CƠ học CHẤT LỎNG

33 4.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng lý tưởng áp dụng cho một đường dòng 45 5.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng thực không nén 525.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng nhớt á

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN

BỘ MÔN: CƠ HỌC

CƠ HỌC CHẤT LỎNG

TÊN HỌC PHẦN : CƠ HỌC CHẤT LỎNG TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUI

HẢI PHÒNG -2015

MỤC LỤC

2

STT NỘI DUNG TRANG

1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng 7

2.2 Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình cơ bản thuỷ tĩnh 13

2.5 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong Định luật Acsimet 20

3.1 Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động của chất lỏng 33

4.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng lý tưởng áp dụng cho một đường dòng 45

5.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng thực không nén 525.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng nhớt áp dụng cho một đường dòng 53

6.2 Phương trình Becnuli của dòng chảy nhớt biến đổi dần 62

7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn với đường ống ngắn phải tính cả hd và hc 89

3

YÊU CẦU VÀ NỘI DUNG CHI TIẾT

Tên học phần: CƠ CHẤT LỎNG Loại học phần: 1

4

Bộ môn phụ trách giảng dạy: Bộ môn Cơ học

+ Cung cấp các kiến thức cơ bản về chuyển động cơ học của chất lỏng

+ Rèn luyện tư duy khoa học

Nội dung chủ yếu: Gồm 2 phần:

1 Các kiến thức cơ bản về chuyển động cơ học của chất lỏng

2 Các chuyên đề riêng cho từng ngành học

Nội dung chi tiết của học phần:

1.1 Mở đầu:

1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng

đặc trưng cho chất lỏng

1.3 Phân loại lực trong cơ học chất lỏng

1.4 Ten xơ ứng suất

1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất

2.1 Ten xơ ứng suất của chất lỏng tĩnh

2.2 Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình

cơ bản thuỷ tĩnh

2.3 Cân bằng tương đối

2.4 Cân bằng của chất lỏng nén được

3.2: Phân tích chuyển động của hạt lỏng

3.3: Phân loại chuyển động

3.4: Các đặc trưng của trường vận tốc và trường xoáy

3.5: Phương trình liên tục

Chương IV Động lực học chất lỏng lý tưởng. 5 2 3

4.1 Ten xơ ứng suất của chất lỏng lý tưởng

4.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng

4.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng lý tưởng áp dụng

cho một đường dòng

5

Kiểm tra 1 1

5.1 Ten xơ ứng xuất của chất lỏng thực

5.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng thực không

nén

5.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng nhớt áp dụng cho

một đường dòng

5.4 Cơ sở lý thuyết đồng dạng (lý thuyết đóng tàu)

5.5 Phương pháp phân tích thứ nguyên

Chương VI Chuyển động một chiều của chất lỏng 9 6 3

6.1 Hai trạng thái chảy của chất lỏng

6.2 Phương trình Becnuli của dòng chảy nhớt biến đổi

dần

6.3 Tổn thất năng lượng

6.4 Tính toán dòng chảy tầng trong ống trụ tròn

6.5 Dòng chảy rối trong ống trụ tròn

7.1 Phân loại đường ống và công thức tính

7.2 Tính toán thủy lực đường ống dài

7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn (ống xifông và đường

ống trong bơm lytâm)

Chương VIII Chuyển động phẳng không xoáy của

Tài liệu tham khảo:

1 Cơ học chất lỏng kỹ thuật - Trường đại học Hàng hải 2003

Tác giả: Nguyễn Tất Đạt

6

2 Bài tập cơ học chất lỏng - Trường đại học Hàng hải.

Tác giả: Phạm Thế Phiệt

3.Thuỷ lực và khí động lực - Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật 1997

Tác giả: PGS.PTS Hoàng Văn Quý

4 Cơ học chất lỏng ứng dụng - Nhà xuất bản xây dựng Hà Nội 2005

Tác giả: Hoàng Văn Quý, Nguyễn Đình Lương, Lê Bá Sơn, Đỗ Hữu Thành, Lê Văn Thuận

5 Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất bản giáo dục

Tác giả: Phạm Văn Vĩnh – 2005

6 Thuỷ lực đại cương – Nhà xuất bản xây dựng1999

Tác giả: GS.TS Nguyễn Tài – PTS Tạo Ngọc Cầu

7 Thuỷ Lực: - Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp

Tác giả: Vũ Văn Tảo - Nguyễn Cảnh Cầm

8 Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật

Tác giả: Lê Danh Liên

Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:

- Thi viết dọc phách, thời ngian làm bài: 75 phút

Thang điểm:

Điểm đánh giá học phần: Z = 0.2X + 0.8Y

Bài giảng này là tài liệu chính thức và thống nhất của bộ môn Cơ học và được dùng để giảng dạy

cho sinh viên

Ngày phê duyệt:

Trưởng Bộ môn: Ths Nguyễn Hữu Dĩnh

Chương I: Một số khái niệm và phương trình cơ bản

1.1 Mở đầu:

7

* Có học chất lỏng nghiên cứu trạng thái cân bằng và chuyển động cơ học của chất lỏng và sựtương tác của chất lỏng với các vật thể tiếp xúc với nó.

