SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI THỬ LẦN THPT QUỐC GIA NĂM 2016 MÔN: TOÁN Ngày thi: 18/06/2016 Thời gian làm 180 phút, không kể phát đề (đề trang) Đthi Ề gồm S Ố01332 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x x x 1 Câu (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y biết tiếp tuyến song 2x 1 song với đường thẳng d có phương trình y 3 x 2016 Câu (1,0 điểm) cos x 3sin x 10 b) Giải phương trình 3x 1 31 x a) Giải phương trình e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I x x ln x dx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x y z , x y 1 z đường thẳng d : điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B giao điểm d 1 (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, qua A tiếp xúc với (P) Câu (1,0 điểm) a) Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết (2 3i ) z 5i z 2i b) Một nông dân nuôi 03 gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng Ba gà có khả đẻ trứng vào ngày 01/7 Biết xác suất để gà đẻ trứng vào ngày hôm là: ; ; Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân có gà đẻ trứng Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách AC SB Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x y x y Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 x 10 y điểm H có hoành độ nhỏ tung độ x3 3x x y y y x2 1 Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: x, y y 1 x y 1 x y Câu 10 (1,0 điểm) x3 y x y Cho hai số thực x y Tìm giá trị nhỏ P x 1 y 1 HẾT -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: ., SBD: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI THỬ THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2016 MÔN THI: TOÁN (Bản hướng dẫn chấm có 05 trang) Câu Nội dung trình bày Điểm Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x x 1,0 *) TXĐ: D *) Sự biến thiên: - Giới hạn: lim y ; lim y 0,25 x x Suy đths tiệm cận - x Ta có y ' x x ; y ' x 2 Hàm số đồng biến khoảng (; 2), (0; ) Nghịch biến (2;0) -Bảng biến thiên x y 2 0 0 *) Vẽ đồ thị 0,25 x 1 biết tiếp tuyến song song 2x 1 với đường thẳng d có phương trình y 3 x 2016 1,0 Hệ số góc tiếp tuyến: k 3 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y 3x b b 2016 0,25 x 1 1 x 3 x b Điều kiện tiếp xúc: có nghiệm 3 x 1 x x 1 x Với x có b 1 Suy phương trình tiếp tuyến: y 3x Với x có b Suy phương trình tiếp tuyến: y 3 x Kết luận a) Giải phương trình cos x 3sin x cos x 3sin x 3sin x 1 cos x 3sin x s in x 0,25 4 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 0,25 sin x x k 2 x k (k ) sin x 2 x k 2 Kết luận 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 b) Giải phương trình 3x 1 31 x 3x 1 31 x 10 0,5 10 x 1 3.3 10.3x 1 0,25 3x 1 x x 1 3 x Kết luận 0,25 e Tính tích phân I x x ln x dx 1,0 e e e I x x ln x dx x dx x ln xdx 1 e e 0,25 2 x dx 1 x e 1 2 e e e 1 2 1 Ta có x ln xdx x ln x x dx e x 1 x e e 2e e 1 I x x ln x dx e 1 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng thẳng d : 0,25 e e2 1 0,25 0,25 ( P) : x y z , đường x y 1 z điểm A(2; 1;0) Tìm tọa độ điểm B giao điểm 1 d (P) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc d, qua A tiếp xúc với (P) x t + d : y t , Tọa độ điểm B t ;1 t ; 2t Vì B giao điểm (P) d nên ta có z 2t t 2(1 t ) 2t t 5 1,0 0,25 Suy B 3;6; 10 0,25 Gọi I, R tâm bán kính mc(S), I nằm d nên I(2+a;1-a;2a) a 5 IA a (2 a)2 4a 6a 4a 4, d(I, (P)) Do mặt cầu (S) qua A tiếp xúc với (P) nên a a 5 2 6a 4a 35a 34a a 35 0,25 Với a I(3; 0; 2), R phương trình mc(S) : (x 3)2 y (z 2) Với a 69 36 29 I( ; ; ), R 35 35 35 35 35 29 69 36 phương trình mc(S) : (x )2 (y )2 (z )2 35 35 35 35 Vậy phương trình (S) cần tìm 29 69 36 (x 3) y (z 2) , (x ) (y ) (z )2 35 35 35 35 2 0,25 a) Tìm phần thực, phần ảo số phức z, biết (2 3i ) z 5i z 2i 0,5 z a b i, (a , b ) (2 3i ) a bi 5i a bi 2i 2a 2bi 3ai 3b 5i a bi 0,25 a 3b (3b 3a 5)i 3 a a 3b b a b 11 12 3 11 Vậy phần thực z a phần ảo b 12 b) Một nông dân nuôi 03 gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen để đẻ trứng Ba gà có khả đẻ trứng vào ngày 01/7 Biết xác suất để gà đẻ trứng vào ngày hôm là: ; ; Tính xác suất để ngày 01/7 người nông dân 0,25 0,5 có gà đẻ trứng Gọi A, B, C biến cố: Gà mái mầu trắng, mầu nâu, mầu đen đẻ trứng Theo giả thiết ta có P(A) ; P(B) ; P(B) Theo công thức biến cố đối ta có: 1 P A ;P B ;P C 0,25 Gọi D biến cố: “Ít gà đẻ trứng” suy D biến cố: “cả gà không đẻ trứng” Từ ta có: D A B C Do việc gà đẻ trứng độc lập nên biến cố A, B, C độc lập Theo công thức nhân xác suất ta có: 1 1 P D P A P B P C 24 23 Theo công thức biến cố đối ta P D P D 24 23 Vậy xác suất cần tìm 24 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC); góc SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách AC SB 0,25 1,0 S Do SA vuông góc với (ABC) nên AC hình chiếu SC (ABC) 60 SA a SCA 0,25 Diện tích tam giác ABC a2 SABC Thể tích khối chóp S.ABC K C A a VS.ABC a (đvtt) d H B 0,25 Kẻ đường thẳng d qua B song song với AC ta có khoảng cách AC SB khoảng cách AC mp(SB, d) khoảng cách từ điểm A đến mp(SB,d) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với d H 60 AH AB sin 60 a Ta có ABH BAC Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với SH K Ta có tam giác SAH vuông A 1 a 15 nên AK 2 AK AH SA 3a 3a 3a Do d SA AH nên d (SAH) (SB,d) (SAH) mà AK SH nên AK (SB,d) a 15 d ( A, ( SB, d )) AK a 15 Vậy khoảng cách AC SB Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A nội tiếp đường tròn (T) có phương trình x y x y Gọi H hình chiếu vuông góc A BC Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC M, N Tìm tọa độ điểm A viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình: 20 x 10 y điểm H có hoành độ nhỏ tung độ ICA (1) (T) có tâm I (3;1), bán kính R Do IA IC IAC Đường tròn đường kính AH cắt BC M MH AB MH / / AC (cùng vuông góc ICA (2) AB) MHB Ta có: ANM AHM (chắn cung AM) (3) Từ (1), (2), (3) ta có: AI vuông góc MN phương trình đường thẳng IA là: x 2y Giả sử A(5 2a; a) IA 1,0 0,25 N E (5 2a)2 a 6(5 2a) 2a a 5a 10a a Với a A(1; 2) (thỏa mãn A, I khác phía MN) 0,25 A Mà A (T ) 0,25 M B H I C 0,25 Với a A(5; 0) (loại A, I phía MN) 9 Gọi E tâm đường tròn đường kính AH E MN E t; 2t 10 38 Do E trung điểm AH H 2t 1; 4t 10 58 48 AH 2t 2; 4t , IH 2t 4; 4t 10 10 272 896 t 0 Vì AH HI AH IH 20t 25 11 13 31 17 28 t H ; ; t H ; 25 5 5 25 25 Với t 11 13 H ; (thỏa mãn) 5 5 0,25 0,25 Ta có: AH ; BC nhận n (2;1) VTPT 5 5 phương trình BC là: 2x y x3 3x x y y y x2 1 Giải hệ phương trình: x, y y 1 x y 1 x y x y ĐK: 1 x +) với x y 0,25 +) Với x PT (1) x Xét hàm số f (t ) t x2 3x x y y x 1 y (*) t R Chứng minh hàm số đồng biến R 0,25 Với đk x y f ( x) f ( y ) VT (*) VP (*) Dấu “=” xảy x y Thay x y vào phương trình (2) ta được: (2 x 1) x (2 x 1) x x ĐK : x 1, x 0,25 Đặt a x , b x ; a, b thay vào phương trình ta (a b 1)a (a b 1)b (a b ) (a b )(b a ) b a (a b ) a b 2 2 (a b )(b a ) b a (a b ) a b + Với a b x ( loại) 1 1 5 5 1 x 1 x x2 x + Với a b 2 8 Vậy hệ phượng trình có nghiệm x y 0,25 5 x Cho hai số thực x y Tìm giá trị nhỏ P Đặt t = x + y ; t > Áp dụng BĐT 4xy (x + y)2 ta có xy y3 x2 y x 1 y 1 t2 t t xy (3t 2) t2 Do 3t – > xy P xy t 10 1,0 t (3t 2) t2 Ta có P t2 t2 t 1 t2 t 4t t t 4t Xét hàm số f (t ) ; f '(t ) ; f '( t ) 0 2 t2 (t 2) (t 2) t Lập bảng biến thiên hàm só f (t ) 1,0 0,25 t3 t x y x Do P = f (t ) = f(4) = đạt ( 2; ) xy y Hết 0,25 0,25 0,25