CƠ học CHẤT LỎNG

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN BỘ MÔN: CƠ HỌC CƠ HỌC CHẤT LỎNG TÊN HỌC PHẦN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : CƠ HỌC CHẤT LỎNG : ĐẠI HỌC CHÍNH QUI HẢI PHÒNG -2015 MỤC LỤC STT NỘI DUNG Một số khái niệm phương trình 1.1 Mở đầu 1.2 Các giả thiết, tính chất đại lượng đặc trưng cho chất lỏng 1.3 Phân loại lực học chất lỏng 1.4 Ten xơ ứng suất 1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất Thuỷ tĩnh 2.1 Ten xơ ứng suất chất lỏng tĩnh 2.2 Phương trình vi phân cân Ơle phương trình thuỷ tĩnh 2.3 Cân tương đối 2.4 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên hình phẳng 2.5 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong Định luật Acsimet 2.6 Cân ổn định vật chất lỏng Động học chất lỏng 3.1 Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động chất lỏng 3.2 Phân tích chuyển động hạt lỏng 3.3 Phân loại chuyển động 3.4 Các đặc trưng trường vận tốc trường xoáy 3.5 Phương trình liên tục Động lực học chất lỏng lý tưởng 4.1 Ten xơ ứng suất chất lỏng lý tưởng 4.2 Phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng 4.3 Phương trình Becnuli chất lỏng lý tưởng áp dụng cho đường dòng Động lực học chất lỏng thực 5.1 Ten xơ ứng xuất chất lỏng thực 5.2 Phương trình chuyển động chất lỏng thực không nén 5.3 Phương trình Becnuli chất lỏng nhớt áp dụng cho đường dòng 5.4 Cơ sở lý thuyết đồng dạng (lý thuyết đóng tàu) 5.5 Phương pháp phân tích thứ nguyên Chuyển động chiều chất lỏng không chịu nén 6.1 Hai trạng thái chảy chất lỏng 6.2 Phương trình Becnuli dòng chảy nhớt biến đổi dần 6.3 Định lý động lượng định lý mômen động lượng 6.4 Tổn thất lượng 6.5 Tính toán dòng chảy tầng ống trụ tròn 6.6 Dòng chảy rối ống trụ tròn 6.7 Tổn Thất cột nước ống nhám Tính toán thủy lực đường ống 7.1 Phân loại đường ống công thức tính 7.2 Tính toán thủy lực đường ống dài 7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn với đường ống ngắn phải tính hd hc Chuyển động phẳng không xoáy chất lỏng lý tưởng 8.1 Bổ túc số phức 8.2 Hàm dòng – Hàm – Hàm phức 8.3 Một số dòng không xoáy TRANG 7 10 11 13 13 13 15 18 20 23 33 33 34 35 36 38 43 43 43 45 51 51 52 53 54 57 61 61 62 64 67 70 72 75 82 82 83 89 93 93 96 98 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 Lý thuyết cánh Khái niệm cánh Áp dụng phép biến hình Xác định lưu số vận tốc Hai công thức Traphighin Định lý Giucôpxki - công thức tính M0 Các prôphin lý thuyết 108 108 109 111 112 113 116 YÊU CẦU VÀ NỘI DUNG CHI TIẾT Tên học phần: CƠ CHẤT LỎNG Loại học phần: Bộ môn phụ trách giảng dạy: Bộ môn Cơ học Mã học phần: 22204 Tổng số TC: TS tiết Lý thuyết TH/ Xêmina Tự học Bài tập lớn Đồ án 45 45 0 0 Điều kiện tiên quyết: Sinh viên phải học xong Toán học cao cấp Cơ học lý thuyết Mục đích học phần: + Cung cấp kiến thức chuyển động học chất lỏng + Rèn luyện tư khoa học Nội dung chủ yếu: Gồm phần: Các kiến thức chuyển động học chất lỏng Các chuyên đề riêng cho ngành học Nội dung chi tiết học phần: PHÂN PHỐI SỐ TIẾT