Dãy ngẫu nhiên, giả ngẫu nhiên và ứng dụng

B TR GIÁO D C VẨ ẨO T O NG I H C TH NG LONG - L u Th Vơn Xa DẩY NG U NHIÊN, GI NG U NHIÊN VẨ NG D NG LU N V N TH C S CHUYÊN NGÀNH: TOÁN NG D NG Mẩ S : 60.46.01.12 NG Ng IH ih NG D N KHOA H C: ng d n chính: T.S Nguy n Công S Hà N i – N m 2015 L I CAM OAN Tôi xin cam đoan: - Lu n v n s n ph m nghiên c c a - Các s li u, nh ng k t lu n nghiên c u đ c trình bày lu n v n trung th c - Tôi xin ch u tránh nhi m v nghiên c u c a Thang Long University Libraty M CL C Trang Trang ph bìa L i cam đoan M c l c Ch CÁC KHÁI NI M C ng I B N VẨ CÁC TệNH CH T C A CÁC DẩY NG U NHIÊN Khái ni m v dưy ng u nhiên Các tính ch t c a dưy ng u nhiên I.2.1 Block – L (xâu) I.2.2 C c a xâu I.2.3 GAP (M ng) I.2.4 Xâu đ I.2.5 Xâu đ n u (lo t) Ch ng II M T VẨI TIÊU CHU N TH NG KÊ KI M NH V TệNH NG U NHIÊN C A M T DẩY S Các tiêu chu n phù h p 11 II.1.1 Tiêu chu n (Khi bình ph ng) 11 II.1.2 Tiêu chu n Kômôgôrôp – Smirnôp (Tiêu chu n K – C) 13 II.1.3 So sánh hai tiêu chu n 2 tiêu chu n K – C 14 Các tiêu chu n phi tham s vƠ tính ch t khác 16 II.2.1 Ki m tra tính đ u (ki m tra t n s ) 17 II.2.2 Ki m tra Xêri (C p) 18 II.2.3 Ki m tra (GAP – M ng ) 20 II.2.4 Tiêu chu n c (Poken) 22 II.2.5 Tiêu chu n đ 23 II.2.6 Ki m tra hoán v 23 II.2.7 Tiêu chu n v nhóm (Runtest) 24 II.2.8 Tiêu chu n ngh ch th 26 Ch ng III CÁC DẩY GI NG U NHIÊN K mv ng 29 Dưy gi ng u nhiên th ng d b c hai 31 III.2.1 nh ngh a 31 III.2.2 Gi thuy t th ng d b c hai 32 III.2.3 Tính ch t c a b t o x2 mod N 33 Ph ng pháp toƠn đ ng n tính 34 III.3.1 Công th c 34 III.3.2 Tiêu chu n t n s 40 III.3.3 Tiêu chu n t ng quan 42 III.3.4 Công su t 44 III.3.5 Ví d 45 Dưy ghi d ch ậ Dưy ghi d ch n tính 47 III.4.1 Thanh ghi d ch ph n h i n tính b c n 47 III.4.2 Dãy ghi d ch, dãy ghi d ch n tính 48 Thang Long University Libraty III.4.3 Tính ch t c a dãy ghi d ch 49 III.4.4 Tính ch t c a M-dãy 51 III.4.5 Chu k c a dãy ghi d ch n tính u ki n M – dãy 53 III.4.5.1 Hàm đ c tr ng, đa th c đ c tr ng c a dưy ghi d ch 53 III.4.5.2 Chu k c a dưy ghi d ch n tính 54 III.4.6 Hàm t t ng quan 59 III.4.7 M t vài ví d v dãy ghi d ch chu k c c đ i 60 L I NịI U V i s phát tri n m r ng vi c ng d ng máy tính l nh v c khoa h c Các th pháp l a ch n ng u nhiên s ngày t có l i cho m c đích khác Ví d : thi t l p mô hình t nhiên nh máy tính n t , s ng u nhiên cho phép ti m c n đ đ a đ c ph c mô hình lí thuy t v i th c t t ng pháp u n thích d ng Các toán ki m tra th ng d n đ n vi c ki m tra ng u nhiên m t s d ng c a t ng th , thành th vi c l a ch n m t cách ng u nhiên m t s đ i t ng c a t ng th s b o đ m đánh giá