SỞ GD & ĐT CẦN THƠ TRƯỜNG THPT PHAN VĂN TRỊ Đề ĐỀtham SỐ khảo 303 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: (1,0 đ) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y f ( x) x x x2 Câu 2: (1,0 đ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y điểm có hoành độ x 1 x0 Câu 3: (1,0 đ) 1 Tính giá trị lượng giác lại b) Tìm số phức z thỏa mãn : z.z z z 12i a) Cho góc thỏa tan Câu 4: (0,5 đ) Giải phương trình: log 32 (9 x) log x Câu 5: (1,0 đ) a) Giải phương trình: x x x x b) Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30g đường, lít nước 1g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao ? Câu 6: (1,0 đ) Tính tích phân sau : I x sin xdx Câu 7: (1,0 đ) Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gọi O tâm hình thoi; tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) Câu 8: (1,0 đ) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ( x A ), đỉnh A, B thuộc đường thẳng y , phương trình đường thẳng BC : x y Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC x y 1 z điểm A 1; 2; Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A d; viết phương trình đường Câu 9: (1,0 đ) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : thẳng d ảnh d qua phép đối xứng tâm A Câu 10: (0,5 đ) Đội cờ đỏ trường gồm học sinh khối 10, học sinh khối 11 học sinh khối 12 Cần chọn ngẫu nhiên học sinh đội cờ đỏ dự trại hè Tính xác suất cho học sinh chọn phải có đủ ba khối lớp Câu 11: (1,0 đ) Cho a, b, x, y bốn số dương thỏa mãn a b5 x, y Hãy tìm giá trị x y 24 nhỏ biểu thức P xy ( a b ) HẾT SỞ GD&ĐT THÀNH PHỐ CẦN THƠ TRƯỜNG THPT PHAN VĂN TRỊ ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MÔN: TOÁN KHỐI 12 Câu Đáp án Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số y f ( x) x x Điểm 1,0đ TXĐ: D = Giới hạn: lim y ; lim y 0,25 x x y ' 4 x x ; Cho y ' x x Bảng biến thiên: x –∞ + – + y +∞ – 0,25 y Hàm số đồng biến khoảng (; 2) (0; 2) Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;0) ( 2; ) (1,0đ) 0,25 Hàm số đạt cực đại x ; yCÐ Hàm số đạt cực tiểu x ; yCT 3 Đồ thị: y f(x)=-x^4+4*x^2-3 x -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0,25 -2 -4 -6 -8 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x2 điểm có hoành x 1 1,0đ độ x0 TXĐ : D= \{1} Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm (1,0 đ) 0,25 Ta có: x0 = y0 = y' 3 x 1 0,25 y '(2) 3 0,25 - Pt tiếp tuyến đồ thị hàm số M(2; 4) là: y = -3x + 10 0,25 1 Tính giá trị lượng giác a) Cho góc thỏa tan 0,5đ lại 17 16 tan cos 2 cos 16 17 4 17 Vì nên cos suy cos 17 1 4 17 17 cot 4 ; sin tan .cos ( ) tan 17 17 (1,0đ) Tìm số phức z thỏa mãn : z.z z z 12i 0,25 0,25 0,5đ Gọi số phức z = x + yi (x, y R) Ta có : z.z z z 12i 0,25 x yi x yi x yi x yi 12i x y yi 12i x y x 1 y 2 6 y 12 Vậy số phức cần tìm : z = – 2i ; z = –1 – 2i 0,25 Giải phương trình: log 32 (9 x) log x 0,5đ Đk: x > log 32 (9 x) log3 x log 32 x 3log x (0,5đ) 0,25 t 2 Đặt t log x , bpt trở thành t 3t t 1 log x 2 x 1 ; log x 1 x 0,25 1 So với đk, tập nghiệm bpt S ; 3 a) Giải phương trình x x x x 1 0,5đ (ĐK: x ) Phương trình cho tương đương: (1,0đ) x 1 + Xét trường hợp x 1 x 1 x (*) 0,25 x x , đó: (*) x x (luôn đúng) + Xét trường hợp x x , kết hợp với điều kiện x ta được: x , đó: (*) x x x (không thỏa điều kiện x ) Vậy phương trình cho có nghiệm: x 0,25 b) Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30g đường, lít nước 1g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10g đường, lít nước g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để đạt số điểm thưởng cao ? 