Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI THPTQG 2016 – MOON.VN Đề số 10 – Thời gian làm bài: 180 phút Thầy Đặng Việt Hùng VIDEO LỜI GIẢI CHI TIẾT có website MOON.VN x − (m + 1) x + 2m + có đồ thị (Cm ), với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = 5 b) Cho điểm I 0; − Tìm m để (Cm ) có điểm cực đại A, hai điểm cực tiểu B C cho tứ giác 2 ABIC hình thoi Câu (0,5 điểm): Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z biết số phức z1 = ( − z ) i + z số ( ) ảo log ( x − 1) − log ( x − x ) ≥ π x e x Câu (1,0 điểm): Tính tích phân I = ∫ + x + tan x dx cos x 3π x Câu (0,5 điểm) Giải bất phương trình Câu (1,0 điểm): Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = 0, đường thẳng d : x − y +1 z −1 = = đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng x = 1, y + z − = Viết −1 −1 phương trình mặt cầu có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với ∆ (P) Câu (1,0 điểm): Tính giá trị biểu thức A = tan x + cot x b) Trong lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, có phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản a) Cho sin x + cos x = phẩm từ lô hàng Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có không phế phẩm Câu (1,0 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có AA1 = a 2, đường thẳng B1C tạo với mặt phẳng ( ABB1 A1 ) góc 450 Tính theo a thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách hai đường thẳng AB1 BC Câu (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác ABC vuông C nội tiếp đường tròn (C) tâm I 26 bán kính R = Tiếp tuyến (C) C cắt tia đối tia AB K −4; Biết diện tích tam giác ABC 20 A thuộc d : x + y − = Viết phương trình đường tròn (C) x + x + x + = y + y + y + Câu (1,0 điểm): Giải hệ phương trình ( x, y ∈ ℝ) 2 x + y − x + y − = Câu 10 (1,0 điểm) Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn x > y xy + ( x + y ) z + z = 1 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + + 2 4( x − y ) ( x + z ) ( y + z ) Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 LỜI GIẢI CHI TIẾT (Thân tặng em học sinh thầy Hùng đz Tết Bính Thân 2016 ^^) Câu (2,0 điểm): Khi m = hàm số trở thành y = +) Tập xác định: D = R; y hàm số chẵn +) Sự biến thiên: - Giới hạn vô cực: Ta có lim y = lim y = +∞ x →−∞ x − x + x →+∞ - Chiều biến thiên: Ta có y ' = x − x; x = x > x < −2 y'= ⇔ ; y' > ⇔ ; y'< ⇔ x = ±2 −2 < x < 0 < x < Suy hàm số đồng biến khoảng ( −2; ) , ( 2; + ∞ ) ; nghịch biến khoảng ( −∞; − ) , ( 0; ) - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 3, hàm số đạt cực tiểu x = ±2, yCT = −1 - Bảng biến thiên: y x −∞ +∞ −2 y' – + 0 – +∞ + +∞ y −1 −1 −2 +) Đồ thị: Đồ thị nhận trục Oy làm trục đối xứng O x −1 b) Ta có y ' = x3 − 2( m + 1) x, với x ∈ R (Cm ) có điểm cực đại điểm cực tiểu ⇔ y ' = có nghiệm phân biệt ⇔ 2(m + 1) > ⇔ m > −1 Khi nghiệm phân biệt y ' = x = 0, x = − 2( m + 1) x = 2( m + 1) Điểm cực đại C ( (Cm ) ) A(0; 2m + 1), hai điểm cực tiểu (1) ( B − 2(m + 1); − m ) 2(m + 1); − m2 ( ) Nhận thấy AI vuông góc với BC H 0; − m2 H trung điểm BC Do tứ giác ABIC hình thoi H trung điểm AI Hay xH = x A + xI ⇔ −2m = 2m + − ⇔ m = m = − 2 2 yH = y A + yI Đối chiếu điều kiện (1) ta giá trị m m = Câu (0,5 điểm) ( ) Ta có z1 = ( − z ) + z = − z + z − z.z = − z + z − z Đặt z = x + yi → z1 = − ( x + yi ) + ( x − yi ) − ( x + y ) ↔ z1 = ( − x − y + x ) − yi Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 1 1 2 2 − x − y + x = x − + y = x − + y = Để z1 số ảo ↔ 2 hay 2 −3 y ≠ y ≠ y ≠ 0; x ≠ −1; x ≠ 1 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ; bán kính R = trừ điểm 2 A ( −1; ) B ( 2;0 ) 2 Câu (0,5 điểm) Điều kiện: x ∈ ( −∞; ) ∪ ( 2; +∞ ) Bpt ⇔ log 2 x − ≥ log ( x − x ) ⇔ x − ≥ x − x x < x < • TH1: Nếu x < Ta hệ ⇔ ⇔ −1 ≤ x < 1 − x ≥ x − x x ≤ x > x > • TH2: Nếu x > Ta hệ ⇔ 2 2 x − ≥ x − x x − 4x +1 ≤ x > ⇔ ⇔ 2< x ≤ 2+ 2 − ≤ x ≤ + ( Vậy tập nghiệm bất phương trình S = [ −1;0 ) ∪ 2; + Câu (1,0 điểm) π x π π π e x2 x x Ta có: I = ∫ + x + tan x dx = e dx + dx + ∫ x 3∫π cos2 x 3∫π x tan xdx (1) cos x 3π x 3π 4 π x π π 3π 1 1 x +) Ta có ∫ e dx = − ∫ e d = −e x x x 3π 3π π π = −e + e 3π u = x du = xdx ⇒ dx v = t anx dv = cos x π π 9π − ∫ x tan xdx = − ∫ x tan xdx 16 3π 3π x2 +) Xét J = ∫ dx Đặt π cos x ⇒ J = ( x tan x ) 3π π 4 π 3π Thay vào (1) ta có I = −e + e + 9π 16 Câu (1,0 điểm) Mặt cầu có tâm I (2t + 2; − t − 1; − t + 1) ∈ d t +9 d ( I ; ( P )) = Chọn u∆ = (0;1; − 1) M (1;1;3) ∈ ∆ Khi MI = (2t + 1; − t − 2; − t − 2) Suy [u∆ , MI ] = (−2t − 4; − 2t − 1; − y − 1) Suy d ( I , ∆) = [u∆ , MI ] u∆ 12t + 24t + 18 = Từ giả thiết ta có d ( I ; ( P)) = d ( I ; ∆) = R Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 t = ⇔ = 6t + 12t + ⇔ 53t + 90t = ⇔ 90 t = − 53 +) Với t = Ta có I (2; − 1;1), R = t +9 Suy phương trình mặt cầu 90 74 +) Với t = − Ta có I − 53 53 ( x − 2)2 + ( y + 1) + ( z − 1) = 37 143 129 ; ; , R = 53 53 53 2 74 37 143 129 Suy phương trình mặt cầu x + + y − + z − = 53 53 53 53 Câu (1,0 điểm) 3 a) Ta có: sin x + cos x = ⇔ + sin x cos x = ⇔ sin x cos x = − ( ) 2 sin x + cos x − cos x.sin x sin x cos x sin x + cos x Do A = + = = = cos x sin x cos x.sin x cos x.sin x 1 = −2 = − = 62 2 cos x.sin x −1 Vậy gái trị biểu thức cho A = 62 Câu (1,0 điểm) Từ giả thiết suy ∆ABC BB1 ⊥ ( ABC ) Kẻ CH ⊥ AB, H trung điểm AB Khi CH ⊥ ( ABB1 A1 ) ⇒ CB1 H = ( B1C , ( ABB1 A1 ) ) = 450 ⇒ ∆CHB1 vuông cân H Giả sử BC = x > ⇒ CH = x x2 B1H = B1B + BH = 2a + 2 x2 = a , suy thể tích lăng trụ V = AA1.S ABC = a Gọi K , K1 trung điểm BC , B1C1 Kẻ KE ⊥ AK1 Từ CH = B1H ⇒ x = 2a ⇒ S ABC = Vì B1C1 ⊥ ( AKK1 ) nên B1C1 ⊥ KE ⇒ KE ⊥ ( AB1C1 ) Vì BC / /( AB1C1 ) nên d ( BC , AB1 ) = d ( K , ( AB1C1 ) ) = KE Tam giác AKK1 vuông K nên 1 a a 30 = + = ⇒ KE = = 2 KE K1 K AK 6a 5 Từ (1) (2) suy d ( AB1 , BC ) = (1) (2) a 30 Câu (1,0 điểm): Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Gọi CH đường cao ∆ABC Ta có S ABC = CH R = 20 ⇒ CH = Đặt AK = x ta có: CK = KI − CI = ( x + ) − 52 = x + 10 x Mặt khác CH đường cao ∆KCI đó: 1 1 10 + = ⇔ = ⇔x= 2 KC CI CH x + 10 x 400 t = −2 ⇒ A ( −2; ) 10 14 100 Gọi A ( t ; − t ) ⇒ AK = ⇔ ( t + ) + −t − = ⇔ 20 20 32 3 t = − ⇒ A − ; 3 Gọi I ( a; b ) tâm đường tròn −2 − a = ( −2 ) a = 3 IA +) Với A ( −2;6 ) ta có: = = ⇒ IA = AK ⇔ ⇔ ⇒ I (1; ) AK 10 2 b = 6 − b = 3 Vậy ( C ) : ( x − 1) + ( y − ) = 25 2 20 8 32 − − a = a=− 3 32 41 −20 32 ⇔ ⇒ I − ; +) Với A ; ⇒ 3 3 32 − b = ( −2 ) b = 41 2 32 41 Vậy ( C ) : x + + y − = 25 3 Vậy có đường tròn thõa mãn yêu cầu toán Câu (1,0 điểm): Điều kiện: x ≥ −2, y ≥ − Phương trình thứ hai hệ tương đương với x = −2 y + x − y + Thế vào phương trình thứ nhất, ta x + (−2 y + x − y + 2) + x + x + = y + y + y + ⇔ x + 3x + + x + = y + y + y + ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) + ( x + 1) + = (2 y ) + y + y + (1) Xét hàm số f (t ) = t + t + t + với t ≥ −1 1 Ta có f '(t ) = 2t + + ; f "(t ) = − ; f "(t ) = ⇔ t = − t +1 (t + 1) 3 Suy f '(t ) ≥ f ' − = > với t ∈ (−1; + ∞) Do hàm f (t ) đồng biến [ −1; +∞) Suy 4 phương trình (1) ⇔ f ( x + 1) = f (2 y ) ⇔ x + = y ⇔ x = y − Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta y =1 2 (2 y − 1) + y − 2(2 y − 1) + y − = ⇔ y − y + = ⇔ y = Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Suy nghiệm (x; y) hệ ( x; y ) = (1; 1), − ; Câu 10 (1,0 điểm): Đặt x + z = a Từ giả thiết toán ta có ( x + z )( y + z ) = 1, hay y + z = a Do x > y nên x + z > y + z Suy a > Ta có x − y = x + z − ( y + z ) = a − a2 −1 = a a a2 a2 a2 3a a 3a 2 + + a = + + + ≥ + + 4(a − 1) a 4(a − 1)2 a 4(a − 1) t 3t Đặt a = t > Xét hàm số f (t ) = + + với t > 4(t − 1) Khi P = Ta có f '(t ) = (1) −t − + ; f '(t ) = ⇔ (t − 2)(3t − 3t + 2) = ⇔ t = 4(t − 1) Bảng biến thiên: t f '(t ) +∞ – + f (t ) Dựa vào BBT ta có f (t ) ≥ với t > Từ (1) (2) suy P ≥ 3, dấu đẳng thức xảy x + z = 2, y + z = (2) Vậy giá trị nhỏ P Tham gia khóa Luyện thi môn TOÁN MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016