khách quan v t ng th gi i pháp c a vi c l a ch n ng u nhiên ph i thi t l p đ c dưy s ng u nhiên Các giá tr ng u nhiên s d li u đ u vào t t nh t cho vi c th nghi m tính hi u qu c a thu t toán khác đ gi i m t toán m t máy tính, ho c máy tính khác Các khóa ng u nhiên – t c khóa đ nhiên khóa t t nh t v ph ng di n b o m t t đ i cho m t h m t tr ng ng u nhiên t đ i đ c c xem tiêu chu n v đ tin c y c a khóa nói riêng c a h m t nói chung Ngu n lí t k t qu đo đ i l c l a ch n m t cách ng u ng đ t o dưy s ng u nhiên ng v t lí ng u nhiên, ch ng h n nh nhi u nhi t, nhi u n (nhi u tr ng) N u nh tr c đ làm u c n ph i t o thi t b chuyên d ng ngày vi c t o s ng u nhiên đ c th c hi n m t cách t đ ng b ng thu t toán ch c ti n hành ch ng trình m u, đ b ng m t l nh máy Tuy nhiên nhi u tr ng ng h p, nh ng lí khác i l p trình v n ph i t t o cho nh ng dưy s ng u nhiên (mà th c ch t ch gi ng u nhiên) b ng ph ng pháp thích d ng, ho c b t o s ng u nhiên, ví nh b truy toán, b c m bi n toàn đ ng n tính, ho c b c m bi n M – dưy, b c m bi n phi n… Thang Long University Libraty Trong lu n v n trình bày khái ni m tính ch t c b n c a dưy ng u nhiên, gi ng u nhiên T đ a m t vài tiêu chu n th ng kê đ ki m đ nh tính ch t Xây d ng m t s ph ng pháp đ sinh dưy gi ng u nhiên kh n ng ng d ng dưy th c t Lu n v n đ c hoàn thành d is h ng d n t n tình c a T.S Nguy n Công S Tôi xin bày t lòng bi t n chân thành đ n s h ng d n nhi t tình c a th y Tôi c ng xin bày t lòng bi t n đ n th y ph n bi n đư dành th i gian đ c b n th o c a lu n v n đóng góp nhi u ý ki n quý báu Vì th i gian trình đ có h n, lu n v n ch c ch n không th tránh kh i nh ng thi u sót Tôi hi v ng s nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2015 Tác gi lu n v n L u Th Vân Xa CH CÁC KHÁI NI M C NG I B N VẨ CÁC TệNH CH T C A CÁC DẩY NG U NHIÊN Khái ni m v dưy ng u nhiên Ngày dưy ng u nhiên đ c s d ng r t r ng rưi cho m c đích l nh v c khác Do v y tùy thu c vào m c đích s d ng đ nh ngh a v dưy ng u nhiên c ng không hoàn toàn gi ng dù b n ch t nh Sau m t s đ nh ngh a s s d ng lu n v n nh ngh a 1: Dãy ng u nhiên: Dưy ng u nhiên trình ng u nhiên {Xt, tT},v i th i gian r i r c, t c T = {0,1,2,…,n,…} T v sau đ cho đ n gi n ta kí hi u dưy ng u nhiên {Xn, nN} v i Xn đ i l ng ng u nhiên r i r c Dãy s ng u nhiên: Dưy s ng u nhiên {x1, x2, … xn, …} m t dưy giá tr quan sát đ c (còn g i m t m u hay m t th hi n) c a m t dưy ng u nhiên {Xn, nN} đ i l r i r c Khi dưy {Xn, nN} đ Dưy ng u nhiên đ đ il ng ng u nhiên thành ph n Xn (nN ) c g i dưy sinh c a dưy {x1, x2, …, xn, …} c g i ng u nhiên th c s (hay lí t ng) n u ng ng