mô hình hóa chuong 5

Các biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi luật phân phối xác suất  Mô hình mô phỏng hệ ngẫu nhiên còn được gọi là mô hình xác suất - Bản chất của PP này là xây dựng mô hình của hệ thống S

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.1 Khái niệm mô hình hóa các hệ ngẫu nhiên

- Hệ ngẫu nhiên là hệ trong đó có các biến ngẫu nhiên Các biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi luật phân phối xác suất  Mô hình mô phỏng

hệ ngẫu nhiên còn được gọi là mô hình xác suất

- Bản chất của PP này là xây dựng mô hình của hệ thống S với tín hiệu đầu vào của hệ có tác động mang tính ngẫu nhiên

VD: Số lượng các sự kiện, thời gian giữa các sự kiện

- Trên cơ sở phân tích các tín hiệu đầu ra người ta nhận được dáng điệu phản ứng của hệ thống

- Mỗi lần thực hiện phép thử thu được một lời giải chứa đựng thông tin

về hệ thống Nếu tăng số phép thử lên đủ lớn thì kết quả thu được bằng cách lấy trung bình theo xác suất sẽ ổn định và đạt độ chính xác cần thiết

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.2 Cơ sở lý thuyết xác suất

5.2.1.Biến cố ngẫu nhiên và xác suất

a) Phép thử và biến cố

- Khi thực hiện một số điều kiện nào đó ta nói rằng đã thực hiện 1 phép thử

- Hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử được gọi là biến cố

VD: Hành động tung 1 con súc sắc là thực hiện 1 phép thử, còn việc xuất hiện mặt nào đó được gọi là biến cố Có 3 loại biến cố:

+ Biến cố chắc chắn U: Là loại biến cố nhất định sẽ xảy ra khi thực hiện phép thử - VD sẽ có 1 trong 6 mặt ngửa

+ Biến cố không thể có: Là loại biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử - VD Có đồng thời hai mặt cùng ngửa

+ Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể có hoặc có thể không xảy ra khi thực hiện phép thử

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

b) Xác suất của một biến cố

- Xác suất P(A) của biến cố A là một con số đặc trưng cho khả năng để xuất hiện sự cố A khi thực hiện phép thử

- Xác suất của biến cố ngẫu nhiên 0 <= P(A) <= 1

- Xác suất của biến cố chắc chắn P(A) = 1

- Xác suất của biến cố không thể có P(A) = 0

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.2.2 Các định lý xác suất

a) Định lý cộng xác suất

Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc (không cùng xảy ra trong một phép thử) thì:

P(A+B) = P(A) +P(B)b) Định lý nhân xác suất

- Xác suất có điều kiện: xác suất của biến cố A được tính với điều kiện biến

cố B không xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A và được ký hiệu

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.2.3 Đại lượng ngẫu nhiên và quy luật phân phối xác suất

Bảng phân phối xác suất: Dùng để thiết lập quy luật phân phối xác suất cho các đại lượng

• Hàm phân phối xác suất: Hàm pp xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X là xác suất để X nhận giá trị < x với x là 1 số thực bất kỳ

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.3 Phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.3 Phân bố xác suất của các biến ngẫu nhiên

5.3.2 Phân bố gián đoạn

a) Phân bố Bernoulli

b) Phân bố đều gián đoạn

c) Phân bố Poisson

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.4 Số ngẫu nhiên phân bố đều U(0,1)

Khi mô phỏng hệ thống người ta thường cần các số ngẫu nhiên phân bố theo những quy luật phân bố nhất định nào đó để mô phỏng các sự kiện ngẫu nhiên xảy ra trong hệ

Phân bố đều U(0,1) có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật vì vậy để tạo U(0,1) có nhiều cách

* Dùng máy phát ngẫu nhiên: Dựa trên nguyên tắc sử dụng nhiễu do các thiết bị điện tử gây ra

- Ưu điểm: Nhận được dãy số hoàn toàn ngẫu nhiên, số lượng không hạn chế

- Nhược điểm:Phải lắp thêm máy phát số ngẫu nhiên.Khi mô phỏng lại cần dãy số ngẫu nhiên lần trước thì không có