* Chất lỏng bao gồm:

- Chất lỏng ở thể lỏng (chất lỏng hạt hay chất lỏng không nén đựơc) là chất lỏng có thể tíchthay đổi rất ít coi như không đổi khi thay đổi áp suất và nhiệt độ hay khối lượng riêng không đổi ρ=const Ví dụ: nước, dầu, kim loại nóng chảy…

- Chất lỏng ở thể khí (chất lỏng nén được) là chất lỏng có thể tích thay đổi khi thay đổi ápsuất và nhiệt độ Hay ρ≠ const

- Chất lỏng nhớt (µ≠0) hay chất lỏng thực

- Chất lỏng không nhớt (µ = 0) hay chất lỏng lý tưởng

- Chất lỏng Nuitơn: Là chất lỏng tuân theo quy luật về lực nhớt của Nuitơn

- Chất lỏng phi Nuitơn: là chất lỏng không tuân theo quy luật về lực nhớt của Niutơn

* Phương pháp nghiên cứu: Lý thuyết và thực nghiệm

1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng.

1.2.1 Hai giả thiết của chất lỏng.

- Chất lỏng được coi là môi trường liên tục, tức là những phần tử chất lỏng điền đầy khônggian mà không có chỗ nào trống rỗng

- Các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng như khối lượng riêng, trọng lượng riêng, áp suất vàcác đại lượng đặc trưng cho chuyển động của chất lỏng như vận tốc, gia tốc là các hàm liên tục theobiến không gian, thời gian cũng như khả vi

1.2.2 Một số tính chất cơ bản và đại lượng đặc trưng cho chất lỏng.

- Với chất lỏng không nén ρ = const

- Với chất lỏng nén được: ρ≠ const

Chú ý: Chất lỏng cân bằng (tĩnh) thì ứng suất tiếp triệt tiêu.

- Theo giả thiết NiuTơn: Khi chất lỏng chuyển động trựơt tương đối trên nhau (chảy tầng) ứngsuất tiếp tính theo công thức

- Ngoài ra tính nhớt còn được đặc trưng bởi hệ số nhớt động họcυ

- Tính chảy là sự biến dạng liên tục dưới tác dụng của lực trượt (ứng suất tiếp) dù là rất nhỏ

- Do tính di động nên chất lỏng không có hình dạng nhất định mà hình dạng phụ thuộc vàohình dạng của bình chứa

1.2.2.5 Tính thay đổi thể tích do thay đổi áp suất và nhiệt độ.

- Tính chất này gọi là tính nén được của chất lỏng Khi đó khối lượng riêng là hàm của áp suất

và nhiệt độ

- Với chất lỏng hạt xem như không nén nên gọi chất lỏng không nén khi đó ρ = const

- Với chất lỏng khí có tính nén được rõ rệt khi đó ρ ≠ const

1.2.2.6 Tính bốc hơi và tính hoà tan của chất khí trong nước.

- Bốc hơi là đặc trưng của chất lỏng hạt Nó phụ thuộc vào loại chất lỏng, áp suất, nhiệt độ…của môi trường xung quanh

9

- Chất khí có thể hoà tan vào chất lỏng với 1 lượng phụ thuộc vào chất lỏng khác nhau và ápsuất môi trường.

- Trong trường hợp áp suất thấp, chất khí hoà tan bị tách ra khỏi chất lỏng rất mạnh, chất lỏng

bị bốc hơi nhiều sôi lên sẽ gây ra hiện tượng xâm thực (khí thực) làm hư hỏng các hệ thống thuỷlực, máy thủy lực

1.3: Phân loại lực trong cơ học chất lỏng.

Tại một thời điểm t nhất định khối chất lỏng có thể tích τ giới hạn bởi mặt kín S có pháptuyến ngoài tại mỗi điểm là nr

Các lực tác dụng lên khối chất lỏng (đứng yên hoặc chuyển động) chia làm 2 loại

Về nội lực: Lực ma sát tác dụng theo phương tiếp tuyến giữa các lớp chất lỏng

- Để đặc trưng cho lực mặt người ta đưa ra khai niệm lực mặt đơn vị: prn

là lực mặt ứng vớimột đơn vị diện tích

- Véc tơ chính lực mặt tác dụng lên diện tích S:

10

p : ứng suất pháp theo phương pháp tuyến n

Có trị số ký hiệu: pnn = p gọi là áp suất

n

p τ

r

: ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến

Có trị số ký hiệu pnτ = τ gọi là nội lực ma sát

Có n là vectơ hướng vào trong của ds

Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, lực tác dụng và lực phản tác dụng tác dụng trênds

Có: p−n ds=−pn.ds

Lưu ý: nphương pháp tuyến ngoài tại mọi điểm trên diện tích S bất kỳ có vectơ ứng suất pn

Áp dụng trong hệ toạ độ Đềcác có: px , py , pz là ứng suất tại mỗi điểm trên các mặt tương

ứng nhận chiều dương trục x, y, z làm pháp tuyến ngoài

Ví dụ: px có ứng suất pháp pxx, ứngsuất tiếp pxy và

pxz

1.4 Ten xơ ứng suất.

Ta đi tìm mối quan hệ giữa pn với nr tuỳ ý và px ,

y

p



, pz tại cùng 1 điểm M trong lòng chất lỏng

- Tưởng tượng tách ra khỏi môi trường lỏng một tứ

diện yếu tố MABC sao cho:

MA = dx theo chiều dương của trục x

MB = dy theo chiều dương của trục y

MC = dz theo chiều dương của trục z

Gọi diện tích SABC = ds có pháp tuyến ngoài là nr

- Áp dụng định lý chuyển động khối tâm của thể tích lỏng

e K

W

M  =Σ

mÆt mÆt

mÆt mÆt

x

y

dz

dy dx

C

A

B

nr

p dz dx p S

p dy dx p S

dx

n z

y x

2

.2

.2

.6

6

Cho A, B, C tiến dần về M thì dx, dy, dz tiến dần đến O do đó trong biểu thức (c) thì dx, dy,

dz là vô cùng bé bậc 3 (bậc cao nhất) bỏ qua Vậy từ (c) sử dụng (b) cho ta:

ds p ds

pn = x cos , + y cos , + z cos ,

hay: pn = px.cos( )n,x + py.cos( )n,y + pzcos( )n,z (1.4.1)

