2 4R p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) = pr = ( p − a )  Bán kính đường tròn nội tiếp, bàng tiếp: r = ( p − a ) tan A A ; = p tan 2  Công thức tính độ dài trung tuyến: m = a ( b2 + c2 ) − a  Công thức tính độ dài phân giác: la = • 4bc ( b + c) p ( p − a) Phép toán vector: Phép cộng vector: uuu uuu uuu r r r  Quy tắc điểm: AB + BC = AC uuu uuu uuu r r r  Quy tắc hình bình hành: ABCD hình bình hành AB + AD = AC • Phép trừ vector: uuu uuu uuu r r r  Quy tắc: AC − AB = BC Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán • Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Tích vector với số: r r r  Cho số k ≠ a ≠ Tích vector a với số k vector kí hiệu k a , hướng r vector a k > ngược hướng vector a k < có độ dài | k || a | • Tích vô hướng hai vector: rr  Cho a, b khác vector Ta có : rr r r rr a.b =| a | | b | cos(a, b) Một số điểm đặc biệt tam giác: • Điểm Lemoine: • Định nghĩa: Trên cạnh BC, CA, AB ∆ABC lấy điểm A1 , B1 , C1 tương ứng cho AC1 b BA1 c CB1 a = , = , = (các đường AA1 , BB1 , CC1 đường đối C1 B a A1C b B1 A c trung) Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm L gọi điểm Lemoine • Tính chất: Cho ∆ABC , L điểm tam giác Gọi H, K, N theo thứ tự hình chiếu L BC, CA, AB Khi L điểm Lemoine ∆ABC L trọng uur uuu r uuu r r tâm ∆HKN a LA + b LB + c LC = Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh • Điểm Toricelli: Cho ∆ABC có góc nhỏ 1200 Khi tồn điểm T có tính chất nhìn cạnh BC, CA, AB góc 1200 Điểm T gọi điểm Toricelli ∆ABC • Điểm Gergone: Đường tròn nội tiếp ∆ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm J gọi điểm Gergone • Điểm Naghen: Các đường tròn bàng ∆ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 , B1 , C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 , CC1 đồng quy điểm N gọi điểm Naghen Các phép biến hình: • Cho trước tập hợp T điểm Một Phép biến hình f tập hợp T ánh xạ 1-1 T vào Với diểm M ∈ T, ta kí hiệu ảnh M f ( M ) gọi M tạo ảnh điểm f ( M ) • Với phép biến hình tập hợp điểm T cho trước, cần biết tính chất sau đây:  Tích phép biến hình T phép biến hình T  Phép đồng biến điểm M ∈ T thành phép biến hình tập hợp T  Cho trước phép biến hình f : T → T ánh xạ f −1 nghịch đảo f phép biến hình tập hợp T • Các tính chất hiển nhiên phép dời hình: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh  Phép dời hình bảo toàn độ lớn góc  Phép dời hình biến điểm thành điểm, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bảo tồn quan hệ thuộc yếu tố hình học  Phép dời hình biến hình H thành hình H’  Tích phép dời hình phép dời hình • Một số phép dời hình quan trọng: r  Phép tịnh tiến theo a : phép biến hình mặt phẳng không gian r cho vector nối tạo ảnh ảnh vector a cho trước Tích phép tịnh r r r r tiến theo a b phép tịnh tiến theo a + b  Phép quay quanh tâm O với góc α : phép biến hình mặt phẳng cho với điểm M mặt phẳng ảnh M’ ta có góc α Tich phép quay tâm O với góc α β phép quay quanh O với góc α + β  Phép đối xứng qua tâm O: phép biến hình mặt phẳng không gian biến điểm M thành điểm M’ cho doạn thẳng MM’ nhận điểm O làm trung điểm Phép đối xứng qua tâm O mặt phẳng thực chất phép quay góc 1800 quanh điểm O  Phép đối xứng qua đường thẳng (trục) d: phép biến hình mặt phẳng không gian biến điểm M thành M’ cho đoạn thẳng MM’ nhận d đường trung trực  Phép quay góc α quanh trục d: phép biến hình không gian biến điểm M thành M’ cho điểm M’ nằm mặt phẳng qua M vuông góc với đường · thẳng d cho MOM ' = α Khi góc α = 1800 phép quay quanh trục thực chất phép dối xứng trục không gian • Một số phép biến hình không phép dời hình:  Phép vị tự hệ số k ≠ với tâm vị tự O: phép biến hình không gian mặt uuuur u uuuu r phẳng, biến điểm M thành M’ cho OM ' = kOM  Phép nghịch đảo hệ số k ≠ với tâm nghịch đảo S: phép biến hình tập hợp điểm khác S không goan tập hợp điểm khác S mặt phẳng biến uuur k uuur SM Phép nghịch đảo có điểm M ≠ S thành điểm M’ cho SM = SM tính chất sau: Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 10 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh b Từ bất đẳng thức cuối Ta suy tồn bi với Bài 4: Hệ số không cân tam giác với cạnh a ≤ b ≤ c giá trị nhỏ số Xác định tập hợp giá trị hệ số không cân tam giác HD: Ta chứng minh tập hợp giá trị hệ số không cân tam giác tập hợp giá trị số đoạn Với giá trị , ta xét a = 1, b = k c = k2 Rõ ràng a ≤ b ≤ c Mặt khác ta có bất đẳng thức a + b = + k > k2 = c cách xét dấu tam thức bậc hai Tam thức bậc hai có hai nghiệm giá trị k với x1 < k < x2 làm tam thức nhận giá trị âm Tóm lại a, b, c độ dài cạnh tam giác Đảo lại, xét Đặt Theo bất đẳng thức tam giác c < a + b, tức Do k ≤ µ k ≤ λ Mặt khác a ≤ b ≤ c ≤ µ ≤ λ suy đpcm Bài 5: Xác định điểm M tam giác ABC cho tổng khoảng cách từ M tới cạnh tam giác nhỏ HD: Không tổng quát giả sử AB ≥ BC ≥ CA cạnh lớn tam giác ABC Gọi khoảng cách từ M tới BC x, tới CA y tới AB z Ta có: Từ suy Xét trường hợp xảy sau AB > BC Khi đẳng thức xảy M trùng C AB = BC > CA Đẳng thức xảy M nằm AC AB = BC = CA Đẳng thức xảy Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 36 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh 1/ Cho tam giác nhọn ABC, phân giác AD, trung tuyến BE đường cao CF cắt điểm Chứng minh 2/ Nếu a, b, c độ dài cạnh tam giác : 3/ Chứng minh độ dài tất cạnh tam giác nhỏ diện tích nhỏ 4/ Chứng minh tam giác nhọn ta có 5/ Chứng minh cạnh a, b, c tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a2 + b2 > 5c2 c cạnh bé tam giác cho 6/ Hãy tìm cạnh tam giác nhọn ABC ba điểm M, N, P cho chu vi tam giác MNP nhỏ 7/ Cho tam giác có chu vi Chứng minh a2 + b2 + c2 < 2(1 – abc) 8/ Chứng minh tam giác ABC góc A nhọn 9/ Chứng minh qua trọng tâm O tam giác ABC kẻ đường thẳng cắt cạnh tam giác M N NO ≤ 2MO 10/ Bên hình quạt AOB hình tròn bán kính R = AO = BO đặt đoạn MN Chứng minh giả sử MN ≤ R MN ≤ AB 11/ Trong tam giác ABC kẻ đường phân giác AK CM Chứng minh AB > BC ta có AM > MK > KC 12/ Chứng minh bên tron tam giác ABC tồn điểm D cho AD = AB AB < AC Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 37 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh 13/ Chứng minh M điểm nằm đường phân giác góc C tam giác ABC MA + MB > CA + CB 14/ Cho tam giác AB với cạnh a > b > c điểm O tam giác Chứng minh gọi P, Q, R giao điểm đường thẳng AO, BO, CO với cạnh tam giác OP + OQ + OR < a 15/ Chứng minh a) b) c) 16/ Chứng minh a) b) 17/ Chứng minh a) b) 18/ Chứng minh a) b) c) 19/ Chứng