* Dùng bảng số ngẫu nhiên: Bằng nhiều cách tạo ra các bảng số ngẫu nhiên Khi mô phỏng thì lấy chúng theo 1 quy luật nào đó

- Ưu điểm:Có thể lặp lại dãy số ngẫu nhiên để dùng cho lần mô phỏng sau

- Nhược điểm:Tốn bộ nhớ để lưu bảng số ngẫu nhiên

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.4 Số ngẫu nhiên phân bố đều U(0,1)

* Dùng thuật toán tạo số giả ngẫu nhiên

Để tránh phải ghi nhớ các bảng số ngẫu nhiên thì chúng ta dùng các thuật toán, các chương trình con để tạo ra các số ngẫu nhiên Tuy nhiên với PP này thường đưa ra các dãy số ngẫu nhiên có chu kỳ vì vậy còn gọi là giả ngẫu nhiên Các bài toán mô phỏng thông thường có thể dùng số giả ngẫu nhiên này là vì chu kỳ tuần hoàn của chúng khá lớn cỡ (1 – 5)106

+ Thuật toán lấy phần giữa của bình phương

VD có số ban đầu là x1 = 0.2152 thì (x1)2 = 0.04631104 vậy x2 = 0.6311

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

- Các dòng sự kiện có phân bố mũ expo(λ)

+ Dòng khách hàng đi vào cơ sở dịch vụ như siêu thị, khu vui chơi giải trí, khách sạn, hiệu cắt tóc…

+ Dòng khách hàng đi ra khỏi cơ sở dịch vụ sau khi được phục vụ

+ Dòng các nhiễu tác động vào hệ truyền tin gây ra các sai số

- Các dòng sự kiện trên thường có tính chất sau:

+ Dòng dừng vì cường độ xảy ra sự kiện λ = const

+ Các sự kiện hoàn toàn độc lập với nhau

+ Tại một thời điểm chỉ có một sự kiện xảy ra

Mỗi dòng có các tính chất trên là dòng Poisson dừng hay còn gọi là dòng tối giản tuân theo luật phân bố mũ expo(λ)

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

VD5.1 Mô phỏng độ tin cậy của thiết bị điện tử

Giả thiết rằng cường độ xảy ra hỏng hóc của một thiết bị điện tử là hằng số λ(lần/giờ) = const Hãy xác định độ tin cậy P(t>T) và tuổi thọ trung bình T của thiết bị điện tử

Bài làm

Do cường độ hỏng hóc của thiết bị λ(lần/giờ)=const nên dòng hỏng hóc là dòng tối giản Như vậy khoảng cách giữa các lần hỏng hóc ti tuân theo luật phân bố mũ

Gọi T là thời gian khảo sát Thiết bị được coi là làm việc tin cậy khi khoảng cách giữa các lần hỏng hóc lớn hơn thời gian khảo sát ti>T (Trong khoảng thời gian khảo sát thì thiết bị không bị hỏng) Như vậy độ tin cậy là P(ti>T).Thuật toán mô phỏng:

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

Thuật toán mô phỏng:

B1 Lấy một số ngẫu nhiên Ui ~ U(0,1) Vậy ti = - ln(Ui/ λ)

B2 So sánh ti với T:

Nếu ti > T thiết bị làm việc tin cậy

Nếu ti < T thiết bị làm việc không tin cậy

B3 Thực hiện N thử nghiệm

Độ tin cậy của thiết bị được đánh giá như sau:

P(ti>T) = Số thiết bị làm việc tin cậy/Số thiết bị thử nghiệm

 Nếu N càng lớn thì đánh giá sẽ càng chính xác

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

% CHUONG TRINH MO PHONG CHUONG 4 HE NGAU NHIEN

% MO PHONG DO TIN CAY CUA THIET BI DIEN TU

clc;

syms CD T N Sothietbilamviectincay i

CD = input('Hay nhap vao cuong do hong hoc thiet bi dien tu CD = ');

T = input('Hay nhap tuoi tho trung binh cua thiet bi dien tu T = ');

N = input('Hay nhap so thiet bi duoc khao sat N = ');