TÊN CHƯƠNG MỤC TS LT BT TH KT Chương I Mở đầu 4 1.1 Mở đầu: 1.2 Các giả thiết, tính chất đại lượng đặc trưng cho chất lỏng 1.3 Phân loại lực học chất lỏng 1.4 Ten xơ ứng suất 1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất Chương II Thuỷ tĩnh 13 2.1 Ten xơ ứng suất chất lỏng tĩnh 2.2 Phương trình vi phân cân Ơle phương trình thuỷ tĩnh 2.3 Cân tương đối 2.4 Cân chất lỏng nén 2.5 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên hình phẳng 2.6 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong Định luật Acsimet 2.7 Cân ổn định vật chất lỏng Kiểm tra Chương III Động học chất lỏng 3 3.1 Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động chất lỏng 3.2: Phân tích chuyển động hạt lỏng 3.3: Phân loại chuyển động 3.4: Các đặc trưng trường vận tốc trường xoáy 3.5: Phương trình liên tục Chương IV Động lực học chất lỏng lý tưởng 4.1 Ten xơ ứng suất chất lỏng lý tưởng 4.2 Phương trình chuyển động chất lỏng lý tưởng 4.3 Phương trình Becnuli chất lỏng lý tưởng áp dụng cho đường dòng Kiểm tra Chương V Động lực học chất lỏng thực 5.1 Ten xơ ứng xuất chất lỏng thực 5.2 Phương trình chuyển động chất lỏng thực không nén 5.3 Phương trình Becnuli chất lỏng nhớt áp dụng cho đường dòng 5.4 Cơ sở lý thuyết đồng dạng (lý thuyết đóng tàu) 5.5 Phương pháp phân tích thứ nguyên Kiểm tra Chương VI Chuyển động chiều chất lỏng 6.1 Hai trạng thái chảy chất lỏng 6.2 Phương trình Becnuli dòng chảy nhớt biến đổi dần 6.3 Tổn thất lượng 6.4 Tính toán dòng chảy tầng ống trụ tròn 6.5 Dòng chảy rối ống trụ tròn 6.6 Tổn Thất cột nước ống nhám 6.7 Động lượng, phương trình động lượng dòng chảy 6.8 Ví dụ 1 Kiểm tra Chương VII Tính toán thủy lực đường ống 5 5 7.1 Phân loại đường ống công thức tính 7.2 Tính toán thủy lực đường ống dài 7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn (ống xifông đường ống bơm lytâm) Chương VIII Chuyển động phẳng không xoáy chất lỏng lý tưởng không nén 8.1 Bổ túc số phức 8.2 Hàm dòng – Hàm – Hàm phức 8.3 Một số dòng không xoáy Chương IX Lý thuyết cánh 9.1 Khái niệm cánh 9.2 Áp dụng phép biến hình 9.3 Xác định lưu số vận tốc Γ 9.4 Hai công thức Traphighin 9.5 Định lý Giucôpxki - công thức tính M0 9.6 Các prôphin lý thuyết Nhiệm vụ sinh viên: Lên lớp đầy đủ chấp hành quy định nhà trường Làm tập lớn hạn Tài liệu tham khảo: Cơ học chất lỏng kỹ thuật - Trường đại học Hàng hải 2003 Tác giả: Nguyễn Tất Đạt Bài tập học chất lỏng - Trường đại học Hàng hải Tác giả: Phạm Thế Phiệt 3.Thuỷ lực khí động lực - Nhà xuất khoa học kỹ thuật 1997 Tác giả: PGS.PTS Hoàng Văn Quý Cơ học chất lỏng ứng dụng - Nhà xuất xây dựng Hà Nội 2005 Tác giả: Hoàng Văn Quý, Nguyễn Đình Lương, Lê Bá Sơn, Đỗ Hữu Thành, Lê Văn Thuận Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất giáo dục Tác giả: Phạm Văn Vĩnh – 2005 Thuỷ lực đại cương – Nhà xuất xây dựng1999 Tác giả: GS.TS Nguyễn Tài – PTS Tạo Ngọc Cầu Thuỷ Lực: - Nhà xuất đại học trung học chuyên nghiệp Tác giả: Vũ Văn Tảo - Nguyễn Cảnh Cầm Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất khoa học kỹ thuật Tác giả: Lê Danh Liên Hình thức tiêu chuẩn đánh giá sinh viên: - Thi viết dọc phách, thời ngian làm bài: 75 phút Thang điểm: Điểm đánh giá học phần: Z = 0.2X + 0.8Y Bài giảng tài liệu thức thống môn Cơ học dùng để giảng dạy cho sinh viên Ngày phê duyệt: Trưởng Bộ môn: Ths Nguyễn Hữu Dĩnh Chương I: Một số khái niệm phương trình 1.1 Mở đầu: * Có học chất lỏng nghiên cứu trạng thái cân chuyển động học chất lỏng tương tác chất lỏng với vật thể tiếp xúc với * Chất lỏng bao gồm: - Chất lỏng thể lỏng (chất lỏng hạt hay chất lỏng không nén đựơc) chất lỏng tích thay đổi coi không đổi thay đổi áp suất nhiệt độ hay khối lượng riêng không đổi ρ= const Ví dụ: nước, dầu, kim loại nóng chảy… - Chất lỏng thể khí (chất lỏng nén được) chất lỏng tích thay đổi thay đổi áp suất nhiệt độ Hay ρ ≠ const - Chất lỏng nhớt (µ ≠0) hay chất lỏng thực - Chất lỏng không nhớt (µ = 0) hay chất lỏng lý tưởng - Chất lỏng Nuitơn: Là chất lỏng tuân theo quy luật lực nhớt Nuitơn - Chất lỏng phi Nuitơn: chất lỏng không tuân theo quy luật lực nhớt Niutơn * Phương pháp nghiên cứu: Lý thuyết thực nghiệm 1.2 Các giả thiết, tính chất đại lượng đặc trưng cho chất lỏng 1.2.1 Hai giả thiết chất lỏng - Chất lỏng coi môi trường liên tục, tức phần tử chất lỏng điền đầy không gian mà chỗ trống rỗng - Các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng khối lượng riêng, trọng lượng riêng, áp suất đại lượng đặc trưng cho chuyển động chất lỏng vận tốc, gia tốc hàm liên tục theo biến không gian, thời gian khả vi 1.2.2 Một số tính chất đại lượng đặc trưng cho chất lỏng 1.2.2.1 Tính có khối lượng - Chất lỏng có khối lượng., đại lượng đặc trưng khối lượng riêng chất lỏng ký hiệu ρ - ρ= dm dτ - Khối lượng riêng chất lỏng khối lượng đơn vị thể tích lỏng loại - Đơn vị: kg/m3 - Với chất lỏng không nén ρ = const - Với chất lỏng nén được: ρ ≠ const 1.2.2.2 Tính có trọng lượng - Đại lượng đặc trưng: trọng lượng riêng chất lỏng kí hiệu γ - γ= dP dτ - Trọng lượng riêng chất lỏng trọng lượng đơn vị thể tích lỏng loại - Đơn vị: N/m3 - Mối liên hệ γ ρ: γ= dP dmg = = g.ρ dτ dτ 1.2.2.3 Tính nhớt - Tính nhớt tính chất chất lỏng cản trở chuyển động trượt lớp chất lỏng có lực ma sát Lực ma sát đơn vị diện tích gọi ứng suất tiếp Vậy nói: Tính nhớt tính làm nảy sinh ứng suất tiếp lớp chất lỏng chuyển động Chú ý: Chất lỏng cân (tĩnh) ứng suất tiếp triệt tiêu - Theo giả thiết NiuTơn: Khi chất lỏng chuyển động trựơt tương đối (chảy tầng) ứng suất tiếp tính theo công thức τ = µ du dy Trong đó:µ: đại lượng đặc trưng cho tính nhớt gọi hệ số nhớt động lực - phụ thuộc vào nhiệt độ (nhiệt độ tăng độ nhớt giảm) Đơn vị µ: Ns m2 - Ngoài tính nhớt đặc trưng hệ số nhớt động học υ υ= µ ρ Đơn vị υ : m2/s - Chất lỏng tính nhớt (µ = , υ = 0) gọi chất lỏng lý tưởng - Chất lỏng có tính nhớt (µ ≠0 , υ ≠0) gọi chất lỏng nhớt hay chất lỏng thực 1.2.2.4 Tính di động (tính chảy) - Tính chảy biến dạng liên tục tác dụng lực trượt (ứng suất tiếp) dù nhỏ - Do tính di động nên chất lỏng hình dạng định mà hình dạng phụ thuộc vào hình dạng bình chứa 1.2.2.5 Tính thay đổi thể tích thay đổi áp suất nhiệt độ - Tính chất gọi tính nén chất lỏng Khi khối lượng riêng hàm áp suất nhiệt độ - Với chất lỏng hạt xem không nén nên gọi chất lỏng không nén ρ = const - Với chất lỏng khí có tính nén rõ rệt ρ ≠ const 1.2.2.6 Tính bốc tính hoà tan chất khí nước - Bốc đặc trưng chất lỏng hạt Nó phụ thuộc vào loại chất lỏng, áp suất, nhiệt độ… môi trường xung quanh - Chất khí hoà tan vào chất lỏng với lượng phụ thuộc vào chất lỏng khác áp suất môi trường - Trong trường hợp áp suất thấp, chất khí hoà tan bị tách khỏi chất lỏng mạnh, chất lỏng bị bốc nhiều sôi lên gây tượng xâm thực (khí thực) làm hư hỏng hệ thống thuỷ lực, máy thủy lực 1.3: Phân loại lực học chất lỏng Tại thời điểm t định khối chất lỏng tích τ giới hạn mặt kín S có pháp r tuyến điểm n Các lực tác dụng lên khối chất lỏng (đứng yên chuyển động) chia làm loại 1.3.1 Lực khối - Lực khối lực tác dụng lên hạt lỏng không phụ thuộc vào hạt lỏng khác - Ví dụ: Trọng lực, lực quán tính  - Để đặc trưng cho khối lượng người ta đưa khái niệm lực khối đơn vị ( F ) lực khối tác dụng đơn vị khối lượng thể tích lỏng   Ví dụ: Trọng lực đơn vị: P = − gk (nếu z hướng thẳng đứng lên trên)   Lực quán tính đơn vị Fqt = −a  - Vec tơ lực khối tác dụng lên thể tích lỏng τ: Fkhèi r  F Fkhèi = ∫∫∫ ρdτ (1.3.1) τ - Lực khối có thế: Lực khối gọi tồn hàm vô hướng U(x,y,z,t) gọi lực cho:  F = − gradU Hay: X = − ∂U ; ∂x Y =− ∂U ∂y ; Z =− ∂U ∂z (a) Ví dụ: Trọng lực lực    F = P dv = − gk Thay vào (a) tích phân tìm U = g.z + c (c số tuỳ ý) 1.3.2 Lực mặt Lực mặt lực tác động lên mặt giới hạn thể tích ta xét Ví dụ: - Về ngoại lực: áp lực không khí tác dụng vuông góc lên mặt tự chất lỏng Phản lực tác dụng vuông góc từ biên rắn Về nội lực: Lực ma sát tác dụng theo phương tiếp tuyến lớp chất lỏng r - Để đặc trưng cho lực mặt người ta đưa khai niệm lực mặt đơn vị: pn lực mặt ứng với đơn vị diện tích - Véc tơ lực mặt tác dụng lên diện tích S: 10 r0 * Thế phức dòng bao quanh có lưu số vận tốc W = v∞ (z + Γ ro )+ lnz 2π i z y1 v∞ R Γ 20 :Cánh vô hạn + Prôphin cánh: Cắt cánh mặt phẳng vuông góc với phương dang cánh ta có prôphin cánh * Đặc trưng hình học prophin - Dây prophin(b) độ dài đoạn thẳng lớn nối điểm biên prôphin(phương trùng phương b thường chọn phương trục x) - Đường lưng: y = yt Là biên phía dây prôphin y - Đường bụng: y = yd y x yt tb Là biên phía bên dây prôphin - Độ dày prôphin t = y t - yd - Đường trung bình prôphin: y + yd ytb = t yd x - Độ dày tương đối prophin: t t = t max b Thường t = ÷ 0,25 Cánh có t < 0,1 : cánh mỏng - Tung độ lớn đường trung bình gọi độ cong prophin :f - Độ cong tương đối prophin: f f = (y tb )max b Thường f = ÷ 0,02 9.1.3 Đặc trưng thủy động lực * Ta nghiên cứu chuyển động tịnh tiến thẳng cánh chất lỏng tĩnh → toán đưa toán đảo: cánh đứng yên bao dòng tịnh tiến thẳng vô (ở xa cánh) gọi dòng tới * Chọn hệ trục tọa độ: y1 y Ry ox ≡ V∞ R Oxy ∈ mặt phẳng