minh Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 38 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh a) b) c) d) 20/ Chứng minh a) b) 21/ Chứng minh a) b) c) d) 22/ Trong tứ giác lồi ABCD có điểm O thỏa mãn đẳng thức OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2SABCD Chứng minh ABCD hình vuông O tâm hình vuông 23/ Tứ giác nội tiếp ABCD chứa tâm O đường tròn ngoại tiếp bán kính R Trên cạnh tứ giác chọn điểm tạo thành tứ giác Chứng minh chu vi tứ giác tạo thành lớn 24/ Chứng minh đỉnh tứ giác lồi nằm cạnh khác hình vuông cạnh chu vi không nhỏ Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 39 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh 25/ Cho ABCDE ngũ giác lồi nội tiếp đường tròn bán kính Nếu biết AB = a, BC = b, CD = c, DE = d AE = a2 + b2 + c2 + d2 + abc + bcd < 26/ Chứng minh chu vi tam giác nhọn không nhõ 4R 27/ Nếu đường chéo tứ giác lồi 2a 2b có cạnh tứ giác không nhỏ 28/ Trong ngũ giác lồi tất cạnh tất góc nhỏ 1200 Chứng minh tất góc ngũ giác tù 29/ Cho tứ giác ABCD Các điểm M N thuộc đoạn AD, BC chia AD, BC theo tỉ số Chứng minh MN ≤ max {AB, CD} 30/ Cho tam giác ABC, G, I tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp Chứng minh rằng: 31/ Cho tam giác ABC nhọn có bán kính đường tròn ngoại tiếp R = Chứng minh với điểm M thuộc mặt phẳng ABC ta có 32/ Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc cạnh BC, CS, AB M, N, P.Chứng minh 33/ Chứng minh lấy cạnh tứ giác lồi làm đường kính dựng hình tròn tất hình tròn dựng trên phủ kín toàn tứ giác 34/ Nếu bên hình vuông cạnh đặt đường gấp khúc không tự cắt dài 1000 tìm đường thẳng song song với cạnh hình vuông cắt đường gấp khúc 500 điểm 35/ Trên cạnh đa giác có diện tích S nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R chọn điểm tạo thành đa giác nội tiếp Chứng minh đa giác cho chứa tâm O chu vi đa giác nội tiếp tạo thành lớn 36/ Một đa giác cắt từ giấy gấp lại theo đường thẳng đó, hai nửa sau dán lại với Hỏi chu vi đa giác nhận lớn chu vi đa giác ban đầu hay không? 37/ Bên tam giác cạnh đặt điểm Chứng minh khoảng cách điểm nhỏ 0,5 38/ Trên bàn cờ 8×8 ta đánh dấu tâm tất ô Hỏi 13 đường thẳng chia bàn cờ làm phần cho phần có không điểm đánh dấu hay không? Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 40 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh 39/ Bên tam giác nhọn lấy điểm P Chứng minh khoảng cách lớn số khoảng cách từ P đến đỉnh tam giác không nhỏ hai lần khoảng cách nhỏ số khoảng cách từ P đến cạnh 40/ Trên cạnh tam giác ABC lấy điểm M1, N1, P1 cho đường thẳng MM1, NN1, PP1 chia chu vi tam giác thành phần nhau, M, N, P tương ứng trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh đường thẳng MM1, NN1, PP1 đồng qui điểm K b) Chứng minh tỉ số có tỉ số không bé Cuốn cẩm nang tính toán hoàn thiện cân đối Từ toán học có nghĩa "khoa học, tri thức học tập" Ngày nay, thuật ngữ "toán học" phận cụ thể tri thức - ngành nghiên cứu suy luận lượng, cấu trúc, thay đổi Lĩnh vực ngành học Lịch sử Toán học phần lớn nghiên cứu nguồn gốc nhữngkhám phá toán học, theo nghĩa hẹp nghiên cứu phương pháp kí hiệutoán học chuẩn khứ Trước thời kì đại phổ biến rộng rãi tri thức toàn giới, ví dụ văn phát triển toán học