Học nhanh lên gấp 4 lần. Nghiên cứu của Tiến sỹ Dr. James Asher chứng minh rằng học bằng các nhóm từ, cả câu sẽ làm việc học nhanh hơn gấp 45 lần các từ riêng biệt. Nhanh hơn gấp 45 lần. Hơn nữa, học sinh sinh viên học các câu có Ngữ pháp tốt hơn. Sau đây là 1 số nguyên tắc cho các bạn học tiếng anh: Nguyên tắc số 1: Luôn học và xem lại các nhóm từ, các cấu trúc câu, không phải các từ riêng biệt. Khi bạn tìm thấy bất cứ một từ mới nào, hãy viết cái câu có từ đó ở trong. Khi bạn ôn bài, luôn luôn ôn cả nhóm từ, cả câu, đừng ôn từ riêng biệt. Hãy sưu tập các nhóm từ. Tiếng Anh nói và ngữ pháp của bạn sẽ tốt lên nhanh gấp 45 lần. Bao giờ cũng nên viết cả một câu trọn vẹn. Luôn luôn học đủ câu. Hãy làm một cuốn vở sưu tập nhóm từ, cả câu. Sưu tầm và ôn lại các nhóm từ, các câu thường xuyên. Không bao giờ chỉ viết các từ riêng biệt, bao giờ cũng viết đủ nhóm từ và câu. Luôn luôn ôn lại các nhóm từ và câu.
CẨM NANG CHO MÙA THI 2016 TÌM HIỂU CÁC KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH (ÔN THI THPT QUỐC GIA) PHIÊN BẢN 2016 NGUYỄN HỮU BIỂN TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x − x + 3y − 3x − = (1) Bài 1: Giải hệ phương trình: 2 x + − x − 2y − y + = (2) Phân tích hướng dẫn −1 ≤ x ≤ 1 − x ≥ ⇔ 0 ≤ y ≤ 2y − y ≥ * Điều kiện: Ở phương trình (1) ta thấy cô lập x, y sang vế, ta nghĩ đến việc sử dụng phương pháp hàm số, thật vậy: + Phương trình (1) ⇔ x − 3x − = y3 − 3y ⇔ ( x + 1) − ( x + 1) = y3 − 3y (*) - Xét hàm số f (t) = t − 3t −1 ≤ x ≤ ≤ x + ≤ ⇔ ⇒ t ∈ [ 0; 2] 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ - Do ⇒ f ' (t) = 3t − 6t; f '(t) = ⇔ t = 0; t = , ta có bảng biến thiên sau: x f '(t) f (t) + 0 - + ց ⇒ f (t) nghịch biến [ 0; 2] Vậy từ (*) ⇔ x + = y thay vào (2) ta có: x + − x − ( x + 1) − ( x + 1) + = ⇔ x2 + 1− x2 − 1− x2 + = ⇔ x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ − − x − − x + = ⇔ (1 − x ) + − x − = Đặt a = − x ≤ mà a ≥ ⇒ ≤ a ≤ a = (tháa m·n) ⇒ x = ⇒ y = (tháa m·n) ⇒ a + 2a − = ⇔ a = −3 (lo¹i) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) x + 4y ( x − ) − = 4y − x + 2y (1) Bài 2: Giải hệ phương trình 4y ( x − ) + x = x − (2) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ + Phương trình (1) ⇔ x + 4xy − 20y − = 4y − x + 2y (*) + Phương trình (2) : ⇔ 4xy − 16y + x = x − ⇔ 4xy = 16y + x − − x thay vµo (*) ⇒ x + 16y + x − − x − 2xy − = 4y − x + 2y ⇔ x + x − = 4y + 4y + + 2y ⇔ x + x − = ( 2y + 1) + ( 2y + 1) − (*) x ≥ x ≥ ⇔ ⇒ t ≥1 y ≥ 2y + ≥ + Xét hàm số f (t) = t + t − do: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 > 0, ∀t > ⇒ hµm sè f(t) ®ång biÕn t −1 + Từ (**) ⇔ x = 2y + ⇔ thay vµo (2) ⇒ f '(t) = 2t + ⇒ 4y ( 2y + − ) + 2y + = 2y + − ⇔ 8y − 12y + 2y + = 2y ⇔ 8y − 10y + = 2y ⇔ 4y − 4y + 1 − 2y − = 2y ⇔ ( 2y − 1) = 2y + + 2y ⇔ ( 2y − 1) = ( ) 2y + ⇔ ( ( 2y − 1) ) =( ) 2y + 3−2 5−2 ⇒x= (tháa m·n) 2(2y − 1) = 2y + ⇒ y = ⇔ 3+ 2 5+ 2 ⇒x= (tháa m·n) ( 2y − 1) = − 2y − ⇒ y = 5− 2 3− 2 5+ 2 3+ 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; ; 3xy + 9y + = x + − x (1) Bài 3: Giải hệ phương trình: x3 ( 9y + 1) + ( x + 1) x = 10 (2) ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ + Phương trình (1) ⇔ 3xy + 3xy 9y + = x + + x (*) (do nhân liên hợp vế phải) Ta thấy x = nghiệm phương trình (*), từ (*) ta có: x +1 x + x x 1 ⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + = + + x x2 x ⇔ 3y + 3y 9y + = 1 1 1 ⇔ (3y) + (3y) ( 3y ) + = + + 1+ 1 + = x x x x x x 2 (**) + Xét hàm số f (t) = t + t t + Do x > từ (**) ⇒ y > ⇒ t > ⇒ f '(t) = + t + + t2 t2 +1 > ⇒ f (t) lu«n ®ång biÕn ∀t > thay vµo (2) x 1 ⇒ x + 1 + ( x + 1) x = 10 ⇔ x + x + ( x + 1) x = 10 (3*) x + Tõ (**) ⇒ 3y = + Ta thấy phương trình (3*) có vế trái hàm số đồng biến, vế phải số, mà x = nghiệm (3*) ⇒ x = lµ nhÊt ⇒ y = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN (thỏa mãn) TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = 1; 2y3 + y + 2x − x = − x (1) Bài 4: Giải hệ phương trình 2 (2) − 4y = 2x + 6y − Phân tích hướng dẫn 3 * Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ; 2 + Phương trình (1) ⇔ 2y3 + y = − x − 2x − x ⇔ 2y3 + y = − x (1 − x ) + − x ⇔ 2y3 + y = ( 1− x ) + 1− x y ≥ + Xét f (t) = 2t + t; f '(t) = 6t + > ∀t ∈ R ⇒ f (t) ®ång biÕn ⇒ y = − x ⇔ y = 1− x + Thay vào (2) ⇒ − (1 − x ) = 2x + (1 − x ) − ⇔ + 4x = 2x − 6x − ⇔ + 4x = 4x − 12x − ⇔ ( + 4x ) + + + 4x = 4x − 8x + ⇔ ( ) + 4x + = ( x − 2x + 1) ⇔ ( ) + 4x + = ( ( x − 1) ) + 4x + = ( x − 1) (v« nghiÖm) ⇔ + 4x + = (1 − x ) ⇔ + 4x = − 2x x ≤ ⇔ x = + (lo¹i) y = ⇒ x = - y = − ( )( Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = − 2; ; − 2; − ) x − y − x + 2y = (1) Bài 5: Giải hệ phương trình: 2 x + − 4y + y xy + 2y = 34 − 15x (2) ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2; y ≥ + Phương trình (1) ⇔ ( − x ) + ( ) − x y − 2y = §Æt t = − x ≥ ⇒ t + ty − 2y = t y =1 2−x = y t t ⇔ + −2 = ⇔ ⇔ t y y − x = −2y y = −2 + Với y = − x thay vµo (2) ⇒ 2( x + − − x ) + − x = 34 − 15x (3) + Đặt t = x + − − x ⇒ t = 34 − 15x − − x + Phương trình (3) : TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 t = x + − − x = 34 − 15x − − x ⇒ 2t = t ⇔ t = 16 ( − x ) = x + x +2 −4 2−x = 4 − x = x + ⇔ ⇔ ⇔ 16 ( − x ) + + 16 − x = x + x + − − x = − x + = x + 30 17 17x = 30 x= ⇒y= ⇔ ⇔ 17 17 (thỏa mãn) 16 − x = 17 ( x − ) x = ⇒ y = ⇔2 + Với ( ) y ≤ − x = 2y ⇔ , trường hợp hệ vô nghiệm 2 − x = 4y 30 17 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; ( 2;0 ) 17 17 3y + x + + x = 10y − 3xy + 12 (1) Bài 6: Giải hệ phương trình: 3 5y − x − = 6y + xy − x (2) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ∈ [ −2; 2] ( ) + Phương trình (2) ⇔ y3 − x − x − x − 6y2 = (*) + Do y = không nghiệm phương trình (*) nên từ (*): 2 2 − x − = ⇔ ( − x ) + 3 − x = + y y y y ⇔ (5 − x ) 2 2 ⇔ − x + − x = + y y + Xét hàm số f (t) = t + 3t ⇒ f'(t) =3t + > ∀t ∈ R ⇒ Hàm số đồng biến ⇒ − x = y ( ) ( ) + Phương trình (1) ⇔ y + x − 10 + 3x + + x − 12 = 2 ⇔ + x − 10 + 3x + + x − = y y ⇔ + x − 10 + 3x + − x + x − − x = ⇔3 ( ) + x − 2 − x + 4 − x + 3x − 10 = + Đặt t = + x − 2 − x ⇒ t = 10 − 3x − 4 − x = −(4 − x − 3x − 10) t = ⇒ 3t − t = ⇔ t = - Với t = ⇒ x = ⇒ y = (thỏa mãn) + Với t = ⇒ 2+ x − 2− x = ⇔ 2+ x = 3+ 2− x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 ⇔ 15x − 15 = 12 − x ⇔ 5x − = − x (phương trình vô nghiệm) 6 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; 5 3 x − 6x + 13x = y + y + 10 (1) Bài 7: Giải hệ phương trình: 2x + y + − − x − y = x − 3x − 10y + (2) Phân tích hướng dẫn 2x + y + ≥ 3 − x − y ≥ + Điều kiện: + Phương trình (1) ⇔ ( x − ) + ( x − ) = y3 + y + Xét hàm số f (t) = t + t ⇒ f '(t) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) ®ång biÕn ⇔ x - = y thay vµo (2) ⇒ 2x + x − + − − x − ( x − ) = x − 3x − 10 ( x − ) + ⇔ 3x + − − 2x = x − 3x − 10x + 26 (*); -1 ≤ x ≤ + Đặt f (x) = 3x + − − 2x g(x) = x − 3x − 10x + 26 5 + > 0; ®ång biÕn ∀x ∈ −1; 3x + − 2x 2 + 39 ∉ −1; x1 = 2 ⇒ g '(x) = 3x − 6x − 10; g'(x) = ⇔ − 39 x2 = ∉ −1; 2 ⇒ f’(t) = + Ta xét bảng biến thiên sau: x1 x −∞ g '(x) g(x) + −1 - - | x2 - +∞ + | ց ⇒ g(x) nghịch biến ⇒ x = (thỏa mãn) nghiệm (*) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2; ) Bài 8: Giải phương trình: Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ + Phương trình biến đổi: ⇔ ( 2x − 1) + + 2x − = ⇔ ( ) x −1 + 2x + + 2x − = x − + x − 2x + ( x − 1) x − + + 2x − = x − + ( +2 ) x −1 + + Xét hàm số f (t) = t + + t; t ≥ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 2t ⇒ f '(t) = t4 + + > 0, ∀t ≥ ⇒ f'(t) ®ång biÕn ∀t ≥ ⇒ 2x − = x − ⇔ 2x − = (x − 1)2 ⇔ x − 4x + = x = − ⇔ (tháa m·n ®iÒu kiÖn) x = + Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = − 2; x = + Bài 9: Giải phương trình ( x + 1) x + + ( x + ) x + = x + 7x + 12 Phân tích hướng dẫn x + ≥ ⇔ x ≥ −1 x + ≥ + Điều kiện: + Do phương trình nhẩm nghiệm x = nên ta nghĩ tới việc tạo nhân tử chung x − Ta thực bước tính nháp thử nghiệm sau: * x + − a → (a − 2) → + − a = ⇔ a = → x + − * x + − b → ( x − 2) → + − b = ⇔ b = → x + − Qua bước nhẩm trên, phương trình cho tương đương với: ( x + 1) ( x + − ) + ( x + ) ( x + − 3) = x + 7x + 12 − ( x + 1) − ( x + ) ( x + 1)( x − ) + ( x + )( x − ) − x − x + = ⇔ ( )( ) x+2 +2 x +7 +3 x+6 x +1 ⇔ ( x − 2) + − x − = (*) x +7 +3 x+2 +2 x+2 x+2 x+2 x + + ≤ (do x + + ≥ 2) x + + ≥ , mà + Ta thấy với x ≥ −2 ⇒ x + x + ≤ x + (do x + + > 2) >0 x + + x + + ⇒ x +1 x+6 x+2 x+6 x+6 x+2 + −x−4= − + − − −1 ⇒ f (t) đồng biến với t ≥ −1 + Do + Từ (*) ⇒ x − = y + thay vào (2) ta được: x − − x − 6x + = ( x − 1) + ⇔ x − − ( x − 1) − ( x − 1) + = ( x − 1) + (**) + Ta thấy x = không nghiệm (**) x ≠ , mặt khác điều kiện ⇒ x > , chia vế (**) cho x − > ta được: − ( x − 1) − + 1 = x −1 + x −1 x −1 1 > ⇒ x −1+ = t2 − ⇒ − t2 − = t x −1 x −1 5 t ≤ ⇔ t2 − = − t ⇔ ⇒ x −1 + = ⇔ t = x −1 t − = ( − t ) x −1 = x = ⇒ y = 62 ⇔ ⇔ x −1 = x = ⇒ y = − 127 64 + Đặt t = x − + x − y + y − x − = 0(1) Bài 11: Giải hệ phương trình x + − x − y − y + = 0(2) Phân tích hướng dẫn 1 − x ≥ − ≤ x ≤ ⇔ 2 y − y ≥ 0 ≤ y ≤ Điều kiện: (1) ⇔ x − 3x − = y − y ⇔ (x + 1)3 − 3(x + 1)2 = y − y (*) - Xét hàm số f (t ) = t − 3t − ≤ x ≤ 0 ≤ x + ≤ ⇔ ⇒ t ∈ [0;2] 0 ≤ y ≤ 0 ≤ y ≤ - Do ⇒ f ' (t ) = 3t − 6t ; f ' (t ) = ⇔ t = 0; t = t f’(t) + 0 + f(t) ց ⇒ f (t ) nghịch biến [0;2] Vậy từ (*) ⇔ x + = y thay vào (2) ta có: x + − x − 2( x + 1) − ( x + 1) + = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 ⇔ x2 + 1− x2 − 1− x2 + = ⇔ x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ − 1− x2 − 1− x2 + = ( ) ⇔ 1− x2 + 1− x2 − = - Đặt a = − x ≤ mà a ≥ ⇒ ≤ a ≤ a = (tm) ⇒ a + 2a − = ⇔ ⇒ x = ⇒ y = (tmđk) a = −3 2 x + y (x − 5) − = y − x + 2 y (1) Bài 12: Giải hệ phương trình 4 y ( x − ) + x = x − 1(2) Phân tích hướng dẫn: Điều kiện: x ≥ 1; y ≥ (1) ⇔ x + xy − 20 y − = y − x + 2 y (*) (2) ⇔ xy − 16 y + x = x − ⇔ xy = 16 y + x − − x thay vào (*) ⇔ x + 16 y + x − − x − 20 y − = y − x + 2 y ⇔ x2 + x −1 = 4y2 + 4y +1+ 2y ⇔ x + x − = (2 y + 1) + (2 y + 1) − (**) x ≥ x ≥ ⇔ ⇒ t ≥1 y ≥ 2 y + ≥ - Xét hàm số f (t ) = t + t − do: > 0, ∀t > ⇒ hàm số f(t) đồng biến t −1 - Từ (**) ⇔ x = y + ⇔ thay vào (2) f ' (t ) = 2t + ⇒ 4y ( 2y + − ) + 2y + = 2y + − ⇔ 8y − 12y + 2y + = 2y ⇔ 8y − 10y + = 2y ⇔ 4y − 4y + 1 − 2y − = 2y ⇔ ( 2y − 1) = 2y + + 2y ( 2y + 1) ⇔ ( ( 2y − 1) ) = ( 2y + 1) ⇔ ( 2y − 1) = Chú ý: 2(2 y )2 5− 2 3− 2 ; ( 2y − 1) = 2y + 1, ⇒ y = ⇔ ( 2y − 1) = − − 1, ⇒ y = + 2 ; + 2 − 5(2 y ) + = 2 y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 - Đặt t = y ≥ ⇒ 2t − 5t + − 2t = t = − 2 ⇔ (t + 1) 2t − 4t + = ⇔ t = + 2 2 2y = + − ⇔ 2y = − ⇔y= − ⇔ 2 4 (t−¬ng tù ) ( ) ) (1) 3 xy + y + = x +1 − x Bài 13: Giải hệ phương trình: x y + + x + x = 10(2) ( ( ) ( ) Phân tích hướng dẫn * Điều kiện: x ≥ (1) ⇔ 3xy + xy y + = x + + x x +1 x + (do x = không nghiệm phương trình) x x 1 ( 3y ) + = + + x x x ⇔ 3y + 3y y + = ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ⇔ ( 3y ) + ( 3y ) ( 3y ) +1 = = 1 1 + 1+ x x x x + + x x (*) * Xét hàm số f (t ) = t + t t + - Do x > từ (*) ⇒ y > ⇒ t > ⇒ f ' (t ) = + t + + + Từ (*) ⇒ y = x t2 t2 +1 > ⇒ f ' (t ) đồng biến ∀t > 1 x thay vào (2) ⇒ x + 1 + 4(x + 1) x = 10 ⇔ x + x + 4(x + 1) x = 10 ⇒ x = nghiệm ⇒ y = (t = ) x ⇒ x = t ; x = t ⇒ t + t + ( t + 1) t = 10 2 y + y + x − x = − x (1) Bài 14: Giải hệ phương trình − y = x + y − 7(2) Phân tích hướng dẫn 3 + Điều kiện: x ≤ 1; y ∈ − ; 2 (1) ⇔ y + y = − x − x − x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x −3 x−3 + + (9 − x2 ) = x +1 + − x +1 x = ⇒ y = ⇔ 1 + = x + (5) x + + − x +1 1 x + + ≤ 1 Xét (5) Ta có : ⇒ + ≤ , ∀x ∈ [ -1;4] x +1 +1 − x +1 ≤1 − x + Mặt khác x + ≥ 2, ∀x ∈ [ -1;4] Vậy phương trình (5) vô nghiệm ⇔ 1 + x + y + = ( x + y )2 + x + y Bài 116: Giải hệ phương trình: 2 ( x + 1) x − x + + x + xy = Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x + y ≥ (1) ⇔ − ( x + y ) + x + y + − x + y = ⇔ (1 + x + y )(1 − x − y ) + − 4x − y =0 x + y + + 6x + ⇔ (1 − x − y ) (1 + x + y ) + =0 x + y + + x + - Do điều kiên x + y ≥ nên + ( x + y ) + >0 2x + y + + 6x + ⇒ x + y − = ⇔ x + y = vào phương trình (2) ta ( x + 1) x − x + + x ( x + y ) = ⇔ ( x + 1) x − x + + x − = - Đặt f ( x ) = ( x + 1) x − x + + x − ( x + 1)( x − 1) + = x + x + > 0, ∀x ∈ ℝ f ' ( x) = 2x2 − x + + 2 2x − x − 2x − x − 1 ⇒ hàm số đồng biến R mà f = nên x = nghiệm 2 1 1 Với x = ⇒ y = − (thỏa đk) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ; − 2 2 2 x3 − y + y + x − y + = (1) Bài 117: Giải hệ phương trình x + x − = x + + y (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x ≥ −2 (1) ⇔ x + x + = y − y + y ⇔ x3 + x + = ( y − 1) + ( y − 1) + Xét hàm số f ( t ) = t + t + [ −2; +∞ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 73 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Ta có: f ' ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ [ −2; +∞ ) Suy hàm số f ( t ) đồng biến [ −2; +∞ ) Do đó: x = y − Thay y = x + phương trình (2) ta được: x3 − = x + + ⇔ x3 − = ( ) ( ) x + − ⇔ ( x − ) x2 + x + = ( ) ⇔ ( x − 2) x2 + x + = ( x+2 −2 ( x+2 +2 x+2+2 ⇔ ( x − 2) x2 + x + − x+2 +2 ( x − 2) ( )( ) ) ) =0 x+2 +2 ( ) * x−2=0⇔ x = 2⇒ y =3 * x2 + x + − ( x+2 +2 ) = ⇔ x2 + x + = ( 2 Ta có VT = x + x + = ( x + 1) + ≥ 3;VP = x+2 +2 x+2 +2 ) (*) ≤ 1, ∀x ∈ [ −2; +∞ ) Do phương trình (*) vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 2;3) 3x + 12 y + 24 xy − ( x + y ) xy = (1) Bài 118: Giải hệ phương trình 2 5 x − y + xy = 15 (2) ( x, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: + ĐK xy ≥ (1) ⇔ ( x + y ) + xy = ( x + y ) xy (3) + Ta có x = y = không nghiệm hệ nên xy > + Chia hai vế (3) cho ( x + y ) xy ta + Đặt t = x + y 2 xy + = 3(4) xy x + y x + 2y ≥ ta t + = ⇔ t = t xy x + 2y t =2⇒ = ⇔ x = 2y 2xy Thay x = y vào (2) ta y = ⇔ y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) − Bài 119: Giải hệ phương trình: + Hướng dẫn làm bài: 12 x =2 y + 3x 12 y =6 y + 3x Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 74 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 12 12 − = − x =2 y + 3x x y + 3x + Điều kiện: x > y > ⇔ 1 + 12 = + 12 y = y + 3x y + 3x y - Lấy (1) + (2): = + ⇔ 1= + (*) x y x y (1) (2) 12 (*) 12 = − ⇔ = − + y y + 3x y + 3x y y x x x y = 3x 12 ⇔ = − ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 6xy − 27x = ⇔ y + 3x y x y = −9x - So với điều kiện, nhận y = 3x (*) ⇔ x = + ⇒ y = 12 + - Lấy (2) – (1): x = + Vậy hệ phương trình có nghiệm y = 12 + x + xy + y = x + xy − x − y + = Bài 120: Giải hệ phương trinh Hướng dẫn làm bài: Cộng hai vế pt ta : (x + y – )2 + x( x + y – ) – (x + y – ) = x + y − = ⇔ ( x + y − ) ( x + y − 3) = ⇔ 2 x + y − = x + y − = x = ⇔ 2 y =1 x + xy + y = - Với x + y – =0 , ta có hệ : x = 2 x + y − = y =1 - Với 2x + y – =0 , ta có hệ : ⇔ x = x + xy + y = y = −1 x3 (4 y + 1) + 2( x + 1) x = (1) Bài 121: Giải hệ phương trình: 2 x y + y + = x + x + (2) Hướng dẫn làm bài: ĐK: x ≥ ( ) * Do x = nghiệm nên x > ⇒ x + x + > Từ PT (2) ⇒ y (2 + y + 1) > Chia hai vế pt (2) cho x , ta : (2 y) + (2 y) (2 y) 2 +1 = 1 1 1 + + ⇔ f (2 y ) = f (3) x x x x * Xét hàm số : f (t ) = t + t t + khoảng ( 0; +∞ ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 75 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 t2 ⇒ f '(t ) = + t + + t2 +1 > 0, ∀t > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (4) Từ (3) (4) ⇒ y = * Thay y = x vào pt (1), ta : x3 + x + ( x + 1) x = (5) x Ta thấy x = nghiệm pt (5) Xét hàm số : f ( x) = x3 + x + ( x + 1) x khoảng ( 0; +∞ ) Có f '( x) = 3x + x + x x + x2 + > 0, ∀x > ⇒ hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) (6) x Từ (5) (6) ⇒ x = nghiệm pt (5) 1 * x = ⇒ y = Vậy nghiệm hệ : 1; 2 x − y − x + y + = Bài 122: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 − + 12 − + − + = x x y xy y x y Hướng dẫn làm bài: Ta có: −7 x3 + 12 x y − xy + y − x + y = ⇔ ( y − x ) x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = ( ) x + Vì x − x ( y − x ) + ( y − x ) + = y − x − + x + > 0, ( ∀ x, y ) nên: 2 ( ) ⇔ x − y = hay x = y 2 y = x y = x y = x ⇒ Hệ tương đương: ⇔ ⇔ x = 2 2 x − y − x + y + = x − 5x + = x = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 2;2 ) ( x; y ) = ( 3;3) 4 x + y − x − = x + + x + x + y − (1) Bài 123: Giải hệ phương trình: x 12 − y + y (12 − x ) = 12 (2) Hướng dẫn làm bài: x ≥ − + Điều kiện: y ≤ 12 y (12 − x ) ≥ x + x + y − ≥ ( *) Ta có : Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 76 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x 12 − y ≤ 12 y (12 − x ) = 12 − x 12 − y ⇔ 12 x − 24 x 12 − y + 12 (12 − y ) y = 12 − x x 12 − y ≤ 12 ⇔ ⇔ x − 12 − y = − ≤ x ≤ 3; ≤ y ≤ 12 Thay vào phương trình (1) ta được: x − x + = x + + x + ( 2) ⇔ ( ) ( ) ( ) ⇔ ( x − x ) + x + − 3x + + x + − x + = 1 ⇔ ( x2 − x ) + + =0 x + + 3x + x + + x + ⇔ x − x = ⇔ x = x = Khi ta nghiệm ( x; y ) ( 0;12 ) (1;11) x + y + x + y + = (x + y)2 + x + y (1) Bài 124: Giải hệ phương trình: x + x + y + + x − y = (2) x + y ≥ (*) x − y ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: + Đặt t = x + y ≥ , từ (1) ta có: t + ⇔ t(1 − t) + t + = t2 + t ⇔ t − t2 + t + − t = = ⇔ (1 − t) t + t+3 +2 t ⇔ t = (Vì t + + Thay (3) vào (2) ta có: 3(1 − t) t+3 +2 t =0 t+3 +2 t > 0, ∀t ≥ ) ⇒ x + y = ⇔ y = − x (3) x2 + + 2x − = x2 − ⇔ ( x + − 2) + ( 2x − − 1) = ⇔ + x2 + + 2x − 2x − + =0 x +1 ⇔ (x − 1) + =0 2x − + x +3 +2 ⇔ x = (Vì x +1 + x2 + + 2 2x − + > 0, x ≥ ) ⇒ (x = 1; y = 0), thoả mãn (*) Vậy hệ cho có nghiệm ( x = 1; y = 0) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 77 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 xy( x2 + y ) − = ( x − y)2 (1) Bài 125: Giải hệ phương trình 3x y − x y( x + y) + x = 3xy 81x − (2) Hướng dẫn làm bài: Xét phương trình (1): xy( x + y ) − = ( x − y)2 ⇔ xy( x + y ) − = x2 + y − xy ⇔ xy( x + y ) − ( x2 + y ) + xy − = ⇔ ( x + y )( xy − 1) + 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x2 + y + 2) = ⇔ xy = thay vào (2) ta : 3 81x − 81x − x − x + x − = 81x − ⇔ ( x − ) + 3( x − ) = (*) + 3 3 Xét f (t ) = t + 3t , f(t) đồng biến R Khi PT (*) trở thành: x = 81x − 2 81x − − 24 f ( x − ) = f ⇔ x − = 81x − ⇔ x = ⇔ x − = 3 3 + 24 x = − x = + x = ⇒ hệ phương trình cho có hai nghiệm: , 3 y = y = 3+ 3− (1 − y )( x − y + 3) − x = ( y − 1)3 x (1) Bài 126: Giải hệ phương trình x − y + x3 − = 2( y − 2) (2) Hướng dẫn làm bài: x − y ≥ x ≥ y ⇔ + ĐKXĐ: x ≥ 0, y ≥ x ≥ 1, y ≥ Nhận xét x ≥ 1, y = không nghiệm hệ Xét y > pt (1) hệ (I) x + x( y − 1) − 3( y − 1)2 + ( y − 1) x( y − 1) = x x x x ⇔ −3+ = ,t = ,t > + y −1 y −1 y −1 y −1 Khi đó, pt (1) trở thành t + t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + t + 2t + 3) = ⇔ t = - Với t = 1, x = ⇔ y = x + , vào pt(2), ta y −1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 78 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x − x − + x3 − = ( x − 1) ⇔ x − x − + x − − ( x − 1) = x2 − x −1 ⇔ x − x −1 + =0 2 3 3 ( x − ) + + ( x − 1) x − + ( x − 1) ⇔ x − x − 1 + ⇔ V ới x = =0 x − + ( x − 1) x2 − x − (x − ) + + ( x − 1) x2 − x − = ⇔ x = 1+ ( x ≥ 1) 1+ + 1+ 3+ ⇒y= Đối chiếu ĐK, hệ phương có nghiệm ( x; y ) = ; 2 9 x + xy + x − y + y = (1) Bài 127: Giải hệ phương trình x − y + + = ( x − y ) + x − y (2) Hướng dẫn làm bài: Đk : x ≥ y ≥ Nếu x = y (2) vô nghiệm nên x > y, từ (2) ⇔ x − y + - x − y + – [3(x- y )] = ⇔ − 6x + y x − y + + 7x − y + (1 − x + y )(1 + x − y ) = ⇔ (1 − x + y ) + (1 + x − y ) = x − y + + x − y + x > y ≥ nên + (1 + x − y ) > suy 1–3x + 3y =0 x − y + + x − y vào phương trình (1) ta 1 9x2 + 9x(x - ) + 5x – 4(x - ) + x − = 3 + Thay y = x – ⇔ 18x – 8x + 6x - + x− - = 3 (9x – ) +3( x − - ) = ⇔ (9x – ) x + + x > = ⇔ x = 9x − +1 4 Với x = y = Vậy hệ có nghiệm (x;y) = ( ; ) 9 9 ⇔ 2x(9x – ) + x + y + = − y (1) Bài 128: Giải hệ phương trình 9 + x + xy + y = (2) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 79 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Hướng dẫn làm bài: x + y + ≥ +) Đk: x ≥ −1 +) Nếu y ≥ , để hệ có nghiệm ≥ y ≥ VT (1) = x + y + ≥ ⇒ VT (1) > VP(1) hệ vô nghiệm VP(1) = − y ≤ +) Nếu y < 0, từ (2) suy x > + x + xy + y = ⇔ 9+ = ( − y ) + ( − y ) (3) x x + 2t Xét hàm số f (t ) = t + t , t > 0; f '(t ) = > 0∀t > + t2 = −y ⇔ x = (3) ⇔ f = f (− y) ⇔ y x x 9 + y + = − y (4) Hàm số g ( y ) = 2 + y + y y đồng biến ( −∞;0 ) ; hàm số h(y)=1-y nghịch biến ( −∞;0 ) phương trình có ngiệm y = -3 nên pt(4) có nghiệm y = -3 Vậy hệ có nghiệm (1;-3) x y + x + = x x y + (1) Bài 129: Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 y x − + y x − + y + = ( 1) ( 2) (2) Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: x y ≥ −2 Từ (2) Thế vào pt(1) ta có phương trình ⇔ x y + x y = y − y + y − + 3( y − 1) ⇔ ( x y ) + x y = ( y − 1) + 3( y − 1) (3) - Xét hàm số f (t ) = t + 3t có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R - Do (3) ⇔ f ( x y ) = f ( y − 1) ⇔ x y = y − 1, ( y ≥ −1) - Thế vào (1) ta x y + x + = x y + ⇔ x ( y + 1) − x y + + = ⇔ ( x y + − 1) = ⇔ x y + = x y + x = y = − x x y + = Do hệ cho tương đương với ⇔ x y = y − ⇔ x ( − x ) + x = ( 4) x y = y − x > x > 2 2 ( 4) ⇔ x − x + = ⇔ ( x − 1) − x = ⇔ ( x − x − 1)( x + x − 1) = 1± x = − 1+ 1+ Do x > nên x = x = ⇔ 2 −1 ± x = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 80 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 1+ 1− −1+ 1+ ⇒y= Với x = ⇒y= 2 2 1 + − −1 + 1+ , ( x; y ) = Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = ; ; 2 2 Với x = (1 − y ) x + y + x + y = + ( x + y − 1) y (1) Bài 130: Giải hệ phương trình: y + x + y − y = (2) ( x ∈ ℝ, y ∈ ℝ ) Hướng dẫn làm bài: - Đặt u = x + y ; v = y ( u ≥ 0; v ≥ ) ( x = u − v ) - Pt (1) hệ trở thành: (1 − v ) u + u − v + 2v = + ( u − 1) v ⇔ ( u − 1)( v − 1)( u + v + ) = * TH : u = ⇒ x + y = ⇒ x = − y Thế vào pt thứ hai hệ ta được: y2 + − y + y4 − y2 = ⇔ y2 − y + ( ) y4 − y2 − = y4 − y2 − ⇔ y ( y − 2) + ⇔ ( y − 2) y + =0 ( y4 − y ) + y4 − y2 + (y (y − y) =0⇔ y=2 + y − 2y + 4 + 2) ( y + 2) Khi x = -1 * TH 2: v = Suy y = 1; x = * TH 3: u + v + = 0: Vô nghiệm Vậy hệ cho có hai nghiệm: ( x; y ) = ( −1; ) , ( 2;1) (x + 1)y + = 2xy (y3 − 1) Bài 131: Giải hệ phương trình: với x, y ∈ ℝ 4 xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Hướng dẫn làm bài: xy − xy − x y − y = 1(1) + Hpt ⇔ 2 3 x y − xy − x y − xy = 1(2) Lấy (2) trừ (1) ta được: 3x2y6 – 4xy5 + y4 = y = y4 = ⇔ ⇔ xy = 3 ( xy ) − xy + = xy = + Với y = thay vào pt (1) không thỏa mãn Suy hệ vô nghiệm + Với xy = thay vào pt (1) Ta được: y = ( y + 1) ⇔ y = + Vớ i y = 1± 1+ 5 −1 1− − −1 ⇒x= ; y= ⇒x= 2 2 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 81 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 + Với xy = thay vào pt (1) ta được: 3y4 + (y + 3)2 = vô nghiệm −1 1+ − −1 1− ; ; Vậy hệ có nghiệm x + 2x + − y − 2y + = y − 3x − (1) Bài 132: Giải hệ phương trình: 2 y − 3y + = x − x (2) Hướng dẫn làm bài: Phương trình (2) ⇔ y2 - 3y + = x2 - x ⇔ y - 3x - = y2 - x2 - 2y - 2x vào phương trình (1) ta có: ( x + 1) +4− ( y − 1) ( y − 1) ⇔ ( x + 1) +4− ⇔ ( x + 1) + +(x+1)2= + = y2 - x2 - 2y - 2x + = (y-1)2-(x-1)2 ( y − 1) + +(y-1)2 (*) Xét hàm số f(t) = t + +t [0;+ ∞ ), f’(t) > ∀ t≥0 ⇒ f(t) đồng biến [0;+ ∞ ) x = y − 2 2 ⇒ phương trình (*) ⇔ f((x+1) ) = f((y-1) ) ⇔ (x+1) = (y - 1) ⇔ x = − y - Với x = y - 2, vào (2) giải được: x = − ; y = 2 3 - Với x = - y, vào (2) giải được: x = − ; y = 4 3 Vậy (x;y) ∈ − ; , − ; 2 4 y − x + y + = x3 + y ( x + xy + y − 1) + (1) Bài 133: Giải hệ phương trình : y + y − x = (2) Hướng dẫn làm bài: y > ( y = không thỏa HPT), từ (1) x + y ≥ −1 −( x + 1) ⇔ = ( x + 1)( x − x + 1) + y ( x + 1)( x + y − 1) y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x − x + xy + y − y + + ] y + x + y +1 ⇔ ( x + 1)[ x + (3 y − 1) x + y − y + + ] (3) y + x + y +1 Xét A = x2 + (3y – )x + 3y2 – 3y + ∆ = -3(y - 1)2 ≤ ∀x ∈ R ⇒ A ≥ ∀x, y ∈ R Điều kiện : - Vậy từ (3) ⇔ x = -1 ,thay x = -1 vào (2) ta có : y + y + = −1 + 17 y = −1 + 17 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( - ; ) ⇔ −1 − 17 (l ) y = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 82 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x x + y + y = x + x3 + x (1) Bài 134: Giải hệ phương