BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT VÀ ỨNG DỤNG

Kết quả của bổ đề này được ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác của lý thuyếtnày như chứng minh định lý cơ bản thứ hai, một trong hai định lý quan trọng nhất trong lý thuyết này.. Mục đíc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI GIỚI THIỆU

Lý thuyết Nevanlinna là lý thuyết phân bố giá trị toán học, với mụcđích chính là thiết lập định lí cơ bản thứ nhất và định lí cơ bản thứhai đối với ánh xạ phân hình Lý thuyết này đã thu hút được nhiều sựquan tâm của các nhà Toán học hiện nay Các kết quả và công cụ của lýthuyết này được áp dụng rộng rãi vào nhiều ngành của Toán học như:giải tích phức Hyperbolic, xấp xỉ Diophantine,

Một trong những công cụ chính của lý thuyết Nevanlinna là bổ đề đạohàm Logarit Bổ đề đạo hàm logarit được xây dựng và chứng minh bởinhiều nhà toán học như Bloch’s, T.Ochiai, W Cherry, Kết quả của

bổ đề này được ứng dụng để mở rộng nhiều phần khác của lý thuyếtnày như chứng minh định lý cơ bản thứ hai, một trong hai định lý quan

trọng nhất trong lý thuyết này Vì vậy, tôi đã chọn đề tài: ”Bổ đề đạo

hàm Logarit và ứng dụng” Mục đích của luận văn này trình bày

được một số kiến thức cơ sở lý thuyết Nevanlinna, trong đó đặc biệt là

bổ đề đạo hàm logarit và ứng dụng của nó trong việc chứng minh định

lý cơ bản thứ hai Nội dung của luận văn gồm 2 chương

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.

Trong chương này trình bày một số kiến thức cơ bản và hai định lý cơbản trong lý thuyết Nevanlinna, bổ đề đạo hàm Logarit Chương nàycung cấp cho ta những cơ sở đầu tiên để mở rộng lý thuyết Nevanlinnatrong chiều cao hơn

Chương 2 Bổ đề đạo hàm Logarit cho trường hợp nhiều biến.

Trong chương này, chúng ta mở rộng bổ đề đạo hàm Logarit cho trườnghợp nhiều biến và trình bày ứng dụng của nó cho việc chứng minh định

lý cơ bản thứ hai Sau đó, chúng ta chứng minh bổ đề đạo hàm logaritcho vi phân jet của dạng logarit, được viết dựa theo nội dung của bàibáo "On holomorphic jet bundles" của W Stoll được đăng tại tạp chí

AG math (2000)

Để hoàn thành luận văn này, lời đầu tiên trong luận văn tôi xin bày

tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Đình Sang

người thầy đã tận tình dạy bảo, hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và

làm luận văn Và tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS.Ninh

Văn Thu người đã trực tiếp giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm luận

văn Tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô khoa Toán - Cơ

- Tin học, quý thầy cô phòng Sau đại học – Trường Đại học Khoa học

Tự nhiên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và hoàn thành luậnvăn này

Mục lục

1.1 CÁC HÀM CƠ BẢN 1

1.1.1 Hàm đếm N (r, f ) 1

1.1.2 Hàm xấp xỉ m(r, f ) 2

1.1.3 Hàm đặc trưng 2

1.2 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN THỨ NHẤT 3

1.2.1 Bổ đề Jensen 4

1.2.2 Định lý Jensen 7

1.2.3 Định lý cơ bản thứ nhất 8

1.2.4 Bất đẳng thức Nevanlinna 9

1.3 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT 11

1.3.1 Bổ đề Borel 11

1.3.2 Bổ đề đạo hàm Logarit 12

1.3.3 Định lý cơ bản thứ hai 15

Chương 2 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT CHO TRƯỜNG HỢP NHIỀU BIẾN 20 2.1 CÔNG THỨC JENSEN 20

2.1.1 Một số định nghĩa cơ bản 21

2.1.2 Công thức Jensen 26

2.2 BỔ ĐỀ ĐẠO HÀM LOGARIT 27

2.2.1 Bổ đề đạo hàm Logarit 27

2.3 ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI 31

2.4 PHÂN THỚ JET CHỈNH HÌNH 34

2.4.1 Một số khái niệm cơ bản về phân thớ jet 35

2.4.2 Bổ đề đạo hàm logarit cho vi phân jet kì dị 36

Tài liệu tham khảo 41

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong phần này, chúng ta trình bày một số khái niệm cơ bản về hàm

đếm, hàm xấp xỉ và hàm đặc trưng Cho f là hàm phân hình trên hình tròn tâm O, bán kính R, 0 < R < ∞, r < R, ở đây hàm phân hình

được hiểu là thương h(z)

g(z) , trong đó h(z), g(z) là hai hàm chỉnh hình và g(z) ̸= 0.