tỏa sáng vùng, miền cụ thể Các văn Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 41 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh toán học cổ từ Lưỡng Hà cổ đại (Mesopotamia) khoảng 1900 TCN (Plimpton 322), Ai Cập cổ đạikhoảng 1800 TCN (Rhind Mathematical Papyrus), Vương quốc Giữa Ai Cập khoảng 1300-1200 TCN (Berlin 6619) Ấn Độ cổ đại khoảng 800 TCN (Shulba Sutras) Tất văn tự có nhắc đến Định lý Pythagore; có lẽ phát triển toán học rộng cổ sau số học cổ đại hình học Những cống hiến Hy Lạp cổ đại với toán học, nhìn chung coi cống hiến quan trọng nhất, phát triển rực rỡ phương pháp chất liệu chủ đề toán học Một đặc điểm đáng ý lịch sử toán học cổ trung đại theo sau bùng nổ phát triển toán học thường ngưng trệ hàng kỉ Bắt đầu vào Thời kì Phục Hưng Ý vào kỉ 16, phát triển toán học mới, tương tác với phát khoa học mới, thực với tốc độ ngày tăng, điều tiếp điễn 16, phát triển toán học mới, tương tác với phát khoa học mới, thực với tốc độ ngày tăng, điều tiếp điễn Toán học thời sơ khai Nguồn gốc Rất lâu trước văn tự cổ nhất, có vẽ cho thấy kiến thức toán học đo thời gian dựa trời Ví dụ nhà cổ sinh vật học khám phá mảnh đất thổ hoàng hang động Nam Phi trang trí hình khắc hình học với thời gian khoảng 70.000 TCN Cũng di khảo tiền sử tìm thấy châu Phi Pháp, thời gian khoảng 35000 TCN 20000 TCN, cho thấy cố gắng sơ khai nhằm định lượng thời gian Các chứng tồn cho thấy việc đếm thời sơ khai chủ yếu phụ nữ, người giữ vật đánh dấu chu kì sinh học hàng tháng; ví dụ hai mươi tám, hai mươi chín, ba mươi vạch xương đá, theo sau vạch cách biệt khác Hơn nữa, cácthợ săn có khái niệm một, hai nhiều không xem xét số bầy thú Xương Ishango Xương Ishango tìm thấy thượng nguồn sông Nil (phía bắc Cộng hòa Dân chủ Congo), thuộc thời kì 20.000 TCN Bản dịch thông dụng đá cho ta thấy Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 42 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh chứng sớm thể dãy số nguyên tố phép nhân Ai Cập cổ đại Người Ai Cập vào thiên niên kỉ thứ TCN vẽ tranh thiết kế hình học không gian Người ta khẳng định đá tế thần Anh Scotland từ thiên niên kỉ thứ TCN, bao gồm ý tưởng hình học hình tròn, hình elíp vàbộ ba Pythagore thiết kế Nền toán học sớm biết Ấn Độ cổ đại nằm vào khoảng 3000 TCN -2600 TCN văn minh thung lũng Indus (nền văn minh Harappan) Bắc Ấn Độvà Pakistan, phát triển hệ thống đơn vị đo Thung lũng Indus cổ đại sử dụng hệ số 10, công nghệ gạch đáng ngạc nhiên sử dụng tỉ lệ, đường đặt góc vuông hoàn hảo, số hình hình học thiết kế, bao gồm hình hộp chữ nhật, thùng phi, hình nón, hình trụ vẽ hình tròn hình tam giác cắt đồng qui Các dụng cụ toán học tìm bao gồm thước đo số 10 với độ chia nhỏ xác, dụng cụ vỏ sò hoạt động com pa để đo góc mặt phẳng theo bội 40-360 độ, dụng cụ vỏ sò để đo 8-12 phần đường chân trời bầu trời, dụng cụ để đo vị trí nhằm mục đích định hướng Bản viết tay Indus chưa giải nghĩa; ta biết dạng viết toán học Harappan Các chứng khảo cổ làm nhà sử học tin văn minh sử dụng hệ đếm số đạt kiến thức tỉ lệ chu vi đường tròn bán kính nó, tính số π Toán học người Maya Chữ số Maya Kết khảo cổ cho thấy người Maya phát triển toán học từ sớm, với hệ đếm nhị thập phân (từ0 đến 19) ngũ phân (dựa theo