SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT Năm học: 2015 – 2016 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không tính thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x x 1 Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) x x e x đoạn 0;3 Câu (1,0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 i z i z 2i Tìm môđun số phức w z b) Giải bất phương trình log x log x log Câu (1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x trục hoành x 1 y z Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 1 mặt phẳng ( ) : x y z Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng () Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình 4sin x cos x sin x sin x b) Trong lễ khai mạc Hội khỏe Phù Đổng trường THPT X, ban khánh tiết chọn đồng thời bạn số 22 bạn lớp trưởng để đón tiếp khách Tính xác suất bạn chọn có nam nữ, biết 22 bạn lớp trưởng có nam 14 nữ Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC BD Biết a , với M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC SA a , AC 2a , SM Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo BD x y , đường phân giác góc B tam giác ABC 1 d : x y Điểm K 2; thuộc cạnh AB đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD có bán 2 15 kính R Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD, biết đỉnh C có hoành độ dương Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x 10 x x 2 x x Câu 10 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q 16 x2 y y z z x2 xy yz zx x yz -HẾT - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 THPT HẢI PHÒNG Năm học: 2015 – 2016 Đáp án có 04 trang BẢN SAO MÔN: TOÁN Câu Nội dung Điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x x 1 1,0đ TXĐ: D \ {1} 0,25 Sự biến thiên: lim f ( x) lim f ( x) nên y tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x lim f ( x ) ; lim f ( x) nên x tiệm cận đồ thị hàm số x 1 x 1 0,25 1 0 ( x 1) Bảng biến thiên: y x y – – 0,25 y Hàm số nghịch biến (;1) (1; ) Hàm số cực trị Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục Ox (0; 0) Vẽ đồ thị: Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận (1;1) làm tâm đối xứng 0,25 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x) x x e x đoạn 0;3 Ta có: f '( x) x x ' e x x x e x ' x x e x x [0;3] f '( x) x x e x x 5 [0;3] 1,0đ 0,25 0,25 Tính f (0) 7 , f (3) 8e3 , f (1) 4e 0,25 Vậy max f ( x ) f (3) 8e3 ; f ( x) f (1) 4e 0,25 [0;3] [0;3] a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 1 i z i z 2i Tìm môđun số phức w z 1 i z i z 2i i z 3i z 3i i 3 i Từ suy ra: w 4i b) Giải bất phương trình log x log 0,5đ 0,25 0,25 x log Điều kiện: x Khi Bpt log x x 3 log x x 3 0,5đ 0,25 x 4 x x 12 x Kết hợp với điều kiện ta tập nghiệm bpt T 3; 0,25 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x x trục hoành 1,0đ x2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x x x 1 x 0,25 4 Diện tích hình phẳng cần tính cho công thức S x x dx 0,25 1 Ta có S x x 3 dx 0,25 1 x5 x3 64 64 x , từ suy S Tích phân S 15 5 1 15 x 1 y z 1 mặt phẳng ( ) : x y z Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d 0,25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : 1,0đ cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng () x t Phương trình tham só d y 3 2t z t 0,25 Do I d nên I 