PHƯƠNG PHÁP tọa độ 2016

PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I Lý thuyết Với hình lập phƣơng hình hộp chữ nhật ABCD.A' B' C' D'  z Với hình lập phương Chọn hệ trục tọa độ cho : A’ D’ B’ A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a; a;0) ; D(0;a;0) A '(0;0; a) ; B '(a;0; a) ; C '(a; a; a) ; D'(0;a;a) C’ Với hình hộp chữ nhật Chọn hệ trục tọa độ cho : D A A(0;0;0) ; B(a;0;0) ; C(a; b;0) ; D(0;b;0) x y C B A '(0;0; c) ; B '(a;0; c) ; C '(a; b; c) ; D'(0;b;c)  Với hình hộp đáy hình thoi ABCD.A' B' C' D' Chọn hệ trục tọa độ cho : z A’ - Gốc tọa độ trùng với giao điểm O hai đường chéo hình thoi ABCD D’ O’ B’ C A - Trục Oz qua tâm đáy y D O B C x Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z S Giả sử cạnh hình vuông a đường cao SO  h Chọn O(0;0;0) tâm hình vuông A  a  a  ;0;0 ; C  ;0;0      Khi : A   a   a  B  0;  ;0  ; D  0; ;0  ; S (0;0; h) 2     D y O B C x Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ z Giả sử cạnh tam giác a S đường cao h Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ y A C cho I(0;0;0)  a  a  Khi : A   ;0;0  ; B  ;0;0    2   a   a  C  0; ;0  ; S  0; ; h      Với hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật SA  (ABCD) z ABCD hình chữ nhật AB  a; AD  b chiều cao h S Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) A Khi : B  a;0;0  ; C  a; b;0  D  0; b;0  ; S (0;0; h) D y D y O B C x Với hình chóp S.ABC có ABCD hình thoi SA  (ABCD) z S ABCD hình thoi cạnh a chiều cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho O(0;0;0) A O B C x Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vuông A Tam giác ABC vuông A có AB  a; AC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B  a;0;0  ; C  0; b;0  S  0;0; h  z S y C A B Với hình chóp S.ABC có SA  (ABC)  ABC vuông B x Tam giác ABC vuông B có BA  a; BC  b đường cao h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho B(0;0;0) Khi : A  a;0;0  ; C  0; b;0  S z y x S  a;0; h  C A B Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông C H trung điểm AB z S  ABC vuông C CA  a; CB  b chiều cao h y x Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho C(0;0;0) A B H Khi : A  a;0;0  ; B  0; b;0  C a b S ( ; ; h) 2 Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông A  ABC vuông A AB  a; AC  b chiều cao h z S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Khi : B  a;0;0  ; C  0; b;0  a S (0; ; h) C A y H B Với hình chóp S.ABC có (SAB)  (ABC),  SAB cân S  ABC vuông cân C x Tam giác ABC vuông cân C có z CA  CB  a đường cao h S H trung điểm AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho H(0;0;0)  a   a  Khi : C  ;0;0  ; A  0; ;0      a   B  0;  ;0  ; S  0;0; h    y H A B C x II Bài tập áp dụng Bài toán Cho tứ diện OABC có tam giác OAB,OBC,OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh : cos   cos   cos   ( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hƣớng dẫn Dựng hình : Bài giải z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ; B(0; b;0) C (0;0; c) ; C  AB  (a ; b ; 0) AC  (a ; ; c) A x Tìm vectơ pháp tuyến :  Mặt phẳng (ABC)   Mặt phẳng (OBC)   Mặt phẳng (OCA)  Mặt phẳng (OAB) Sử dụng công thức tính góc hai mặt phẳng: cos   cos(OBC), ( ABC ) cos   