u nhiên r i r c thành ph n Xn sinh nó, có phân ph i đ u đ c l p v i nh ngh a 2: Dãy ng u nhiên m t th hi n b t kì c a m t dưy đ i l ng ng u nhiên r i r c có phân ph i đ u t p M = {1,2, , M} đ c l p l n Thang Long University Libraty nhau, m t dưy giá tr b t kì đ l c sinh m t cách đ c l p b i m t đ i ng ng u nhiên X r i r c l y giá tr t p M v i xác su t nh b ng il ng ng u nhiên X đ ph i c a X đ c g i ngu n sinh (ngu n) c a dưy phân c g i phân ph i ngu n, M: c (c s ) c a ngu n, M: t p ngu n Các tính ch t c a dưy ng u nhiên N u g i {X(t), t = 1, 2, …} m t dưy ng u nhiên sinh t m t ngu n sinh X có phân ph i đ u t p M có c s M v m t th ng kê c ng có th coi m i giá tr X(t) c a dưy nh m t đ i l phân ph i v i X đ c l p v i đ i l đ ng ng u nhiên có ng ng u nhiên khác dưy X(t) c g i giá tr sinh c a ngu n t i th i m t I.2.1 Block – L (xâu) nh ngh a 3: (Block – L) (xâu) o n dưy {X(t), X(t+1),…,X(t+L-1)} c a {X(t), t = 1,2,…} đ c g i xâu đ dài L (Block – L)(LN) sinh t i th i m th t c a ngu n đ c kí hi u XL(t) Khi XL(t) m t véc t ng u nhiên L chi u có thành ph n đ c l p, phân ph i Tính ch t 1: V i m i (t, L), XL(t) m t véc t ng u nhiên có phân ph i xác su t P(XL(t) = xL) = , xL = (x0,x1,…,xL-1); xi M Ch ng minh: P(XL(t) = xL) = P(X(t) = x0, X(t+1) = x1, … , X(t+L-1) = xL-1) Do tính đ c l p phân ph i v i phân ph i c a ngu n X nên xác su t đ ng th i I.2.2 C c a xâu P X t i x LN M M nh ngh a 4: V i m t xâu XL(t) có đ dài L sinh t i th i m t b t kì c a dưy ng u nhiên, ta g i c c a xâu kí hi u X t đ i l giá tr khác c a M có m t xâu XL(t) m t đ i l ng đ ng nhiên c tính b ng s X t c ng ng ng u nhiên, nh n giá tr nguyên m{1, 2, …, (M, L)} Tính ch t 2: V i dưy ng u nhiên v i m i xâu đ dài L v i m b t kì ta có: P đó: - X t V i ≤ m ≤ (M, L) C S m t h p ch p m c a M; : s xâu có đ dài L có th l p đ c t m ph n t khác c a M cho m i ph n t xu t hi n nh t l n xâu Ch ng minh: M t xâu có c m đ M kí t c a ngu n: có c l p nên b ng cách, tr c h t ch n m kí t cách T m kí t ch n đ c có th l p đ c xâu có đ dài L cho m i kí t có m t nh t m t l n Do tính đ ng xác su t c a xâu (tính ch t 1) nên: P L m C S M Thang Long University Libraty (13, 14) 1/8 6,25 -0,25 0,01 (7, 6) 1/8 6,25 -0,25 0,01 n = 50 V i  0,24 =0,05, = k – = – =  V = 0,24  (2,17; 14,1) V dưy không dưy ng u nhiên theo tiêu chu n  Dưy ghi d ch ậ Dưy ghi d ch n tính III.4.1 Thanh ghi d ch ph n h i n tính b c n nh ngh a: Thanh ghi d ch ph n h i b c n m t b g m n ô nh A0,…,An1 m t ph n h i ho t đ ng theo nguyên t c sau: Gi s t i th i m k n i dung c a ô Ai ai(k), i= v i ai(k) GF(2) t i th i m k sau (th K+1) n i dung c