Chiếu (1.4.1) lên 3 trục tọa độ:

pnx =pxx cos(n, x) + pyx cos(n, y) + pzxcos(n, z)

pny =pxy cos(n, y) + pyy cos(n, y) + pzycos(n, z) (1.4.2)

pnz =pxz cos(n, z) + pyz cos(n, y) + pzzcos(n, z)

Từ (1.4.2) nếu biết 9 thành phần trong đó:

Có 3 thành phần pxx, pyy, pzz gọi là ứng suất pháp và 6 thành phần có thể chứng minh đượctừng cặp bằng nhau:

pxy = pyx ; pxz = pzx ; pyz = pzy gọi là các thành phần ứng suất tiếp

Cho ta biết ứng suất tại 1 điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng, 9 thành phần này lập nên một matrận gọi là Tenxơ ứng suất của chất lỏng

1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất.

Ta đi thiết lập mối liên hệ giữa chuyển động của hạt lỏng với sứng suất tại một điểm bất kỳtrong lòng chất lỏng

- Giả sử tại thời điểm t tưởng tượng tách ra khỏi môi trường lỏng một thể tích lỏng τ bất kỳ

được bao bởi mặt cong kín S có pháp tuyến ngoài n tại mỗi điểm

- Áp dụng nguyên lý Đa lăm be cho thể tích τ

13

Chương II: Thuỷ tĩnh

Thuỷ tĩnh là phần cơ học chất lỏng nghiên cứu trạng thái cân bằng của chất lỏng và sự tươngtác của vật thể lỏng với vật thể tiếp xúc với nó

Có 2 trạng thái cân bằng:

- Cân bằng tuyệt đối: Là chất lỏng đứng yên trong hệ toạ độ cố định gắn với trái đất

- Cân bằng tương đối (cân bằng động) là chất lỏng tĩnh có chuyển động tương đối so với hệ

trục cố định gắn với trái đất

2.1: Ten xơ ứng suất của chất lỏng tĩnh

Ta có ứng suất tại 1 điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng:

Từ đó có: p nn n= pxcos( )n,x + pycos( )n,y +pzcos( )n,z (c)

Chiếu â lên 3 trục tọa độ Đề các với chú ý (b) ta có:

pnncos(n, x) = pxxcos(n, x)

pnncos(n, y) = pyycos(n, y)

pnncos(n, z) = pzzcos(n, z)Vậy: pxx = pyy = pzz = - p (p > 0) p: áp suất thuỷ tĩnh

Do đó Tenxơ ứng suất của chất lỏng tĩnh:

2.2: Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình cơ bản thuỷ tĩnh

2.2.1 Phương trình vi phân cân bằng Ơle

Từ phương trình chuyển động theo ứng suất dạng hình chiếu thay các thành phần ứng suất cácchất lỏng tĩnh:

p Z

b y

p Y

a x

p X

.1

.1

.1

ρρ

ρ

(II.2)

( ) ( )a.i+ b.J+( )c.k ta có dạng vectơ:

14

2.2.2 Phương trình cơ bản thuỷ tĩnh

Xét chất lỏng không nén ( ρ = const), cân bằng tuyệt

đối (lực khối chỉ là trọng lực) chọn trục z hướng lên trên

Từ giả thiết thứ hai có Fr = grad (-gz) (d)

Thay (d) vào (II22') ta có:

1grad (-gz) = gradp

p grad

ρ

const C

p

+

=+

γγ

+ Áp suất tính theo (II3b) gọi là áp suất tuyệt đối (pt) phân bố bậc nhất theo độ sâu

+ Nếu p > pa có áp suất dư pd = p - pa > 0 hay pd = γh

Nếu pa > p có áp suất chân không pCK = pa - p > 0

γCK

CK

p

h = : Chiều cao chân không

2.2.3 Ý nghĩa của phương trình cơ bản thuỷ tĩnh :

a ý nghĩa năng lượng :

zN

zM

p +

γ : Thế năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng gọi là tỷ thế năng.

Vậy theo (II23): Chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của trọng lực thì tỷ thế năng tại mọi điểm

là như nhau

2.3 Cân bằng tương đối

Trong các tiết trước ta nghiên cứu trạng thái cân bằng tuyệt đối, các phần tử lỏng không cóchuyển động tương đối với nhau cũng như đối với quả đất trong trường hợp đó lực khối chỉ là trọnglực

Trọng tiết này ta nghiên cứu trạng thái cân bằng tương đối; các phần tử lỏng không có chuyểnđộng trượt tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất Lúc này lực khối ngoài trọnglực còn có cả lực quán tính

Xét cân bằng tương đối của chất lỏng là giải quyết hai vấn đề:

2.3.2 Cân bằng tương đối của bình chứa chất lỏng chuyển động tịnh tiến thẳng ngang với gia tốc không đổi a r

a

dz=−

Tích phân biểu thức trên ta có:

c x g

a

Mặt đẳng áp là các mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc α với tgα =−g a

Mặt thoáng là mặt đẳng áp trên cùng khi chọn gốc toạ độ thuộc mặt thoáng x = 0, y = 0, z = 0