cos(OBC), ( ABC ) cos   cos(OBC), ( ABC ) y O  C’ B  n  AB, AC  (bc ; ac ; ab) i  ( 1, 0, 0) : Ox  (OBC) j  ( 0, 1, 0) : Oy  (OCA) k  ( 0, 0, 1) : Oz  (OAB)   cos   cos   b.c b c  c a  a 2b c.a b c  c a  a 2b cos   Kết luận a.b b c  c a  a 2b cos   cos   cos   b c  c a  a 2b 1 b c  c a  a 2b Bài toán Bằng phương pháp toạ độ giải toán sau : Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh a a.Chứng minh đường chéo A' C vuông góc với mặt phẳng ( AB' D' ) b.Chứng minh giao điểm đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c.Tìm khoảng cách hai mặt phẳng ( AB' D' ) (C ' BD) d.Tìm cosin góc tạo hai mặt phẳng ( DA' C ) ( ABB ' A' ) ( SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 ) Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O  A(0;0;0) ; A’ B’ A' (0;0; a) B(a;0;0) ; B' (a;0; a) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(0; a;0) ; D' (0; a; a) x  A' C  AB '  A' C  ( AB ' D' ) Nếu   A' C  AD ' b Chứng minh : G trọng tâm tam giác AB' D' Phương trình tham số đường thẳng A' C x  t  A' C :  y  t (t  R) z  a  t   C’ D A B a Chứng minh : A' C  ( AB' D' ) G D’ y C  A' C  (a; a;a)   Ta có :  AB '  (a;0; a)   AD '  (0; a; a) 2   A' C  AB '  A' C AB '  a   a   Vì  2  A' C  AD '   A' C AD '   a  a  Nên A' C  mp( AB' D' ) Gọi G  A' C  ( AB' D' ) Toạ độ giao điểm G đường thẳng A' C mặt phẳng ( AB' D' ) nghiệm hệ : a  x  x  t  y  t a    a a 2a  G ; ;  (1)   y   3 3  z  a  t  2a  x  y  z   z   x A  xB '  xD ' a    xG  3  y y y a  Mặt khác :  yG  A B ' D '  (2) 3  z A  z B '  z D ' 2a    zG  3  Phương trình tổng quát mặt phẳng ( AB' D' ) ( AB' D' ) : x  y  z  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( AB' D' )   n1  AB', AD'  (a ;a ; a ) So sánh (1) (2), kết luận Vậy giao điểm G đường chéo A' C mặt phẳng ( AB' D' ) trọng tâm tam giác AB' D' c Tính d ( AB' D' ), (C ' BD) Phương trình tổng quát mặt phẳng (C ' BD) (C' BD) : x  y  z  a  Trong vectơ pháp tuyến mặt phẳng (C ' BD)   n2  C ' B, C ' D  (a ; a ;a ) 2 d Tính cos( DA' C ), ( ABB ' A' ) Oy  ( ABB ' A' )  Vec tơ pháp tuyến ( ABB ' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) :   n3  DA', DC  (0; a ;a )  a (0;1;1) ( AB' D' ) : x  y  z  (C' BD) : x  y  z  a   ( AB' D' ) // (C ' BD) Ta có :  d ( AB ' D' ), (C ' BD )   d B, ( AB ' D' )   a Vec tơ pháp tuyến ( ABB ' A' ) j  (0 ; ; 0) Vectơ pháp tuyến ( DA' C ) : n3  (0;1;1)  cos( DA' C ), ( ABB ' A' )    ( DA' C ), ( ABB ' A' )  45 o Bài toán Cho hình lập phương ABCD.A' B' C' D' có cạnh a Chứng minh hai đường chéo B' D' A' B hai mặt bên hai đường thẳng chéo Tìm khoảng cách hai đường thẳng chéo B' D' A' B Hƣớng dẫn Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : Bài giải z A’ O  A(0;0;0) ; A' (0;0; a) ; B(0; a;0) ; B' (0; a; a) C (a; a;0) ; C ' (a; a; a) D(a;0;0) ; D' (a;0; a) B’ D’ C’ y A B x D C Chứng minh B' D' A' B chéo nhau, ta chứng minh ba vectơ B' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng Cần chứng minh tích hỗn hợp ba vectơ B' D'; A' B, BB ' khác Ta có : B' D'  (a;a;0) A' B  (0; a;a) ;   B' D', A' B.BB'  a 2  B' D', A' B  (a ; a ; a ) 0  ba vectơ B' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng hay B' D' A' B chéo Tính d B' D' , A' B  d B' D' , A' B   BB '  (0;0; a) a3 d B' D' , A' B   [ B' D', A' B].BB ' a4  a4  a4  a3 a  a 3 [ B' D', A' B] Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi AC cắt BD gốc toạ độ O Biết A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) Gọi M trung điểm SC Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 ) Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : z Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ; S (0;0;2 ) S M N Ta có : C (2;0;0) ; D(0;1;0) ; M (1;0; )    SA  2;0;2 ; BM   1;1;  x 1a.Tính góc SA BM Gọi  góc SA BM Sử dụng công thức tính góc hai đường thẳng C D A O B y Ta có :   cos   cos SA, BM  SA.BM SA BM     30o 1b Tính khoảng cách SA BM [SA, BM ]  (2 ;0;2) ; AB  (2;1;0) Chứng minh SA BM chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo [SA, BM ] AB   d ( SA, BM )  [ SA, BM ] AB  [ SA, AB ] Tính thể tích khối chóp S.ABMN Dễ dàng nhận thấy : MN  ( ABM )  (SCD) VS ABMN  VS ABM  VS AMN Trong : [ SA, SM ].SB  [ SA, SM ].SN VS ABM  VS AMN MN // AB // CD  N trung điểm SD   Toạ độ trung điểm N  0; ;    SA  (2;0;2 ) ; SM (1;0; ) SB  (0;1;2 ) ; SM (1;0; )  [SA, SM ]  (0;4 ;0) 2 [ SA, SM ].SB   6 2  [SA, SM ].SN   6 VS ABM  VS AMN Kết luận 2  84 Vậy VS ABMN  VS ABM  VS AMN  (đvtt) Bài toán Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC A1B1C1 với A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) Tìm toạ độ đỉnh A1 ; C1 Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 ) Gọi M trung điểm A1B1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC1 ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 ) Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; Với : A(0;3;0) ; B(4;0;0) ; C (0;3;0) ; B1 (4;0;4) B1  A Toạ độ trung điểm M A1B1 Toạ độ hai đỉnh A1 ; C1 z C1  A1 (0;3;4)  C1 (0;3;4)   M  2; ;4)    M A1 x B O C y Ta có : A1 (0;3;4)  mp(Oyz) C1 (0;3;4)  mp(Oyz) Phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( BCC1B1 )  Viết phương trình mp ( BCC1B1 )  Tìm bán kính mặt cầu (S) R  d  A, ( BCC1B1 ) Phương trình mặt cầu (S) : Phương trình mặt phẳng (P) :   Tìm vectơ pháp tuyến (P)  AM  ( P)  nP  [ AM , BC1 ]  BC1 // ( P)   AM   2; ;4  ; BC1  (4;3;4)   Vectơ pháp tuyến mp ( BCC1B1 ) n  [ BC , BB1 ]  (12; 16; 0) Phương trình tổng quát mp ( BCC1B1 ) : ( BCC1B1 ) : 3x  y  12  Bán kính mặt cầu (S) : R  (S) : x  ( y  3)2  z  24 576 25 Vectơ pháp tuyến (P) : nP  [ AM , BC1 ]  (6;24;12) Phương trình mặt phẳng (P) : ( P) : x  y  z  12  Bài toán Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC); AC  AD  4cm ; AB  3cm ; BC  5cm Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 ) Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : z ABC có : AB  AC  BC  25 nên D vuông A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau O  A(0;0;0) ; B(3;0;0) ; C (0;4;0) D(0;0;4) ; Tính : AH  d  A, ( BCD) A B H C y I x Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương trình tổng quát mặt phẳng (BCD) ( BCD ) : x y z     x  y  3z  12  4 d  A, ( BCD )    12 16    12 34  17 34 Bài toán Cho hai nửa đường thẳng Ax By vuông góc với nhận AB  a (a  0) đoạn vuông góc chung Lấy điểm M Ax điểm N By cho AM  BN  2a Xác định tâm I tính theo a bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Tính khoảng cách hai