Một số bài bất đẳng thức

Một số kí hiệu dùng sách  MO -National Mathematical Olympiad  IMO-Intetnational Mathematical Olympiad  TST-Seclection Test for Intetnational Mathematical Olympiad  APMO-Asian Pacific Mathematical Olympiad  MOSP-Mathematical Olympiad Summer Program  S.O.S-SumOf Square  MV-Mixing Variables  IGI-Inequality General Induction  VMEO-Viet Nam Mathematical Eolympiad- kì thi giải toán diễn dàn toán học net  Mathlink contests- kì thi giải toán diễn dàn mathlink  R-tập số thực  R+-tập số thực dương  N-tập số tự nhiên  N*-tập hợp số tự nhiên bỏ số  Q-tập hợp số hữu tỉ  [a,b]-khoảng đóng đầu mút a,b  (a,b)-khoảng mở hai đầu mút a,b  -tổng đối xứng ví dụ         -tổng hoán vị ví dụ Majorization- tính trội, sử dụng bất đẳng thức karamata Z-tập hợp số nguyên Zn-tập hợp số nguyên đồng dư mod n Q+-tập hợp số hữu tỉ dương R-tập hợp số thực C-tập hợp số ảo |A|- số phần tử A chương hai bất đẳng thức phần I :AM-GM-HM-QM I ) lí thuyết +từ công thức tổng quát sau: ta thấy với r tăng hàm tăng _xét r=-1 ta có gọi HM _xét r=1 ta có gọi AM _xét r=2 ta có gọi QM _xét r=0 ta có gọi GM +vậy ta có nhận xét: AM-GM dùng nhiều II ) ví dụ A) sử dụng AM-GM trực tiếp 2.1.1.1 cho a,b số dương thõa mãn a+b=2 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có: 2.1.1.2 cho a,b số thực dương cho a+b=2 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có 2.1.1.3 cho a,b số thực dương cho a+b=2 vả chứng minh giải 2.1.1.4 cho a,b,c số thực dương cho a+b+c=3 chứng minh (irish MO 2000 ,india 2002 and bulgarian TST 2010) giải áp dụng AM-GM số suy dpcm 2.1.1.5 cho x,y,z >0 x+y+z=1 chứng minh giải áp dụng AM-GM số chứng minh tương tự công theo vế suy dpcm 2.1.1.6 cho a,b,c,d >0 ab+bc+cd+da =1 chứng minh giải áp dụng AM-GM số ta chứng minh áp dụng giả thiết ta có suy dpcm 2.1.1.7 cho a,b,c >0 chứng minh giải áp dụng AM-GM số ta chứng minh áp dụng AM-GM ta chứng minh bổ đề sau (1) (2) từ (1) (2) ta suy dpcm 2.1.1.8 cho a,b,c thuộc R thõa chứng minh giải áp dụng AM-GM số (1) (2) từ (1) (2) suy dpcm 2.1.1.9 cho a,b,c,d >0 thõa abcd=1 chứng minh giải với trường hợp chứng minh tổng quát sau với trường hợp mà abcd=1 suy ta cần chứng minh 2.1.1.10 mà theo AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm cho x,y,z >0 chưng minh giải áp dụng AM-GM số chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.1.11 cho x,y,z >0 chứng minh giải áp dụng AM-GM số ta có dpcm 2.1.1.12 cho a,b,c,d >0 chứng minh giải áp dụng AM-GM lần (1) 2.1.1.13 giải dpcm cho a,b,c>0 thõa a+b+c=3 chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với áp dụng AM-GM số ta có ta cần chứng minh mà a+b+c=3 suy vào bất đẳng thức cần chứng minh suy dpcm 2.1.1.14 cho x,y,z thuộc (-1,1) chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có mà (do x,y,z thuộc (-1,1) ) suy dpcm 2.1.1.15 cho a,b,c >0 chứng minh giải đặt t= 2.1.1.16 suy dpcm cho x,y>0 x+y=1 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có (1) (2) cộng (1) (2) suy dpcm 2.1.1.17 cho a,b,c>0 chứng minh giải ta chứng minh bổ đề sau 2.1.1.18 chứng minh tương tự cộng lại suy dpcm cho a,b,c>0 thõa a+b+c=3 chứng minh giải bất dẳng cần chứng minh tương dương áp dụng AM-GM số ta có chưng 1minh tương tự cộng lại suy dpcm 2.1.1.19 cho x,y,z >0 thỏa chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng lại suy dpcm 2.1.1.20 cho x,y,z>0 chưng minh giải áp dụng AM-GM ta có 2.1.1.21 cho B) sử dụng AM-GM ngược đấu ( phương pháp