- Chuyển động nhanh dần a > 0; tgα < 0: mặt thoáng nghiêng từ trái xuống phải

- Chuyển động chậm dần a < 0; tgα > 0: mặt thoáng nghiêng từ phải xuống trái

b Sự phân bố áp suất

Theo (a): dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz)

dp = ρ(-adx - gdz)Với chất lỏng không nén ρ = const Tích phân biểu thức trên có:

Thay (d) vào (f):

Vậy áp suất vẫn tính theo phương tình cơ bản thuỷ tĩnh

2.3.3 Cân bằng tương đối của chất lỏng trong bình chứa chuyển động quay đều với vận tốc gócω quanh trục thẳng đứng qua tâm bình

Vậy ứng với mỗi giá trị C ta có một mặt đẳng áp, mặt đẳng áp là các mặt

parabolôit tròn xoay nhận trục z làm trục đối xứng

Mặt thoáng A(0, 0, zA) thuộc mặt thoáng

Thay vào phương trình mặt đẳng áp:

18

ar

x z

M1

M2h

z

y x

zA = C

2g r z

2

ρρω

2

γγ

2 1

2

γγ

2 1

2

γγ

2 1

2

γγ

R = pa.S + γ hc S (a)

Ra = pa S phân bố đều trên S đặt tại trọng tâm C của hình phẳng S

Trong thực tế kỹ thuât, hình phẳng cần xét chịu áp lực thuỷ tĩnh về một phía còn phía kia tiếpxúc với không khí nên pa đối xứng cả 2 phía vậy tính R theo áp lực dư

R = γ hc S

Trong đó hc là độ sâu trọng tâm của hình phẳng so với mặt thoáng

- Điểm đặt của áp lực: Tại D gọi là tâm áp lực

Ta đi xác định D (xD, yD)

Dựng hình:

Xét (S) trong mặt phẳng (xOy) Ox⊥ Oy

Oy: Giao của hình phẳng với mặt thoáng

β: Góc nhị diện giữa hình phẳng với mặt thoáng

D

S C D

hds x S h

x

ds h y S h

y

γγ

γγ

β

sin

sin

x h

R r

dR r

hC β

x x

ds x x

S x

xyds y

C

S D

C

S D

·

J x

S x

J y

C

Oy D C

xy D

(d)

Trong đó: Jxy: Mômen quán tính ly tâm của (S) đối với các trục x, y

JOy: Mômen quán tính của hình phẳng (S) đối với trục Oy

Theo công thức chuyển trục:

C

J

x SJ

.S

h

J h h

C

cy C

Nhận xét: Có

S h

J

C

cy

> 0Vậy trọng tâm C cao hơn tâm đẩy D

- Nếu hình phẳng có trục đối xứng Chọn x trùng trục đối xứng thì Jcy = 0 nên

yD = 0 do đó D thuộc trục đối xứng

• Đặc biệt nếu hình phẳng là hình vuông, hình chữ nhật ngoài phương pháp xác định

trên ta có thể xác định theo phương pháp đồ áp suất

• Dùng phương pháp hoá rắn cũng xác định được áp lực

Hai phương pháp vừa nêu sẽ trình bày trong phần bài tập

2.5 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong Định luật Acsimet

(cũng như trên chỉ xét áp lực dư)

2.5.1 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong S.

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có Oxy thuộc mặt thoáng, z hướng lên trên

Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên ds có phương chiều hướng vuông góc từ chất lỏng vào ds có trịsố:

21

hcx, hcy: độ sâu trọng tâm hình học của Sx, Sy so với mặt thoáng

V: Thể tích được giới hạn bởi bản thân mặt cong S, diện tích hình chiếu Sz và mặt trụ thẳngđứng được dựng tựa trên biên của mặt cong (S) (V gọi là vật áp lực)

Trong trường hợp ba thành phần áp lực nói trên có thể hợp thành một lực duy nhất thì độ lớncủa áp lực được xác định

2 2 2

z y

a Trường hợp 1: Phía trên mặt cong có chứa chất lỏng hoặc một phần có chứa chất lỏng thì

quy ước vật áp lực V mang giá trị (+) và RZ hướng thẳng đứng xuống dưới

b Trường hợp 2: Phía trên mặt cong không chứa chất lỏng hoặc một phần không chứa chất

lỏng thì quy ước vật áp lực mang dấu (-) và RZ hướng thẳng đứng lên trên

c Trường hợp 3: Nếu mặt cong có hình dạng phức tạp: Ta chia nhỏ nhiều đoạn đơn giản để

A B

C

DB

y z

C D

c a

A

B

RzV

RZ: Là thành phần thẳng đứng

x x

z z

R = "− '

+ Xét thành phần nằm ngang: Ví dụ trục x có:

Rx' = γhcx'Sx’ (áp lực từ trái sang phải)

Rx" = γhcx"Sx" (áp lực từ phải sang trái)

Ta có:

Rx' = Rx" (do Sx' = Sx"; h'cx = hcx")

Vậy Rx = Rx’ - Rx" = 0

Tương tự Ry = 0

+ Xét thành phần thẳng đứng Rz theo kết quả mục trên (I)

R'z = γVABCca (hướng thẳng đứng xuống dưới)

Rz" = γ VADCca (hướng thẳng đứng lên trên)

Vậy: R = γ (VADCca - VABCca) = γVABCD = γV

Chú ý: Định luật ácsimet cũng vẫn đúng cho vật nổi, tức là vật không bị chìm hoàn toàn mànổi trên mặt tự do của chất lỏng Lúc đó thể tích chất lỏng mà vật thể chiếm chỗ là phần chìm củavật

2.6: Cân bằng ổn định của vật trong chất lỏng

2.6.1 Sự nổi của vật

Xét vật trong lòng chất lỏng chịu hai lực có phương thẳng đứng chiều ngược nhau

- Lực đẩy Acsimet Rđặt tại D hướng lên

- Trọng lực Gr đặt tại C hướng xuống

Có 3 trường hợp cân bằng của vật

+ R = G; ( )R,G ~ 0 : Vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng

+ G < R: Vật nổi lên trên mặt thoáng, lúc đó R giảm đến giá trị R' = G:

Vật cân bằng trên mặt thoáng

- Vị trí cân bằng của vật thể gọi là ổn định nếu vật bị lệch đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu mộtlượng đủ nhỏ nó không lệch quá đi giới hạn đã định và đặc biệt nó có thể trở về trạng thái cân bằngban đầu.

