Bài tập lý thuyết điều khiển

bài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tínhbài tập lý thuyết điều khiển tuyến tính

219

7 Chứng minh rằng ảnh Fourier của một hàm x ( t ) có miền xác định giới nội [a , b ] , tức là

( ) 0

x t  khi t[ a , b ] , xác định trên toàn bộ trục số    

8 Cho ( )x t 1(tT) 1( tT) Tìm ảnh X(j) và

a) Kiểm tra tính chất của nó nêu trong định lý RiemannLebesgue,

b) Kiểm tra quan hệ Parseval

9 Tìm tín hiệu x ( t ) có ảnh Laplace

a )

2 2

( )

X s



( ) ( 1)( 2)

X s



c)

2

( )

X s



2

( )

X s



10 Tìm ảnh Laplace của các tín hiệu ở hình 2.128

11 Xác định các giá trị đầu

2 2

( 0), dx , d x

x

 của tín hiệu causal x(t) có ảnh Laplace:

a)

1 ( )

I

X s



1 ( )

sT

X s





c)

2

1 ( )

s

X s





1 ( ) (1 )n

X s

sT



 , n=0,1,2, 

12 Xác định điều kiện để tín hiệu x(t) với ảnh Laplace:

( )

m m n n

X s



thỏa mãn

a)

0

lim ( ) 0

t x t

t x t

13 Giải các phương trình vi phân sau

a)

dt

dt  dt   với

2 2

( 0) 5, dy 8, d y 28

y

dt

dy dt

y

d

2 cos 20 2 3

2

2





 với y( 0) 1, dy( 0) 5

dt



2

2





dt

dy dt

y

d

với y( 0) a, dy( 0) b

dt



t x(t)

T 2T

a)

t

x(t)

b)

1

Hình 2.128: Cho bài tập số 10

1

14 Cho một hệ gồm một lò xo có hệ số đàn hồi c và một vật khối lượng m như hình 2.129a) mô tả

Tại thời điểm t0 vật bị một lực tác động tức thời làm bật ra khỏi vị trí cân bằng ( 0)y 0

và có vận tốc ban đầu là dy( 0) 0

v dt

Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định phương trình dao động

sau đó của vật xung quanh điểm cân bằng Biên độ dao động lớn nhất của vật là bao nhiêu?

15 Hình 2.129b) mô tả một mạch điện gồm hai điện trở R1, R2 và hai tụ điện C1, C2 Hãy xác

định điện áp đầu ra y(t ) của mạch điện nếu tại đầu vào có u t( )U01( )t , biết rằng tại thời điểm 0

t cả hai tụ cùng chưa được nạp điện

16 Cho hệ gồm một lò xo có hệ số đàn hồi c , một vật có khối lượng m như hình 2.130a) mô tả Xác định phương trình mô tả chuyển động của vật dưới tác động của lực u(t) vào vật có để ý đến lực

ma sát tĩnh với hệ số  Hệ có tuyến tính không và tại sao?

17 Hình 2.130b) mô tả hệ gồm ba lò xo có cùng hệ số đàn hồi c và hai vật với cùng khối lượng m

đang ở vị trí cân bằng Tại thời điểm t 0 vật thứ hai bị một lực tức thời đánh bật ra khỏi vị trí

cân bằng với vận tốc v0 Bỏ qua lực ma sát, hãy xác định phương trình chuyển động của vật thứ nhất Hệ có tuyến tính không và tại sao?

18 Xác định xem những hệ nào trong số các hệ sau là tuyến tính, tuyến tính không dừng và tuyến tính tham số rải

dt

du y dt

dy dt

y

d

5 3

2

2

2







dt

du y t dt

dy

t4 cos(2) 5 2

dt

dy y dt

y

2

2

19 Hãy xác định hàm trọng lượng g(t) và hàm quá độ h(t) của những hệ tuyến tính có hàm truyền G(s) như sau:

a)

4 3 2

1



s s

s

b)

) 5 1 )(

3 1 ( 2 1

s s

s







c )