a ô Ai s là: 47 Thang Long University Libraty A0 A1 A2 An-2 Th i m k An-1 …… Th i m A1 A0 An-2 ……… a0(k+1) k+1 an-2(k+1) an-1(k+1) i u có ngh a th i m th k+1, n i dung c a ô đ ng sau đ chuy n sang ô đ ng tr c c đó, n i dung c a ô cu i s nh n giá tr c a hàm C ng v y, hàm đ c g i hàm ph n h i N u t c ph thu c n tính giá tr đ có d ng n tính , (i=0,1,…,n-1) ghi d ch c g i ghi d ch n tính III.4.2 Dãy ghi d ch, dãy ghi d ch n tính nh ngh a : k=0,1,2,… (Các giá tr c a ô A0 t i th i m th k) Dưy đ c g i dưy ghi d ch b c n v i hàm s ph n h i T ng quát h n ta có đ nh ngh a sau: nh ngh a : Dưy t n t i , k=0,1,2,… v i m t hàm GF(2) đ : c g i dưy ghi d ch b c n n u cho k = 0, 1, 2… 48 Dưy ghi d ch đ c g i n tính (hay phi n) n u hàm f n tính (phi n) Ví d : c = (1 1 0) Ta th y dưy có chu k b ng 7, có th ki m tr ng th y r ng: k = 0, 1, 2… T c đ c đ nh ngh a theo b ng V y dưy ghi d ch n tính b c a b 1 0 1 1 a b III.4.3 Tính ch t c a dãy ghi d ch - M i dưy ghi d ch n tính đ u có chu k (vì th a mưn u ki n c a nguyên lý chu trình); - Dưy ghi d ch b c n s có chu k P[...]... TH NG KÊ KI M NH V TệNH NG U NHIÊN C A M T DẩY S Nh đư nói trên, có r t nhi u ph ng pháp đ t o ra m t dưy ng u nhiên (th c ch t là gi ng u nhiên) Tuy nhiên, ngay c khi các ph ng u nhiên t ra là r t t t v các ph khi đ ng tr ng pháp t o dưy ng di n lí thuy t thì trong th c t nhi u c m t dưy chúng ta v n ph i quy t đ nh m t v n đ Li u dưy tín hi u b t kì đó có ph i là ng u nhiên hay không? Các ph ng pháp... luôn c n đ n các dưy s ng u nhiên Ch ng h n các dưy s ng u nhiên đ c s d ng trong các phép ch n m u ng u nhiên trong th ng kê ho c dùng làm các giá tr xu t phát đ th c hi n các ch ng trình tính toán ph c t p c bi t trong b o v thông tin nói chung và trong m t mư nói riêng thì ch s ng u nhiên c a các dưy s ng u nhiên ho c th m chí c a s đ c sinh ra t c thì m t cách ng u nhiên đóng vai trò quan tr ng... chu i c n ph i ch ng minh cho ng d ng chu i c a mình là ng u nhiên ng nhiên ng is i s d ng c ng c n ph i tin r ng mình đang s d ng chu i ng u nhiên N u m t ng i nào đó s d ng chính dưy c a mình thì c ng c n ph i có đ c s c lý thuy t l n th c nghi m đ tin t ng vào s n ph m c a mình 28 CH NG III CÁC DẩY GI NG U NHIÊN Khái ni m v dưy gi ng u nhiên Trong nhi u ng d ng c trong các l nh v c th c t l n trong... ph n t và 1 nhóm hai ph n t ) nh lý: N u X, Y đ c x p m t cách ng u nhiên thì s nhóm U c a m t xâu g m n ph n t c a dưy, trong đó có n1 giá tr c a X, n2 giá tr c a Y (n1+ n2 = n) là m t đ i l P U m C C ng ng u nhiên v i phân ph i xác su t C C C C C N u m ch n m N uml m k k Bây gi v i m t