- Vị trí cân bằng của vật thể gọi là không ổn định nếu nó bị lệch đi một lượng dù nhỏ, nó sẽlệch đi quá giới hạn đã định và không trở về trạng thái cân bằng ban đầu

- Vị trí cân bằng của vật thể là phiếm định nếu sau khi bị lệch vật cân bằng ở vị trí mới

b Tính ổn định của vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng

Khi vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng ( )R,G ~ 0 hay R, G cùng phương, ngược chiều,cùng trị số

Khi có ngoại lực tức thời tác động vào vật làm vật nghiêng đi thì vị trí tương đối của trọngtâm C và tâm đầy D sẽ quyết định tới tính ổn định của vật

- C thấp hơn D: Khi vật nghiêng với góc nghiêng đủ nhỏ hay Mngh đủ nhỏ thì R, G tạo thànhngẫu có mômen ngẫu ngược chiều mômen nghiêng đẩy vật trở lại trạng thái cân bằng ban đầu,trường hợp này vật cân bằng ổn định

- C cao hơn D: Khi vật bị nghiêng với mômen Mngh đủ lớn thì R, G tạo thành ngẫu cómômen ngẫu cùng chiều mômen nghiêng càng đẩy vật bị nghiêng, trường hợp này cân bằng không

ổn định

- C trùng D: R, G trực đối vậy vật cân bằng tại vị trí nghiêng trường hợp này cân bằngphiếm định

c Ổn định của vật nổi cân bằng trên mặt thoáng chất lỏng

- Trường hợp này C cao hơn D cân bằng vẫn ổn định

- Xét cân bằng ổn định của vật nổi khi C cao hơn D

- Một số định nghĩa

Khi vật nổi ở trạng thái cân bằng: Mặt nổi (S) là giao diện của

mặt thoáng với vật nổi lúc cân bằng ban đầu

- Mớn nước: là đường bao của mặt nổi

- Trục nổi ∆ là đường vuông góc với mặt nổi và đi qua trọng tâm

C của vật

- Trục quay: Giả thiết ở lân cận mặt nổi các đường sinh

song song với trục nổi khi lệch vật bị quay quanh một trục nằm

trên mặt nổi gọi là trục quay

- Tâm định khuynh: M là giao điểm của trục nổi và đường

tác dụng của lực đẩy khi vật bị nghiêng

- Độ lệch tâm e DC= (D là tâm đẩy ban đầu)

D

M C

D’

- M cao hơn C (hM > 0 hay ρ > e) khi vật bị nghiêng dưới tác dụng của mômen nghiêng đủ

nhỏ ngẫu R, Gcó xu hướng đẩy vật trở về trạng thái cân bằng lúc đầu ta có vật nổi cân bằng ổnđịnh

- M thấp hơn C (hM < 0 hay ρ < e) khi vật bị nghiêng dưới tác dụng của mômen nghiêng đủ

lớn ngẫu R, Gcó xu hướng làm vật càng nghiêng đi, ta có vật nổi cân bằng không ổn định

- M trùng C (hM = 0 hay ρ = e) ( )R,G ~ 0 vật cân bằng tại vị trí nghiêng Ta có vật nổi cânbằng phiếm định

Kết luận: Vật cân bằng ổn định khi ρ > e

26

Câu hỏi ôn tập và bài tập

3- Các giả thiết của chất lỏng

4- Phân loại lực trong cơ học chất lỏng

5- Viết giải thích tenxơ ứng suất của: Chất lỏng tổng quát, chất lỏnh cân bằng Trình bày áp suất

thuỷ tĩnh

6- Phương trình cơ bản thuỷ tĩnh:

- Tĩnh tuyệt đối: Thành lập, công thức, ý nghĩa

- Tĩnh tương đối: Công thức

Vẽ biểu đồ phân bố áp suất lên thành và đáy bình trong trường hợp bình chứa chất lỏng chưachuyển động, chuyển động tịnh tiến với gia tốc không đổi và quay quanh trục quay cố định với giatốc không đổi

7- Định nghĩa, viết phương trình mặt đẳng áp Áp dụng tìm mặt đẳng áp trong trường hợp

- Bình chứa chuyển động tịnh tiến với gia tốc không đổi

- Bình chứa chuyển động quay quanh trục cố định với vận tốc góc không đổi

8- Viết, biểu diễn, giải thích áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên thành rắn: Phẳng và cong Ví dụ áp dụng 9- Phát biểu định luật Acsimet.Ví dụ áp dụng

10- Trình bày cân bằng ổn định của vật thể rắn trong hai trường hợp:

- Lơ lửng trong chất lỏng

- Nổi trên mặt thoáng của chất lỏng

Bài tập

1- Xác định áp suất dư của không khí bị nén trong bình theo các chỉ số của áp kế thuỷ ngân gồm hai

