một số bài giải đẳng thức và bất đẳng thức

Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Bài 2: a) Cho 1 1 1 0( , , 0)x y z x y z + + = . Tính 2 2 2 yz xz xy x y z + + b) (1,5đ) Vì 3 3 3 3 2 2 3 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 . x y z z x y z x y z x x y x y y + + = = + ữ = + = + + + ữ ữ 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 . . 3. x y z x y x y x y z xyz + + = + + + = ữ Do đó : xyz( 3 1 x + 3 1 y + 3 1 z )= 3 3 3 3 2 2 2 3 3 xyz xyz xyz yz zx xy x y z x y z + + = + + = Câu 5 . Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x 2 - 2xy + 6y 2 12x + 2y + 45. Câu 5. A = x 2 - 2xy+ 6y 2 - 12x+ 2y + 45 = x 2 + y 2 + 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y 2 - 10y+ 5+ 4 = ( x- y- 6) 2 + 5( y- 1) 2 + 4 4 Giá trị nhỏ nhất A = 4 Khi: y- 1 = 0 => y = 1 x- y- 6 = 0 x = 7 Câu 2: a. Cho 0 =++ c z b y a x (1) và 2=++ z c y b x a (2) Tính giá trị của biểu thức A= 2 2 2 2 2 2 x y z a b c + + b. Bit a + b + c = 0 Tính : B = 222222222 bac ca acb bc cba ab + + + + + Câu 2: . ( 1,25 điểm) a. Từ (1) bcx +acy + abz =0 Từ (2) = +++++ 02 2 2 2 2 2 2 yz bc xz ac xy ab c z b y a x 424 2 2 2 2 2 2 = ++ =++ xyz bcxacyabz c z b y a x b. . ( 1,25 điểm) Từ a + b + c = 0 a + b = - c a 2 + b 2 c 2 = - 2ab Tơng tự b 2 + c 2 a 2 = - 2bc; c 2 +a 2 -b 2 = -2ac B = 2 3 222 = + + ca ca bc bc ab ab 1 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Bài 4 (1đ): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 2007 20072 x xx A + = , ( x khác 0) Bài 4 (1đ): A = 2 22 2007 20072007.22007 x xx + = 2 22 2007 20072007.2 x xx + + 2 2 2007 2006 x x = 2007 2006 2007 2006 2007 )2007( 2 2 + x x A min = 2007 2006 khi x - 2007 = 0 hay x = 2007 (0,5đ) Câu 5 ( 1 điểm) a, Chứng minh rằng ( ) ( ) 3 3 333 .3 zyxxyyxzyx +++=++ b, Cho .0 111 =++ zyx Tính 222 z xy y xz x yz A ++= Câu 5. a, , Chứng minh ( ) ( ) 3 3 333 .3 zyxxyyxzyx +++=++ Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh. b, Ta có 0 =++ cba thì ( ) ( ) ( ) abcccabccbaabbacba 333 333 3 333 =+=+++=++ (vì 0 =++ cba nên cba =+ ) Theo giả thiết .0 111 =++ zyx . 3111 333 xyz zyx =++ khi đó 3 3111 333333222 =ì= ++=++=++= xyz xyz zyx xyz z xyz y xyz x xyz z xy y xz x yz A Câu 2: ( 1 điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x 2 +y 2 +1 x.y + x + y ( với mọi x ;y) b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A = 2 2 23 xxx x Câu2: ( 2 điểm ) 1) (1 điểm ) x 2 +y 2 +1 x. y+x+y x 2 +y 2 +1 - x. y-x-y 0 2x 2 +2y 2 +2-2xy-2x-2y 0 ( x 2 +y 2 -2xy) + ( x 2 +1-2x) +( y 2 +1-2y) 0 2 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 (x-y) 2 + (x-1) 2 + ( y- 1) 2 0 Bất đẳng thức luôn luôn đúng. Câu4 ( 1 điểm ) Ta có A = 4 3 ) 2 1 ( 1 1 1 )2)(1( 2 2 22 ++ = ++ = ++ x xxxxx x Vậy A max [ ( x+ ] 4 3 ) 2 1 2 + min x+ 2 1 = 0 x = - 2 1 A max là 3 4 khi x = -1/2 Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = 0. Chứng minh rằng a 3 +a 2 c abc + b 2 c + b 3 = 0 b, Phân tích đa thức thành nhân tử: A = bc(a+d)(b-c) ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bài 2: ( 1,5 điểm). Cho biểu thức: y = 2 )2004( +x x ; ( x>0) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị đó Bài 1: 3 điểm a, Tính: Ta có: a 3 + a 2 c abc + b 2 c + b 3 = (a 3 + b 3 ) + ( a 2 c abc + b 2 c)= (a + b) ( a 2 ab =b 2 ) + c( a 2 - ab +b 2 ) = ( a + b + c ) ( a 2 ab + b 2 ) =0 ( Vì a+ b + c = 0 theo giả thiết) Vậy:a 3 +a 2 c abc + b 2 c + b 3 = 0 ( đpCM) b, 1,5 điểm Ta có: bc(a+d) 9b c) ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) a(b+d)] = b(a-b). d(a-c) + c(a-c) . d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bài 2: 2 Điểm Đặt t = y2004 1 Bài toán đa về tìm x để t bé nhất Ta có t = x x 2004 )2004( 2 + = 2 2 2.2004 2004 2004 x x x + + = x x 2004 2 2004 ++ = 2 2004 2004 22 + + x x (1) Ta thấy: Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng ta có: x 2 + 2004 2 2. 2004 .x 2 2004 2004 22 + x x (2) Dấu = xảy ra khi x= 2004 Từ (1) và (2) suy ra: t 4 Vậy giá trị bé nhất của t = 4 khi x =2004. 3 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Vậy y max = 8016 1 2004 1 = t Khi x= 2004 Bài 1 ( 2 điểm). Cho biểu thức : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 x y x y P x y y x y x x y = + + + + 1.Rút gọn P. 2.Tìm các cặp số (x;y) Z sao cho giá trị của P = 3. Bài 5 (1 điểm). Cho các số a; b; c thoả mãn : a + b + c = 3 2 . Chứng minh rằng : a 2 + b 2 + c 2 3 4 . Bài 1. (2 điểm - mỗi câu 1 điểm) MTC : ( ) ( ) ( ) 1 1x y x y+ + 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x y y x y x y x y x y x y xy P x y x y x y x y + + + + + = = + + + + P x y xy= + .Với 1; ; 1x x y y thì giá trị biểu thức đợc xác định. 2. Để P =3 3 1 2x y xy x y xy + = + = ( ) ( ) 1 1 2x y + = Các ớc nguyên của 2 là : 1; 2. Suy ra: 1 1 0 1 2 3 x x y y = = + = = 1 1 2 1 2 1 x x y y = = + = = (loại). 1 2 3 1 1 0 x x y y = = + = = 1 2 1 1 1 2 x x y y = = + = = (loại) Vậy với (x;y) = (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3. Bài 5 (1điểm) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 4 4 a a a a a + + ữ Tơng tự ta cũng có: 2 1 4 b b+ ; 2 1 4 c c+ Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta đợc: 2 2 2 3 4 a b c a b c+ + + + + . Vì 3 2 a b c+ + = nên: 2 2 2 3 4 a b c+ + 4 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . Câu 4. Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 < 2 (ab + ac + bc) Câu 4. Từ giả thiết a < b + c a 2 < ab + ac Tng tự b 2 < ab + bc c 2 < ca + cb Cộng hai vế bất đẳng thức ta đợc (đpcm) Bài 3: (2đ) a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức M = zxzyzyxyx ++ + ++ + ++ 1 1 1 1 1 1 b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng: bacacbcba + + + + + 111 cba 111 ++ 0,2đ Bài 3: a) Vì xyz = 1 nên x 0, y 0, z 0 1)1(1 1 ++ = ++ = ++ xzz z xyxz z xyx zxz xz xzyzy xz yzy ++ = ++ = ++ 1)1(1 1 M = 1 1 1 11 = ++ + ++ + ++ xzzzxz xz xzz z b) a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a+b-c > 0; b+c-a > 0; c+a-b > 0 yxyx + + 411 với x,y > 0 bbacbcba 2 2 411 = + + + cbacacb 211 + + + acbabac 211 + + + Cộng từng vế 3 bất đẳng thức rồi chia cho 3 ta đợc điều phải chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 2 1 1 a a a + + + ; y = 2 1 1 b b b + + + 5 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Câu 4: (1,5 đ). Ta có x,y > 0 và 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a x a a y a a a b b + + = = + = + = + > + = + + + + + Vì a> b > 0 nên 2 2 1 1 a b < và 1 1 a b < . Vậy x < y. Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu .a 2 +b 2 +c 2 =ab+bc+ac thì a=b=c Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh. Theo giả thiết : a 2 +b 2 +c 2 = ab+ac+bc. Ta có : a 2 +b 2 +c 2 ab ac - bc = 0 Suy ra : (a 2 -2ab+b 2 ) + (b 2 -2ab+c 2 ) + (a 2 -2ac+c 2 )=0 (1 điểm). (a-b) 2 + (b-c) 2 + (a-c) 2 = 0 Điều này xảy ra khi và chỉ khi. a-b = b-c = a-c = 0 Tức là : a=b=c (1 điểm). Câu 4: (1đ) Giải bất phơng trình ax b> bx+a Câu 4: * Nếu a> b thì x> ba ba + * Nếu a<b thì x< ba ba + * Nếu a=b thì 0x> 2b + Nghiệm đúngvới mọi x nếu b<0 + Vô nghiệm nếu b 0 Câu 4(2đ): Cho a, b > 0 và a+b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = (1+ 1/a ) 2 + (1+ 1/b) 2 Câu 4: M = 18 khi a = b = Bài 4. Cho a 4; ab 12. Chứng minh rằng C = a + b 7 Bài 4. Ta có: C = a + b = ( 74 4 1 4 123 2 4 1 4 3 2 4 1 ) 4 3 =+ +++ a ab aba (ĐPCM) Câu 4: Trong hai số sau đây số nào lớn hơn: a = 19711969 + ; b = 19702 Câu 4: (1.5đ) Ta có: 1970 2 1 < 1970 2 1969.1971 < 1970 2 1970.21971.19692 < (*) Cộng 2.1970 vào hai vế của (*) ta có: 1970.41971.196921970.2 <+ 22 )19702()19711969( <+ 1970219711969 <+ Vậy: 1970219711969 <+ 6 Tuyn tp thi HSG Toỏn 8 Bài 5 (1đ) Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1 CMR: (a + 1) (b + 1)(c + 1) 8 Bài 5 (1đ) Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1 Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 Do a, b, c là các số dơng nên ta có; (a 1) 2 ( ) 2 2 2 2 0 0 1 2 2 1 1 4a a a a a a a > + + + + (1) Tơng tự (b + 1) 2 4b (2) (c + 1) 2 4c (3) Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có: (b + 1) 2 (a 1) 2 (c + 1) 2 64abc (vì abc = 1) ((b + 1)(a 1)(c + 1)) 2 64 (b + 1)(a 1)(c + 1) 8 Bài 1:(2 điểm) Cho A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 b c - a c a - b a b - c + + + + + Rút gọn biểu thức A, biết a + b + c = 0. Bài 1:(2 điểm) Ta có: a + b + c = 0 b + c = - a. Bình phơng hai vế ta có : (b + c) 2 = a 2 b 2 + 2bc + c 2 = a 2 b 2 + c 2 - a 2 = -2bc Tơng tự, ta có: c 2 + a 2 - b 2 = -2ca a 2 + b 2 - c 2 = -2ab A = 1 1 1 -(a+b+c) - - - = =0 2bc 2ca 2ab 2abc (vì a + b + c = 0) Vậy A= 0. Cõu 2: (2) Cho x,y,z 0 tho món x+ y +z = xyz v x 1 + y 1 + z 1 = 3 Tớnh giỏ tr ca biu thc P = 222 111 zyx ++ Cõu 4: (3) a, Chng minh rng A = n 3 + (n+1) 3 +( n+2) 3 9 vi mi n N * b, Cho x,y,z > 0 Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc P = yx z xz y zy x + + + + + 7 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Có ( 2 ) 111 zyx ++ = 222 111 zyx ++ + 2( ) 111 yzxzxy ++ ( 2 )3 = p + 2 xyz xyz ++ vậyP+2=3 suy ra P = 1. a, = n 3 +(n 3 +3n 2 +3n+1)+(n 3 +6n 2 +12n+8) =3n 3 +9n 2 +15n+9 = 3(n 3 +3n 2 +5n+3) Đặt B= n 3 +3n 2 +5n+1 = n 3 +n 2 + 2n 2 +2n + 3n+3 =n 2 (n+1) +2n(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) + 3(n+1) Ta thấy n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 ( vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp ) 3(n+1) chia hết cho3 ⇒ B chia hết cho 3 ⇒ A =3B chia hết cho 9 b, Đặt y+z =a ; z+x =b ; x+y = c ⇒ x+y+z = 2 cba ++ ⇒ x = 2 cba ++− ; y = 2 cba +− ; z= 2 cba −+ P = c cba b cba a cba 222 −+ + +− + ++− = )111( 2 1 c b c a b c b a a c a b ++−++−++− = ))()()(3( 2 1 b c c b c a a c b a a b ++++++− ≥ 2 3 Min P = 2 3 ( Khi và chỉ khi a=b=c ⇔ x=y=z Câu 1: (4điểm) b. Cho (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c ≠ 0. Chứng minh : abc 3 c 1 b 1 a 1 333 =++ Câu 2: (3điểm) a. Tìm x,y,x biết : 5 zyx 4 z 3 y 2 x 222222 ++ =++ Câu 4: (2điểm) Cho a,b,c>0 Chứng minh bất đẳng thức :       +       +       + bc a c ba c b ac b a = 8 khi a = b = c = 1. 