HUYỆN ĐOÀN THUẬN CHÂU ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC 2015-2016-LẦN ĐOÀN TRƯỜNG THPT THUẬN CHÂU Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH ĐỀ SỐ THỨC 109 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x 3x Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) x 1 điểm thuộc (C) có tung độ Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình 2.4 x x x b) Giải bất phương trình: log (3 x 2) log (6 x) 3 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân: I (3 x sin x )dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x y z hai điểm A(2;0;0) , B(3; 1; 2) Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I thuộc mặt phẳng (P) qua ba điểm A, B điểm gốc tọa độ O Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: cos x sin x cos 3x b) Trong đợt thi thử đại học lần năm học 2015 – 2016 Đoàn trường THPT Thuận Châu tổ chức có em điểm cao khối A có nam nữ, khối B có em điểm cao có nam nữ, khối C có em điểm cao có nam nữ, khối D có em điểm cao có nam nữ Hỏi có cách chọn khối em để khen thưởng ? Tính xác suất để có học sinh nam học sinh nữ khen thưởng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Mặt bên SAD tam giác a nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SC Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AD, SB theo a Câu (1,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BG, G trọng tâm tam giác ABM, điểm D(7; –2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hoành độ điểm A nhỏ AG có phương trình x y 13 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình x ( x 1)( y 2) x y y x, y ( x 8)( y 1) ( y 2) x x 4x Câu 10 (1,0 điểm) Cho số thực a, b, c thuộc [4; 6] thỏa mãn điều kiện a + b + c = 15 Tìm giá trị lớn biểu thức: a 2b b 2c c a 30abc 180 abc ab bc ca 20 Hết P 637 TRƯỜNG THPT THUẬN CHÂU - ĐÁP ÁN ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NH 2015-2016-LẦN Câu Đáp án Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số = Điểm −3 +2 =ℝ +) Tập xác định +) Sự biến thiên - Chiều biến thiên: =3 0,25 − = ( − 2) =0⇔ =0 =2 Hàm số đồng biến (−∞; 0) (2; +∞) Hàm số nghịch biến (0; 2) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại Hàm số đạt cực tiểu - Giới hạn: lim → = 0, = 2, Đ =2 0,25 = −2 = +∞; lim = −∞ → - Bảng biến thiên −∞ + ∞ ′ + − 0 + 2 + ∞ 0,25 −∞ − 0,25 +) Đồ thị y Đồ thị hàm số qua điểm (1; 0) O x 2 Cho hàm số = có đồ thị ( ) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( ) điểm thuộc ( ) có tung độ +2 =4⇒ −1 +2 =4 −4 ⇒ =− =2 ( − 1) 0,25 ′(2) = −3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: = −3( − 2) + hay 638 0,25 0,25 = −3 + 10 0,25 a) Giải phương trình 2.4 + = 2.4 + = ⇔ 2 = ⇔ + = log ⇔ 0,25 = − log 0,25 = − log Vậy phương trình có nghiệm 3 ⎡ = −1 −1 =0 ⇔ ⎢ ⎢ = ⎣ b) Giải bất phương trình log (3 − 2) − log (6 − ) < Điều kiện: < Với < < < , log (3 − 2) − log (6 − ) < 0,25 ⇔ log (3 − 2) < log (6 − ) ⇔3 −2> 6−5 ⇔8 > ⇔ Vậy bất phương trình có nghiệm là: < = = +1− + 1) =( 0,25 < (3 (3 ) 0,5 − + )| + = >1 | 0,25 −1 Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng ( ): − − − = hai điểm (2; 0; 0), (3; −1; 2) Viết phương trình đường thẳng Δ qua vuông góc với mặt phẳng ( ) Viết phương trình mặt cầu ( ) tâm thuộc mặt phẳng ( ) qua hai điểm , điểm gốc tọa độ + 0,25 Đường thẳng Δ có phương trình là: =2+ =− = −2 A(2; 0; 0) n (1; 1; 2) 0,25 ( P) 639 Giả sử tâm mặt cầu ( ; ; ) Theo giả thiết toán ta có: 0,25 − −2 = ( − 2) + + = + ( − 3) + ( + 1) + ( − 2) = ⇔ + + − −2 =1 =1 ( − 3) + ( + 1) + ( − 2) = + + = −2 =1 ⇔ + ( + 1) + ( − 2) = + + = −2 =1 ⇔ + (−2 + 1) + ( − 2) = 0,25 + = −2 =1 3+4 −4 +1+ −4 +4= = −2 =1 ⇔ = −2 ⇒ (1; −2; 1) =1 ⇔ =1 −8 =0 ⇔ Bán kính mặt cầu là: (1 − 2) + + = √6 = 0,25 Mặt cầu cần tìm có phương trình là: 0,25 ( − 1) + ( + 2) + ( − 1) = + a) Giải phương trình: − =0 − Phương trình cho tương đương với ⇔2 (−2 sin ⇔2 +) Với =0⇔2 = +) Với =1⇔ +) Với =− ⇔ +2 ( ⇔2 + = = + , =0 )=0 + + 1) = ⇔ + ⇔ =0 , =0 =1 =− 0,25 ∈ℤ ∈ℤ =− + = + , ∈ℤ 0,25 Vậy phương trình có công thức nghiệm : =− = + ; + , ∈ ℤ + b) Trong đợt thi thử đại học lần năm học 2015 – 2016 Đoàn trường THPT Thuận Châu tổ chức có em điểm cao khối A có nam nữ, khối B có em điểm cao có nam nữ, khối C có em điểm cao có nam nữ, khối D có em điểm cao ; = = 640 có nam nữ Hỏi có cách chọn khối em để khen thưởng ? Tính xác suất để có học sinh nam học sinh nữ khen thưởng Khối A : nam nữ Khối B: nam nữ Khối C: nam nữ 0,25 Khối D: nam nữ Số cách chọn khối thi học sinh để khen thưởng là: (Ω) = 5.5.5.5 = 625 Gọi A biến cố: “Có học sinh nam học sinh nữ để khen thưởng” Suy A biến cố: "Cả học sinh khen thưởng nam nữ" (A) = 3.1.4.2 + 2.4.3.1 = 48 Số cách cách chọn khối em để khen thưởng có nam nữ 635 − 48 = 577 cách 0,25 Xác suất để có học sinh nam học sinh nữ khen thưởng là: 577 = 0,9232 625 hình thoi cạnh Mặt bên ( )= Cho hình chóp có đáy tam giác √ nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, = Tính thể tích khối chóp khoảng cách hai đường thẳng , theo Gọi ( hình chiếu vuông góc ) ta có = Xét tam giác vuông trung điểm √3 ta có 0,25 = − 3 √3 − = = Xét tam giác cos Suy tam giác ; = = + − cạnh , suy Suy thể tích khối chóp = + = = − = ⇒ 2 √ : √3 √3 = = 2 641 = 60 0,25 ( , )= ,( ) = ,( ) S A H a K D a A B B 0,25 C H tam giác nên D ⊥ Do tam giác ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Trong mặt phẳng ( ) kẻ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Do : ( )= , Xét tam giác Vậy: ( = a C ⊥( ) ⊥( ) ta có ⇒ vuông + , )= (Có thể tính = = 1 + = ⇒ 3 4 ⇒ = = √3 2√2 = √6 0,25 √ ) (Có thể tính khoảng cách cần tìm theo công thức thể tích) Trên mặt phẳng tọa độ cho tam giác vuông cân Gọi trung điểm , trọng tâm tam giác , điểm (7; −2) điểm nằm đoạn cho = Tìm tọa độ điểm , lập phương trình , biết hoành độ điểm nhỏ có phương trình − − 13 = Tính khoảng cách từ điểm ( , )= đến đường thẳng |3.7 + − 13| √9 + Xác định hình chiếu = √10 Ta có tam giác vuông cân đỉnh giác vuông cân đỉnh Suy giác 3x y 13 B nên tam = Theo giả thiết = nên tam nội tiếp đường tâm bán kính Ta có: =2 = √10 = 90 suy Suy tam giác vuông cân đỉnh ⊥ M N 0,25 G D(7; 2) suy A suy 642 = 2√10 C 0,25 Tìm điểm nằm đường thẳng = 2√10 cho Giả sử ( ; − 13) = 2√10 ⇔ ( − 7) + (3 − 11) = 20 ⇔ ⇔ 10 − 14 + 49 + − 66 + 121 − 20 = − 80 + 150 = ⇔ − + 15 = ⇔ =5 =3 Với = suy (3; −4) Tìm số đo góc tạo = = |3 − | TH : + = 3 = = ⇔9 + −6 √10 =0 = −3 = sy ⃗ = (1; 0) suy √3 + ⇔ = chọn = + √ √9 có vecto pháp tuyến ⃗ = ( ; ) ta có : Gải sử đường thẳng √ ( , )= =9 +9 = + √10 0,25 ⇔8 +6 =0 : −3=0 |7 − | = > √10 = ( , ) √1 TH 2: = −3 chọn ⃗ = (4; −3) suy : 4( − 3) − 3( + 4) = ⇔ − − 24 = ( , )= |4.7 + 3.2 − 24| = √16 + Trong hai trường hợp xét thấy ( , ) > ( , Vậy: (3; −4), 0,25 10 = < √10 ) nên : −3 =0 : −3 =0 Giải hệ phương trình Điều kiện: √ + + ( + 1)( − 2) + + = + ( − 8)( + 1) = ( − 2) √ + − −4 +7 ≥ −1 ≥2 Xét phương trình: √ + + ( + 1)( − 2) + Đặt =√ +1 ≥0 ta phương trình: = −2 ≥0 ⇔ −2 + + − +5 =2 + + =0⇔ −2 −2 + +1=2 −4+ − + − + − =0 0,25 ⇔ ( − )( + ) + ( − ) + ( − ) = ⇔ ( − )( + + 1) = ⇔ Từ phương trình (1) ta có √ + = −2 ⇔ = = + thay vào phương trình (2) ta ( − 8)( + 4) = ( + 1) √ + − −4 +7 643 0,25 ⇔ ( − 8)( + 4) ( + 1)( − 8) = −4 +7 √ +1+3 =8 + +1 ⇔ = −4 +7 √ +1+3 Tiếp tục giải phương trình +4 +1 = −4 +7 √ +1+3 ⇔ ( + 4) √ + + = ( + 1)( − + 7) ⇔ ( + 1) + √ + + = ( − 2) + ( √ + + = (( − 2) + 3) ( − 2) + ⇔ √ +1 +3 Xét hàm số ( ) = ( − + + 3) + 3)( + 3) = ( )=3 +3 0,25 + + 9, ≥ + + > 0, ≥ Do hàm số ( ) đồng biến [0; +∞) Từ ( − 2) ⇔ √ + = √ +1 = −2 Giải phương trình √ +1= ≥2 ⇔ −5 +3 =0 ⇔ +) Với =8⇒ +) Với = √ ≥2 +1= −4 +4 −2 ⇔ = + √13 = 11 ⇒ 0,25 √ = Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (8; 11), + √13 11 + √13 , 2 Cho số thực , , thuộc [4; 6] và thỏa mãn điều kiện + + = 15 Tìm giá trị lớn biểu thức = +) ( + = 10 + + ) = + + + + 30 + + + +2 +2 ( + + )= + + 180 +2 − 20 +2 + + + 30 Do 0,25 + ) + 180 − + + 20 +) Biến đổi đại lượng khác toán theo đại lượng = ( + = + + 0,25 Thứ nhất: ( − 4)( − 4)( − 4) ≥ ⇔ ( 644 − − + 16)( − 4) ≥ ⇔ −4 −4 − + 16( + ⇔ ⇔ + 16 − + 16 + 16 − 64 ≥ + ) − 64 ≥ ⇔ ≥ − 176 ⇔ − − + 176 ≥ ≤ −4 + 176 Suy ra: = ( + + ) + 180 + 180 44 − ≤ − + + + 20 5 180 44 ⇒ ≤ + + 5 Thứ 2: ( − 6)( − 6)( − 6) ≤ ⇔ ( ⇔ −6 −6 − − + 36)( − 6) ≤ + 36 − + 36 + 36 − 216 ≤ − + 36( + + ) − 216 ≤ ⇔ ⇔ − + 324 ≤ ⇔ ≤ − 324 ≥ − 176 ⇒ − 176 ≤ − 324 ≤ − 324 Kết hợp: ⇒ ≥ 148 ⇒ ≥ 74 0,25 Thứ 3: 15 = ( + = ( + −2 + ) = + + −2 + + 2( + + + −2 + ) ) + 3( + + + ) = [( − ) + ( − ) + ( − ) ] + ≥ Suy ≤ 75 Xét hàm số 180 44 + + , ∈ [74; 75] 5 180 − 900 ( )= − = 5 ( ) = ⇒ = ±15 ( )= Suy ( ) ≤ 0, ∈ [15; 16] 0,25 Do hàm ( ) nghịch biến [15; 16] suy ( ) ≤ (15), ∈ [15; 16] Giá trị lớn biểu thức = 35 là: 180 44 (15) = 15 + + = 35 15 = 4, = 5, = hoán vị (4, 5, 6) -Hết - 645