phủ định phụ định) 2.1.2.1 cho a,b,c số đương thõa a+b+c=3 chứng minh giải để chứng minh toán ta chứng minh bổ đề sau sử dụng AM-GM cho mẫu số (1) (2) từ (1) (2) ta suy dpcm 2.1.2.2 cho a,b,c,d số đương thõa a+b+c+d=4 chứng minh giải giải tương tự với 2.1.2.3 cho a,b,c,d số đương thõa a+b+c+d=4 chứng minh giải ta chứng minh toán sau (1) (2) (3) từ (1),(2) (3) suy dpcm 2.1.2.4 cho a,b,c,d số dương chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có làm tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.2.5 cho a,b,c,d số dương chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có làm tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.2.6 cho a,b,c>0 a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có ta phải chứng minh bất đẳng thức theo ta suy dpcm 2.1.2.7 cho a,b,c>0 a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có ta chứng minh bất dẳng thức theo chứng minh tương tự suy dpcm 2.1.2.8 cho a,b,c >0 thõa a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.2.9 cho a,b,c,d >0 thõa a+b+c+d=4 chứng minh giải giải tương tự áp dụng suy dpcm 2.1.2.10 cho a,b,c,d >0 thõa a+b+c+d=4 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.2.11 cho a,b,c>0 thõa a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự ta chứng minh áp dụng AM-GM ta có suy dpcm 2.1.2.12 cho a,b,c >0 a+b=c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự áp dung bất đẳng thức sau suy dpcm 2.1.2.13cho a,b,c>0 a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có ta phải chứng minh áp dụng AM-GM suy dpcm 2.1.2.14 cho a,b,c>0 abc=1 chứng minh làm áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự , ta chứng minh bất đẳng thức theo ( áp dụng AM-GM) 2.1.2.15 cho a,b,c >0 a+b+c=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự ta chứng minh bất đẳng thức theo bổ đề vasile cirtoaje 2.1.2.16 cho x,y,z >0 x+y+z=3 chứng minh giải áp dung AM-GM ta có ta phải chứng minh bất đẳng thức vasile cirtoaje 2.1.2.17 cho x,y,z>0 x+y+z=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có ta chứng minh bất đẳng thức vasile ciroaje 2.1.2.18 C) kĩ thuật đánh giá điểm rơi từ trung bình cộng sang trung bình nhân 2.1.3.1 cho x,y>0 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có 2.1.3.2 giải cho a,b,c >0 thỏa chứng minh áp dụng AM-GM ta có 2.1.3.3 cho x,y.z>0 thỏa chứng minh giải áp dụng AM-GM 17 số ta có mà bất đẳng thức suy dpcm 2.1.3.4 cho a,b,c>0 thỏa chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có 2.1.3.5 cho a,b,c,d>0 chứng minh giải áp dụng AM-GM số (1) AM-GM 12 số (2) từ (1) (2) ta có dpcm 2.1.3.6 D) kĩ thuật đánh giá điểm biên 2.1.4.1 cho x,y,z >0 x+y+z=1 chứng minh giải x+y+z=1 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với vai trò x,z giống giả sử áp dụng AM-GM ta có ta cần phải chứng minh (đúng) suy dpcm 2.1.4.2 cho a,b,c>0 a+b+c=1 chứng minh giải ta dễ dàng thấy ta chứng minh ta chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức mạnh mà bất đẳng thức tương đương suy dpcm 2.1.4.3 cho a,b,c>0 chứng minh giải giả sử giả sử nên bất đẳng thức đầu hiển nhiên theo AM-GM ta có ta phải chứng minh bất đẳng thức tương đương giả thiết 2.1.4.4 cho x,y,z >0 phân biệt thõa (z+y)(z+x)=1 chứng minh giải dễ thấy đẳng thức mạnh ta có giả sử z=min{x,y,z} ta chứng minh bất để ý (1) áp dụng AM-GM sau (2) áp dụng (1) (2) suy bất đẳng thức ta cần dpcm 2.1.4.