đường thẳng AM BI Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : z B Dựng Ay ' // By  Ax  Ay ' Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Axy' z sau : A(0;0;0) ; B(0;0; a) ; M (2a;0;0) N A N (0;2a; a) I M Toạ độ trung điểm I MN a  Ia ; a ;  2  y y' x Hai tam giác AMN BMN hai tam giác vuông nhận MN cạnh huyền nên   a 2 1a Xác định tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN trung điểm I  a ; a ;  MN tâm  Ax  By   Ax  Ay ' mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Chú ý : 1b.Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN Ta có : MN  a(2 ; ; 1) Bán kính mặt cầu : R  MN 3a  2 Ta có : AM  (2a;0;0) ; Tính d ( AM , BI ) Chứng minh AM BI chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a  BI   a; a;  ; AB  (0;0; a) 2  [ AM , BI ]  (0; a ;2a ) d ( AM , BI )  [ AM , BI ] AB [ AM , BI ]  2a 5 Bài toán Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 ) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O tâm hình vuông ABCD  SO  (ABCD ) S E M P Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h  ;  a  a  A ; C ;0;0 ;0;0      2      a   a  D  0; ;0  ; B  0; ;0  2     Toạ độ trung điểm P SA  a  a a  h P ; E ; ; ; ; h      2     a a h a a  M ; ;  N ; ;0     4   Tính (theo a) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Chứng minh MN AC chéo Sử dụng công thức tính khoảng cách hai đường thẳng chéo uuuur  3a h  uuur MN   ;0;   ; BD  (0; a 2;0) 2  Vì : MN.BD   MN  BD uuuur uuur  ah  Ta có :  MN , AC    0;  ;0     uuuur  a h AM   0;  ;    uuuur uuur uuuur a h Vì :  MN , AC  AM  0  MN AC chéo a 2h [ MN , AC ] AM a d MN , AC     2 ah [ MN , AC ] Bài toán Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) tam giác ABC vuông A; AD  a, AC  b, AB  c a Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Hƣớng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho A(0;0;0) Bài giải z D Khi : B  c;0;0 ; C  0; b;0  A C y D  0;0; a  uuur Ta có : BC   c; b;0  uuur BD   c;0; a  uuur uuur  BC, BD    ac; ac; bc    Áp dụng bất đẳng thức Côsi : a2b2  b2c2  2ab2c b2c2  c2 a  2abc2 c2 a  a 2b2  2a 2bc B a Tính diện tích S tam giác BCD uuur uuur 2 S   BC , BD   a b  a 2c  b 2c b 2 Chứng minh : 2S  abc  a  b  c  Ta có : abc  a  b  c   a 2bc  b2 ac  c ab   b2  c   a  c   a  b2   a2  b  c          a 2b2  a 2c  b2c  2SBCD Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Hƣớng dẫn Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi I trung điểm BC Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho I(0;0;0)  Khi : A  0;  Bài giải z a   a  ;0  ; B   ;0;0     a   a   a  C  ;0;0  ; S  0; ; h  ; H  0; ;0  6 2       a a h a a h M   ; ;  ; N  ; ;  12 12 2    uuuur  a 5a h  AM    ;  ;  12   uuur  a 5a h  AN   ;  ;  12  4 uur  a a  SB    ;  ; h    S M N B I y A H C + Pháp vectơ mp (AMN) : ur uuuur uuur  ah 5a  n1   AM , AN    0; ;  24   + Pháp vectơ mp (SBC) : x uuur  a a  SC   ;  ; h  2  ur uur ur uur  AMN    SBC   n1  n2  n1.n2  a h 15a a h 15a   0  24.6 16 242 uur uur uuur  a2  n2   SB, SC    0; ah;    Diện tích tam giác AMN : SAMN   uuuur uuur a h2 75a  AM , AN    16  242 2 15a 75a a 10 đvdt   90 a  242 242 48 16 Bài toán 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a ; SA  a ; SB  