TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA - MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu (2,0 điểm) 2x 1 x2 b) Gọi M, N giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d : y x Tính độ dài đoạn thẳng MN a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y Câu (1,0 điểm) x x R b) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2i 1 i a) Giải phương trình log 22 x log Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x sin 3xdx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;–5;–6) đường x 1 y z thẳng Δ : Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A Δ Viết phương trình 3 đường thẳng qua A cắt Δ B cho AB 35 Câu (1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức A sin 2 cos 13 b) Giải bóng đá công đoàn trường THPT cụm quy tụ 10 đội bóng đá nam gồm: Nguyễn Hữu Huân, Thủ Đức, Đào Sơn Tây, Hiệp Bình, Tam Phú, Nguyễn Huệ, Phước Long, Long Trường, Nguyễn Văn Tăng Ngô Thời Nhiệm Các đội chia thành hai bảng A B, bảng đội Việc chia bảng thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội Thủ Đức Nguyễn Hữu Huân nằm hai bảng khác a) Cho góc thỏa mãn sin Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SA ( ABC ) ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SB = 3a Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, có M(3; –1) trung điểm cạnh BC Đường thẳng chứa đường cao đỉnh B qua E(–1; –3) Đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường kính AD với D(4; –2) x x +2 x y y Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x, y x x x y Câu (1,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 b3 c3 P 2 a b c b a c c a b -HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Giám thị coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………… TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016 MÔN THI: TOÁN I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình học không gian thí sinh không vẽ hình vẽ hình sai không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 2x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y 1,0 x2 Tập xác định: D \ {2} 0, x D Suy hàm số nghịch biến 0,25 Sự biến thiên: y ' ( x 2)2 khoảng (; 2) (2; ) Hàm số cực trị Các giới hạn lim y 2; lim y 2; lim y ; lim y x x x2 x2 0,25 Suy x tiệm cận đứng, y tiệm cận ngang đồ thị Bảng biến thiên x – – y 0,25 y 1 Đồ thị: Giao với trục Ox ; , giao với trục Oy 2 xứng điểm I (2; 2) 1 0; , đồ thị có tâm đối 2 0,25 b Gọi M, N giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d: y = 2x – Tính độ dài đoạn thẳng MN Phương trình hoành độ giao điểm (C) d x 2x 1 2x x2 2 x x x 1 x 1,0 0,25 0,25 7 Tọa độ M(1; -1) N ; 2 Độ dài đoạn MN = 0,25 5 0,25 x (1) + Điều kiện phương trình (1) là: x (*) + Với điều kiện (*), (1) log 22 x log x log log 22 x log x a Giải phương trình log x log x log x x log x 0,5 0,25 0,25 1 + Kết hợp với điều kiện (*), ta có tập nghiệm phương trình (1) S 4; 2 b Tìm tọa độ điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z 2i 1 i i2 i 2i 5 3 Vậy điểm biểu diễn số phức z M ; 5 5 z 2i 1 i z 0,5 0,25 0,25 Tính tích phân I x sin xdx 1,0 u x Đặt dv sin xdx 0,25 du dx ta cos 3x v 0,25 x cos 3x 2 đó: I cos 3xdx 0 0,25 x cos x sin x I = 0 0 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; –5; –6) đường thẳng x 1 y z 1 (Δ): Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc A (Δ) Viết 3 phương trình đường thẳng qua A cắt (Δ) B cho AB = 35 H Δ H 1 2t; 2 t ; 1 3t ; (Δ) có véc tơ phương u 2;1; 3 H hình chiếu vuông góc A (Δ) nên AH u 2t 1 t 3 3t (3) t Vậy H(3; –1; –4) 0,25 1,0 0,25 0,25 B Δ B 1 2t; 2 t ; 1 3t t 2 35 nên 2t 1 t 3 3t 35 t B(1; –2; –1) hay B(5; 0; –7) AB = 0,25 x 2 y5 z 6 x 2 y5 z6 ; Δ2 : 1 5 1 Cho góc thỏa mãn sin Tính giá trị biểu thức 13 Δ1 : a 0,25 0,5 A s in2 cos Ta có: cos sin cos sin 144 12 cos (do ) 169 13 0,25 12 12 24 13 13 13 169 Giải bóng đá công đoàn trường THPT cụm quy tụ 10 đội bóng đá Nam A s in2 cos 2sin cos cos 0,25 gồm: Nguyễn Hữu Huân, Thủ Đức, Đào Sơn Tây, Hiệp Bình, Tam Phú, Nguyễn Huệ, Phước Long, Long Trường, Nguyễn Văn Tăng Ngô Thời Nhiệm Các đội b chia thành hai bảng A B, bảng đội Việc chia bảng thực 0,5 cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai đội Thủ Đức Nguyễn Hữu Huân nằm hai bảng khác Gọi không gian mẫu phép chọn ngẫu nhiên Số phần tử không gian mẫu là: C105 C55 0,25 Gọi A biến cố “hai đội Thủ Đức Nguyễn Hữu Huân nằm hai bảng khác nhau.” Số kết thuận lợi cho biến cố A là: 2!C84 C44 Xác suất cần tìm P 0,25 2!C84 C44 C105 C55 Cho hình chóp S ABC có SA ABC ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SB = 3a Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng 1,0 cách hai đường thẳng AC BM theo a S Từ giả thiết ta có SA đường cao hình chóp SA SB AB a 0,25 M Diện tích tam giác ABC C A N B a2 , 0,25 a 15 VS ABC SA.S ABC (đvtt) 3 Chọn trung điểm N(0;0;0) BC gốc tọa độ Tia NB trục hoành, tia NA trục tung Kẻ Nz // SA trục cao Ta có a a a 5 B(a;0;0), C(–a; 0; 0), A(0; a ;0), S(0; a ; a ), M ; ; 2 0,25 3a 3a 5a AC a; a 3; ; BM ; ; ; 2 2 a 15 5a 4 3a AC ; BM ; ; 2 AC , BM AB 15 d AC , BM a 17 AC , BM AB a; a 3; ; 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, có M(3; -1) trung điểm cạnh BC Đường thẳng chứa đường cao đỉnh B qua E(–1; –3) Đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1; 3) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường tròn ngoại tiếp 1,0 tam giác ABC có đường kính AD với D(4; –2) E(-1;-3) A Gọi H trực tâm tam giác ABC tứ giác BHCD hình bình hành M H F(1;3) C B M(3;-1) 0,25 trung điểm BC nên M trung điểm DH, suy H(2; 0) D(4;-2) Đường thẳng chứa cạnh AC qua F(1;3) vuông góc với HE, nên phương trình AC: x + y – = Đường thẳng chứa cạnh DC qua D(4; –2) vuông góc với AC, nên phương trình 0,25 DC: x – y – = C giao điểm AC DC nên C(5; –1) M trung điểm BC nên B(1; –1) 0,25 Đường thẳng chứa cạnh AB qua B(1; –1) vuông góc với CH, nên phương trình AB: 3x – y – = A giao điểm AC AB nên A(2;2) 0,25 x x x y y (1) Giải hệ phương trình: x, y x x x y (2) 1,0 x x 2 Điều kiện: y 1 Ta có: x x x y y x x 1 1 y y 1 (*) 0,25 f t t t 1 Xét hàm số t f t 1 t 1 t 1 f(t) liên tục [1, ) , Ta có 0; t suy f(t) đồng biến 1; Phương trình (*) 0,25 f x 1 f y x y Thay vào (2) ta x x x x x 1 x x x 1 x 7 y 8 x 6x x x 1 x 88 y 24 88 (loai ) x x x 19 19 9 x 10 x KL: Hệ phương trình có nghiệm: x; y 7;8 0,25 0,25 Cho a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P a3 a2 b c Ta có P b3 b2 a c a3 a2 3 a Xét hàm số f ( x) Ta có: f ( x) c3 1,0 c2 a b b3 b2 b c3 c2 3 c 0,25 x3 x2 3 x 17 12 x ; x (0;3) 25 25 x3 x2 x x 12 x 1 17 12 x 0, x 0;3 25 25 25 x x Mặt khác P f (a ) f (b) f (c) 17 36 a b c 25 25 17 36 Suy P a b c 25 25 Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Hết P 0,25 0,25 0,25