prophin Ox1 ≡ dây prophin x v∞ Rx α x1 106 Oy1 ⊥ Ox1 α (ox1, ox): góc tới R : áp lực thủy động tác dụng lên prôphin Rx : Phương dòng tới :lực cản Ry : Lực nâng M0 : Mômen áp lực thuỷ động lấy với gốc Hệ số không thứ nguyên Rx - Hệ số lực cản: Cx = v∞ ρ b Ry - Hệ số lực nâng: Cy = v ρ ∞ b Mo - Hế số mômen: : Cm= v ρ ∞ b Với prôphin định hệ số Cx, Cy, Cm ∈ vào góc tới α tiêu chuẩn tương tự - α = α0 C y α =α0 = gọi góc tới không lực nâng - α = αk để Cy α =α k = Cy max gọi góc tới tới hạn Khi α < α k Cy ∈ tuyến tình vào α Nếu cánh hình trụ ∀ prôphin giống nghiên cứu cánh cần nghiên cứu dòng bao quanh prôphin đủ Trường hợp cánh hữu hạn ta áp dụng số kết dòng bao quanh prôphin(dòng phẳng) y 9.2 Áp dụng phép biến hình ξ V∞* α* r0 x C tròn C(0, ro) với lưu Thế phức dòng tịnh tiến có vận tốc V∞* , góc tới α * bao quanh đường số vận tốc Γ * là: * Wξ = V∞ ( ξ e -iα* ro iα * Γ* e )+ + ln ξ ξ 2π i (1) Tìm phức Wξ dòng tịnh tiến vận tốc V ∞ , góc tới α * bao quanh prôphin với lưu số vận tốc Γ y z V∞ α K x 107 Giả thiết có phép biến hình: ξ = ξ (z) (2) đưa đường tròn C0 ξ có prôphin chu tuyến K Z đưa (2) vào (1) có: W = W( ξ ) ⇒ W = W ( ξ (z)) = W(z) Giả sử (2) có phép biến hình ngược đưa prôphin K(Z) đường tròn C 0(ξ) có dạng: Z = m1 ξ + m0 + m−1 +… ξ (3) Trong m1, m0, m-1: hệ số phép biến hình m1 số thực (+) (4) Giả thiết (4) đảm bảo điểm ∞ ξ điểm ∞ z, điểm chu tuyến prôphin (k) ứng với điểm chu tuyến đường tròn(C) điểm prôphin ứng với điểm đường tròn Ta có: dw * = V∞ * = V∞ e-iα∗ dξ ∞ Mặt khác (5) dw dw dz = = V∞ m1= V∞ e-iαm1 d ξ ∞ dz ∞ d ξ ∞ * (5) ⇒ V∞ = m1 V∞ , α = α Γ* = * (6) ∫ V dl = Ñ ∫ dϕ = Ñ ∫ dϕ + idψ = Ñ ∫ dw Ñ (vì đường tròn đường dòng nên dọc theo có d C C C C Ψ =0) Qua phép biến hình số (2) C thành k Có: Γ* = ∫ dw(ξ ) = Ñ ∫ dw( z) = Ñ ∫ dϕ + idψ = Ñ ∫ dϕ = Γ Ñ C K K K (7) Căn vào (1) (2) Thế phức dòng bao quanh prôphin có dạng: W = m1 V∞ ( ξ (z)e-iα + Γ ro iα ln ξ (z) e )+ πi ξ(z) (8) 9.3 Xác định lưu số vận tốc Γ Định đề Giucốpxki-Traphaghin: Nếu prophin có mép sau nhọn dòng bao quanh prôphin tốt (êm) vận tốc hữu hạn α 108 Góc tới nhỏ dòng sát vào prophin → bao quanh tốt(êm) Góc tới lớn đường dòng tách rời khỏi chu tuyến prôphin hình thành xoáy → bao quanh không tốt (không êm) α Giả sử có prôphin thuộc mặt phẳng z phép biến hình ta đưa prôphin đường tròn ξ A ứng với A* z α o : acgumen A * A Nhận xét: ξ = ξ (z) không giải tích A nghĩa là: dz dξ →∞ ⇔ →0 dξ dz (1) dw dz (2) = A dw dξ A* dz dξ ξ α0 A* A* Theo định đề VA hữu hạn tức VA hữu hạn VA = dw dz A (1) → mẫu số (2) triệt tiêu thân biểu thức phải hữu hạn Vậy theo (2) bắt buộc dw dξ =0 A* Theo (8) 9.2 có: dw r iα Γ = m1 V∞ ( e-iα - o e ) + dξ ξ 2π i ξ Tại A* thì: ξ A* = r0 eiα0 Vậy dw dξ A* = m1 V∞ ( e-iα - e1(α −2αo ) ) + ⇒ Γ = π ir0 e iα o Γ =0 2π iro eiαo m1 v∞ ( e i (α −2α o ) - e −iα ) = π ir0 m1 v∞ ( e i (α −2α o ) - e −i (α −α o ) ) 109 = π r0 m1 v∞ sin( α o − α ) = - π r0 m1 v∞ sin( α − α o ) α o : góc tới không lưu số (vì α = α o Γ =0) α o = argumen( ξ A* ) 