0,5đ Gọi x , y số lít nước cam táo mà đội cần pha chế Ta cần tìm GTLN biểu thức F ( x; y ) 60 x 80 y với x , y thỏa điều kiện sau: 30 x 10 y 210 3 x y 21 x y x y (1) x y 24 x y 24 x 0; y x 0; y Xác định miền nghiệm hệ (1) Vẽ ba đường thẳng (a) : x y 24 ; (b) : x y ; (c ) : x y 21 Gọi A (a) (b) ; B (b) (c ) ; C (c) (Ox ) ; D (a) (Oy ) 0,25 Suy ra: A 4;5 ; B 6;3 ; C 7; ; O 0;0 ; D 0;6 Suy miền ngũ giác giác ABCOD hình vẽ miền nghiệm hệ (1) Tính giá trị F ( x; y ) 60 x 80 y điểm A, B, C , O, D Từ suy GTLN F ( x; y ) Tại A 6;3 F 6;3 600 0,25 Tại B 4;5 F 4;5 640 Tại C 7; F 7; 420 Tại O 0;0 F 0;0 Tại D 0;6 F 0;6 480 Suy GTLN F ( x; y ) 640 x 4; y Kết luận Để số điểm cao nhất, cần pha chế lít nước cam lít nước táo Khi số điểm cao 640 điểm 1,0đ Tính tích phân sau : I x sin xdx du xdx u x Đặt v cos xdx dv sin xdx I x 1 (1,0đ) cos x 0,25 0,25 x.cos xdx J Xét tích phân : J x.cos xdx u x du dx Đặt: dv cos xdx v sin xdx Khi : J x sin x 02 sin xdx 0,25 cos x 02 2 Suy : I 1 2 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA a Mặt đáy ABCD hình thoi 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Gọi O cạnh a, góc ABC tâm hình thoi; tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) Tam giác ABC cạnh a nên S ABC a Diện tích đáy: S ABCD 2.S ABC a 0,25 3 a3 (đvtt) Thể tích khối chóp: V a a 2 Chọn hệ trục Oxyz cho S Ox OC, Oy OD, Oz OE, z với E trung điểm SC Tọa độ đỉnh: a a ; , C ;0; , D 0; E 2 a A E 0; 0; , O(0;0;0) 2 Phương trình mp(ECD): O x y z 1 a a a B C x 2 Khoảng cách từ O đến (SCD) khoảng cách từ O đến (ECD): 1 21 d O, SCD a 2 14 2 2 a a 3 a (1,0đ) 0,25 D 0,25 y 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông A ( x A ), đỉnh A, B thuộc đường thẳng y , phương trình đường thẳng BC : x y Tìm toạ độ đỉnh A, B, C biết bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC (1,0đ) x y Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình: Suy B(0;2) y2 A AB A(t ;2) , t > B Đường thẳng AC qua A nhận n (1, 0) làm vectơ pháp tuyến nên AC: x t Tọa độ điểm C thỏa mãn hệ phương trình: x y r 1 x t Suy C (t ;2 t ) AB = t, AC = t, BC = Ta có S ABC 1,0đ 2t 1,0đ 0,25 0,25 C A AB AC BC AB.AC pr 2 0,25 AB AC AB AC BC t (2 2)t t 0 Vì t > nên t Suy ra: A 2; , C 2; t 0,25 x y 1 z điểm A 1; 2; Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A d; viết phương Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (1,0đ) 10 (0,5đ) d: trình đường thẳng d ảnh d qua phép đối xứng tâm A d có vec tơ phương u (1; 2;1) ; gọi H(2+t;1+2t;t) AH (3 t ; 1 2t; t 7) {Hoặc viết ptmp qua A vuông góc với d} Ta có: AH u 1(3 t ) 2(1 2t ) 1(t 7) 6t t Vậy H(3;3;1) {Hoặc giải hệ pt kq} Gọi H’ điểm đối xứng với H qua A, suy H’(–5;1;13) x 5 t Phương trình d’ qua H’ có vec tơ phương u (1; 2;1) : y 2t z 13 t Đội cờ đỏ trường gồm học sinh khối 10, học sinh khối 11 học sinh khối 12 Cần chọn ngẫu nhiên học sinh đội cờ đỏ dự trại hè Tính xác suất cho học sinh chọn phải có đủ ba khối lớp Số phần tử không gian mẫu: C12 =495 - TH1: Chọn học sinh khối 10, học sinh khối 11, học sinh khối 12 Số cách chọn: C32 C14 C15 60 - TH2: Chọn học sinh khối 10, học sinh khối 11, học sinh khối 12 Số cách chọn: C13 C24 C15 90 - TH3: Chọn học sinh khối 10, học sinh khối 11, học sinh khối 12 Số cách chọn: C13 C14 C52 120 270 Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu là: 60 + 90 + 120 = 270 Xác suất P 495 11 Cho a, b, x, y bốn số dương thỏa mãn a5 b5 x, y Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức P Áp dụng bđt Cauchy: x y 24 xy (a b ) 11 (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,5đ 0,25 0,25 1,0đ 0,25 x y 24 x y 12 xy.2 y x xy x y 12 , x (0;4] , y tham số Xét hàm số f ( x) y x xy x y 24 42 2.02 24 8 f '( x) 0, x, y (0; 4] 2 2x y 2x y 2x y y y f(x) nghịch biến (0;4] nên f ( x) f (4) P f (4) y y y y 5 5 1 0, y (0; 4] Xét hàm số g ( y ) , y (0;4] g '( y ) y y 16 16 g(y) nghịch biến (0;4] g ( y ) g (4) 4 Vậy giá trị nhỏ P a = b = 1, x = y = 4 Do P 0,25 a5 a5 5 a a 1.1.1 5a b5 b5 5 b5 b5 1.1.1 5b 2a 2b5 5(a b ) a b 2 1,0đ 0,25 0,25 0,25