KÌ THI TRUNG H C PH THÔNG QU C GIA N M 2016 ( Môn thi: TOÁN Th i gian làm bài:180 phút, không k th i gian giao THI TH thi g m 01 trang) ĐỀ SỐ 113 Câu (1 i m) Tìm GTLN, GTNN c a hàm s Câu (1 i m) a) Cho s ph c z th a mãn: (1 − 2i ) z + b) Gi i b t ph ( 3x + −2 x + y = f ( x ) = ln x + + x o n [1;e] x th hàm s y = Câu (1 i m) Kh o sát s bi n thiên v − 3i = − i Tìm ph n th c, ph n o c a w = z + 1+ i z + 2i ng trình log 2016 log x + x − x ) >0 Câu (1 i m) Tính di n tích hình ph ng gi i h n b i y = x + 3, x − y + = Câu (1 i m) Trong không gian m t ph ng Oxyz , cho m t ph ng ( P ) : x − y − z − = A ( 0; 2; −1) ;0; −3 Vi t ph ng trình m t ph ng ( Q ) i qua A, B vuông góc v i ( P ) tìm i m C giao n c a ( P ) ; ( Q ) cho ∆ ABC vuông t i C ? Câu (1 i m) 3π a) Cho π < α < tan α = Tính giá tr c a bi u th c 3π 5π M = sin α + cos α + sin α + − sin − 2α 2 b) Trong trò ch i chi c nón kì di u có t t c 10 ô: ô 10 i m, ô 20 i m, ô 30 i m, ô 40 i m, ô 50 i m, ô m t i m, ô g p ôi, ô ph n th ng Khi m t ng i quay chi c nón v trí kim ch có th d ng m t ô v i kh n ng nh Tính xác su t ng i ch i th y NBT sau hai l n quay liên ti p c 100 i m Câu (1 i m) Cho hình chóp S.ACBD có áy ABCD hình ch nh t, bi t Trên B c nh AB l y i m M cho (ABCD) c nh AC c t MD t i H Bi t SH vuông góc v i m t ph ng Tính th tích kh i chóp kho ng cách gi a hai ng th ng Câu (1 i m) Trong m t ph ng v i h tr c t!a Oxy cho hình bình hành ABCD có góc ABC nh!n, nh A( −1; 0) G!i H, E, F l n l t hình chi u vuông góc c a A ng th ng BD, BC, CD Ph ng trình ng tròn ngo i ti p tam giác EFH ( C ) : x + y − x + y = Tìm t!a D bi t E có hoành ng th ng x − y − = có hoành nguyên, C thu c d xy ( xy + x ) + 27 ( x − 1) = y (1 − y ) + Câu (1 i m) Gi i h ph ng trình nh B, C, ng 1535 −57 x − y + xy = Câu 10 (1 i m) Cho s nguyên d ng x, y, z th a mãn x + y = z − Tìm GTNN c a bi u th c sau A= x3 y3 z3 + + + x + yz y + xz z + xy ( z + 1) H t - 663 14 ( x + 1)( y + 1) KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề ĐÁP ÁN THI THỬ (Đáp án gồm 08 trang) Đáp án Câu Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y Điểm 1, 3x 2 x 1 TXĐ: D R \ 2 y' 0x D 1 x 0,25 1 1 Hàm số đồng biến khoảng ; , ; 2 2 Hàm số nhận x tiệm cận đứng, y tiệm cận ngang 2 Bảng biến thiên: 0,25 0,25 Đồ thị: 2 0,25 Tìm GTLN, GTNN hàm số y f x ln x 664 x đoạn 1;e x 1, x x2 1 x x x2 f / x x x x 1, x 2 Ta có : f / x 0,25 0,25 Tính : f 1 3; f e e e 0,25 Vậy : max f x f e e e 1;e a) Cho số phức z thỏa mãn: 1 2i z