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac>0 chứng minh giải giả sử ta xét trường hợp sau trường hợp 1: để thấy ta cần chứng minh áp dụng AM-GM số ta có dpcm trường hợp 2: từ ta suy từ suy suy dpcm E) kĩ thuật ghép đối xứng 2.1.5.1 cho a,b,c >0 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.5.2 cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác chứng minh giải ta chứng minh bổ đề sau AM-GM bổ đề: ta có áp dụng vào toán ta có chứng minh tương tự suy dpcm 2.1.5.3 cho x,y,z>0 thõa x+y+z=3 chứng minh giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy điều phải chứng minh 2.1.5.4 cho x,y,z>0 thỏa chứng minh giải từ giã thiết suy chứng minh tương tự suy suy dpcm 2.1.5.5 cho a,b,c >0 abc=1 chứng minh giải ta chứng minh bổ đề sau bất đẳng thức tương dương bất đẳng thức áp dụng bổ đề kết hợp với AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.5.6 cho x,y,z>0 chứng minh giải áp dụng AM-GM số ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.5.7 cho x,y,z chứng minh giải bất đẳng thức cần chứng minh tương dương áp dụng 2.1.5.6 lần suy diều phải chứng minh 2.1.5.8 cho x,y,z>0 thõa chứng minh giải bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh giả thiết suy mà bất dẳng thức theo AM-GM chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.5.9 I)đặt ẩn phụ kết hợp AM-GM 2.1.9.1 cho x,y khác không chứng minh giải đặt bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (1) với (1) tương dương với suy dpcm 2.1.9.2 cho x,y,z>0 x+y+z=1 chứng minh giải đặt ta chứng minh bất đẳng thức dơn giản sau (1)với (1) tương dương suy dpcm 2.1.9.3 cho a,b,c,d >0 thõa ab=cd=1 chứng minh giải đặt x=a+b y=c+d nên bất đẳng thức cần chứng minh (1) áp dụng AM-GM ta có (1) suy dpcm 2.1.9.4 cho x,y,z >2 chứng minh giải đặt x=a+2, y=b+2, z=c+2 với a,b,c>0 toán trở thành chứng minh theo giả thiết ta có đặt tiếp tương tự cho n,p suy tương tự cho b,c ta chứng minh bất đẳng thức cuối đùng theo AM-GM 2.1.9.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac+abc=4 chứng minh giải theo giả thiết ta suy đặt theo trước bất đẳng thức cần chứng minh áp dụng AM-GM chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.9.6 cho a,b,c >0 thõa abc=1 chứng minh giải áp dụng AM-GM mẫu suy ta cần chứng minh mà điều xyz=1 suy dpcm 2.1.9.7 cho a,b,c >0 abc=1 chứng minh giải đặt tương tự cho b,c bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với mà ta có theo AM-GM chứng minh tương tự cộng theo vế suy dpcm 2.1.9.8 T) áp dụng dirichlet 2.1.20.1 cho a,b,c >0 chứng minh giải theo dirichlet ta có số a,b,c tồn số lớn bé tính đối xứng nên không tính tổng quát giả sử ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với theo giả thiết [...]... 2.1.4.2 cho a,b,c>0 và a+b+c=1 chứng minh bài giải ta dễ dàng thấy và ta sẽ chứng minh ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng một bất đẳng thức mạnh hơn mà bất đẳng thức này tương đương đúng vậy suy ra dpcm 2.1.4.3 cho a,b,c>0 chứng minh bài giải giả sử giả sử vậy nên bất đẳng thức đầu hiển nhiên đúng vậy theo AM-GM ta có vậy giờ ta phải chứng minh nhưng bất đẳng thức này tương đương đúng do giả thiết... minh bài giải bất đẳng thức cần chứng minh tương dương áp dụng bài 2.1.5.6 2 lần suy ra diều phải chứng minh 2.1.5.8 cho x,y,z>0 thõa chứng minh bài giải bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh và giả thiết suy ra mà bất dẳng thức này đúng theo AM-GM chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.5.9 I)đặt ẩn phụ kết hợp AM-GM 2.1.9.1 cho x,y khác không chứng minh rằng bài giải đặt vậy bất đẳng. .. x,y.z>0 thỏa chứng minh bài giải áp dụng AM-GM 17 số ta có mà bất đẳng thức này suy ra dpcm 2.1.3.4 cho a,b,c>0 thỏa chứng minh bài giải áp dụng AM-GM ta có 2.1.3.5 cho a,b,c,d>0 chứng minh bài giải áp dụng AM-GM 8 số (1) và AM-GM 12 số (2) từ (1) và (2) ta có dpcm 2.1.3.6 D) kĩ thuật đánh giá điểm biên 2.1.4.1 cho x,y,z >0 và x+y+z=1 chứng minh bài giải do x+y+z=1 nên bất đẳng thức cần chứng minh tương... 