cách đếm đầu ngón tay) Hệ nhị thập phân dựa sở tất ngón tay ngón chân-trong tiếng Quiche, từ số 20 huvinak, có nghĩa "toàn thân”, người Maya phát triển khái niệm "số 0" vào năm 357, sớm châu Âu khoảng gần 900 năm Họ biết tính toán quỹ đạo vận động Mặt Trăng hành tinh khác xác nhiều so với văn minh khác quan sát vũ trụ mắt thường Người Maya xác định xác độ dài năm gồm 365 ngày, thời gian Trái Đất quay hết vòng quanh Mặt Trời, xác nhiều lịch châu Âu sử dụng vào thời (lịch Gregory) Cận Đông cổ đại Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 43 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Lưỡng Hà Bảng tính vạch đất sét YBC 7289 với giải chữ số đại Toán học Babylon ám toán học thuộc cư dân Lưỡng Hà (Iraq ngày nay) từ buổi đầuSumer đầu thời kì Hy Lạp hóa Nó đặt tên toán học Babylon vai trò trung tâm Babylon nơi nghiên cứu, nơi không tồn sau thời kì Hy Lạp hóa Các nhà toán học Babylon trộn với nhà toán học Hy Lạp để phát triển toán học Hy Lạp Sau Đế chế Arab, Iraq/Lưỡng Hà, đặc biệt Baghdad, lần trở thành trung tâm nghiên cứu quan trọng cho toán học Hồi giáo Đối lập với thiếu thốn nguồn tài liệu toán học Hy Lạp, hiểu biết toán học Babylon từ 400 miếng đất sét khai quật từ năm 1850 Viết kí tự Cuneiform, miếng đất sét viết đất sét ẩm, nung cứng lò nhiệt từ Mặt Trời Một số tập nhà Bằng chứng sớm văn tự toán học từ thời người Sumer cổ đại, người xây nên văn minh sớm Lưỡng Hà Họ phát triển hệ đo lường phức tạp từ 3000 TCN Khoảng 2500 TCN trở trước, người Sumer viết bảng nhân đất sét giải tập hình học toán chia Dấu vết sớm hệ ghi số Babylon khoảng thời gian Một lượng lớn đất sét phục hồi vào khoảng 1800 TCN tới 1600 TCN, bao gồm chủ đề phân số, đại số, phương trình bậc ba bậc bốn, tính toán ba Pythagore (xemPlimpton 322) Các bao gồm bảng nhân, bảng lượng giác phương pháp giảiphương trình tuyến tính phương trình bậc hai Tấm đất sét YBC 7289 đưa xấp xỉ số xác tới năm chữ số thập phân Toán học Babylon viết hệ số 60 Do việc mà ngày ta sử dụng 60 giây phút, 60 phút 360 (60 × 6) độ vòng tròn Các tiến người Babylon toán học phát triển dễ dàng số 60 có nhiều ước số Cũng vậy, không giống người Ai Cập, Hy Lạp La Mã, người Babylon có hệ ghi số với cách viết số chia theo hàng, chữ số viết cột bên trái thể giá trị lớn hơn, giống hệ thập Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 44 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh phân Thế họ lại thiếu kí hiệu tương đương dấu thập phân, hàng cách viết số thường suy từ ngữ cảnh Ai Cập Giấy cọ Rhind Toán học Ai Cập ám toán học viết tiếng Ai Cập Toán học Ai Cập cổ đại đánh dấu nhân vật truyền thuyết Thoth, người coi đặt mẫu tự Ai Cập, hệ thống chữ số, toán học thiên văn học, vị thần thời gian Từ thời kì Hy Lạp hóa, tiếng Hy Lạp thay tiếng Ai Cập ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập, từ thời điểm này, toán học Ai Cập hợp với toán học Hy Lạp Babylon để phát triển toán học Hy Lạp Nghiên cứu toán học Ai Cập sau tiếp tục Đế chế Arab phần toán học Hồi giáo, tiếng Ả Rập trở thành ngôn ngữ viết nhà học giả Ai Cập Văn tự toán học cổ tìm giấy cói Moskva, văn tự giấy cói Vương quốc Ai Cập vào khoảng 2000—1800 mà ngày ta gọi "bài toán chữ", rõ ràng để giải trí Một toán coi quan trọng mức nói riêng đưa phương pháp tìm thể tích hình cụt: "Nếu bạn biết: hình chóp cụt có chiều cao 6, diện tích đáy lớn 4, diện tích đáy nhỏ Bạn bình phương số này, 16 Bạn nhân đôi 4, Bạn bình phương 2, Bạn cộng 16, 8, 28 Bạn lấy phần ba 6, Bạn nhân 28 với 56 Và 56 số bạn cần tìm." Eratosthenes Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 45 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Sàng Eratosthenes lọc số nguyên tố Giấy cọ Rhind (khoảng 1650 TCN) văn toán học Ai Cập quan trọng khác, hướng dẫn số học hình học Cùng với việc đưa công thức diện tích phương pháp nhân, chia làm việc với phân số đơn vị, chứa chứng kiến thức toán học khác bao gồm hợp số số nguyên tố; trung bình cộng, trung bình nhân trung bình điều hòa; hiểu biết sơ sàng Eratosthenes số hoàn hảo Nó cách giải phương trình tuyến tính bậc cấp số cộng cấp số nhân Cũng vậy, ba thành phần hình học có giấy cọ Rhind nói đến kiến thức đơn giản hình học giải tích: (1) Đầu tiên quan trọng nhất, làm để xấp xỉ số π xác tới phần trăm; (2) thứ hai, cố gắng cổ đại việc cầu phương hình tròn; (3) thứ ba, sử dụng sớm biết lượng giác Cuối cùng, giấy cọ Berlin cho thấy người Ai Cập cổ đại giải phương trình đại số bậc hai Toán học Hy Lạp Hy Lạp hóa cổ đại (khoảng TCN 550-300) Toán học Hy Lạp ám toán học viết tiếng Hy Lạp khoảng 600 TCN 450 Các nhà toán học Hy Lạp sống thành phố rải rác toàn Địa Trung Hải, từ Ý tới Bắc Phi, lại thống văn hóa ngôn ngữ Toán học Hy Lạp gọi toán học Hellenistic (Hy Lạp hóa) Thales xứ Miletus Toán học Hy Lạp trở nên phức tạp nhiều so với văn hóa trước Tất ghi chép tồn toán học tiền Hy Lạp cho thấy việc sử dụng suy luận qui nạp, nghĩa là, quan sát liên tục sử dụng để lập nên phép đo dựa kinh nghiệm Người Hy Lạp sử dụng lí luận logic để đạt kết luận từ định nghĩa tiên đề Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 46 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh Định lý Thales-cơ sở cho phép đo hình học toán học mêtric: Toán học Hy Lạp dường bắt đầu với Thales (khoảng 624 - khoảng 546 TCN) Pythagoras (khoảng 582 — khoảng 507 TCN) Mặc dù tầm ảnh hưởng không còn, họ phát triển ý tưởng từ toán học Ai Cập, Babylon, Ấn Độ Theo truyền thuyết, Pythagoras chu du tới Ai Cập để học toán học, hình học, thiên văn từ đạo sĩ Ai Cập Thales sử dụng hình học để giải toán tính chiều cao hình chóp khoảng cách từ tàu tới bờ biển Pythagoras coi người đưa chứng minh cho định lý Pythagore, phát biểu định lý qua chặng đường lịch sử dài Trong lời bình luận Euclid, Proclus phát biểu Pythagoras diễn đạt định lý mang tên ông dựng nên ba Pythagore cách đại số hình học Trường họccủa Plato có câu hiệu: "Không để thứ nông cạn hình học vào đây." Học thuyết Pythagoras khám phá tồn số hữu tỉ Eudoxus (408 khoảng 355 TCN) phát minh phương pháp vét cạn, tiền thân khái niệm đại tích phân Aristotle (384 - khoảng 322 TCN) lần đầu viết luật vềlogic Euclid (khoảng 300 TCN) ví dụ sớm khuôn mẫu mà sử dụng ngày nay, định nghĩa, tiên đề, định lý, chứng minh Ông nghiên cứu đường conic Cuốn sách ông, Cơ bản, tất người có học biết đến phương Tây kỉ 20[15] Thêm vào định lý quen thuộc hình học, định lý Pythagore, Cơ có chứng minh bậc hai hai số vô tỉ có vô