a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 ) Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : z S Gọi H hình chiếu vuông góc S AB  SH  (ABCD) Ta có : SA2  SB2  a2  3a2  AB2  SAB vuông S  SM  a a Do : SAM  SH  A Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : H (0;0;0) ;  S  0;0; a 3  ;   a    A   ;0;0  ;   3a   a  B  ;0;0  ; D   ; 2a;0  ;     a   3a  M  ;0;0  ; N  ; a;0    2  uuur  a a 3 SM   ;0;    2 uuur  3a a 3 SN   ; a;     uur  3a a 3 SB   ;0;     uuur  a a 3 SD    ; 2a;     uuur DN   2a; a;0  D y K H B x M N C + Thể tích khối chóp S.BMDN VS BMDN  VSMNB  VSMND 2 uuur uuur    SM , SN    a ;  a ; a     2   3 uuur uuur uur uuur uuur uuur  SM , SN  SB  a ;  SM , SN  SD  3a     2 uuur uuu r uur a VSMNB   SM , SN  SB  12  uuur uuur  uuur a3 VSMND   SM , SN  SD  VS BMDN  VSMNB  VSMND  a3 a3 a3   12 + Công thức tính góc SM, DN + Tính cosin góc SM, DN a2 cos  SM , DN    2 a 3a  4a  a 4 uuur uuur SM DN cos  SM , DN   uuur uuur SM DN Bài toán 12 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB  BC  a , cạnh bên AA '  a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : B(0;0;0)  A  0; a;0  ; C  a;0;0  ; B’ 0;0; a  C’   Chứng minh AM B’C chéo uuuur uuuur  a2   AM , B ' C    a 2; ;a      A’  a  M  ;0;0  2  uuuur  a  uuuur AM   ; a;0  ; B ' C  a;0; a 2  uuuur AB '  0; a; a  B’ y A B M C x + Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ VABC A' B 'C '  AA '.SABC  a 2 đvtt + Khoảng cách AM B’C uuuur uuuur uuuur a3 Vì :  AM , B ' C  AB '   AM B’C chéo uuuur uuuur uuuur  AM , B ' C  AB '   d  AM , B ' C   uuuur uuuur  AM , B ' C    a a   2a  a  a · · ABC  900 AB  BC  a , Bài toán 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang , BAD AD  2a , SA vuông góc với đáy SA  2a Gọi M,N trung điểm SA SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a ( trích đề thi tuyển sinh Cao đẳng năm 2008 ) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; N M D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  M  0;0; a  ; N  0; a; a  B uuuur uuur MN   0; a;0  ; BC   0; a;0  uuur MB   a;0; a  uuur uuur SM   0;0; a  ; SC   a; a; a  uur uuur SB   a;0; 2a  ; SN   0; a; a  uuur uuur  SM , SC   a ; a ;0     uuur uuur uur  SM , SC  SB  a3   uuur uuur uuur  SM , SC  SN  a3   D A y C x + Chứng minh BCNM hình chữ nhật uuuur uuur   MN  BC  BCNM hình chữ nhật  uuuur uuur   MN MB  + Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a VSMCB VSMCN VS BCNM  VSMCB  VSMCN  uuur uuur  uur a3   SM , SC  SB  6 uuur uuu r uuu r a3   SM , SC  SN  6 VS BCNM  VSMCB  VSMCN  a3 đvtt Bài toán 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a , SA  ( ABCD); SA  2a Mặt phẳng   qua BC hợp với AC góc 300 , cắt SA, SD M, N Tính diện tích thiết diện BCNM Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  Đặt AM  h   h  2a  z S M A N D y  M  0;0; h  Xác định vị trí điểm M B C x uuuur uuur BM   a;0; h  ; BC   0; a;0  uuuur uuur  BM , BC   ah;0; a  a  h;0; a    Pháp vectơ mặt phẳng   : uuur AC   a; a;0   a 1;1;0  uuur r AC   a; a;0   a 1;1;0   u  1;1;0    Ta có :   MN     ( SAD)  MN / / BC / / AD    BC / / AD BC  (SAB)  BC  BM uur uur uuuur uuur n   BM , BC   n   h;0; a  Vectơ phương đường thẳng AC : mặt phẳng   hợp với AC góc 