8 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Câu 6(2điểm) Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số hữu tỷ và ab+bc+ac=1 thì (1+a 2 )(1+b 2 )(1+c 2 ) bằng bình phương của số hữu tỉ. Vì: (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 và a,b,c ≠ 0. ⇒=++⇒ 0bcacab 0 abc bcacab = ++ 0 c 1 b 1 a 1 =++⇒ Đặt : z c 1 ;y b 1 ;x a 1 === chứng minh bài toánNếu x+y+z=0 thì: x 3 +y 3 +z 3 =3xyz ⇒ đpcm : 5 zyx 4 z 3 y 2 x 222222 ++ =++ 5 z 4 z 5 y 3 y 5 x 2 x 222222 −+−+−⇔ =0 zyx0 20 z 15 y2 10 x3 222 ==⇔=++⇔ . đặt A=       +       +       + bc a c ba c b ac b a =         +       +++ bc a c a 1 ac b b c ab 2 2 2 = abc 1 a c c b a b b a b c c a abc 22 2 2 22 +++++++ =       ++       ++       ++       + 2 2 2 2 2 2 b a a b c b b c a c c a abc 1 abc tacó x+ x x ∀≥ 2 1 >0 Nên A ≥ 8 đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 có 1+a 2 =ab+ac+bc+a 2 =(a+c)(a+b) Tương tự 1+b 2 =(a+b)(b+c) 1+c 2 =(b+c)(a+c) ( )( )( ) [ ] 2 222 cbcaba)c1)(b1)(a1( +++=+++⇒ đpcm Đề 24 9 Tuyển tập đề thi HSG Toán 8 Bài 2: (3điểm) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Bài 5: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 6 +3x 2 +1=y 3 Đặt A= abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) vì a 2 +b 2 +c 2 =1 Nếu abc >0 ta có:A=abc+a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca+2(a+b+c) +1 A=(a+b+c+1) 2 +abc 0≥ (1) Nếu: abc<0 ta có: A=2(1+a+b+c+ab+ac+bc+abc)-abc Biến đổi được :A=( 1+a)(1+b)(1+c) +(-abc) Vì ì a 2 +b 2 +c 2 =1nên -1 1;; ≤≤ cba nên (1+a)(1+b)(1+c) 0≥ Và -abc 0 ≥ nên A 0 ≥ (2) Từ 1 và (2) suy ra abc+2(1+a+b+c+ab+ac+bc) 0≥ Với x≠ 0 ta có 3x 4 >0; 3x 2 >0 ta có (x 2 ) 3 <y 3 <(x+1) 3 nên phương trình vô nghiệm Với x=0 ta có y 3 =1 suy ra y=1 Phương trình có nghiệm nguyên duy nhất(x;y)=(0;1) Câu 3: (5,0 điểm) a) Cho 1 x y z a b c + + = và 0 a b c x y z + + = . Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = . Từ : ayz+bxz+cxy 0 0 a b c x y z xyz + + = ⇔ = ⇔ ayz + bxz + cxy = 0 Ta có : 2 1 ( ) 1 x y z x y z a b c a b c + + = ⇔ + + = 2 2 2 2 2 2 2( ) 1 x y z xy xz yz a b c ab ac bc ⇔ + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc + + ⇔ + + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z cxy bxz ayz a b c abc + + ⇔ + + + = 2 2 2 2 2 2 1( ) x y z dfcm a b c ⇔ + + = 10 [...]... đ/k : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ⇒ x = y = 0 Vậy trong 3 số x,y,z phải có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1, S = x 2009 + y 2010 + z 2011 = 1 Nên tổng S ln có giá trị bằng 1 6 Bài 1: (3,5đ) a, Với giá trị nào của n thì ( n + 5 ) ( n + 6 ) M n với n ∈ Ν b, CMR với n ∈ Ν thì: n5 − n M 30 c, Tìm số tự nhiên n để phân số Bài 2: (3đ) n + 13 tối giản n−2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: ( 2 2 2 a, 4a b − a + b... y −1 x −1 x y + 3 Bài 2: a Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x2 + 2y2 – 2xy - 4y + 2014 b Cho các số x,y,z thỏa mãn đồng thời: x + y + z = 1: x 2 + y 2 + z 2 = 1 và x 3 + y 3 + z 3 = 1 Tính tổng: S = x 2009 + y 2010 + z 2011 Ta có: (x + y + z) 3 = x 3 + y 3 + z 3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0 ⇒ Một trong các thừa số của tích (x + y)(y... + b ) − c 2     = ( a + b + c) ( a + b − c) ( c + a − b) ( c − a + b) b) Tìm các số x, y, z biết : 16 Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8 x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x 2009 + y 2009 + z 2009 = 32010 Bµi 3 ( 1,5 ®iĨm) Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: 1 1 1 + + ≥ a+b+c a b c th× ta có bất đẳng thức a + b + c ≥ 3abc Bµi 4 ( 1,5 ®iĨm) Cho 6a - 5b = 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa 4a2 +... 