) 3 1 )(

1 ( 2 , 0

1

s s

20 Xác định hàm truyền của hệ thống có sơ đồ điểm cực (được đánh dấu bởi ) và điểm không (được đánh dấu bởi O) cho trong hình 2.131, biết rằng G(0)2 Tìm và vẽ đồ thị hàm trọng lượng, hàm quá độ Có nhận xét gì về hệ thống qua các đồ thị đó

y

u

R2

R1

y

Hình 2.129: Cho bài tập 14

và 15

y

y2

y1

Hình 2.130: Cho bài tập 16 và bài tập 17

221

21 Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình 2.132 Hệ có tín hiệu vào

u(t), gọi là tín hiệu chủ đạo và ra y ( t ) Tín hiệu n ( t ) là nhiễu

tác động vào hệ Tín hiệu e(t) là sai lệch giữa tín hiệu chủ đạo

u ( t ) so với thực tế hệ có được y ( t ) Ký hiệu ảnh Laplace của

u(t) là U(s), của y(t) là Y(s), của n(t) là N(s) và của e(t) là

E(s) Hãy

a) Xác định hàm truyền

( ) 0

( ) ( ) ( )n t

Y s

G s

 của hệ khi không có nhiễu

b) Xác định hàm nhạy của hệ (sensivity function)

( ) 0

( ) ( ) ( )u t

Y s

S s

 ( hàm nhạy có tác dụng

đo thành phần nhiễu có lẫn trong tín hiệu ra)

c) Xác định hàm truyền biểu diễn sai lệch theo đầu vào 1

( ) 0

( ) ( ) ( )n t

E s

E s



d) Xác định hàm truyền biểu diễn sai lệch theo nhiễu 2

( ) 0

( ) ( ) ( )u t

E s

E s



22 Sử dụng công thức định nghĩa hàm đặc tính tần, hãy xác định hàm trọng lượng g(t) cho các hệ

có hàm đặc tính tần như sau:

( )

1

G j

j







1 ( )

(1 )(1 2 )

G j





G j

j







1 ( )

(1 ) (1 2 )

G j





23 Hãy vẽ đồ thị đặc tính tần biên  pha và đồ thị Bode cho các hệ có hàm đặc tính tần cho trong bài

22

24 Sử dụng kết quả bài 23, hãy xác định đáp ứng đầu ra của những hệ đó, khi đầu vào là tín hiệu điều hoà:

a ) u t( )sint b) u t( )sintsin 2t

c) u t( )x t( ) * ( )s t với 1 khi 1

( )

0 khi 1

x t

t



 



 và s(t) là hàm trích mẫu chu kỳ 1

25 Hãy vẽ đường đặc tính tần biênpha, đường đặc tính tần logarith (biểu đồ Bode) của những hệ thống có hàm truyền cho như sau

n

n

G4

G2

G5

a)

G1

G3

G4

G2

G5

b)

Hình 2.132: Cho bài tập 21

Hình 2.131: Cho bài tập 20

1

—

1

—

3

222

1

G s

sT



1 ( )

G s



c)

( )

k

G s



1

I

sT

    

26 Hãy xác định hàm truyền cũng như các thành phần khuếch đại, tích phân, vi phân của các hệ cho

ở hình sau:

27 Chứng minh rằng đường đặc tính tần số biênpha của hệ có hàm truyền:

2

2

( ) b b s b s

G s

a a s a s



  c ó a a0 20, a10 và 0 2



là một đường tròn Hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn

28 Cho hệ thống SISO mô tả bởi:

2

4 ( )

( 3) ( 2)( 1)

G s



Hãy xác định tín hiệu u(t) sao cho khi kích thích hệ từ trạng thái 0 bằng u(t) ở đầu vào thì sau một khoảng thời gian đủ lớn hệ sẽ có đáp ứng y(t) có góc lệch pha với u(t) là 900

29 Tìm hàm truyền của những hệ thống có sơ đồ khối sau

y u

y u

c)

G2

d)

G1

G3

u

a1

a0

y

u

u

u

u

u

u

y

y

y

y

y

y

R1

C

L

R1

R2

C

C

C

L1

L2

C1

C2

R1 R2

a)

d)

b)

e)

c)

f) Hình 2.133: Cho bài tập 26

223

30 Xác định hàm truyền của những hệ thống có sơ đồ tín hiệu cho trong hình 2.135

31 Hãy tìm hàm truyền G(s) hợp thức và bền cho hệ tuyến tính, biết rằng phần thực T() của hàm

đặc tính tần G(j) của hệ là:

a )

2

5 20 ( ) Re ( )



2 ( ) Re ( )



32 Hãy tìm hàm truyền G(s) hợp thức và bền cho hệ tuyến tính, nếu lim ( ) 0

s

G s

  và phần ảo A() của hàm đặc tính tần G(j) của hệ là

( ) I m ( )

3

3 ( ) I m ( )

33 Cho hệ thống phản hồi tín hiệu ra có sơ đồ khối mô tả ở hình 2.136a) Hãy tìm hàm truyền của hệ

thống khi G(s) có cấu trúc cho trong các hình 2.136b) và 2.132c) Trong trường hợp nào thì hệ

sẽ là hệ pha cực tiểu?