ống chữ U cho trên hình 1 Cho h0 = 2,5m, h1 = 0,9m, h2 = 2m, h3 = 0,7m; h4 = 1,8m Trọng lượngriêng của nước là γ1 =9,8kN/m3, của thủy ngân là γ2 = 1,36 γ1

2- Xác định đô chênh áp giữa 2 tâm của ống A và B

nếu cho biết độ chênh theo phương thẳng đứng giữa

hai tâm h = 20 cm, các mức ngăn cách giữa nước và

dầu trong ống đo chữ U biểu diễn như hình 2 Dầu có

3- Xác định áp lực d và vẽ biểu đồ áp suất của nớc tác dụng lên

thành chữ nhật phẳng có chiều rộng b = 10 m, đặt nghiêng một

góc α =60o nh hình vẽ Chiều sâu mực nớc từ phía trái ( phía

trớc thành phẳng) h1 = 8 m và từ phía phải h2 = 5m Trọng lợng

riêng của nớc là γ =1000kg/m3

4- Một cửa van chắn ngang kênh đợc đặt

nghiêng dới một góc α =45o và đợc quay

quanh một ổ trục A đặt trên mặt nớc nh

hình vẽ bên Xác định lực cần thiết F phải

đặt vào dây tời để mở cửa Nếu chiều rộng

cửa b = 2m, chiều sâu mực nớc trớc cửa H1

= 2,5m và sau cửa H2 = 1,5 m ổ trục đặt

cao hơn mực nớc một khoảng cách H3 = 1

m Bỏ qua trọng lợng cửa van và lực ma sát

trong ổ trục

5- Cỏc pớttụng nộn nước trong bể chứa cho

trong hỡnh 5 phải cú trọng lượng từng chiếc bằng

bao nhiờu để vị trớ cõn bằng cú cỏc vị trớ như hỡnh

vẽ 5? Biết rằng ỏp suất trong hỡnh chỉ ỏp suất dư

là 0,6 at ỏp suất dư trong ỏp kế và độ sõu cỏc

pittụng sẽ là bao nhiờu khi pittụng ở bờn phải chịu

trong cỏc trường hợp sau

1/ Hỡnh phẳng cú dạng tam giỏc với đỏy là a trựng

với mặt thoỏng và chiều cao h

2/ Hỡnh phẳng cú dạng chữ nhật với đỏy a trựng

với mặt thoỏng và chiều cao h

3/ Hỡnh thang cú đỏy lớn a trựng với mặt thoỏng

đỏy nhỏ b và chiều cao h

8- Khỳc gỗ hỡnh hộp chữ nhật cú kớch thước cho trờn hỡnh 7 với L = 10 m; B = 4m; T = 2m nổi trờn

mặt nước, khụng cú gúc chờnh nhưng cú gúc lệch θ = 300 Xỏc định ỏp lực thuỷ tĩnh của nước ngọtlờn cỏc mặt bờn, mặt đỏy và mặt đầu của khỳc gỗ

9- Phao hỡnh trụ nổi trờn nước biển cú mớn

nước cực đại là T = 2,18m và gúc chờnh là

ψ = 100, một đầu của phao bị ngập một nửa

diện tớch trong nước (Xem hỡnh 8) Xỏc định

ỏp lực nước tĩnh lờn cỏc mặt ở đầu phao nếu

đường kớnh phao là D = 2m và trọng lượng

riờng nước biển là:

γ = 1025KG/m3

10- Tường thẳng đứng bằng đỏ cú

trọng lượng riờng γ0 và cao H0, mức

chất lỏng cú trọng lượng riờng γ ở 2

phớa của tường là H1 và H2 xỏc định

chiều dày b của tường để nú khụng

bị lật.(H1 > H2)

11- Xác định lực căng của lò xo BC để giữ cánh cửa tròn

AB ở vị trí đóng kín ( chỉ tính áp lực d ) Biết cánh cửa AB

có thể quay quanh trục trùng với đờng kính vuông góc với

mặt phẳng hình vẽ Cho d = 40 cm, áp suất trên mặt thoáng

là áp suất khí trời, trọng lợng riêng của nớc γn =9810

N/m3

12- Cánh cống cong là một phần t trụ tròn có bán kính

đáy là R = 2 m; Chiều rộng không đổi L = 4m có thể

quay xung quanh khớp quay O nh hình 10 Đỉnh cống

nằm dới mực nớc 5,0m Nếu bỏ qua trọng lợng cánh

γ (H 9)

O

a

p

Bản lề

cống, tính lực R để đóng đợc cánh cống? áp suất trên mặt thoáng là áp suất khí trời, trọng lợng

riêng của nớc γn =9810N/m3

13- Ngời ta lồng vào thành bình chứa chất lỏng một quả

qua tâm trụ và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Một nửa

của cầu luôn luôn ngập trong chất lỏng Theo định luật

Acsimét, áp lực sẽ tác dụng lên nửa cầu này theo phơng

sao? Tính tổng áp lực d của chất lỏng tác động vào quả

cầu và tìm điểm đặt của áp lực?

Cho: bán kính quả cầu r = 0,5m;; h = 20 m,

14- Một phần t hình trụ ngập trong chất lỏng là nớc có

bán kính trụ R = 0,5m, chiều dài đờng sinh L = 2m ( đờng

sinh vuông góc với mặt phẳng hình vẽ) Biết chất lỏng có γn =

9810 N/m3, độ cao cột nớc a = 0,7m, H = 0,3m, độ cao cột

thuỷ ngân hHg = 0,2 m, cho γHg =13,5γn Tìm:

1/ áp suất d pod trên mặt thoáng của bình ?