d y ng u nhiên b t k , đ ki m tra tính ng u nhiên c a dưy, tr c h t ta chia giá tr c a dưy thành hai lo i X và Y,... đ il tr ng cho các s ng u nhiên là k t qu đo các ng v t lý ng u nhiên, ch ng h n nh nhi u nhi t ho c nhi u đi n mà c kia đ làm đ c đi u đó ng i ta ph i t o ra các thi t b chuyên d ng, thì ngày nay v i k thu t tính toán và máy tính đi n t , vi c t o ra m t dưy s ng u nhiên đ c th c hi n m t cách t đ ng, có khi ch b ng m t l nh máy tính đ n gi n, ho c b ng m t b sinh s ng u nhiên mà c t lõi c a nó là... thêm 1 vào COUNT[t] trong tr ng h p ng cl ib xung thêm 1 vào COUNT[r] - G6: [Phát hi n n kho ng]: B sung thêm 1 vào s N u s < n thì quay l i G2 Sau khi th c hi n thu t toán này k = t + 1 giá tr COUNT[0], COUNT[1], COUNT[2], … , COUNT[t] s s d ng tiêu chu n 2 v i xác su t t ng ng là p0 = p, p1 = p(1 – p), p2 = p(1-p)2, … , pt-1 = p(1-p)t-1 và pt = (1-p)t trong đó p = 20 P ( ≤ Uj ≤ ) Các giá tr n và t... đó trong s t! nhóm có th xác su t đ có th g p m i nhóm là d ng tiêu chu n 2 Trên c s các giá tr tính đ ng nhiên, c ta s Tuy nhiên, c n th y r ng v i dưy có t p giá tr M l n thì 23 Thang Long University Libraty dù đ dài c a nhóm t là nh thì c m u (đ dài c a xâu) c n có đ ki m tra s ph i r t l n vào kho ng 5.C t! ph n t Ví d : v i M = 4, t = 3 thì dưy 100 ph n t sau đây: 021| 321| 031| 203|130|210|231|201|320|130|213|021|302|130|120|132|... và đ c l p c a ngu n ta có  t m Và đi u kh ng đ nh đư đ c ch ng minh 8 Trên đây là các tính ch t c b n c a m t dưy ng u nhiên M t dưy th c t s đ c coi là ng u nhiên n u nh nó có các đ c tr ng th ng kê phù h p v i tính ch t trên, t c là các đ c tr ng th ng kê c a dưy th c t ph i th a mưn các tiêu chu n ki m đ nh, các gi thi t th ng kê d a trên các tính ch t trên Ch ng II c a lu n v n s đ a ra m t vài... t X và Y nh trên Quy t c nhóm có mi n bác b gi thi t H0 v tính ng u nhiên c a dưy xác đ nh b i công th c: U V i U U U là m c ý ngh a c a tiêu chu n và max min (*): Theo b ng các giá tr t i h n c a quy t c nhóm N u gi thi t H0 là đúng và n1 ∞, n2 ∞, sao cho th⌈ có phân ph i ti m c n chu n N(0,1) Ví d 1: Có m t dưy nh phân g m n = 12 giá tr đ c s p x p nh sau: 101101010000 Hưy ki m tra v tính ng u nhiên. .. giá tr thu c t p C K t qu là đ ng nhiên do m+1 đi m chia s sinh ra m đo n ( m – GAP) Chú ý r ng m t xâu có L(t) = 0 khi và ch khi có không quá m t giá tr thu c t p C Tính ch t 6 c a GAP (m ng): V i m t dưy ng u nhiên, s l ng GAP có trong m t xâu đ dài L b t đ u t th i đi m t b t kì L(t) là m t đ i l P(L(t) = m) = C P(L(t) = 0) = C q - Ch ng minh: C q p p q ng ng u nhiên có phân b nh sau: v i0