300 uur r n 1.h  1.0  0.a  u  sin 300  uur r  n u   h2   a h    h  h2  a 2 h2  a  h  a  M trung điểm SA  MN / / BC  BCNM hình thang vuông  BM  BC + ABM vuông cân A  BM  a a MN  AD  2 + Diện tích thiết diện BCNM : S BCNM  3a 2 BM  MN  BC   Bài toán 15 Cho hình chóp O.ABC có OA  a; OB  b; OC  c đôi vuông góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) 1; 2; Tính a; b; c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : C Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : O(0;0;0) A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0;c  M d  M ,(OBC )    xM  y O d  M ,(OCA)    yM  H d  M ,(OAB)    zM  A E B  M 1; 2;3 uuur A  a;0;0   OA  (a;0;0) uuur B  0; b;0   OB  (0; b;0) uuur C  0;0; c   OC  (0;0; c) x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC  uuur uuur uuur OA, OB  OC  abc  6 + Phương trình mặt phẳng (ABC) : 1 a   a  b  c  Giải hệ :   b      c    a b c x y z   1 a b c M  ( ABC )     a b c (ABC) : Áp dụng bất đẳng thức Côsi : 3    33  33 a b c a b c abc  abc  27 a  3  MinVO ABC  27     b  a b c c   1 Bài toán 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh a a Tính thể tích khối chóp S.ABCD b Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) c Tính góc SB mặt phẳng (SCD) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : Gọi O  AC  BD S  SO  (ABCD ) SO  SC  OC  a  a2 a  2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau :  a 2 O(0;0;0) ; S  0;0; ;    a  a  A   ;0;0  ; C  ;0;0       a   a  D  0; ;0  ; B  0; ;0  2     y A D O B C a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD x Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x a 2  y  z a a 2 a  x y z 0 1 1 a a3 VS ABCD  SO.S ABCD  a  3 b Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) a 0 a a   2 (SCD): x  y  z  d  A, ( SCD)    a a  3 · Bài toán 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang , · ABC  BAD  900 AB  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đáy SA  a Gọi H hình chiếu A SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 ) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz sau : A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  H      uur SB  a;0; a uuur SC  a; a; a uuur SD  0; 2a; a uuur uuur  SC, SD   a 2; a 2; 2a    a   1;1;  B  + Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vuông góc A SB Phương trình tham số SB :  x  a  at  SB :  y    z  a 2t (t R ) D I A y C x +uuuChứng minh tam giác SCD vuông r uuur SC   a; a; 2a  ; CD   a; a;0  uuur uuur SC.CD   SC  CD  Tam giác SCD vuông C + Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :  H ( x; y; z )  SB  H a  at;0; a 2t uuur AH  (a  at;0; a 2t )  + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) qua điểm S nhận vectơ r n  1;1; làm pháp vectơ   (SCD) : 1( x  0)  1( y  0)  2( z  a 2)  uuur uur AH  SB  AH SB   3a 2t  a   t    2a a 2  H  ;0;    + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) : x  y  z  2a  2a 2a   2a a 3 d  H , ( SCD)    3 [...]... 