2.1.5.4 cho x,y,z>0 thỏa chứng minh bài giải từ giã thiết ra suy ra chứng minh tương tự suy ra suy ra dpcm 2.1.5.5 cho a,b,c >0 và abc=1 chứng minh bài giải ta chứng minh bổ đề sau bất đẳng thức này tương dương bất đẳng thức này đúng áp dụng bổ đề kết hợp với AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.5.6 cho x,y,z>0 chứng minh bài giải áp dụng AM-GM 3 số ta có chứng minh tương tự cộng... x,y,z >2 và chứng minh rằng bài giải đặt x=a+2, y=b+2, z=c+2 với a,b,c>0 vậy bài toán trở thành chứng minh theo giả thiết ta có đặt tiếp và tương tự cho n,p vậy suy ra và tương tự cho b,c vậy giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức cuối đùng theo AM-GM 2.1.9.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac+abc=4 chứng minh rằng bài giải theo giả thiết ta suy ra vậy đặt theo bài trước vậy bất đẳng thức cần chứng minh áp dụng... không chứng minh rằng bài giải đặt vậy bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (1) với (1) tương dương với đúng suy ra dpcm 2.1.9.2 cho x,y,z>0 và x+y+z=1 chứng minh bài giải đặt vậy giờ ta sẽ chứng minh bất đẳng thức dơn giản sau (1)với (1) tương dương đúng suy ra dpcm 2.1.9.3 cho a,b,c,d >0 thõa ab=cd=1 chứng minh bài giải đặt x=a+b và y=c+d nên bất đẳng thức cần chứng minh (1) áp dụng AM-GM ta có vậy... biệt thõa (z+y)(z+x)=1 chứng minh bài giải dễ thấy đẳng thức mạnh hơn ta có giả sử z=min{x,y,z} vậy ta sẽ chứng minh bất để ý rằng (1) và áp dụng AM-GM như sau (2) áp dụng (1) và (2) suy ra bất đẳng thức ta cần dpcm 2.1.4.5 cho a,b,c >0 thõa ab+bc+ac>0 chứng minh bài giải giả sử ta xét 2 trường hợp sau trường hợp 1: để thấy và do đó ta chỉ cần chứng minh áp dụng AM-GM 3 số ta có dpcm trường hợp 2: do... minh bài giải áp dụng AM-GM dưới mẫu suy ra vậy giờ ta cần chứng minh mà điều này đúng do xyz=1 suy ra dpcm 2.1.9.7 cho a,b,c >0 và abc=1 chứng minh bài giải đặt và tương tự cho b,c vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với mà ta có theo AM-GM chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.9.8 T) áp dụng dirichlet 2.1.20.1 cho a,b,c >0 chứng minh bài giải theo dirichlet ta có trong 3 số a,b,c... đối xứng 2.1.5.1 cho a,b,c >0 chứng minh bài giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương tự cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.5.2 cho a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác chứng minh bài giải ta sẽ chứng minh bổ đề sau bằng AM-GM bổ đề: đầu tiên ta có vậy bây giờ áp dụng vào bài toán ta có chứng minh tương tự suy ra dpcm 2.1.5.3 cho x,y,z>0 thõa x+y+z=3 chứng minh bài giải áp dụng AM-GM ta có chứng minh tương... cộng theo vế suy ra dpcm 2.1.9.8 T) áp dụng dirichlet 2.1.20.1 cho a,b,c >0 chứng minh bài giải theo dirichlet ta có trong 3 số a,b,c tồn tại ít nhất 2 số cùng lớn hơn hoặc cùng bé hơn 1 do tính đối xứng nên không mất tính tổng quát giả sử ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương dương với đúng theo giả thiết ở trên