1 t ; 3 2t ;3 t d I ,( ) 1 t 2t t 2 2 2 2t t 1 2 t 0,25 Do có hai điểm I thỏa đề là: I (3; 7;1) , I (3;5;7) 0,25 0,25 a) Giải phương trình 4sin x cos x sin x sin x 0,5đ PT 2sin x sin x sin x sin x 2sin x sin x 2sin x cos x sin x sin x cos x 0,25 xk sin x k sin x cos x x k b) Trong lễ khai mạc Hội khỏe Phù Đổng trường THPT X, ban khánh tiết chọn đồng thời bạn số 22 bạn lớp trưởng để đón tiếp khách Tính xác suất bạn chọn có nam nữ, biết 22 bạn lớp trưởng có nam 14 nữ 0,25 0,5đ Chọn bạn số 22 bạn, nên số phần tử không gian mẫu là: n C22 26334 0,25 Gọi A: “5 bạn chọn có nam nữ” Khi n A C85 C145 56 2002 2058 Xác suất cần tính là: P A n A n 1 2058 578 0,92 26334 627 0,25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm O hai đường chéo AC a , với M trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SM AC S BD Biết SA a , AC 2a , SM A 1,0đ D 0,25 K M O H B N C Từ giả thiết SO ( ABCD ) SO AC , OA a, SO SA2 OA2 a OSM vuông O: OM SM SO a Ta có: ABC vuông B: BC MO a, AB AC BC a 0,25 3 AB.BC.SO a 3 Gọi N trung điểm BC MN // AC d SM , AC d AC , SMN d O, SMN VS ABCD OMN vuông O: OH MN , SO MN MN SOH 0,25 SOH vuông O: OK SH OK SMN OK d O, SMN OMN vuông O: ON a a a, OM , OH MN OH 2 OS OH a 57 SOH vuông O: d SM , AC OK 19 OS OH Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình đường chéo BD x y , đường phân giác góc B tam giác ABC 0,25 1,0đ 1 d : x y Điểm K 2; thuộc cạnh AB đường tròn ngoại tiếp tam 2 15 giác ACD có bán kính R Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD, biết đỉnh C có hoành độ dương Vì B d BD nên B (1;1) Gọi K điểm đối xứng với K qua đường phân giác d K BC Đường thẳng KK qua K vuông góc với d nên có phương trình: 2x y 0,25 7 1 3 Gọi I d KK ' I ; Mà I trung điểm KK nên K ' ;0 4 4 2 1 Đường thẳng AB qua hai điểm B (1;1) K 1; nên có phương trình 2 x 2y 3 Đường thẳng BC qua hai điểm B (1;1) K ' ;0 nên có phương trình 2 2x y 0,25 1.2 2.1 3 Ta có: cos AB, BC sin ADC sin ABC 5 5 AC Theo định lí sin tma giác ACD, ta có: R AC sin ADC Vì A AB A 2a; a , C BC C c;3 2c , c 2a c 2c a Gọi M trung điểm AC M ; 2 2a c 2c a 5 9 4 2 Vì M BD, AC nên ta có hệ: 2 c a c a 3 a 2c c c (loại) A 5; 1 , C 2; 1 a a c Vì ABCD hình bình hành nên D (6; 3) 0,25 0,25 Thử lại thỏ mãn phân giác Giải phương trình: x 10 x x 2 x x 1,0đ Điều kiện: x suy 2 x x ta có: x 10 2 x x 2 x x ta Với điều kiện cho phương trình tương đương với : 2 x x x 2 x 0,25 t2 , phương trình cho có dạng Đặt t x t x 0,25 t2 1 t2 2t 2t 2t 2t t 4t 0(1) 2 Do vế không âm nên bình phương vế ta được: (1) 4t 2t t 4t 3 7t 8t 30t 24t t t 3 7t 13t 9t 7t 13t 9t (2) t x thỏa mãn điều kiện Phương trình (2) vô nghiệm t VT dương Vậy phương trình có nghiệm x Chú ý: Nếu học sinh thêm bớt, nhẩm nghiệm nhân liên hợp sau không chứng minh phương trình lại vô nghiệm trừ 1/2đ 0,25 0,25 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x y z Tìm giá trị nhỏ 16 biểu thức Q 2 2 x y y z z x 1 xy yz zx x yz 1,0đ Với x y z Ta có Q 0,25 x y z 1 2 x y z 9 x4 y z 32 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x x x x Côsi Tương tự đến: 4 x y z 2 x y z Q 10 0,25 x y z 1 2 x y z 4 x y z 32 16 t2 1 Đặt x y z t t Ta có Q 2t t 1 Ta có: x y z x y z x y z 2 2 0,25 2 x y z xy yz zx x y z t 3;3 1 f ' t 2t t 1 Do Q f (t ) f (3) Vậy GTNN Q 1 0, t 3;3 43 28 28 x y z 0,25