Trong đó, n (t, f ) là số cực điểm của f kể cả trên bội trên {|z| ∈ C :

|z| 6 t} Với mỗi a ∈ C hàm đếm các a– điểm được định nghĩa bởi

0−điểm tại z.

Khi đó hàm log+, có tính chất sau đây

1 log+(xy) ≤ log+

(x) + log+(y),

2 log+(x + y) ≤ log+

(x) + log+(y) + log 2,

3 log(x) = log+(x) − log+

(1

Giá trị m(r, f ) là độ lớn trung bình của log |f(z)| trên |z| = r Với a ∈ C

bất kì, hàm xấp xỉ tại a-điểm m f (r, a) được xác định bởi

1.1.3. Hàm đặc trưng

Hàm đặc trưng của f được định nghĩa bởi

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f ).

Hàm đặc trưng đóng một vai trò rất quan trọng trọng lý thuyết linna.

Với a ∈ C, r > 0, kí hiệu ∆(a, r) = {z ∈ C; |z − a| < r} là hình tròn

tâm a bán kính r Khi a=0 ta viết ∆(r) = ∆(0, r) Giả sử φ(z) = φ(x, y)

là hàm khả vi Ta nhắc lại một số kí hiệu

∂φ

∂z =

12

Giả sử φ(z) là hàm thực xác định trên C, với tập các điểm kì dị của

φ được kí hiệu bởi Z = {a v } v ∈I là tập rời rạc Trong một lân cận U (a v)

của a v hàm φ có biểu diễn

Do ∂∂ = 0 nên φdd clog|z| = 0 Vì vậy,

∆(t)

i

2π ∂∂ψ.

Vì ∂∂(λ log |z − a|) = 0 nên ∂∂φ = ∂∂ψ.

Giả sử f là hàm phân hình trên U, {a v } là tập các 0-điểm và cực

điểm của f và λ v là bậc của a v khi đó trong lân cận của a v tồn tại hàm

chỉnh hình g(z) sao cho f (z) = (z − a v)λ v g(z) với g(a v) ̸= 0, λ v ∈ Z.

- Divisor 0- điểm của f (z) được định nghĩa bởi

Đặt φ(z) = log |f| Do f(z) = {z − a v } λ v g(z), g(a v) ̸= 0 và {a v } ∞

v=1là tậpđiểm rời rạc nên log|f(z)| = λ vlog|z − a v | + log |g(z)| Đặt log |g(z)| =

+ Nếu a / ∈ f({|z| = 1}) thì I(a) liên tục.

+ Nếu a thuộc lân cận U (f (1)) đủ bé của f (1) ̸= ∞, đặt e1 = f (1) −

a, f (z) −f(1) = (z−1) k g(z), g(z) là hàm chỉnh hình thỏa mãn g(1) ̸= 0.

= 2k i ksink θ

2

(cosθ

2 + i sin

θ

2)k

= 2k i ksink θ

2

(coskθ

Do đó, I(a) bị chặn Vậy, nó liên tục với |a| 6 1.

Theo định lý cơ bản thứ nhất tồn tại hằng số C > 0 sao cho

f − 1a

)

0

và

1a < 1 theo (1.5) tồn tại hằng

f − 1a

+∞

∫

r1

dϕ(r) ϕ(r) 1+δ 6 1

δϕ(r1)δ

Định nghĩa 2 Giả sử f là hàm phân hình Phần tử diện tích

Ω = dd clog(1 +|ω|2) = 1

(1 +|ω|2)2

1

2π dω ∧ dω được gọi là dạng metric Fubini-Study trên diện Riemann và

2log r + O(1) ∥ E(δ) Chứng minh Ta định nghĩa phần tử diện tích bởi công thức

∫

∆(t)

f ∗ Φ,

trong đó ∆(t) = {z ∈ C : |z| < t} Bằng tính toán cụ thể ta nhận được

(f (z) − a i1)′

f (z) − a i1

− (f (z) − a i2)′

f (z) − a i2

(f (z) − a i)′

f (z) − a i

+

Áp dụng định lý Jensen cho hàm φ(z) = log(√

|f(z) − a i |

√

1 +|a i |2

.

Đặt f (b) = ∞ (= a q ) , a i(1 6 i 6 q − 1) Giả sử b là cực điểm cấp m của

f Khi đó, tồn tại hàm chỉnh hình g(z) ̸= 0 trong lân cận U(b) của b sao

Áp dụng tính chất của log+ vào vế phải của (1.8) ta nhận được

(f (z) − a i1)′

(f (z) − a i1) − (f (z) − a i2)′

(f (z) − a i2)

+

(f (z) − a i)′

f (z) − a i