2  b2c 2  2SBCD Bài toán 10 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN Biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Hƣớng dẫn Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Gọi I là trung điểm của BC Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho I(0;0;0)  Khi đó : A  0;  Bài giải z a 3  ... khoảng cách từ H đến (SCD) Tọa độ điểm H :  H ( x; y; z )  SB  H a  at;0; a 2t uuur AH  (a  at;0; a 2t )  + Viết phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ r n  1;1; 2 làm pháp vectơ   (SCD) : 1( x  0)  1( y  0)  2( z  a 2)  0 uuur uur AH  SB  AH SB  0  3a 2t  a 2  0  t    2a a 2  H  ;0;  3   3 + Khoảng cách từ H đến (SCD) Phương trình mặt phẳng (SCD)... dẫn Bài giải z Dựng hình : S Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  H      uur SB  a;0; a 2 uuur SC  a; a; a 2 uuur SD  0; 2a; a 2 uuur uuur  SC, SD   a 2 2; a 2 2; 2a 2    a 2   2 1;1; 2  B  + Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên SB Phương trình tham số của SB :  x  a  at  SB...  a 5a 3 h  AM    ;  ;  12 2   4 uuur  a 5a 3 h  AN   ;  ;  12 2  4 uur  a a 3  SB    ;  ; h  6  4  S M N B I y A H C + Pháp vectơ của mp (AMN) : ur uuuur uuur  ah 5a 2 3  n1   AM , AN    0; ;  24   4 + Pháp vectơ của mp (SBC) : x uuur  a a 3  SC   ;  ; h  6 2  ur uur ur uur  AMN    SBC   n1  n2  n1.n2  0 a 2 h 15a 4 a 2 h 15a 4  ... diện BCNM Hƣớng dẫn Bài giải Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : A(0;0;0) ; B  a;0;0  ; C  a; a;0  ; D  0; 2a;0  ; S  0;0; 2a  Đặt AM  h  0  h  2a  z S M A N D y  M  0;0; h  Xác định vị trí điểm M B C x uuuur uuur BM   a;0; h  ; BC   0; a;0  uuuur uuur  BM , BC   ah;0; a 2  a  h;0; a    Pháp vectơ của mặt phẳng   : uuur AC   a; a;0  ... hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) A  a;0;0  ; B  0; b;0  ; C  0;0;c  M d  M ,(OBC )   1  xM  1 y O d  M ,(OCA)   2  yM  2 H d  M ,(OAB)   3  zM  3 A E B  M 1; 2;3 uuur A  a;0;0   OA  (a;0;0) uuur B  0; b;0   OB  (0; b;0) uuur C  0;0; c   OC  (0;0; c) x +Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC  1 uuur uuur uuur 1 OA, OB  OC  abc  6 6 + Phương trình... O  AC  BD S  SO  (ABCD ) SO  SC 2  OC 2  a 2  a2 a 2  2 2 Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau :  a 2 O(0;0;0) ; S  0;0; ; 2    a 2  a 2  A   ;0;0  ; C  ;0;0  2    2   a 2   a 2  D  0; ;0  ; B  0; ;0  2 2     y A D O B C a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD x Phương trình mặt phẳng (SCD) (SCD): x a 2 2  y  z a 2 a 2 2 2 a 2  x y z 0 2... vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A; AD  a, AC  b, AB  c a Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c b Chứng minh rằng : 2S  abc  a  b  c  Hƣớng dẫn Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho A(0;0;0) Bài giải z D Khi đó : B  c;0;0 ; C  0; b;0  A C y D  0;0; a  uuur Ta có : BC   c; b;0  uuur BD   c;0; a  uuur uuur  BC, BD    ac; ac; bc    Áp dụng...Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : O(0;0;0) ; S 0;0; h  ;  a 2  a 2  A ; C ;0;0 ;0;0      2 2      a 2   a 2  D  0; ;0  ; B  0; ;0  2 2     Toạ độ trung điểm P của SA  a 2  a 2 a 2  h P ; E ; 0 ; ; ; h     4 2  2 2     a 2 a 2 h a 2... của BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 ) Hƣớng dẫn Bài giải z Dựng hình : Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc Oxyz như sau : B(0;0;0)  A  0; a;0  ; C  a;0;0  ; B’ 0;0; a 2  C’   Chứng minh AM và B’C chéo nhau uuuur uuuur  a2 2   AM , B ' C    a 2 2; ;a    2   A’  a  M 