trình x + y + x − + y ( x − 1) = (2) x ≥ Hướng dẫn làm bài: Đk: , từ (1) y ≥ (x,y ∈ R ) ⇔ x ( x + y − x + x) + ( x − y ) = y−x ⇔x + x − y = ⇔ ( x − y )( x + y + x + x − x) = x +y+ x +x + Do x = y thay vào pt (2) : x + x + x − + x( x − 1) = + Đặt t = x + x − 1(t ≥ 0) ⇒ t = x − + x( x − 1) PT trở thành t + + 2t = hay t + 2t − = lấy t = ⇒ x − + x = 25 x ≤ ⇔ x( x − 1) = − x ⇔ ⇔x= 16 4 x − x = 25 − 20 x + x 25 25 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) 16 16 x − 3x + = y + y Bài 135: Giải hệ phương trình: 3 x − = y + y y3 + y ≥ x ≥ Hướng dẫn làm bài: Điều kiện: y + y ≥ ⇔ y ≥ x − ≥ Khi đó: x − x + = y + y ⇔ ( x − 1) − ( x − 1) = ⇔ f ( x − 1) = f ( ( y+3 ) −3 y +3 ) y + với hàm số f (t ) = t − 3t - Xét hàm số f (t ) = t − 3t với t ∈ [1; +∞ ) có f '(t ) = 3t − = ( t − 1) ≥ - Hàm số f (t ) = t − 3t đồng biến [1; +∞ ) ⇒ f ( x − 1) = f - Từ x − = ( ) y + ⇒ x −1 = y + ⇔ x − = y + −1 y2 + y ⇒ ( x − 2) = y2 + y ⇔ ( ) y + − = y2 + y ⇔ y + = y + y + Với điều kiện y ≥ , bình phương vế phương trình biến đổi thành: y + 16 y + 72 y + 63 y − 162 = ⇔ ( y − 1) ( y + 17 y + 99 y + 162 ) = Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 83 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x = y =1 Suy y = x = Kết luận: Hệ có nghiệm nhất: x + y + x2 + y = xy(x + 1)(y + 1) = m Bài 136: Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: x + x + y + y = 2 (x + x)(y + y) = m + Hệ ⇔ u + v = (1) u.v = m (2) u; v ≥ 1 33 Từ (1) ⇒ v = − u (Do v ≥ − ⇒ − u ≥ − ⇒ u ≤ ) thay vào (2) ta có : 4 33 − u + 8u = m (*);- ≤ u ≤ 4 33 Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn - ≤ u ≤ 4 33 f (u) = − u + 8u; − ≤ u ≤ ⇔ đồ thị 4 phải cắt y = m - Có f '(u) = −2u + 8;f '(u) = ⇔ u = u = x + x ≥ − + Đặt ta có hệ : v = y + y ≥ − Ta có BBT: u - 33 + - f'(u) f(u) 16 33 16 Từ BBT suy giá trị m cần tìm : − - 33 16 33 ≤ m ≤ 16 16 1 x + x + y + y = Bài 137: (KD-2007) Tìm m để hệ sau có nghiệm x + + y + = 15m − 10 x3 y3 Hướng dẫn làm bài: * ĐK: x, y ≠ Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 84 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 1 x + x + y + y = + Hệ ⇔ 3 x + − x + + y + − y + = 15m − 10 x x y y u = x + x , u ≤ −2 ∪ u ≥ Đặt thay vào hệ ta có : v = y + , v ≤ −2 ∪ v ≥ y v ≤ −2 u + v = (1) 3 u − 3u + v − 3v = 15m − 15 (2) u ≥ − u ≤ −2 + Từ (1) ⇒ v = − u Do ⇒ ⇔ , v ≥ 5 − u ≥ u ≤ kết hợp với u ≤ −2 ∪ u ≥ ⇒ u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ , thay v = - u vào (2) ta được: u − 5u + = m, u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ (*) + Để hệ phương trình cho có nghiệm PT (*) phải có nghiệm thỏa mãn u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ f (u) = u − 5u + 8,u ≤ −2 ∪ ≤ u ≤ ∪ u ≥ ⇔ đồ thị phải cắt y = m - Ta có f’(u) = 2u - 5, f’(u) = ⇔ u = u -∞ -2 f'(u) f(u) +∞ +∞ +∞ 22 2 22 7 ≤m≤2 Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≥ 22 2x − (y + 2)x + xy = m (*) x + x − y = − 2m Bài 138: (KD-2011) Tìm m để hệ sau có nghiệm Hướng dẫn làm bài: + Từ (*) ⇔ 2x − yx − 2x + xy = m ⇔ x (2x − y) − x(2x − y) = m ⇔ (2x − y)(x − x) = m (2x − y)(x − x) = m x − x + 2x − y = − 2m Hệ ⇔ u.v = m (1) u = x − x ≥ − + Đặt hệ ⇔ u + v = − 2m (2) v = 2x − y u ≥ − Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 85 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Từ (2) ⇒ v = − 2m − u thay vào (1) có : m(2u + 1) = − u + u,u ≥ − −u + u = m (**), u ≥ ⇔ 2u + + Để hệ cho có nghiệm phương trình (**) phải có nghiệm thỏa mãn u ≥ − −u + u =m ,u ≥f (u) = ⇔ đồ thị 2u + phải cắt y = m −1 + u= −2u − 2u + - Có f '(u) = ,f '(u) = ⇔ (2u + 1) −1 − (lo¹i) u = 2 -1- u -∞ f'(u) - - - + -1+ + + +∞ - 2- f(u) - Từ BBT suy giá trị m cần tìm m ≤ -∞ 2− x + + − y = (1) Bài 139: Giải hệ phương trình y + + − x = (2) Hướng dẫn làm bài: * ĐK: −1 ≤ x;y ≤ - Lấy (1) - (2) ta có : x + − y + + − y − − x = ⇔ ( x+1 − y +1 ( )( x+1 + y +1 x+1 + y +1 ) )+( 7−y − 7−x ( )( 7−y + 7−x 7−y + 7−x ) ) =0 1 ⇔ (x − y) + =0⇔x=y − y + − x x + + y + - Thay y = x vào (1) có : x + + − x = ⇔ x + + (x + 1)(7 − x) + − x = 16 ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = = y x y + m = y (1) Bài 140: Tìm m để hệ sau có nghiệm y x + m = x (2) m < Hướng dẫn làm bài: + Lấy (1) - (2) ta có : (x − y)(xy + y + x) = ⇔ x = y (do m < nên xy + y + x > 0) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 86 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 Thay y = x vào (1) có : − x + x = m, x > (*) - Để hệ cho có nghiệm phương trình (*) phải có nghiệm f (x) = − x + x , x > ⇔ đồ thị phải cắt điểm y = m x = (ktm) - Có f '(x) = −3x + 2x,f '(x) = ⇔ x = -∞ x +∞ f'(x) - + - f(x) 27 -∞ Từ BBT suy giá trị m cần tìm m < NGUYỄN HỮU BIỂN Fb: https://www.facebook.com/nguyenhuubien1979 Nhóm ôn thi đại học online: https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 87 [...]... nhiên cái ngoặc vuông “khổng lồ” gắn kèm kia ta rất khó để chứng minh được nó khác 0 Có lẽ cách làm này vẫn không khả thi cho lắm + Sau một hồi suy luận mất khá nhiều thời gian và công sức, ta cũng chỉ mới biết được x = 2y ⇔ x − 2y = 0 Bây giờ con đường cuối cùng là ta đổi hướng làm theo kiểu “đánh giá”, chú ý phải “biến đổi ép” để có ( x − 2y ) nhé Thật vậy, từ (1) ta biến đổi như sau: ) ( ( x 4y3... số f (x) = 3x − 8 − x + 1 − ⇔ f '(x) = 3 x + 1 − 3x − 8 10 8 11 + > 0, ∀x ≥ ; x ≠ 2 3 2 2 3x − 8 x + 1 ( 2x − 1) + Ta có bảng biến thi n sau: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 18 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x 8 11 3 2 +∞ + f'(x) + f(x) + Từ BBT ta thấy hàm số f(x) cắt Ox tại tối đa 2 điểm, vậy phương trình (5) chỉ... https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 19 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 + Đến đây ta vẫn chưa chứng minh được f(t) là hàm đơn điệu, vậy ta sẽ tính f’’(t) và sử dụng PP “min - max”, thật vậy: ⇒ f ''(t) = 6t 1 − , xét f ''(t) = 0 ⇔ t = 0 , ta có bảng biến thi n sau: 1 (t 2 +5 ) 3 t 0 -∞ f''(t) - +∞ + 0 f'(t) 6 5 + Từ BBT ta thấy f '(t) ≥ -2... ta chưa thể xác định được hàm f(t) đơn điệu, điều này chứng tỏ ĐK của t tìm chưa sát (vẫn còn thi u) Bây giờ ta phải nghiên cứu kỹ hơn để tìm ĐK cho t thật sát + Xét (1) ta thấy: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 21 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 3 = 3 1 − x 2 + 1 3x 2 − y − 1 ⇔ 3 = 3 3 − 3x 2 + 1 3x 2 − y − 1 ⇔ 3... nhân tử chung: 1 x=0< + Ta thấy x − x − y ≠ 0 vì : nếu x − x − y = 0 thì theo (1) ⇒ y = 0 ⇒ 2 x = 1 2 2 ⇒ x = 0; y = 0 không là nghiệm của HPT, vậy từ (1) thực hiện nhân liên hợp ta có: Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 28 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x2 − x − y = 3 y ⇔ 3 x−y = x−y x − y −1 ⇔ 3 (x − y) 2... −8 ≥ 0 y y y 2 x x x ⇔ 5 − ≥ 8 − 3 (4) y y y Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 13 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 2 x x x + Mặt khác, từ ĐK x ≤ 5y ⇔ ≤ 5 ⇔ 0 < ≤ 5 ⇒ 8 − 3 > 0 , vậy BPT (4) có 2 vế y y y 2 2 không âm nên bình phương 2 vế và biến đổi ta được kết quả: 4 2 x x... ( ) 2 ⇔ y 2 − 3y + 1 = 0 do y 2 + y + 1 + >0 y (3 − y ) + 1 ( ) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 14 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 3− 5 0 ⇒ y − x − 1 =... g(2x + 1) > g(2x − 1) ⇒ 2x + 1 ( 2x + 1) 2 > +3 2x − 1 ( 2x − 1) Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 2 +3 16 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 2x + 1 ⇒ f '(x) = 2x − 1 − 2 > 0 ⇒ f (x) là hàm đồng biến 2 ( 2x + 1) + 3 ( 2x − 1) + 3 Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của (5) KL: (x; y) = (2;3) x 4 + x 3 − x 2 + 1 = x ( y − 1)3... + x 2 ( ) x 4 − x3 + x 2 −1 = 0 ⇔ x 3 − x 2 + 1 + x 2 = 1 Giáo viên biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien 17 TÌM HIỂU KỸ THUẬT GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH - ÔN THI THPT QUỐC GIA 2016 x = 1 2 ⇔ 1 − x ≥ 0 3 2 2 x − x + 1 = 1 − x KL: HPT có nghiệm (x; y) = (1; 2), (0;1) ( ) 2 x = 1 ⇒ y = 2 ⇔ x = 0 ⇒ y = 1 3x 2 + 3y 2 + 8 = ( y − x ) ( y 2 + xy