9.4 Hai công thức Traphighin Thiết lập công thức tính véctơ mômen áp lực thủy động lên chu heo tuyến K prôphin thông qua phức xác theo vận tốc phức dòng bao quanh 9.4.1Véctơ áp lực thủy động: r ∫ pndl R =- Ñ K ∫ pndl Trong mặt phẳng phức R = Rx + Riy = - Ñ K ∫ pndl = - Ñ ∫ p(cos(n, x ) + icos(n, y ))dl R = -Ñ K K Như thực 8.2 chương có dlcos(n,x) = dy dlcos(n,y) = -dx → R = -Ñ ∫ p(dy − idx) K ∫ p(dx + idy) = iÑ K = iÑ ∫ (C − K = -i =- i ρ ρ V )dz ∫V Ñ có ∫ Cdz = C Ñ ∫ dz = Ñ K K dz K ρ ∫K VVdz 2Ñ Để phương trình gọn ta tìm R liên hợp R ρ ∫K VVd z R =i2Ñ Có dz = r e iβ d z = r e −iβ − iβ − iβ → d z = re iβ = e iβ dz e re − i β → d z = dz e v dz β -β x v → V = V e iβ Vậy 110 ρ i V = ∫K dz R 2Ñ R =i ρ 2  dw  ∫K  dz ÷ dz Ñ Công thức Traphighin I 9.4.2 Mômen áp lực thuỷ động lấy gốc tọa độ dM0: mômen dR với gốc tọa độ dM0 = xdRy - ydRx dRy Xét biểu thức: y izd R = i(x+iy)(dRx - idRy) = (xdRy - ydRx) + i(xdRx + ydRy) y Vậy dM0 = Real(izd R ) O Theo công thức Traphighin I dR= dR dRx x x iρ dw ( ) dz dz ρ dw → dM0 = Real[- ( )2 zdz] dz ρ → M0 = Real [2 ∫ Ñ k ( (i2 = -1) dw ) dz zdz] Công thức Traphighin II 9.5 Định lý Giucôpxki - công thức tính M0 Dựa công thức Traphighin I,II ta rút công thức tính véctơ mômen theo hệ số phép biến hình đưa chu tuyến k đường tròn C mà không thiết phải dựa vào phức dòng bao quanh chu tuyến k Giả sử lân cận gốc tọa độ vận tốc phức có khai triển Lôrăng V = A dw A = A0 + −1 + −2 +… dz z z2 (1) dw = V∞ = V∞ e −iα dz ∞ dw = A0 dz ∞ ⇒ A0 = V∞ e −iα (2) Theo định lý 8.1 chương Ñ ∫ f ( z)dz = π iA K (f(z)= -1 dw ) dz (3) dw Ñ ∫ dz dz = π iA -1 K Mà dw ∫ dw = Ñ ∫ dϕ + idψ ∫ dz dz = Ñ Ñ K ∫ dψ = ψ Ñ K K = C = số 111 ⇒ π iA-1 = Ñ ∫ dϕ K = Γ ⇒ A-1= Γ πi (4) Thay lại Γ A−2 dw = V∞ e −iα + + +… dz 2π i z z Công thức Traphinghin cho ρ  dw  R =i Ñ  ÷ dz K∫  dz  tìm dw Γ A −2 ) = ( v∞ e −iα + + +…)2 dz πi z z Γ = + …+ ( V∞ e −iα ) + πi z B-1 Theo định lý 8.1 chương ( Γ  dw  Ñ ∫K  dz ÷ dz = πi B-1 = πi V∞ e −iα π i = V∞ e −iα Γ Thay vào công thức Traphighin I: − iα R = i ρ V∞ e Γ → R = -i ρ V∞ eiα Γ có V∞ = V∞ eiα → R = -i ρ V∞ Γ → Định lý Giucôpxki: Véc tơ áp lực thủy động tác dụng lên prôphin có trị số tỷ lệ với khối lượng riêng chất lỏng, tỷ lệ với trị số vận tốc ∞ trị số lưu số vận tốc ( R = ρ r V∞ Γ ) Có phương chiều xác định quay véctơ vận tốc dòng tới V∞ góc 90o ngược chiều với chiều xoáy (ngược chiều với chiều lưu số vận tốc Γ )  R v∞ Γ < 0(Xoáy ngược) * Tính mômen áp lực thủy động Theo công thức Traphighin II : ρ M0 = Real [- ∫ k ( Γ > 0(Xoáy thuận) v∞  R dw ) dz zdz] xét z( dw Γ A−2 ) = z ( V∞ e −iα + + +…)2 dz πi z z 112 = + ( −Γ + V∞ e −iα A-2) + z 4π Áp dụng định lý 8.1 chương vào công thức Traphighin II có: ρ Γ2 M0 = Real [- 2πi(− + V∞ e −iα A-2)] 4π M0 = -2 π ρ Real(i V∞ e −iα A-2) (5) Tìm A-2 xét: z dw Γ A−2 = z ( V∞ e −iα + + +…) dz πi z = + A−2 +… z áp dụng định lý 8.1 chương ta có  dw  Ñ ∫  z dz ÷ dz = πi A-2 (6) K Mặt khác:  dw  ∫ zdw = Ñ ∫ z (ξ ) dξ dξ Ñ ∫  z dz ÷ dz = Ñ dw K K K   m−1 r0 