2/ áp lực d P d của nớc tác dụng lên một phần t trụ

a H

R

2/ áp lực d P d của nớc tác dụng lên một phần t mặt cầu?

17- Ngời ta đậy một lỗ tròn ở đáy bể chứa bằng quả

cầu có trọng lợng G; bán kính quả cầu bằng R; mức

n-ớc từ mặt thoáng đến đáy bình h = 4R , cho y = R/2

Tính lực Q cần thiết để nâng quả cầu lên Biết thể tích

của chỏm cầu tính theo công thức:

18- Tính áp lực thuỷ tĩnh d của nớc tác dụng lên bề mặt cong của 1/2

hình nón ngập trong nớc có bán kính đáy R = 0,2 m, chiều cao nón h

= 0,4m Biết nửa hình nón ngập trong chất lỏng có độ sâu H = 0,7m,

20- Xác định mớn nước T của khối lập phương cạnh a có trọng lượng riêng γ0 ngập trong hai chấtlỏng có trọng lượng riêng γ1 và γ2 với γ2 > γ0 > γ1

21- Phao đặt trong chất lỏng chứa trong bình hình trụ Bình nổi trong chất lỏng cùng loại Biết tỉ số

2

1

z

z

k = , trọng lượng bình là G1, trọng lượng chất lỏng trong bình là G2 Tính trọng lượng phao.

22- Xác định vị trí của mặt dầu trong khoang đựng dầu hở của tàu thuỷ khi nó chuyển động chậm

dần đều trước lúc dừng hẳn với gia tốc a = 0,30 m/s2 Kiểm tra xem dầu có bị tràn ra ngoài khôngnếu khi tàu chuyển động đều dầu ở cách mép thành e = 16cm khoang tàu dài l = 8m

23- Tàu chở dầu chạy trên đường thẳng ngang tăng tốc độ từ 7 đến 14 hải lý giờ trong 36,7 giây Bể

dầu hình hộp chữ nhật rộng b = 4m, dài l = 10m, cao h = 6m Lúc đứng yên chiều cao của dầu là h0

= 0,8h, trọng lượng riêng của dầu là γ = 8000N/m3 Tính áp lực thuỷ tĩnh lên thành trước và thànhsau của bể

24- Tàu và bể dầu kích thước như bài trên chạy trên đường vòng bán kính R = 200m với vận tốc

không đổi v = 14 hải lý/giờ Bỏ qua độ nghiêng của tàu, tính áp lực thuỷ tĩnh lên thành ngoài vàthành trong của bể dầu

25- Phao hình trụ tròn bán kính R =1 m trọng lượng G1 = 1500kG, độ cao trọng tâm so với đáy z1 =0,5 m Xác định độ cao tối đa của tải trọng để phao cân bằng ổn định, nếu tải trọng phụ có trọnglượng G2 = 300kG và đặt trên trục đối xứng của phao

z1

z2

1m; tải trọng có tỉ trọng bằng 2 coi như san đều trong sà lan Trọng lượng riêng của nước γ =9800N/m3.

Trọng lượng sà lan khi không có tải trọng 2 780 000N, trọng tâm sà lan lúc đó cao hơn đáy1,8m.(Thực tế kích thước trên đây là của một tàu thuỷ, nhưng ta coi như một sà lan để đơn giản tínhtoán)

t c b a y

y

t c b a x

x

, , ,

, , ,

, , ,

t z y x v v

t z y x u u

, , ,

, , ,

, , ,

(3.1.2.)

Trong đó: x, y, z biểu thị tọa độ của không gian mà chất lỏng chuyển động trong đó

Từ (3.1.2) cho trước, đặt t = const và cho x, y, z các giá trị khác nhau ta sẽ nhận được trườngvận tốc tại thời điểm t ngược lại nếu cho x, y, z một trị số xác định nhưng biến đổi ta sẽ khảo sátđược sự biến đổi theo thời gian của vận tốc tại một điểm

v u x

v t

v

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

3.2: Phân tích chuyển động của hạt lỏng

Vận tốc tại điểm M trong hạt lỏng được biểu diễn qua vận tốctại điểm O trong hạt lỏng đó như sau:

Định luật Hemhôn

dạng: Chuyển động tịnh tiến, chuyển động quay và chuyển

v

r

O1

v r M

bd MO O

9 thành phần exx , exy , exz , eyx , eyy , eyz , ezx, ezy , ezz cho ta biết vận tốc biến dạng ở lân cận điểm

O 9 thành phần này lập lên một ma trận gọi là Ten xơ vận tốc biến dạng lấy tại điểm O

v e

e xy yx

21

w e

e yz zy

21

u e

e zx xz

21

gọi là các vận tốc biến dạng góc

35

Đặc biệt nếu grad F = 0 tức vật thể khụng biến dạng, ta cú cụng thức tớnh vận tốc của điểmthuộc vật rắn tuyệt đối.