w z z 2i ; f ( x) f 1 0,25 1;e 3i i Tìm phần thực, phần ảo 1 i 1, b) Giải bất phương trình log 2016 log x x x 3i 2i Ta có 1 2i z 1 i 1 2i z 2i i 1 2i z i 0,25 z i 5 a) i i z 2i 5 i 2i 5 5 Vậy phần thực: 6/5; phần ảo: -8/5 x x 2x Ta có x x x 2x Khi đó, ta có: z 0,25 log x x x x x x x x x x b) 0,25 =>TXĐ: x Ta có: log 2016 log x x x log x x x x x2 x 2 x x x x x 2 x x x 2 2 x x x x x Tính diện tích hình phẳng giới hạn y x 3, x y Xét phương trình x3 x 3 x3 x 1 Vậy diện tích cần tìm S 3 x3 0,25 1, 0,25 x3 dx 665 3 x3 x3 dx 0,25 2 3 x2 x 3 x 3 0,25 (đvdt) Trong không gian mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z A 0; 2; 1 0,25 1 B ;0; 3 Viết phương trình mặt phẳng Q qua A, B vuông góc với P tìm 2 điểm C giao tuyến P ; Q cho ABC vuông C ? 1, nQ AB Gọi nQ VTPT mặt phẳng Q nP 2; 1; 1 VTPT P nQ nP nQ phương nP , AB 1 7 Có nP 2; 1; 1 AB ; 2; 2 nP , AB 0; ; nên nQ 0;1; 1 2 2 VTPT Q 0,25 Mà A 0; 2; 1 Q phương trình Q : y z 0,25 1 7 M 0; ; d P Q Gọi ud VTCP d ud phương nP , nQ 2 Lại có nP , nQ 0; 2; nên ud 0;1;1 VTCP d x phương trình d : y t t z t 5 AC 0; c ; c 7 Có C d C 0; c ; c Mà ABC vuông C 2 1 1 BC ; c ; c 2 c 1 C 0; 2; 1 AC.BC c c 2 c C 0;0; 3 3 a) Cho tan Tính giá trị biểu thức 3 5 M sin cos sin 2 sin b) Trong trò chơi nón kì diệu có tất 10 ô: ô 10 điểm, ô 20 điểm, ô 30 điểm, ô 40 điểm, ô 50 điểm, ô điểm, ô gấp đôi, ô phần thưởng Khi người quay 666 0,25 0,25 1, a) nón vị trí kim dừng ô với khả Tính xác suất để người chơi thầy NBT sau hai lần quay liên tiếp 100 điểm 1 Ta có tan 32 10 cos 2 cos 10 3 (vì ) cos sin 10 10 3 5 Ta có: M sin cos sin 2 sin M sin cos cos cos2 sin cos cos 2cos 2 0,25 sin cos sin 9 10 10 10 10 10 Xác xuất vào ô 10 b) 0,25 quay lần 1: xác xuất để vào ô 50 điểm 10 quay lần 2: xác xuất để vào ô 50 điểm xác xuất để vào ô gấp đôi 10 10 3 Vậy xác suất cần tìm là: 10 10 50 Cho hình chóp S.ACBD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết A B = 2a, A D = a Trên cạnh a , cạnh AC cắt MD H Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S MHCB khoảng cách hai đường thẳng SD A C a S AM · ta có: t an A DM = = = AD a K BC a · t an BA C = = = AB 2a · · Þ A DM = BA C AB lấy điểm M cho A M = · D + HA · M = 900 Mà: HA · H + HA · D = 900 Þ A ·HD = 900 Þ DA Þ AH ^ HD 1 2 2 2 AH AM AD a a a a B AH MH AM AH a2 a2 a 5 667 0,25 1, D A M 0,25 H 0,25 C a 4a 5 1 3a 4a a 19a MB.BC CH HM a 2 2 5 20 AC AB BC a HC a SMHCB 0,25 1 19a 19a3 VS MHCB SH SMHBC a 3 20 60 Dựng HK vuông góc SD K ìï A C ^ HD Ta có ïí Þ A C ^ (SHD ) Þ A C ^ HK ïï A C ^ SH î => HK đoạn vuông góc chung A C SD Þ d(A C ; SD ) = HK Ta có: S D A DC = Þ DH = 0,25 1 A D.DC = DH A C 2 A D DC a.2a 2a = = AC a Trong tam giác vuông SHD ta có: HK = SH + HD = a + 4a = 4a 0,25 2a Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có góc ABC nhọn, đỉnh A(1;0) Gọi H, E, F hình chiếu vuông góc A đường thẳng BD, BC, Þ HK = CD Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác EFH C : x y x y Tìm tọa 1, độ đỉnh B, C, D biết E có hoành độ nguyên, C thuộc đường thẳng x y có hoành độ dương B A H I E D F 0,25 C Ta có AEC AFC 900 nên điểm A, F, C, E thuộc đường tròn đường kính AC Gọi I giao điểm AC BD Ta có FIE 2FAE 2(1800 BCD) Các tứ giác AHFD, AHEB nội tiếp nên FHD FAD BHE BAE Do FHE 1800 FHD BHE 1800 FAD BAE 2FAE 2(1800 BCD) FIE Vì tứ giác HIEF nội tiếp 668 Do I thuộc đường tròn (C ) ngoại tiếp tam giác HFE c 1 c Gọi C (c; c 3) d , (c 0) I ; , I thuộc (C) nên có phương trình: c 3 c 1 c c 1 c c ( loại c ) Suy ra: C (3;0) 2 I (1;0) Điểm E, F nằm đường tròn đường kính AC đường tròn (C) nên tọa độ thỏa mãn hệ 2 x 1, y 2 x y x y phương trình: 2 x ,y x 1 y 5 2 0,25 0,25 5 Vì E có hoành độ nguyên nên F ; , E 1; 2 Suy 5 AB : x y 0, BC : x y x y 1 Tọa độ B thỏa mãn B(3; 2) x 3y BA (2; 2), BC (6; 2) BA.BC 16 0(t / m) 0,25 Vì AB DC D(5; 2) Vậy B(3; 2), C (3;0), D(5;2) 1535 xy xy x 27 x 1 y 1 y Giải hệ phương trình x3 y xy 57 Hệ phương trình cho tương đương với 1535 xy xy x 27 x 27 x3 y xy 27 x3 y y 1 y x3 y xy 57 xy xy x 2 27 x 27 x3 y y 1 y 1* 57 x3 y xy 3 x 64 y 144 y 108 y 27 27 y 27 y y 57 3 x y xy x3 y 3 y 13 x y 3 y 4 xy x y 1 57 57 * 57 3 3 x y xy x y xy x y xy x y a x3 y3 x y 3xy x y a3 3ab Đặt xy b 669 1, 0,25 0,25 0,25 3a b 4b 3a 1 Khi (*) trở thành 57 a 3ab b a 3a 3a 1 3a 57 3 4 3 Ta có: 3 4a 9a 3a 3a 57 4a 9a 6a 56 a 2 Khi b 3 2 4 x , y x y 2 2 Hay ta x , y xy 2 1 5 1 Vậy hệ cho có nghiệm x; y ; ; 2 2 2 Cho số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z Tìm GTNN biểu thức sau: x3 y3 z3 A x yz y xz z xy z 1 Ta có x 1 y 1 14 1, x 1 y 1 x y 1 z 2 z xy x y xy x 1 y 1 x y 2 1 z x y x3 y3 x4 y4 x yz y xz x xyz y xyz x y xyz 2 10 0,25 x y2 0,25 x 2 y2 x2 y 1 z x y x y z x y 1 z x y z 1 1 z z 1 2 z 1 z 28 z 1 z 12 z 12 A z 1 z 28 0; f z 1 z z 12 z 12 Xét hàm 670 0,25 f z f ' z z z z 57 z 1 27 z f ' z 2 z 1 z 1 z 1 z z z 57 2 z 1 0,25 z 27 z z 115 2 z 1 f ' z z Bảng biến thiên: z f'(z) +∞ _ + 53 f(z) Vậy minA= 53 ⟺x = y = ; z = 3 671 0,25