eiα Γ ξ − iα m ξ + m + + V = Ñ ]d ÷[m1 ∞ ( e - )+ ∫C  ξ ξ πi ξ  =   ∫  + +  −m Ñ ξ V∞ eiα r0 + m1m−1 V∞ e −iα + C  m0 Γ  ÷ + ÷d ξ 2π i  ξ  (Theo địnhlý 8.2 chương có) = π i(-m12 v∞ e iα r02 + m1m-1 v∞ e −iα + m0Γ ) 2π i (7) Từ (7) vào (6) ⇒ A-2 = - m1 v∞ e iα r02 + m1m-1 v∞ e −iα + m0Γ 2πi Thay A-2 vào (5) với ý Real[i V∞ e −iα (-m1 V∞ e iα r02)] = m Γ V∞ e −iα M0 = -2 πρ Real(im1m-1 V∞ e −2iα + o ) 2π Tóm lại: m−1 + Z = m1 ξ + mo + z C R = -i ρ V∞ Γ r0 ξ z m Γ v e −iα M0 = - πρ Real(im1m-1 V∞ e −2iα + o ∞ ) 2π Γ = π r0m1 V∞ sin( α o − α ) α0 A* a A K A 9.6 Các prôphin lý thuyết 113 hình: Các prôphin lý thuyết prôphin biến hình tròn (0, r 0) ξ nhờ phép biến Z= ξ a2 ( + ) ξ (1) Trong a2 : số thực dương Phép biến hình gọi phép biến hình Giucôpxki 9.6.1 Đoạn thẳng r0 = a ξ θ z -a A* a A a Ta chứng minh đoạn thẳng (-a,a) trục thực (z) biến đường tròn (0, ro = a)trong mặt phẳng phức ( ξ ) Thật điểm đường tròn (0,r0) biểu thị: ξ = a e iθ (2) đưa (2) vào (1) có: a ( e + iθ + e −iθ ) z = a cos θ Vậy ξ điểm chạy nửa đường tròn θ chạy từ → π tương ửng z điểm → -a, điểm chạy nửa đường tròn θ từ π → π ⇒ z chạy từ -a → a chạy từ a Phép biến hình (1) đưa đoạn thẳng hình tròn (0,ro=a) ngược lại Từ (1) ta có hệ số phép biến hình R a2 Γ ta có r < → chiều cao véctơ xác định hình vẽ trị số véctơ R = ρ V∞ Γ 114 = π ρ a V∞ sin α Khi α nhỏ (coi sin α = α ) lấy gần R = π ρ a V∞ α Ta thấy điểm đặt hợp áp lực điểm K(M o = R OI ⇒ OI = Mo R = a ;0) a a cos α ⇒ OK = 2 9.6.2 Cung tròn M* ξ1 ξ z γ ρ1 ρ2 K1 M O1 k θ r ar β1 B γ1 γ2 α0 B* a-a a A* O aA -a O β β a M ξ a * Ta chứng minh phép biến hình (1) đưa prôphin chu tuyến K 1(Z) đường tròn C1 tâm O1(0,k) Bán kính r0 Trong (ξ) Thật vậy: C1 Phép biến hình (1)  Z − a (ξ − a ) = Z + a (ξ + a ) (1,) Trong (Z) có: OM = OA + AM Z = a + r1e iβ1 → ( Z − a ) = r1e iβ1 OM = OB + BM Z = −a + r2 e iβ → ( Z + a ) = r2 e iβ Z − a r1 iβ = e (a) β1 − β = β = const (vì M chạy cung K1) Z + a r2 Trong ( ξ ) tương tự ta có ξ − a ρ iγ (ξ − a ) ρ12 i 2γ = e hay = e ξ + a ρ2 (ξ + a ) ρ 22 (b) Từ (a) (b) thay vào (1) ta có: β = 2γ = const => γ = const chứng tỏ M* chạy đường tròn C1 * Tính toán động lực học Ta chứng minh phép biến hình (1): cung tròn mặt phẳng (z) biến thành hình tròn (0;k) mặt phẳng ( ξ ) tâm gốc tọa độ lập mặt phẳng phức ( ξ 1) có liên hệ với ξ theo công thức 115 ξ = ξ + ik (4) Thì đường tròn có tâm gốc tọa độ mặt phẳng ξ1 đưa (4) vào (1) z= a2 [( ξ +ik) + ] ξ1 + ik (Phép biến hình biến cung tròn thành đường tròn có tâm gốc tọa độ) a2 ik (1 + ) −1 ] z = [( ξ +ik + ξ1 ξ1 Ta có: (1+ α )γ = + γ γ (γ − 1) α+ α +… 1! 2! Nên a2 ik (1 − + )] z = [( ξ +ik + ξ1 ξ1 a a ik − + )] = [( ξ +ik + ξ1 ξ1 2 Vậy m1 = ik a2 ; m0 = ; m-1 = 2 r0 = a2 + k α o = arctg (- , k ) a Do đó: Γ = 2π R = 2π ρ a + k V∞ sin( α o − α ) a + k V∞ sin( α o − α ) k V∞ a2 V Γ sin α M0 = -2 π ρ ∞ sin2 α + 2π 9.6.3 prôphin Giucôpxki Như chứng minh (2) cung tròn k mặt phẳng z qua phép biến đổi (1) biến thành đường tròn C1 (o,k) ξ , kéo dài bán kính A*O phía O1 đoạn O1I = δ dựng đường tròn C2(I,IA*) ảnh C mặt phẳng có chu tuyến K2 gọi prôphin Giucốpxki ξ2 C2 C1 -a I P O K α01 a A* OP K1 K2 z -a a ξ1 116 Trường hợp đặc biệt k = cung tròn k trở thành đoạn thẳng prôphin Giucốpxki trở thành bánh lái Giucốpxki ξ δ z A A* a -a -a a Bánh lái Giu côp xki Trên hình ta thấy ξ liên hệ với ξ theo hệ thức: ξ = ξ + ik - δ e iα o Theo phép biến hình (1) có: a2 iα o Z = [ ξ + ik - δ e + ] ξ2 + ik − δeiαo a2 ik − δe iα o −1 ) ] [ ξ + ik - δ e iα o + (1+ ξ2 ξ2 = a ik − δeiαo iα o + ] = [ ξ + ik - δ e + ξ2 ξ22 Từ ta có: m1 = 1 a2 ; m0 = (ik - δ e iα o ) ; m-1 = 2 ⇒ r0 = a + k + δ ; α o = arctg(- k ) a Từ tính được: Γ = -2 π (1+ δ a2 + k R = π ρ (1+ ) V∞ (kcos α +asin α ) δ ) V∞ (kcos α +asin α ) a2 + k δ M0 = π ρ V∞ (sin2 α ak(1+ - a2(1+ δ a +k 2 + a +k 2 + δ δ α cos α [k2(1+ )2 + sin a +k a +k δ δ δ + )) )] - ak( 2 a +k a + k2 a +k Câu hỏi ôn tập 1- Định nghĩa cánh, Các đặc trưng cánh 2- Viết: -Phép biến hình bảo giác đưa đường tròn prophin cánh - Thế phức dòng tịnh tiến với vận tốc V∞ hợp với trục thực góc α bao quanh prôphin cánh 117 3- Nêu hai phương pháp, viết công thức xác định: Véc tơ chính, mô men áp lực thuỷ động tác dụng lên prôphin cánh 4- Định nghĩa prôphin lý thuyết Xác định hệ số phép biến hình m 1, m0, m-1 trường hợp (đoạn thẳng, cung tròn, prôphin Giucôpski.) 118 [...]... 10) 13- Ngời ta lồng vào thành bình chứa chất lỏng một quả cầu tròn có khả năng quay không ma sát xung quanh trục qua tâm trụ và vuông góc với mặt phẳng hình vẽ Một nửa của cầu luôn luôn ngập trong chất lỏng Theo định luật Acsimét, áp lực sẽ tác dụng lên nửa cầu này theo phơng thẳng đứng từ dới lên, vậy quả cầu có quay đợc không? sao? Tính tổng áp lực d của chất lỏng tác động vào quả cầu và tìm điểm đặt... tìm điểm đặt của áp lực? Cho: bán kính quả cầu r = 0,5m;; h = 20 m, = 9810 N / m 3 pa d tại h r o pod 14- Một phần t hình trụ ngập trong chất lỏng là nớc có bán kính trụ R = 0,5m, chiều dài đờng sinh L = 2m ( đờng sinh vuông góc với mặt phẳng hình vẽ) Biết chất lỏng có n = 9810 N/m3, độ cao cột nớc a = 0,7m, H = 0,3m, độ cao cột thuỷ ngân hHg = 0,2 m, cho Hg = 13,5 n Tìm: 1/ áp suất d pod trên mặt... hỡnh nún bng thộp(t = 76.518N/m3) úng mt l ỏy b cha nc nh hỡnh 13(n = 9810 N/m3) Xỏc nh lc cn thit nõng van lờn nu h = 1m 5h R D = 0,4h pod 16- Một phần t hình cầu ngập trong chất lỏng là nớc có bán kính cầu R = 0,6m Biết chất lỏng có n = 9810 N/m3, độ cao cột nớc a = 0,8m, H = 0,3m, áp suất d trên mặt thoáng bình pod = 0,5at, cho Hg = 13,5 n Tìm: 1/ Độ cao cột thuỷ ngân h Hg trong ống đo h/2 h pa... 9810 N/m3 ) h =4R ( pa y R Q 18- Tính áp lực thuỷ tĩnh d của nớc tác dụng lên bề mặt cong của 1/2 hình nón ngập trong nớc có bán kính đáy R = 0,2 m, chiều cao nón h = 0,4m Biết nửa hình nón ngập trong chất lỏng có độ sâu H = 0,7m, cho n = 9810 N / m 3 pa H h o R 19- Cn phi nhỏn thanh g cú tit din vuụng a ì a xung mt on z bng bao nhiờu nú khụng th ni lờn c Trng lng riờng ca nc l v sõu ca ỏy l H, trng