hạn số nguyên tố Sàng Eratosthenes (khoảng 230 TCN) sử dụng để tìm số nguyên tố Một số người nói người vĩ đại nhà toán học Hy Lạp, không muốn nói thời đại, Archimedes (287—212 TCN) xứ Syracuse Theo Plutarch, tuổi 75, vẽ công thức toán học cát, ông bị tên lính La Mã dùng giáo đâm chết Roma cổ lại chứng quan tâm vào toán học lý thuyết Toán học Ấn Độ cổ đại (khoảng 1500 TCN-200 SCN) Toán học Vedic bắt đầu vào đầu thời kì Đồ Sắt, với Shatapatha Brahmana (khoảng kỉ TCN), có xấp xỉ số π xác tới chữ số thập phân[16] Sulba Sutras (khoảng 800-500 TCN) văn hình học sử dụng số vô tỉ, số nguyên tố, luật ba, bậc ba; tínhcăn bậc hai tới năm chữ số thập phân; đưa phương pháp cầu phương hình tròn, giải phương trình tuyến tính phương trình bậc hai; phát triển ba Pythagore theo phương pháp đại số, phát biểu nêu chứng minh cho Định lý Pythagore Pāṇini (khoảng kỉ TCN) lập công thức cho ngữ pháp tiếng Phạn Kí hiệu ông tương tự với kí hiệu toán học, sử dụng ngôn luật, phép biến đổi, đệ qui với độ Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 47 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Tác giả: Phạm Trung Vinh phức tạp đến mức ngữ pháp ông có sức mạnh tính toán ngang với máy Turing Công trình Panini trước lý thuyết đại ngữ pháp hình thức (formal grammar) (có vai trò quan trọng điện toán), dạng Panini-Backus sử dụng ngôn ngữ lập trình đại lại giống với luật ngữ pháp Panini Pingala (khoảng kỉ thứ đến thứ TCN) luận thuyết thi pháp sử dụng phương pháp ứng với hệ nhị phân Thảo luận ông tổ hợp phách, tương ứng với định lý nhị thức Công trình Pingala chứa ý tưởng số Fibonacci (được gọi làmātrāmeru) Văn Brāhmī phát triển từ thời triều Maurya vào kỉ TCN, với chứng khảo cổ học cho thấy xuất vào khoảng 600 TCN Chữ số Brahmi vào khoảng kỉ TCN Giữa năm 400 TCN 200 SCN, nhà toán học Jaina bắt đầu nghiên cứu toán học với mục đích cho toán học Họ người phát triển transfinite number, lý thuyết tập hợp, logarit, định luật lũy thừa, phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn,dãy số dãy cấp số, hoán vị tổ hợp, bình phương lấy xấp xỉ bậc hai, hàm mũ hữu hạn vô hạn Bản thảo Bakshali viết 200 TCN 200 bao gồm cách giải hệ phương trình tuyến tính tới năm ẩn, nghiệm phương trình bậc hai, cấp số cộng cấp số nhân, dãy phức hợp, phương trình vô định bậc hai, phương trình không mẫu mực, sử dụng số số âm Các tính toán xác cho số vô tỉ tìm ra, bao gồm tính bậc hai số tới chữ số sau dấu phẩy tùy thích (từ 11 chữ số trở lên) Các bạn thân mến! Vậy trình bày tất mà muốn gởi gắm tới bạn ý định, niềm đam mê suốt trình học toán Đó kiến thức bất đẳng thức ,là tảng để bạn nghiên cứu sâu giới tứ giác, hình tròn, so sánh, đối chiếu giúp thêm yêu thích môn Toán vô bổ ích Chúc bạn thành công! Và thay cho lời kết, xin gởi đến bạn câu nói bất hủ nhà Toán học tiếng Paul Erdos: "Tại số lại mang vẻ đẹp? Nó giống việc hỏi Giao hưởng số Beethoven lại đẹp Nếu bạn không nhận người khác nói cho bạn Tôi biết số đẹp Chúng mà không đẹp chẳng có thứ đẹp nữa" Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Page 48 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 49 Lớp 10 Toán Bất đẳng thức Hình học Giáo viên hướng dẫn: Thầy Đỗ Kim Sơn Tác giả: Phạm Trung Vinh Page 50