MO O

V =  + 

3.3: Phõn loại chuyển động

3.3.1 Chuyển động dừng (ổn định), chuyển động khụng dừng (khụng ổn định).

- Chuyển động dừng (ổn định) là chuyển động mà cỏc yếu tố đặc trưng cho dũng chảy khụng

phụ thuộc vào thời gian hay =0

- Chuyển động khụng dừng (khụng ổn định) là chuyển động mà cỏc yếu tố đặc trưng cho dũng

chảy phụ thuộc vào thời gian hay ≠0

Ở dũng chảy dừng: Nếu sự phõn bố vận tốc trờn mặt cắt ngang khụng đổi dọc theo dũng chảy

ta cú dũng chảy đều Ngược lại nếu sự phõn bổ vận tốc trờn mặt cắt ngang thay đổi ta cú dũng chảykhụng đều

Dòng chảy đều Dòng chảy không đều

3.3.2 Chuyển động cú ỏp và chuyển động khụng cú ỏp

- Chuyển động của dũng chất lỏng cú mặt thoỏng là chuyển động khụng ỏp

- Chuyển động của dũng chất lỏng khụng cú mặt thoỏng là chuyển động cú ỏp

3.3.3 Chuyển động xoỏy và chuyển động khụng xoỏy

- Chuyển động cú xoỏy tại một thời điểm nếu vectơ xoỏy Ω =rot.v≠0 tại thời điểm đú, cũnnếu Ω =0tại 1 điểm thỡ tại đú chuyển động là khụng xoỏy

Trong một dũng chất lỏng cú thể cú chỗ xoỏy cú chỗ khụng xoỏy Nếu Ω ≠0 trong một miềnnào đú thỡ ta cú một trường xoỏy

3.3.4 Chuyển động cú thế và chuyển động khụng cú thế

- Chuyển động của chất lỏng gọi là cú thế nếu tồn tại một hàm vụ hướng ϕ ( x , y , z , t ) sao cho:

ϕ gọi là hàm thế

Vậy chuyển động có thế là chuyển động tồn tại hàm thế ϕ và chuyển động không có thế làchuyển động không tồn tại hàm thế ϕ

Chú ý: Chuyển động không xoáy là chuyển động có thế và ngược lại

3.4: Các đặc trưng của trường vận tốc và trường xoáy

3.4.1 Các đặc trưng của trường vận tốc

1 Đường dòng và quỹ đạo

- Đường dòng:

Trong trường vận tốc tại một thời điểm t nhất định ta sẽ vẽ được một đường cong đi qua cáchạt lỏng sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm trên đường cong sẽ trùng phương với vận tốc của hạt lỏngtại điểm đó, đường cong đó gọi là đường dòng

z y x v

dy t

,,,

dt v r

d=.hay dx = u.dt

dy = v dt

dz = w.dt

dz t

z y x v

dy t

z y x

u

dx

,,,,

,,,

,, = = là phương trình quỹ đạo, trong đó t là một biếnđộc lập

Chú ý: + Hai đường dòng không bao giờ cắt nhau

+ Trong chuyển động dừng thì quỹ đạo và đường dòng trùng nhau

2 Mặt dòng, ống dòng, dòng nguyên tố, dòng chảy

Tại một thời điểm t, nếu L là đường cong không phải là đường dòng,

qua mỗi điểm trên L ta vẽ một đường dòng, tập hợp các đường dòng này tạo

thành mặt cong gọi là mặt dòng Khi L kín các đường dòng tạo thành ống

dòng, ống dòng vô cùng bé gọi là dòng nguyên tố Tập hợp vô số các dòng

nguyên tố gọi là dòng chảy tầng

3 Mặt cắt ướt

Mặt cắt ướt là mặt cắt thẳng góc với tất cả các đường dòng

37L

v

Mặt cắt ướt phẳng nếu các đường dòng là các đường thẳng song song, và là mặt cong nếu cácđường dòng uốn cong song song.

vn : Hình chiếu vận tốc lên phương pháp tuyến ngoài của S

- Đặc biệt lưu lượng chuyển qua mặt cắt ướt:

Với mặt cắt ướt vn = v

Nên =∫∫

S

ds v

5 Lưu tốc (vận tốc trung bình): vTB

Vận tốc trung bình trên mặt cắt ướt là lưu lượng chuyển qua một

đơn vị diện tích của mặt cắt ướt

Q

3.4.2 Các đặc trưng của trường xoáy:

1 Đường xoáy, ống xoáy, dây xoáy

- Đường xoáy: Trong trường xoáy tại một thời điểm t nhất định, ta vẽ được một đường cong

đi qua các hạt lỏng sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng phương với vectơ xoáy Ω của hạt lỏng tạithời điểm đó, đường cong đó gọi là đường xoáy

Phương trình vi phân của đường xoáy:

z y x

dz dy

dx

Ω

=Ω

=

Ω

- Ống xoáy, dây xoáy:

Tại một thời điểm t nhất định, qua mỗi điểm trên đường cong L không phải là đường xoáy tadựng được một đường xoáy, tập hợp các đường xoáy này tạo nên mặt xoáy, nếu L là đường congkín thì mặt xoáy giới hạn một ống xoáy

Ống xoáy có diện tích mặt cắt ngang vô cùng bé gọi là dây xoáy

vn

Trong đó: l dlà yếu tố của đường cong AB

Vl: Hình chiếu của vectơ vận tốc lên phương tiếp tuyến của đường cong

S

l d v ds n v rot ds

τ: Thể tích vật biến dạng, S là mặt cong kín bao quanh τ

a: Đại lượng cơ học (có thể có hướng hoặc vô hướng)

vn: Hình chiếu vectơ vận tốc lên phương pháp tuyến ngoài của mặt S

( )n x v ( )n y w ( )n z u

n v

v n =.= cos , + cos , + cos ,

v

α

v x

u

(3.5.1a)

hay div v = 0

Đây là phương trình liên tục dạng vi phân cho chất lỏng không nén

- Phương trình liên tục dạng hữu hạn cho chất lỏng không nén: từ điều kiện ρ = const Thayvào (b) suy ra:

n S

2 2 1 1

S S

ds v ds v