Dãy ngẫu nhiên, giả ngẫu nhiên và ứng dụng

Header Page of 166 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Lưu Thị Vân Xa DÃY NGẪU NHIÊN, GIẢ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.01.12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Người hướng dẫn chính: T.S Nguyễn Công Sứ Hà Nội – Năm 2015 Footer Page of 166 Header Page of 166 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: - Luận văn sản phẩm nghiên - Các số liệu, kết luận nghiên cứu trình bày luận văn trung thực - Tôi xin chịu tránh nhiệm nghiên cứu Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cam đoan Mục lục Chương I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC DÃY NGẪU NHIÊN Khái niệm dãy ngẫu nhiên Các tính chất dãy ngẫu nhiên I.2.1 Block – L (xâu) I.2.2 Cỡ xâu I.2.3 GAP (Mảng) I.2.4 Xâu đủ I.2.5 Xâu đơn điệu (loạt) Chương II MỘT VÀI TIÊU CHUẨN THỐNG KÊ ĐỂ KIỂM ĐỊNH VỀ TÍNH NGẪU NHIÊN CỦA MỘT DÃY SỐ Các tiêu chuẩn phù hợp 11 II.1.1 Tiêu chuẩn χ2 (Khi bình phương) 11 II.1.2 Tiêu chuẩn Kômôgôrôp – Smirnôp (Tiêu chuẩn K – C) 13 II.1.3 So sánh hai tiêu chuẩn 2 tiêu chuẩn K – C 14 Các tiêu chuẩn phi tham số tính chất khác 16 Footer Page of 166 Header Page of 166 II.2.1 Kiểm tra tính (kiểm tra tần số) 17 II.2.2 Kiểm tra Xêri (Cặp) 18 II.2.3 Kiểm tra (GAP – Mảng ) 20 II.2.4 Tiêu chuẩn cỡ (Poken) 22 II.2.5 Tiêu chuẩn đủ 23 II.2.6 Kiểm tra hoán vị 23 II.2.7 Tiêu chuẩn nhóm (Runtest) 24 II.2.8 Tiêu chuẩn nghịch 26 Chương III CÁC DÃY GIẢ NGẪU NHIÊN Khái niệm dãy giả ngẫu nhiên 29 Dãy giả ngẫu nhiên thặng dư bậc hai 31 III.2.1 Định nghĩa 31 III.2.2 Giả thuyết thặng dư bậc hai 32 III.2.3 Tính chất tạo x2 mod N 33 Phương pháp toàn đẳng tuyến tính 34 III.3.1 Công thức 34 III.3.2 Tiêu chuẩn tần số 40 III.3.3 Tiêu chuẩn tương quan 42 III.3.4 Công suất 44 III.3.5 Ví dụ 45 Dãy ghi dịch – Dãy ghi dịch tuyến tính 47 III.4.1 Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính bậc n 47 III.4.2 Dãy ghi dịch, dãy ghi dịch tuyến tính 48 Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 III.4.3 Tính chất dãy ghi dịch 49 III.4.4 Tính chất M-dãy 51 III.4.5 Chu kỳ dãy ghi dịch tuyến tính điều kiện M – dãy 53 III.4.5.1 Hàm đặc trưng, đa thức đặc trưng dãy ghi dịch 53 III.4.5.2 Chu kỳ dãy ghi dịch tuyến tính 54 III.4.6 Hàm tự tương quan 59 III.4.7 Một vài ví dụ dãy ghi dịch chu kỳ cực đại 60 Footer Page of 166 Header Page of 166 LỜI NÓI ĐẦU Với phát triển mở rộng việc ứng dụng máy tính lĩnh vực khoa học Các thủ pháp lựa chọn ngẫu nhiên số ngày tỏ có lợi cho mục đích khác Ví dụ: Để thiết lập mô hình tự nhiên nhờ máy tính điện tử, số ngẫu nhiên cho phép tiệm cận mô hình lí thuyết với thực tế từ đưa phương pháp điều khiển thích dụng Các toán kiểm tra thường dẫn đến việc kiểm tra ngẫu nhiên số dạng tổng thể, việc lựa chọn cách ngẫu nhiên số đối tượng tổng thể bảo đảm đánh giá khách quan tổng thể giải pháp việc lựa chọn ngẫu nhiên phải thiết lập dãy số ngẫu nhiên Các giá trị ngẫu nhiên liệu đầu vào tốt cho việc thử nghiệm tính hiệu thuật toán khác để giải toán máy tính, máy tính khác Các khóa ngẫu nhiên – tức khóa lựa chọn cách ngẫu nhiên khóa tốt phương diện bảo mật tuyệt đối cho hệ mật Đặc trưng ngẫu nhiên tuyệt đối xem tiêu chuẩn độ tin cậy khóa nói riêng hệ mật nói chung Nguồn lí tưởng để tạo dãy số ngẫu nhiên kết đo đại lượng vật lí ngẫu nhiên, chẳng hạn nhiễu nhiệt, nhiễu điện (nhiễu trắng) Nếu trước để làm điều cần phải tạo thiết bị chuyên dụng ngày việc tạo số ngẫu nhiên thực cách tự động thuật toán chương trình mẫu, tiến hành lệnh máy Tuy nhiên nhiều trường hợp, lí khác người lập trình phải tự tạo cho dãy số ngẫu nhiên (mà thực chất giả ngẫu nhiên) phương pháp thích dụng, tạo số ngẫu nhiên, ví truy toán, cảm biến toàn đẳng tuyến tính, cảm biến M – dãy, cảm biến phi tuyến… Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 Trong luận văn trình bày khái niệm tính chất dãy ngẫu nhiên, giả ngẫu nhiên Từ đưa vài tiêu chuẩn thống kê để kiểm định tính chất Xây dựng số phương pháp để sinh dãy giả ngẫu nhiên khả ứng dụng dãy thực tế Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình T.S Nguyễn Công Sứ Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến hướng dẫn nhiệt tình thầy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy phản biện dành thời gian đọc thảo luận văn đóng góp nhiều ý kiến quý báu Vì thời gian trình độ có hạn, luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót Tôi hi vọng nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2015 Tác giả luận văn Lưu Thị Vân Xa Footer Page of 166 Header Page of 166 CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA CÁC DÃY NGẪU NHIÊN Khái niệm dãy ngẫu nhiên Ngày dãy ngẫu nhiên sử dụng rộng rãi cho mục đích lĩnh vực khác Do tùy thuộc vào mục đích sử dụng định nghĩa dãy ngẫu nhiên không hoàn toàn giống dù chất Sau số định nghĩa sử dụng luận văn Định nghĩa 1: Dãy ngẫu nhiên: Dãy ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên {Xt, tT},với thời gian rời rạc, tức T = {0,1,2,…,n,…} Từ sau đơn giản ta kí hiệu dãy ngẫu nhiên {Xn, nN} với Xn đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Dãy số ngẫu nhiên: Dãy số ngẫu nhiên {x1, x2, … xn, …} dãy giá trị quan sát (còn gọi mẫu hay thể hiện) dãy ngẫu nhiên {Xn, nN} đại lượng ngẫu nhiên thành phần Xn (nN ) rời rạc Khi dãy {Xn, nN} gọi dãy sinh dãy {x1, x2, …, xn, …} Dãy ngẫu nhiên gọi ngẫu nhiên thực (hay lí tưởng) đại lượng ngẫu nhiên rời rạc thành phần Xn sinh nó, có phân phối độc lập với Định nghĩa 2: Dãy ngẫu nhiên thể dãy đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có phân phối tập M = {1,2, , M} độc lập lẫn Footer Page of 166 Thang Long University Libraty Header Page of 166 nhau, dãy giá trị sinh cách độc lập đại lượng ngẫu nhiên X rời rạc lấy giá trị tập M với xác suất 𝑀 Đại lượng ngẫu nhiên X gọi nguồn sinh (nguồn) dãy phân phối X gọi phân phối nguồn, M: cỡ (cơ số) nguồn, M: tập nguồn Các tính chất dãy ngẫu nhiên Nếu gọi {X(t), t = 1, 2, …} dãy ngẫu nhiên sinh từ nguồn sinh X có phân phối tập M có số M mặt thống kê coi giá trị X(t) dãy đại lượng ngẫu nhiên có phân phối với X độc lập với đại lượng ngẫu nhiên khác dãy X(t) gọi giá trị sinh nguồn thời điểm t I.2.1 Block – L (xâu) Định nghĩa 3: (Block – L) (xâu) Đoạn dãy {X(t), X(t+1),…,X(t+L-1)} {X(t), t = 1,2,…} gọi xâu độ dài L (Block – L)(LN) sinh thời điểm thứ t nguồn kí hiệu XL(t) Khi XL(t) véc tơ ngẫu nhiên L chiều có thành phần độc lập, phân phối Tính chất 1: Với (t, L), XL(t) véc tơ ngẫu nhiên có phân phối xác suất P(XL(t) = xL) = 𝑀𝐿 , xL = (x0,x1,…,xL-1); xi M Chứng minh: P(XL(t) = xL) = P(X(t) = x0, X(t+1) = x1, … , X(t+L-1) = xL-1) Do tính độc lập phân phối với phân phối nguồn X nên xác suất đồng thời Footer Page of 166 Header Page 10 of 166 L−1 L = ∏ P(X(t + i) = xi ) = ( ) = L M M (LN) i=0 I.2.2 Cỡ xâu Định nghĩa 4: Với xâu XL(t) có độ dài L sinh thời điểm t dãy ngẫu nhiên, ta gọi cỡ xâu kí hiệu ∏(X L (t)) đại lượng tính số giá trị khác M có mặt xâu XL(t) Đương nhiên ∏(X L (t)) đại lượng ngẫu nhiên, nhận giá trị nguyên m{1, 2, …, (M, L)} Tính chất 2: Với dãy ngẫu nhiên với xâu độ dài L với m ta có: m m P(∏ (X L (t)) = m) = CM SL ML ; Với ≤ m ≤ (M, L) đó: 𝑚 - 𝐶𝑀 : tổ hợp chập m M; - 𝑆𝐿𝑚 : số xâu có độ dài L lập từ m phần tử khác M cho phần tử xuất lần xâu Chứng minh: Một xâu có cỡ m lập nên cách, trước hết chọn m kí tự 𝑚 M kí tự nguồn: có 𝐶𝑀 cách Từ m kí tự chọn lập 𝑆𝐿𝑚 xâu có độ dài L cho kí tự có mặt lần Do tính đồng xác suất xâu (tính chất 1) nên: m m P(∏(L) = m) = CM SL Footer Page 10 of 166 ML Thang Long University Libraty Header Page 54 of 166 (13, 14) 1/8 6,25 -0,25 0,01 (7, 6) 1/8 6,25 -0,25 0,01 n = 50 0,24 Với α =0,05, ν = k – = – = → 20,05 = 14,1; 20,95 = 2,17; V = 0,24 → V = 0,24  (2,17; 14,1) → dãy không dãy ngẫu nhiên theo tiêu chuẩn 2 Dãy ghi dịch – Dãy ghi dịch tuyến tính III.4.1 Thanh ghi dịch phản hồi tuyến tính bậc n Định nghĩa: Thanh ghi dịch phản hồi bậc n gồm n ô nhớ A0,…,An1 phản hồi 𝑓(𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑥−1 ) hoạt động theo nguyên tắc sau: Giả sử thời điểm k nội dung ô Ai ai(k), i=𝑖 = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 1, 𝑛 − với ai(k) ∈ GF(2) thời điểm kề sau (thứ K+1) nội dung ô Ai là: 𝑎𝑖 (𝑘 + 1) = 𝑎𝑖+1 (𝑘) { 𝑎𝑛−1 (𝑘 + 1) = 𝑓[(𝑎𝑛−1 (𝑘), 𝑎𝑛−2 (𝑘), … , 𝑎0 (𝑘))] Footer Page 54 of 166 47 Thang Long University Libraty Header Page 55 of 166 A0 Thời điểm k 𝑎0 (𝑘 ) A1 A2 𝑎1 (𝑘 ) 𝑎2 (𝑘 ) An-2 …… An-1 𝑎𝑛−2 (𝑘 ) 𝑎𝑛−1 (𝑘 ) 𝐶 = 𝑓(𝑎0 (𝑘), 𝑎1 (𝑘), … , 𝑎𝑛−1 (𝑘)) Thời điểm A1 A0 a0(k+1) k+1 An-2 ……… 𝑎1 (𝑘 + 1) an-2(k+1) an-1(k+1) Điều có nghĩa thời điểm thứ k+1, nội dung ô đứng sau chuyển sang ô đứng trước đó, nội dung ô cuối nhận giá trị hàm 𝑓𝑘 = 𝑓(𝑎0 (𝑘), 𝑎1 (𝑘), … , 𝑎𝑛−1 (𝑘)) Cũng vậy, hàm 𝑓𝑘 gọi hàm phản hồi Nếu 𝑓 có dạng tuyến tính tức phụ thuộc tuyến tính giá trị 𝑎𝑖 (𝑘), (i=0,1,…,n-1) ghi dịch gọi ghi dịch tuyến tính III.4.2 Dãy ghi dịch, dãy ghi dịch tuyến tính Định nghĩa : Dãy {𝑎𝑘 = 𝑎0 (𝑘)} k=0,1,2,… (Các giá trị ô A0 thời điểm thứ k) gọi dãy ghi dịch bậc n với hàm số phản hồi 𝑓 Tổng quát ta có định nghĩa sau: Định nghĩa : Dãy {𝑎𝑘 }, k=0,1,2,… với ∈ GF(2) gọi dãy ghi dịch bậc n tồn hàm 𝑓:𝑓: [𝐺𝐹(2)]𝑛 → 𝐺𝐹(2) cho 𝑎𝑛+𝑘 = 𝑓(𝑎𝑛−1+𝑘 , 𝑎𝑛−2+𝑘 , … , 𝑎𝑘 ) ∀ k = 0, 1, 2… Footer Page 55 of 166 48 Header Page 56 of 166 Dãy ghi dịch gọi tuyến tính (hay phi tuyến) hàm f tuyến tính (phi tuyến) Ví dụ: c = (1 1 0) Ta thấy dãy có chu kỳ 7, kiểm trứng thấy rằng: 𝑎3+𝑘 = 𝑎2+𝑘 ⨁ 𝑎𝑘 ∀ k = 0, 1, 2… Tức 𝑓(𝑎2+𝑘 , 𝑎1+𝑘 , 𝑎𝑘 ) = 𝑎2+𝑘 ⨁ 𝑎𝑘 ⨁ định nghĩa theo bảng Vậy {𝑎𝑘 } dãy ghi dịch tuyến tính bậc a b a⨁b 1 0 1 1 III.4.3 Tính chất dãy ghi dịch - Mọi dãy ghi dịch tuyến tính có chu kỳ (vì thỏa mãn điều kiện nguyên lý chu trình); - Dãy ghi dịch bậc n có chu kỳ P