2010x + 2010 ) = (x 2 x ( x − 1) ( x 2 + x + 1) + 2010 ( x 2 + x + 1) = + x + 1) ( x 2 − x + 2010 ) 1 1 1 + + = 0 x y z yz xz xy + 2 + 2 Tính giá trị của biểu thức: A = 2 x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đơi một khác nhau và • Bài 2(1,5 điểm): 13 Tuyển tập đề thi HSG Tốn 8 1 1 1 xy + yz + xz + + =0⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy– x y z xyz xz ( 0,25điểm ) x2+2yz = x2+yz–xy–xz... = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó: A = yz xz xy + + ( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y) ( 0,25điểm ) Tính đúng A = 1 ( 0,5 điểm ) Bài 2 (3 điểm) Cho ( a − b) + ( b − c) + ( c − a ) 2 2 Chứng minh rằng a = b = Bài 2 (3 điểm) Biến đổi đẳng thức để được 2 = 4 ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) c a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 + 2ac = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 4ac − 4 Biến... + 4 + + 0) Mµ a 2 + b 2 ≥ 2ab; c 2 + b 2 ≥ 2cb ; a 2 + c 2 ≥ 2ac... a Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 1 1 1 + + ≥9 a b c b c 1 = 1+ + a a a  a c 1 a Từ: a + b + c = 1 ⇒  = 1 + + b b b a b 1  c = 1+ c + c  1 1 1 a b a c b c ⇒ + + = 3 + + ÷+  + ÷+  + ÷ a b c b a c a c b ≥3+2+2+2=9 1 Dấu bằng xảy ra ⇔ a = b = c = 3 Câu 4 a Cho 3 số dương... + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac ) = 0 Biến đổi để có (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*) Vì (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ; Từ đó suy ra a = b = c C©u 2: (5®iĨm) Chøng minh r»ng : a, a b c + + = 1 biÕt abc=1 ab + a + 1 bc + b + 1 ac + c + 1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2... 2(ab + bc + ca ) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã (a + b + c) 2 ≥ 3( ab + bc + ca ) (**) Tõ (*) vµ(**) ta cã (a + b + c) 2 ≥ 3abc (a + b + c ) ⇔ a + b + c ≥ 3abc (V× a,b,c > 0 nªn a + b + c> 0) Nếu a, b, c là các số dương thoả mãn: Bµi 4 ( 1,0 ®iĨm) Cho 6a - 5b = 1.(1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa 4a2 + 25b2 §Ỉt x = 2a; y = - 5b, ta cã 6a = 3x v× 6a - 5b = 1 nªn (3x+ y)2 =(6a – 5b)2 = 1 ¸p dơng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacopski . 2004 2 2004 ++ = 2 2004 2004 22 + + x x (1) Ta thấy: Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số dơng ta có: x 2 + 2004 2 2. 2004 .x 2 2004 2004 22 + x x (2) Dấu = xảy ra khi x= 2004 Từ (1) và (2) suy ra: t 4 Vậy. (3;0) và (x;y) = (0;-3) thì P = 3. Bài 5 (1điểm) Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 0 0 2 4 4 a a a a a + + ữ Tơng tự ta cũng có: 2 1 4 b b+ ; 2 1 4 c c+ Cộng vế với vế các bất đẳng thức. hai vế bất đẳng thức ta đợc (đpcm) Bài 3: (2đ) a) Cho 3 số x,y,z Thoã mãn x.y.z = 1. Tính biểu thức M = zxzyzyxyx ++ + ++ + ++ 1 1 1 1 1 1 b) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng