1) Cho ∆ ABC , D E thuộc AB AC cho DECB nội tiếp đường trò n, P giao DC BE , M trung điểm AP, N trung điểm BC lấy H AC cho 𝑃𝐻𝐴 =90 chứng minh ∆ MHN ~ ∆ ADC (Iran MO 2015) Giải Vẽ thêm điểm F,G trung điểm CP CA nên FGHM nội đường tròn điểm euler chứng minh MGCF hì nh bì nh hành nên 𝐹𝑀𝐺 = 𝐹𝐶𝐺 = 𝐷𝐵𝐸 =𝐹𝑁𝐺 nên F,G,H,M,N thuộc đường trò n 𝐴𝐶𝐷 =𝐻𝐺𝑀=𝐻𝑁𝑀và 𝑀𝐻𝑁=𝑀𝐹𝑁 =𝐴𝐸𝐵=𝐴𝐷𝐶 nên ∆MHN~∆ADC 2) cho tứ giác lồi ABCD cho AC phân giác góc A 𝐴𝐶𝐵 =𝐴𝐷𝐶 lấy X Y chân đường cao từ A xuống BC CD chứng minh trực tâm tam giác AXY nằm BD (Iran MO 2015) Giải Vẽ XZ song song CD cắt BD Z Xét tam giác ADC tam giác ACB 𝐴𝐷𝐶 =𝐴𝐶𝐵 (gt) 𝐷𝐴𝐶 =𝐵𝐴𝐶 (gt) Nên tam giác ADC đồng dạng tam giác ACB Ta có theo tales 𝐵𝑍 𝐵𝑋 𝐶𝑌 = = 𝑍𝐷 𝑋𝐶 𝑌𝐷 (do AX AY hai đường cao tam giác đồng dạng) Nên YZ song song BC nên YZXC hì nh bì nh hành Mà chứng minh AYCX nội tiếp AC đường suy Z trực tâm tam giác AXY trực tâm tam giác AXY thuộc BD 3) cho hình vuông ABVD điểm N,P thuộc AB,AD cho NC=NP Q thuộc AN cho 𝑄𝑃𝑁=𝐵𝐶𝑁 chứng minh 𝑄𝐶𝐵 = 𝐴𝑄𝑃 (Iran MO 2014) Giải Chứng minh AC phân giác góc DAB 𝐷𝑃𝐶 =𝑃𝐶𝐵 =𝑁𝐶𝐵 +𝑃𝐶𝑁 (1) Chứng minh tam giác PNC cân N nên 𝑃𝐶𝑁 =𝐶𝑃𝑁 (2) Mà 𝐵𝐶𝑁 =𝑄𝑃𝑁(gt)(3) (1),(2),(3) 𝐷𝑃𝐶 =𝐶𝑃𝑁 +𝑄𝑃𝑁=𝐶𝑃𝑄 Vậy PC phân giác 𝐷𝑃𝑄 C tâm đường trò n bàng tiếp góc A Nên QC phân giác 𝑃𝑄𝑁 Dặt 𝑃𝑄𝐶 =𝐶𝑄𝐵 =x Vậy 𝑄𝐶𝐵 =90-x 𝐴𝑄𝑃=180-2x nên𝑄𝐶𝐵 = 𝐴𝑄𝑃 4) cho đường trò n O ngoại tiếp tam giác ABC , M điểm cung nhỏ BC , vẽ đường cao từ A cắt đường trò n N kẻ OK song song MB cắt AB K OL song song MC cắt AC L chứng minh NL=NK (Iran MO 2013) Giải Chứng minh AKOL nội tiếp gọi giao AN (AKL) S 𝐿𝐴𝑆=90-𝐴𝐶𝐵 Mà 2𝑂𝐴𝐵=180-𝐴𝑂𝐵=180-2𝐴𝐶𝐵 nên 𝐿𝐴𝑆=𝑂𝐴𝐵 nên OK = LS OSKL hì nh thang cân 𝑂𝑆𝐴=𝑂𝐾𝐴=𝑀𝐵𝐴=𝑀𝑁𝐴nên MN song song OS chứng minh OM song song AN nên OSNM hì nh bì nh hành SN=OM=ON nên tam giác NOS tam giác cân N đễ dàng chứng minh tam giác NKL cân N nhờ vào hì nh thang cân OSKL mội tiếp 5) cho P nằm (O) PA PB tiếp tuyến (O) K thuộc AB (PKB) cắt (O) T H điểm đối xứng P qua A chứng minh 𝐻𝐾𝐴=𝑃𝐵𝑇 (Iran MO 2013) Giải Gọi L giao AT PK 𝑇𝐾𝐵 =𝑇𝐵𝑃 =𝐿𝐴𝐾nên ∆LKT~∆LAK nên 𝐿𝐾 =LT.LA CMTT ta có 𝐿𝑃2 =LT.LA nên L trung điểm PK theo đường trung bì nh tam giác ta có AL song song với HK 𝐻𝐾𝐴=𝐾𝐴𝑇 =𝑃𝐵𝑇 6) cho tam giác ABC vuông A , M trung điểm BC , lấy D AC cho AM=AD (AMC) cắt (BDC) P chứng minh CP phân giác góc C (Iran MO 2007) Giải Ta có 𝑃𝐷𝐴 = 180 − 𝑃𝐷𝐶 = 𝑃𝐵𝐶 mà 𝑃𝑀𝐵 = 180 − 𝑃𝑀𝐶 = 𝑃𝐴𝐶 AD=AM=MB nên tam giác ADP=tam giác MBP nên AP=PM CP phân giác góc C 7) cho đường trò n (w1) (w2) cắt D P ,AB tiếp tuyến chung đường trò n với A thuộc (w1) B thuộc (w2) cho khoảng cách từ D đến AB bé khoảng cách từ P đến AB , AD cắt (w2) C M trung điểm BC chứng minh 𝐷𝑃𝑀 = 𝐵𝐷𝐶 (Iran MO 2010) Giải Kéo dài DP cắt AB K dùng phương tích chứng minh K trung điểm AB mà M trung điểm BC nên theo đường trung bì nh ta có KM song song với AC ta có𝐾𝐵𝐷 = 𝐷𝑃𝐵 = 𝐷𝐶𝐵 = 𝐾𝑀𝐵 nên KBMP nội tiếp Ta có 𝐷𝑃𝐶 + 𝐷𝐵𝐶 = 180 mà 𝐷𝑃𝑀 + 𝐾𝐵𝑀 = 180 nên 𝐷𝑃𝐵 = 𝐾𝐵𝐷 = 𝑀𝑃𝐶 𝐷𝑃𝑀 = 𝐵𝑃𝐶 = 𝐵𝐷𝐶 8) cho BC đường kính (O) , dây XY vuông với BC lấy P thuộc XY cho BP song song CY M thuộc CY cho PM song song CX , BP cắt CY K chứng minh BK vuông KM (Iran MO 2005) Giải Dễ dàng chứng minh MY=PM KC=KB PKCM hì nh bính hành MY=MP=KC=KB mà CY song song BK nên BKMY hì nh bì nh hành mà 90 = 𝐵𝑌𝑀 = 𝐵𝐾𝑀 9) cho tam giác ABC nội tiếp (O) vẽ AD phân giác góc A cắt BC D (O) M vẽ đường trò n (M,MB) qua D kẻ dây XY (M) chứng minh AD phân giác góc XAY (Iran MO 2004) Giải Theo phương tích DX.DY=DB.DC=DM.DA nên AXMY nội tiếp mà MX=MY nên DA phân giác góc XAY 10)