GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6

GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6GIÁO ÁN CƠ HỌC CHẤT LỎNG CHƯƠNG 6

Chương 6 THẾ LƯU I.ĐỊNH NGHĨA THẾ LƯU: Trong một chuyển động chất lỏng lý tưởng đựợc gọi là dòng chảy thế (thế lưu) khi thoả mãn điều kiện : dsu B A ∫  không phụ thuộc vào đường đi từ A đến B Để điều kiện trên thỏa mãn, cần có một hàm ϕ(x,y) sao cho ϕ gradu =  (6.1) ϕ : hàm thế vận tốc Như vậy để là một chuyển động thế thì chuyện động khi có một hàm thế vận tốc ϕ. Và từ (6.1) suy ra 0 = uRot  hay 0 = ϖ  Chuyển động thế là một chuyển động không quay II. MỘT SỐ Ø KHÁI NIỆM 1 A B n m 1. Hàm thế vận tốc (ϕ): ϕ là hàm sao cho: Trong tọa độ descarde y u x u yx ∂ ∂ = ∂ ∂ = ϕϕ ; (6.2) Trong tọa độ cực θ ϕϕ θ ∂ ∂ = ∂ ∂ = r u r u r 1 ; (6.3) + Phương trình đường đẳng thế: Khi cho ϕ = Const => đường đẳng thế + Phương trình Laplace : từ (6.1) có thể suy ra : 00 2 2 2 2 =∆⇒= ∂ ∂ + ∂ ∂ ϕ ϕϕ yx (6.4) Hàm dòng (ψ) : Trong dòng chảy lưu chất không nén thì các thành phần vận tốc của nó thoả mãn phương trình liên tục 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ y u x u y x nên tồn tại một hàm ψ(x,y) sao cho 2 x u y u yx ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ψψ ; (6.5) hay trong tọa độ cực 1 ; r u u r r θ ψ ψ θ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ (6.6) ψ đựoc gọi là hàm dòng Một số tính chất của hàm dòng: • Trong chuyển động thế ψ thoả mãn phương trình Laplace 0 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ yx ψψ (6.7) Khi chuyển động thế uRot  = 0 do đó => 0 yx 0 yyxx 0 y u x u 2 2 2 2 x y = ∂ ψ∂ + ∂ ψ∂ ⇔=         ∂ ψ∂ ∂ ∂ −       ∂ ψ∂ ∂ ∂ −⇔= ∂ ∂ − ∂ ∂ • Khi cho ψ = C thì đây chính là phương trình một đường dòng 0 =⇒= ψψ dC => 0 = ∂ ∂ + ∂ ∂ dx x dy y ψψ hay 0 =− dxudyu yx => yx u dy u dx = ( phương trình đường dòng) 3 • Lưu lượng đi qua giữa 2 đường dòng A,B bằng ψ B - ψ A dyudxudq xy +−= dy y dx x dq ∂ ∂ + ∂ ∂ = ψψ = dψ ∫ = B A AB dq ψ = AB ψψ − 2. Mối quan hệ giữa hàm dòng và hàm thế: yx u x ∂ ∂ = ∂ ∂ = ψϕ và xy u y ∂ ∂ −= ∂ ∂ = ψϕ yyxx ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ − ψϕψϕ => 0 = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ yyxx ψϕψϕ Do đó họï các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau tạo thành một lưới được gọi là lưới thủy động. II.MỘT SỐ CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ ĐƠN GIẢN 1. Chuyển động thẳng đều vận tốc U 0 song song với trrục nằm ngang 4 dq u x u y dy dx x y ψ 1 ψ 2 ψ 3 ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 U 0 U 0 U 0 • Đây là một chuyển động thế vì 0 = uRot  • Hàm thế : xU 0 = ϕ (6.8) • Hàm dòng : yU 0 = ψ (6.9) 2. Điểm nguồn và điểm hút: a) Điểm nguồn : đặt tại gốc toạ độ với lưu lượng q • Đây là một chuyển động thế • Hàm thế: Trong tọa độ cực : )ln( 2 r q π ϕ = (6.10) Trong tọa độ descarte: )ln( 4 22 yx q += π ϕ (6.11) • Hàm dòng : Trong tọa độ cực : θ π ψ 2 q = (6.12) Trong tọa độ descarte:       = x y arctg q π ψ 2 6.13) b) Điểm hút: đặt tại gốc toạ độ với lưu lượng q. Các hàm dòng hàm thế tương tự như đểm nguồn nhưng thay q bằng –q . 5 3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc ∫ ==Γ C constdsu  Ta có: 0 = r u và Const r u = Γ = π θ 2 Tương tự : 6 O ϕ ψ 3 ψ 2 ψ 1 ψ 4 • Hàm thế: θ π ϕ 2 Γ = hay       = x y arctg q π ϕ 2 (6.14) • Hàm dòng : )ln( 2 r π ψ Γ− = hay )ln( 4 22 yx + Γ− = π ψ (6.15) Ghi chú: Γ>0: xoáy dương ngược chiều kim đồng hồ; Γ<0: xoáy âm thuận chiều kim đồng hồ; 3. Lưỡng cực: là cặp điểm nguồn + hút có cùng lưu lượng q đặt cách nhau một đoạn ε vôâ cùng nhỏ với điều kiện khi ε→0 thì 7 O ψ ϕ 1 Γ>0: xoáy dương ϕ 2 ϕ 3 ϕ 4 x y ϕ 3 ϕ 2 ϕ 1 εq→m 0 ( m o được gọi là cường độ (moment) lưỡng cực). Trường hợp điểm nguồn và hút nằm trên trục hoành: • Hàm thế :                 +       −−         +       +=+= 2 2 2 2 2 ln 2 ln 4 yxyx q hn εε π ϕϕϕ =             +       − +       + 2 2 2 2 2 2 ln 4 yx yx q ε ε π =             ++− +++ 2 2 2 2 2 2 4 4 ln 4 yxx yxx q ε ε ε ε π =       +− ++ 22 22 ln 4 yxx yxxq ε ε π =       +− + 22 2 1ln 4 yxx xq ε ε π (Chú ý: ln(1+x) = x-x 2 /2 + x 3 /3 - . . . .)       +− = 22 2 4 yxx xq ε ε π ϕ Lưỡng cực       +− = >− 22 0 2 4 lim yxx xq i ε ε π ϕ ε =       + 22 0 2 yx xm π 6.16) 8 hay trong tọa độ cực : r m π θ ϕ 2 cos 0 = (6.17) • Hàm dòng : Tương tự có 22 0 2 yx y m + − = π ψ hay r m π θ ψ 2 sin 0 −= 6.18) III. CHỒNG CHẬP CÁC CHUYỂN ĐỘNG THẾ 1. Chuyển động quanh nửa cố thểâ: Chuyển động thẳng đều ngang (u 0 ) + nguồn (q) tại gốc toạ độ 9 ψ +q -q )( 2 )ln( 4 0 2 0 2 x y arctg q yu yx q xu π ψ π ϕ += ++= (6.19) Điểm dừng (điểm có vận tốc bằng không): (6 .20) 2. Chuyển động quanh trụ tròn: Chuyển động thẳng đều (u 0 ), nằm ngang + lưỡng cực (m 0 )         +=+== 2 0 00 2 1 2 ru m cosru r cosm cosru oo π θ θ π θϕ (6.21)         −=−= 2 0 00 2 1 2 ru m sinru r sinm sinru oo π θ θ π θψ (6.22) Xét đường dòng ψ = 0 => 10 +q A u 0 0;00 ==⇔= yx uuu 0 22 22 0 2 0 0 2 4 0 2 4 u q x,y yx yq y yx xq u x π π ϕ π ϕ −==→        = + = ∂ ∂ = + += ∂ ∂ [...]... ở vô cực: ρu 2 ρu 2 p ∞ + 0 = p tr + tr (6. 31) 2 2 Thay utr từ (6. 30) vào ta có sự phân bố áp suất trên mặt trụ: 2 2 2 ptr − p∞ = ( ρuo / 2 )(1 − 4 sin 2 θ − 2Γ sin θ /π mo uo − Γ 2 / 4π 2 mo uo 14 (6. 32) Lực tác dụng lên mặt trụ theo phương đúng 2π (6. 33) Fy = − ∫ ( ptr − p∞ ) R sin θdθ 0 Thay (6. 32) vào (6. 33) và tích phân Fy = ρuo Γ (6. 34) Phương trình (6. 34) chính là đònh luật lực nâng Kutta -... ra θ=0 : đường dòng là trục hoành m0 r= 2πu 0 và (6. 23) : đường dòng là vòng tròn tâm O bán kính r (6. 24) Vi lưu chất không thể di chuyển cắt ngang đường dòng, nên vào vò trí của đường dòng r= m0 có thể thay bằng một trụ tròn bán 2πu 0 kính R= m0 2πu 0 thì bản chất dòng chảy vẫn không đổi Như vậy để có hình ảnh của một dòng đều qua một trụ tròn với bán kính thể thay bằng một dòng đều kết hợp với một... pB = ρu02/2 uC = -2u0 C B A D uD = 2u0 pC = pD = -3ρu02/2 11 uoR2 Thay mo vào (6. 22) và (6. 23) các hàm thế và hàm dòng viết lại như sau:  R2  ϕ = uo r cos θ 1 + 2   r     R2  ψ = uo r sin θ 1 − 2   r    − (6. 25) (6. 26) Phân bố vận tốc trên mặt trụ: ( r = R)  1 ∂ϕ uθ = r ∂θ  u = 0  r = −2u0 sin θ r= R (6. 27) Điểm dừng trên mặt trụ: uθ = 0 ⇔ θ = 0 và ⇒ có hai điểm dừng A B trước và... xoáy tự do (Γ)  R2  Γ ϕ = uo r cos θ 1 + 2  −   2π θ r   (6. 28)  R2  Γ ψ = uo r sin θ 1 − 2  + ln r  r  2π   (6. 29) Phân bố vận tốc trên mặt trụ: r = R 13 ur = 0 − và Điểm dừng trên mặt trụ uθ = −2u0 sin θ − u = 0 ⇔ 2u0 sin θ = − Γ 2πR Γ < 4πRu0 Γ  sin θ = − ⇒ Γ = 4πRu0 4πRu0 Γ > 4πRu 0  Γ=0 Γ < 4πRuo 1 Γ R 2π (6. 30) => có 2 điểm dừng => có 1 điểm dừng => không có điểm dừng Γ =... Fy = − ∫ ( ptr − p∞ ) R sin θdθ 0 Thay (6. 32) vào (6. 33) và tích phân Fy = ρuo Γ (6. 34) Phương trình (6. 34) chính là đònh luật lực nâng Kutta - Joukowsky Sự phân bố áp suất trên mặt trụ khi Re lớn 15 16 17 . 4πRu o ∫ ∞ −−= π θθ 2 0 dsinR)pp(F try (6. 32) Lực tác dụng lên mặt trụ theo phương đúng (6. 33) Thay (6. 32) vào (6. 33) và tích phân Γρ oy uF = (6. 34) Phương trình (6. 34) chính là đònh luật lực nâng. -3ρu 0 2 /2 u o R 2 . Thay m o vào (6. 22) và (6. 23) các hàm thế và hàm dòng viết lại như sau:         += 2 2 1 r R cosru o θϕ (6. 25)         −= 2 2 1 r R sinru o θψ (6. 26) − Phân bố vận tốc. )ln( 2 r q π ϕ = (6. 10) Trong tọa độ descarte: )ln( 4 22 yx q += π ϕ (6. 11) • Hàm dòng : Trong tọa độ cực : θ π ψ 2 q = (6. 12) Trong tọa độ descarte:       = x y arctg q π ψ 2 6. 13) b) Điểm