34 Kiểm tra xem hàm đặc tính tần của khâu IT1 có thỏa mãn định lý 2.11 về toán tử Hilbert không

và giải thích tại sao?

35 Xác định hàm truyền G(s) cho các hệ có hàm trọng lượng sau:

a) g t( )  2 t 3t2 b) g t( )t2sint c) g t( ) (t t2)cost

1

a1

a2

b2

b1

a1

a2

b

Hình 2.135: Cho bài tập 24

a)

b)

G(s)

y x

k

k3

y x

c)

x

36 Không tìm nghiệm, hãy chỉ ra rằng tất cả nghiệm của đa thức sau đều có phần thực nhỏ hơn 1

a) A(s) = s3 + 8s2 + 22s + 20 b) A(s) = s4 + 10s3 + 38s2 + 64s + 40

37 Sử dụng tiêu chuẩn Routh, hoặc Hurwitz để kiểm tra tính ổn định hệ thống có đa thức đặc tính sau

a) A(s) = 1,15s6 + 7,25s5 + 18,60s4 + 24,84s3 + 18,20s2 + 6,69s + 1,08

b) A(s) = 5s5 + 47s4 + 140,55s3 + 168,67s2 + 82,63s + 13,8

c) A(s) = 25s5 + 87,5s4 + 80s3 + 5,5s2 8,64s + 0,72

Có bao nhiêu điểm cực s k của hệ thỏa mãn 0Res k1 và  1 Res k0

38 Sử dụng tiêu chuẩn Michailov để kiểm tra tính ổn định hệ thống có phương trình đặc tính

a) A(s) = s5 + s4 + 20s3 + 10s2 + 64s + 9

b) A(s) = s5 + s4 + 25s3 + 5s2 + 144s + 4

39 Xác định có tồn tại hay không tham số a0 để hàm quá độ của những hệ thống có hàm truyền

G(s) như sau không có độ quá điều chỉnh:

a)

) 8 , 0 1 )(

1

(

) 1

s s

as







b)

) 1 )(

75 , 0 1 (

) 1 )(

5 , 0 1 (

2s a s

as s









c)

2

2 )(1 ) 1

)(

5 , 0 1 (

) 3 1 )(

2 1 )(

1 (

as s a s

s s s













40 Cho hệ tuyến tính tham số hằng Gọi g(t), h(t) lần lượt là hàm trọng lượng và hàm quá độ của

hệ Chứng minh rằng:

( )

( ) ( ) ( )

dh t

h t t g t

41 Cho hệ có hàm truyền

2

1

a) Giữ T cố định, hãy xác định D để 2

0





    , trong đó h(t) là hàm quá

độ của hệ và lim ( )

t





b) Tại sao đối với việc tối ưu Q  min thì tham số T lại không có ý nghĩa

c) Xác định độ quá điều chỉnh hmax = hmax(t)  h

d) Tính các giá trị T, Tmax và T5%

42 Hãy chỉ rằng hệ kín có hàm truyền hệ hở G h (s) = k e s

s



 sẽ ổn định nếu  <

k



43 Xét hệ hồi tiếp với hệ hở có hàm truyền

( )

n n

n



Giả sử rằng hệ hồi tiếp là ổn định Chứng minh rằng khi được kích thích bởi tín hiệu 1(t) ở đầu vào, hệ sẽ có sai lệch tĩnh e là

225

0

1 lim ( )

a





Từ đó rút ra được điều kiện cần phải có như thế nào của G h (s) để sai lệch tĩnh e của hệ hồi tiếp bằng không

44 Cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở là 2

( ) ( 2)

h

G s

s s



 a) Vẽ đồ thị đường đặc tính tần biên pha của hệ hở

b) Vẽ đồ thị Nyquist của hệ hở và từ đó kết luận về tính ổn định của hệ kín

c) Hai đồ thị trên khác nhau ở điểm nào?