Sothietbilamviectincay = 0;

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

% CHUONG TRINH MO PHONG CHUONG 4 HE NGAU NHIEN

% MO PHONG DO TIN CAY CUA THIET BI DIEN TU

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

VD5.2 Mô phỏng trạm xe bus sinh viên

Sinh viên đi từ ký túc xá đến trường bằng xe bus, mỗi xe chứa được 60 sinh viên Thời gian đi đến trường bắt đầu từ 6h đến 7h30 Sinh viên đi đến trạm xe bus được mô tả bằng một dòng tối giản với cường độ λ = 0,8 SV/s

Cứ sau Txe = 15 phút có một chuyến xe bus đi đến trường Nếu số sinh viên chờ xe <60 SV xe chạy đúng giờ Nếu số SV chờ xe >60SV thì số SV thừa sẽ phải chờ đến chuyến xe sau

Xây dựng mô hình mô phỏng hệ thống trên Kiểm tra xem sau 7h30 thì còn bao nhiêu SV bị kẹt xe tại bến xe bus Để đảm bảo tất cả sinh viên đi học đúng giờ thì Txe = ??

Bài làm

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

Bài làmB1 Xây dựng mô hình dòng sinh viên đi đến trạm xe bus Khoảng thời gian giữa các sinh viên đi đến trạm xe bus là ti = (-1/λ)ln(Ui) với Ui ~ U(0,1)

B2 Thời gian mô phỏng là từ 6h đến 7h tức t = 0 đên t = 3600s

- Nếu c<60 (Tức 1 xe 60 chỗ có thể cho hết số sinh viên trong trạm lên) khi

đó sau khi xe đi thì không có sinh viên còn phải chờ ở chạm tức c = 0

- Nếu c>60 khi đó số sinh viên còn chờ ở bến xe bus là c = c - 60

B5 Khi t = 3600s thì đếm c = ??? Khi đó ta thay đổi Tx để c = 0

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

VD5.3.Dùng phương pháp mô phỏng để tính toán độ tin cậy của thiết bị, biết cường độ hỏng hóc

λ = 2.10-3 (l/h) Hãy vẽ đường cong biểu diễn độ tin cậy P(t) lý thuyết và P(t)

mô phỏng khi số lần thực nghiệm là S = 300, S = 1000, S = 3000;

CHƯƠNG V – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

VD5.3.Dùng phương pháp mô phỏng để tính toán độ tin cậy của thiết bị, biết cường độ hỏng hóc

λ = 2 10-3 (l/h) Hãy vẽ đường cong biểu diễn độ tin cậy P(t) lý thuyết và P(t)

mô phỏng khi số lần thực nghiệm là S = 300, S = 1000, S = 3000;

Bài làm.Do cường độ hỏng hóc của thiết bị λ(lan/gio)=const nên dòng hỏng hóc là

dòng tối giản Như vậy khoảng cách giữa các lần hỏng hóc ti tuân theo luật phân bố mũ

Gọi T là thời gian khảo sát Thiết bị được coi là làm việc tin cậy khi khoảng cách giữa các lần hỏng hóc lớn hơn thời gian khảo sát ti>T (Trong khoảng thời gian khảo sát thì thiết bị không bị hỏng) Như vậy độ tin cậy là P(ti>T).Thuật toán mô phỏng:

CHƯƠNG IV – MÔ HÌNH HÓA CÁC HỆ NGẪU NHIÊN

5.5 Một số ví dụ về mô phỏng các hệ ngẫu nhiên

Bài làmB1 Lấy một số ngẫu nhiên Ui ~ U(0,1) Vậy ti = - ln(Ui/ λ)

B2 So sánh ti với T:

Nếu ti > T thiết bị làm việc tin cậy

Nếu ti < T thiết bị làm việc không tin cậy

B3 Thực hiện N thử nghiệm

Độ tin cậy của thiết bị được đánh giá như sau:

P(ti>T) = Số thiết bị làm việc tin cậy/Số thiết bị thử nghiệm

B4 Độ tin cậy lý thuyết P*(t) = expo(-λT)

B5 So sánh giữa P(t) và P*(t)