BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phùng Thị Thúy BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG Ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn: Hà Nội - 2010 LỜI GIỚI THIỆU Lý thuyết Nevanlinna lý thuyết phân bố giá trị toán học, với mục đích thiết lập định lí thứ định lí thứ hai ánh xạ phân hình Lý thuyết thu hút nhiều quan tâm nhà Toán học Các kết công cụ lý thuyết áp dụng rộng rãi vào nhiều ngành Toán học như: giải tích phức Hyperbolic, xấp xỉ Diophantine, Một công cụ lý thuyết Nevanlinna bổ đề đạo hàm Logarit Bổ đề đạo hàm logarit xây dựng chứng minh nhiều nhà toán học Bloch’s, T.Ochiai, W Cherry, Kết bổ đề ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác lý thuyết chứng minh định lý thứ hai, hai định lý quan trọng lý thuyết Vì vậy, chọn đề tài: ”Bổ đề đạo hàm Logarit ứng dụng” Mục đích luận văn trình bày số kiến thức sở lý thuyết Nevanlinna, đặc biệt bổ đề đạo hàm logarit ứng dụng việc chứng minh định lý thứ hai Nội dung luận văn gồm chương Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức hai định lý lý thuyết Nevanlinna, bổ đề đạo hàm Logarit Chương cung cấp cho ta sở để mở rộng lý thuyết Nevanlinna chiều cao Chương Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến Trong chương này, mở rộng bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến trình bày ứng dụng cho việc chứng minh định lý thứ hai Sau đó, chứng minh bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet dạng logarit, viết dựa theo nội dung báo "On holomorphic jet bundles" W Stoll đăng tạp chí AG math (2000) Để hoàn thành luận văn này, lời luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Đình Sang người thầy tận tình dạy bảo, hướng dẫn trình học tập làm luận văn Và xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Ninh Văn Thu người trực tiếp giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tôi bày tỏ lòng biết ơn quý thầy cô khoa Toán - Cơ - Tin học, quý thầy cô phòng Sau đại học – Trường Đại học Khoa học Tự nhiên tạo điều kiện thuận lợi cho học tập hoàn thành luận văn Mục lục Lời giới thiệu Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC HÀM CƠ BẢN 1.1.1 Hàm đếm N (r, f ) 1.1.2 Hàm xấp xỉ m(r, f ) 1.1.3 Hàm đặc trưng 1.2 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT 1.2.1 Bổ đề Jensen 1.2.2 Định lý Jensen 1.2.3 Định lý thứ 1.2.4 Bất đẳng thức Nevanlinna 1.3 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT 11 1.3.1 Bổ đề Borel 11 1.3.2 Bổ đề đạo hàm Logarit 12 1.3.3 Định lý thứ hai 15 Chương BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG HỢP NHIỀU BIẾN 20 2.1 CÔNG THỨC JENSEN 20 2.1.1 Một số định nghĩa 21 2.1.2 Công thức Jensen 26 2.2 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT 27 2.2.1 Bổ đề đạo hàm Logarit 27 2.3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI 31 2.4 PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH 34 2.4.1 Một số khái niệm phân thớ jet 35 2.4.2 Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị 36 Tài liệu tham khảo 41 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CÁC HÀM CƠ BẢN Trong phần này, trình bày số khái niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ hàm đặc trưng Cho f hàm phân hình hình tròn tâm O, bán kính R, < R < ∞, r < R, hàm phân hình h(z) hiểu thương , h(z), g(z) hai hàm chỉnh hình g(z) g(z) ̸= 1.1.1 Hàm đếm N (r, f ) Hàm đếm f định nghĩa ∫r [n (t, f ) − n (0, f )] N (r, f ) = n (0, f ) log r + dt t Trong đó, n (t, f ) số cực điểm f kể bội {|z| ∈ C : |z| t} Với a ∈ C hàm đếm a– điểm định nghĩa ( ) Nf (r, a) = N r, f −a Nếu a = đếm 0-điểm Nf (r, 0) = ord+ (f ) log r + ∑ z∈D(r),z̸=0 (ord+ z f ) log r , z ord+ z f = max{0; ordz f } cấp triệt tiêu f số bội 0−điểm z 1.1.2 Hàm xấp xỉ m(r, f ) Trước hết ta định nghĩa log+ (x) = max{log x, 0} =   log x x ≥  0 (1.1) < x < Khi hàm log + , có tính chất sau log+ (xy) ≤ log+ (x) + log+ (y), log+ (x + y) ≤ log+ (x) + log+ (y) + log 2, ( ) log(x) = log+ (x) − log+ , x ( ) | log(x)| = log+ (x) + log+ x Hàm xấp xỉ f định nghĩa ∫2π m (r, f ) = ( ) dθ log+ f reiθ 2π Giá trị m(r, f ) độ lớn trung bình log |f (z)| |z| = r Với a ∈ C bất kì, hàm xấp xỉ a-điểm mf (r, a) xác định ( ) ∫2π 1 dθ mf (r, a) = m r, = log+ f −a |f (reiθ ) − a| 2π Chú ý rằng, m(r, f ) đặc trưng cho độ tăng f z → ∞ 1.1.3 Hàm đặc trưng Hàm đặc trưng f định nghĩa T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ) Hàm đặc trưng đóng vai trò quan trọng trọng lý thuyết Nevanlinna Ví dụ Nếu f = const T (r, f ) = O(1) Nếu f = P (z) T (r, f ) = O(log r) Q(z) Nếu f = ez T (r, f ) = r + O(1) 1.2 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT Với a ∈ C, r > 0, kí hiệu ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r} hình tròn tâm a bán kính r Khi a=0 ta viết ∆(r) = ∆(0, r) Giả sử φ(z) = φ(x, y) hàm khả vi Ta nhắc lại số kí hiệu ( ) ∂φ ∂φ ∂φ , = + ∂z ∂x i ∂y ( ) ∂φ ∂φ ∂φ = − , ∂z ∂x i ∂y dz = dx + idy, dz = dx − idy, ∂φ ∂φ dz, ∂φ = dz, ∂z ∂z ( ) ( ) i ∂φ ∂φ dc φ = ∂φ − ∂φ = dy − dx , 4π 4π ∂x ∂y i ∂∂φ, dφ = ∂φ + ∂φ, ddc φ = 2π ∂ 2φ ∂∂φ = dz ∧ dz ∂z∂z Trong hệ tọa độ cực z = reiθ , dc biểu diễn dạng ( ) ∂φ 1 ∂φ r dθ − dr dc φ = 4π ∂r r ∂θ ∂φ = Giả sử φ(z) hàm thực xác định C, với tập điểm kì dị φ kí hiệu Z = {av }v∈I tập rời rạc Trong lân cận U (av ) av hàm φ có biểu diễn φ(z) = λv log |z − av | + ψv (z), ψv ∈ C (U (av )) λv ∈ R Trước chứng minh định lý thứ ta cần phải chứng minh bổ đề định lý sau 1.2.1 Bổ đề Jensen Bổ đề Giả sử φ(z) xây dựng Thế với ≤ s < r φ(0) ̸= ±∞ với < s < r ta có ∫ 2π φ(z)dθ − ∫ 2π |z|=r ∫r φ(z)dθ = |z|=s s ∫ dt t i ∂∂φ + 2π ∫r s ∆(t)   dt  ∑  λv t |av |[...]