45 Hãy sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để biện luận tính ổn định hệ kín có hàm truyền của hệ hở G h (s)

là

( )

(1 )(1 3 )

h

G s





( 1)( 2) ( )

( 1)( 1)( 3)

h

G s



46 Cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở là

( )

h

k

G s



a) Có bao nhiêu điểm cực của hệ hở G h (s) không nằm bên trái trục ảo?

b) Vẽ đồ thị Nyquist của hệ hở G h (s) ứng với k1

c) Hãy sử dụng tiêu chuẩn Nyquist để xác định hằng số k làm hệ kín ổn định

d) Hãy kiểm tra lại kết quả của câu c) nhờ tiêu chuẩn Routh

47 Hãy xây dựng quỹ đạo nghiệm số cho hệ kín có hàm truyền của hệ hở cho sau đây và biện luận chất lượng hệ kín từ dạng quỹ đạo nghiệm số thu được

a) ( 2)

( 1)( 3)

k s



( 1)( 3) ( 2)( 4)( 5)

   c )6 (1 0,5 )(1 0,33 )

) 2 , 0 1 (

s s

s

s k







d)

) 33 , 0 1 )(

5

,

0

1

(

6

) 2 , 0 1

(

s s

s

s k







e)

) 4 1 )(

2 1 )(

1 (

) 1 )(

3 1 (

s s ks

s s











f)

) 200 20 )(

20 (s s2 s

s

k

g)

) ) 33 , 0 ( 32 , 1 1 )(

5

,

0

1

k





 i) (1 0,5 )(1 0,66 (0,33 ) )

7 , 2

2

s ks



48 Xét hệ kín cho ở hình 2.137a), trong đó đối tượng S ( s ) có chứa thành phần bất định không cấu

trúc S thỏa mãn S j( ) max( ) với mọi  Giả thiết rằng hệ có hàm truyền hệ hở

R(s)[S(s),S] bền với mọi S

R ( s ) S ( s ) , S

Hình 2.137: Cho bài tập 48 và 49

a)

S ( s )

S

S

S ( s )

b)

c)

Chứng minh rằng hệ kín sẽ ổn định bền vững khi và chỉ khi

a) º Tmaxº < 1 nếu kiểu sai lệch mô hình đối tượng là bù nhân (hình 2.137b), trong đó

( )

1

RS

T s

RS



 là ký hiệu của hàm bù nhạy

b) º R Smaxº < 1 nếu kiểu sai lệch mô hình đối tượng là bù phối hợp (hình 2.137c)

49 Xét hệ cho ở hình 2.137a) với kiểu bất định S của đối tượng cho ở hình 2.136b) thỏa mãn

max

   với mọi  Giả thiết rằng hệ có hàm truyền hệ hở R(s)[S(s),S] bền với mọi S Chứng minh rằng để hệ vừa ổn định bền vững, vừa có độ nhạy ( ) 1

1

K s

RS



 thỏa mãn K j( ) thì cần thiết phải có

min 1, 1, 

50 Sử dụng tiêu chuẩn Kharitonov để kiểm tra tính Hurwitz chặt của các đa thức sau:

a) A(s) = s4 + a3s3 + a2s2 + a1s + a0

với 6a030, 20a1100, 20a270, 7a316

b) A(s) = a3s3 + a2s2 + a1s + a0

với 0a030, 30a150, 20a260, 10a315

51 Hãy xác định các tham số bộ điều khiển I hoặc PI hoặc PID nếu đối tượng có hàm truyền:

a) 1

1 4s b) (1 0,2 )(1 3 )

2

s

2 (1 3 )(1 2 )(1 s  s s) d ) (1 3 )(1 5 )(1 0,3 )5

2

s s



52 Giống như bài tập 51) nhưng cho trường hợp đối tượng có thêm khâu giữ trễ e0,5s

53 Hãy xác định tham số tối ưu đối xứng cho bộ điều khiển PID (ứng với a2, a4 và a9)

để điều khiển các đối tượng có hàm truyền như sau:

a)

) 5 , 1

1

(

2

s

3

s s

2 (1 2 )(1 6 )

Hãy ước lượng độ quá điều chỉnh h của hệ với những bộ điều khiển tìm được, đồng thời so sánh với độ quá điều chỉnh của hệ cho trường hợp a = 4 và hệ được nối thêm bộ tiền xử lý để

giảm độ quá điều chỉnh

54 Giống như bài tập 53) nhưng cho trường hợp đối tượng có thêm khâu giữ trễ e2s

55 Hãy thiết kế bộ điều khiển theo hàm truyền mẫu

2

1 ( ) ( 2)

m

s



 cho những đối tượng có hàm truyền sau:

a )

2

2( 2)

( )

1

s

S s

s





2 ( )

4

S s s



2 ( )

( 1)

s

S s

s s







56 Hãy xác định tập O gồm những bộ điều khiển làm ổn định nội cho đối tượng có hàm truyền sau:

a ) ( ) 1

( 2)

s

S s

s s





1 ( )

( 2)

s

S s

s s





1 ( )

( 2)

s

S s

s s







227

57 Cho đối tượng mô tả bằng hai hàm truyền S1, S2 (tại hai điểm làm việc khác nhau), trong đó S1

là hàm bền Chứng minh rằng S1, S2 sẽ ổn định song hành được khi và chỉ khi SS2S1 là

ổn định mạnh được

58 Hãy xác định hàm truyền tương đương của hệ có sơ đồ khối ở hình 2.138

a) Biết

1

s



Hãy xác định hằng số k để hệ ổn định

b) Biết

2

1

1 2

s



Hãy xác định hai hằng số k1, k2 để hệ ổn định và có sai lệch tĩnh bằng 0, tức là có

lim ( ) ( ) 0

   , khi hệ được kích thích bằng tín hiệu hằng ở đầu vào

c) Với các điều kiện như ở câu b) và hai hằng số k1, k2 tìm được ở đó, hãy xác định sai lệch tĩnh (ở chế độ xác lập) khi tín hiệu vào là usin 2t

Hình 2.138: Cho bài tập 58

G3

G9

G7

G5

G2

[1] Anderson, B.D and Moore, J.B.: Linear Optimal Control PrenticeHall, NJ, 1971

[2] Ästrửm, K.J and Wittenmark, B.: Adaptive Control AddisionWesley Publishing Company, Inc

1995

[3] Balas, G.; Doyle, J.C.; Glover, K.; Packard, A and Smith, R.: Analysis and Synthesis Toolbox MatLab User's Guide

[4] Burmeister, H.L.: Automatische Steuerung VEB Verlag Technik Berlin, 1976

[5] Bửgel, K; Tasche, M.: Analysis in normierten Rọumen Akademie Verlag Berlin, 1974

[6] Chiang, R and Safonov, M.: Robust Control Toolbox MatLab User's Guide

[7] Chui, C K and Chen, G.: Linear System and Optimal Control Springer Verlag, Heidelberg New

York, London, Paris, Tokyo, 1989

[8] Doyle,J.; Francis, B and Tannenbaum,A.: Feedback Control Theory Macmillan Publishing C0.,

1990

[9] Fossard, A.: Multivariable System Control NorthHolland Publishing Company, 1972

[10] F ửllinger, O.: Regelungstechnik (xuất bản lần 9) Hỹthig Buch Verlag Heidelberg, 1996

[11] Katsuhito Ogata: Modern Control Engineering PrenticeHall International Inc., 1995

[12] Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik Verlag Harri Deutsch, 1998

[13] M ỹller, K.: Entwurf robuster Regelungen B.G Teubner Stuttgart, 1996

[14] Ph ước, N.D và Minh, P.X: Nhận dạng hệ thống điều khiển Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật,

2001

[15] Ph ước, N.D và Minh, P.X: Điều khiển tối ưu và bền vững (xuất bản lần thứ 2) Nhà xuất bản

Khoa học và Kỹ thuật, 2000

[16] Ph ước, N.D.: Lý thuyết điều khiển nâng cao Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2005

[17] Reinschke, K.: Steuerung kontinuierlicher Prozesse Skriptum zur Vorlesung, TUDresden, 2002

[18] Safonov, M.G.: Stability and Robustness of Multivariable Feedback Systems MIT Press,

Cambridge, MA, 1980

[19] Unbehauen, R.: Systemtheorie (xuất bản lần 6) R Oldenbourg Verlag Mỹnchen Wien, 1993 [20] Zhou,K.; Doyle,J.C and Glover,K.: Robust and Optimal Control Prentice Hall, 1996