... chứng minh 2.2 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT Cho z = (z1 , , zm ) là hệ tọa độ chuẩn trên Cm và g là hàm phân ∂g hình trên Cm Ta lấy đạo hàm riêng , 1 ≤ j ≤ m và ta có tập ∂zj ( )1 2 2 m ∑ ∂g ||dg| | = ∂z j j=1 Theo công thức hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng chương 1 ta đặt ∫ m(r, g) = log+ |g(z)|γ, ||z||=r ( ) T (r, g) = m(r, g) + N r, (f )∞ Khi đó, ta có phát biểu của bổ đề đạo hàm Logarit như sau 2.2.1 Bổ đề. .. và (1.10), suy ra 18 m(r, f ) + 1 log 2 2 (q − 2)T (r, f ) − (q − 2)N (r, (f )∞ ) q ∑ i=1 N1 (r, (f − ai )0 ) − (q − 2)N (r, (f )∞ ) [ ( + O m r, ′ f f ) + q−1 ∑ i=1 ( m r, ′) (f − ai ) f − ai Theo bổ đề đạo hàm Logarit, ta có (q − 2)T (r, f ) q ∑ N1 (r, (f − ai )0 ) + S(r, f ) i=1 19 ] + O (1) Chương 2 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG HỢP NHIỀU BIẾN Trong chương 1, chúng ta đã trình bày được bổ đề. .. TRƯỜNG HỢP NHIỀU BIẾN Trong chương 1, chúng ta đã trình bày được bổ đề đạo hàm Logarit và định lý cơ bản thứ hai cho hàm phân hình Trong chương này, chúng ta sẽ mở rộng chứng minh bổ đề đạo hàm Logarit và định lý cơ bản thứ hai trong trường hợp nhiều biến dựa trên ý tưởng đã có chương 1 2.1 CÔNG THỨC JENSEN m Cho U ⊂ C√ là tập mở và z = (z1 , , zm ) là hệ tọa độ chuẩn của Cm m ∑ Ta đặt ∥z∥ = |zj |2... 10 và 0 1, r (1.4) 1 Khi đó, ta có 1 < 1 theo (1.5) tồn tại hằng a ′ số C > 0 thỏa mãn ( ( )) 1 1 − N (r, (f − a)0 ) = N r, f a 0 ) 1 ′ +C T r, f ( ) 1 ′′ - Với a = 0 theo định lý cơ bản thứ nhất ta có T r, T (r, f ) + C f ( ( ) ⇒ N r, (f − a)0 T (r, f ) + C1 1.3 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT ( ′) f Để có thể đánh giá m r, ta cần đến bổ đề sau f 1.3.1 Bổ đề Borel Bổ đề 2 Giả sử ϕ(r) 0, (r r0 0) là một hàm. .. O(1)∥E2 (δ) 1+ 2 2 Vậy, bổ đề được chứng minh Theo bổ đề trên ta kí hiệu S(r, f ) = O(log T (r, f )) + δ log r∥E(δ) (1.5) Ta sẽ sử dụng kết quả của bổ đề 3 chứng minh định lý cơ bản thứ hai 14 1.3.3 Định lý cơ bản thứ hai Định lý 4 Giả sử f (z) là hàm phân hình và a1 , , aq ∈ {C ∪ {∞}} là các điểm phân biệt Khi đó (q − 2)T (r, f ) q ∑ N1 (r, (f − ai )0 ) + S(r, f ) i=1 Chứng minh Theo định lý cơ... dạng metric Fubini-Study trên diện Riemann và ∫r dt ∫ ∗ Tf (r, Ω) = f Ω 1 t ∆(t) 1.3.2 Bổ đề đạo hàm Logarit Bổ đề 3 Giả sử f (z) là hàm phân hình, và δ > 0 Khi đó ( ) ( ′) 2 f (1 + δ) δ 1+ log+ T (r, f ) + log r + O(1)∥E(δ) m r, f 2 2 Chứng minh Ta định nghĩa phần tử diện tích bởi công thức Φ= i 1 dω ∧ dω [1 + (log |ω|)2 ]|ω|2 4π 2 Vì ω = r(cos θ + i sin θ) và ω ¯ = r(cos θ − i sin θ) nên dωd¯ ω =... hàm Logarit như sau 2.2.1 Bổ đề đạo hàm Logarit Bổ đề 5 Giả sử g là hàm phân hình, g ̸= 0 trên đường cong Cm , khi đó ( ∂g ) ( ) ||dg| | ∂zj m r, m r, = S(r, g), j = 1, m g |g| 27 Chứng minh Lấy metric kì dị trên P 1 (C) Φ= |ω|2 (1 1 i dω ∧ dω 2 + (log |ω|) ) 4π 2 Ta có: ∫ ∫ Φ= P 1 (C) P 1 (C) 1 i dω ∧ dω |ω|2 (1 + (log |ω|)2 ) 4π 2 Tính toán tương tự như bổ đề đạo hàm Logarit ở chương 1, ta cũng ∫ nhận... ) và tồn tại k ∈ [0, n] sao cho U ∩ D = {x1 xk = 0} Nếu k = 0 thì U ∩ D = ∅ Hơn nữa, nếu các Dj là không kì dị thì D được gọi là giao chuẩn tắc đơn Kí hiệu KV là phân phân thớ chuẩn tắc trên V 25 2.1.2 Công thức Jensen Bổ đề 4 Giả sử φ ̸= −∞ là hàm đa điều hòa trên Cm Thế thì bất kỳ 0