Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 CÔNG PHÁ PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P3 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN PHẦN 1: ĐỀ BÀI (Cố gắng vận hết công lực trước xem giải em) ( xy − x + y − 1) x + x + = y Câu 1: Giải hệ phương trình 2 ( x + 1) ( x + )( y − y + 1) = ( x − 1) x − y + + y x − y + = x + y − Câu 2: Giải hệ phương trình 2 y + y + x y − = y x + + y 3x + 2 x − y + x y = y + y + Câu 3: Giải hệ phương trình 2 x + y + x y = + x − x ( x − y ) + y ( y − x ) = x + y Câu 4: Giải hệ phương trình ( x + y + ) − y + ( x − y − ) x − + x = y ( x + y + 3) xy + y = y ( y + x + ) Câu 5: Giải hệ phương trình − x + x − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 Câu 6: Giải bất phương trình ( x + ) x − x + > x + x − 17 − x = x + x + 63 − 14 x − 18 y Câu 7: Giải hệ phương trình y x x + x + + 12 y = 34 + (13 − y ) 17 − y ) ( ( ) y + x + y + ( y + 1) − x = Câu 8: Giải hệ phương trình 2 2 y + y − x + (1 − y − x ) y + = x − y − x + y2 = Câu 9: Giải hệ phương trình 2 x + − y + y xy + y = 34 − 15 x ( ) PHẦN 2: LỜI GIẢI CHI TIẾT ( xy − x + y − 1) x + x + = y Câu 1: Giải hệ phương trình 2 ( x + 1) ( x + )( y − y + 1) = Lời giải ĐK: y ≥ (*) Khi (1) ⇔ x ( y − 1) + ( y − 1) x + x + = y ⇔ ( x + 1)( y − 1) x + x + = y (3) Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Từ (2) ⇒ x + > ⇒ x > − ⇒ x + > Khi từ (3) ⇒ y − ≥ ( x + 1) x + x + = ⇒ ( x + 1) ( x + 1) ⇔ ( x + 1) ( x + 1) +1 = y ⇔ ( x + 1) y −1 y −1 +1 = y −1 y y −1 ( x + 1) 1 1+ y −1 y −1 +1 = 2 + ⇔ f ( x + 1) = f y −1 y −1 Xét hàm số f ( t ) = t t + với t ∈ ℝ ta có f ' ( t ) = t + + Do (4) ⇔ x + = 1 ⇒ y −1 = y −1 ( x + 1) Ta có (2) ⇔ ( x + 1) (x t2 t2 +1 (4) > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f ( t ) đồng biến ℝ (5) + ) ( y − 1) = ⇒ ( x + 1)( y − 1) x + = Kết hợp với (5) ⇒ ( x + 1) ( x + 1) x2 + = 2 ⇒ ( x + 1) x + = ( x + 1) ⇒ ( x + )( x + x + 1) = ( x + 1) ⇔ x + x3 + 17 x + 16 x + = ( x + x3 + x + x + 1) x = ⇔ 12 x + x = ⇒ x (12 x + ) = ⇒ x = − 12 2 Thử lại ta x = thỏa mãn ⇒ y − = ⇒ y = 2, thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 0; ) ( x − 1) x − y + + y x − y + = x + y − Câu 2: Giải hệ phương trình 2 y + y + x y − = y x + + y 3x + Lời giải x +1 ≥ y ĐK: y ≥1 Khi (1) ⇔ ( x − 1) ⇔ (*) ( ) ( x − y +1 −1 + y ) x − y + − = x + y −1 − x +1 − y ( x − 1)( x − y + − 1) + y ( x − y + − ) = ⇔ ( x − 1)( x − y ) + x − y +1 +1 x− y+4+2 x −1 y ⇔ ( x − y) + =0 + x − y + + x − y + 1+ x − y +1 y ( x − y) 2+ x− y+4 =0 (3) Từ (*) ⇒ x + ≥ ⇒ x ≥ ⇒ x y − ≥ ⇒ VT ( ) ≥ y + y ≥ y + y = y, ∀y ≥ ⇒ y x + + y x + ≥ y ⇒ x + + x + ≥ 4, y ≥ ⇒ x + − + 3x + − ≥ Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG ⇒ x2 + − x2 + + + 3x + − 3x + + ≥0 ⇒ x2 −1 + x2 + + ( x − 1) + 3x + Facebook: LyHung95 ≥0 2 ⇒ ( x − 1) + ≥ ⇒ x − ≥ ⇒ x ≥ 1, kết hợp với x ≥ ⇒ x ≥ 2 + x + + 3x + Do (*) x ≥ ⇒ x −1 y + > nên (3) ⇔ x = y 1+ x − y +1 + x − y + Thế vào (2) ta x + 3x + x x − = x x + + x x + (4) Với x ≥ ⇒ VP ( ) ≤ x x + 3x + x 3x + x = x + x = x Mặt khác x + x + x x − − x = x ( x − 1) + x ( x − 1) + x x − ≥ 0, ∀x ≥ ⇒ VT ( ) ≥ x ⇒ VT ( ) ≥ VP ( ) Dấu " = " xảy ⇔ x = ⇒ y = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ phương trình cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) 2 x − y + x y = y + y + Câu 3: Giải hệ phương trình 2 x + y + x y = + x − Lời giải x ≥ ĐK: (*) y ≥ Khi ta có ( x − y + x y ) + + x − = y + y + + ( x + y + x y ) ( ) ( ) ⇔ x2 − y2 + x −1 = y + y +1 ⇔ x2 + x −1 = y2 + y + + y ⇔ x + x − = ( y + 1) + 2 ( y + 1) − ⇔ f ( x ) = f ( y + 1) (3) > 0, ∀t ∈ (1; +∞ ) t −1 Kết hợp với f ( t ) liên tục [1; +∞ ) ⇒ f ( t ) đồng biến [1; +∞ ) Xét hàm số f ( t ) = t + t − với t ∈ [1; +∞ ) ta có f ' ( t ) = 2t + Do (3) ⇔ x = y + ⇔ y = x − Thế vào (2) ta x + x − + x ( x − 1) = + x − ⇔ x3 + x − = x − x −1 −1 + x3 − x − = x −1 +1 x −1 ( x − 2) x −1 ⇔ + ( x − ) ( x + x + 3) = ⇔ ( x − ) + x + x + = + x −1 + x −1 ⇔ x −1 ( Với x ≥ ⇒ ) x − − − ( x − 1) + x3 + x − = ⇔ x − (4) x −1 + x + x + > nên (4) ⇔ x = ⇒ y = 1, thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = ( 2;1) + x −1 x ( x − y ) + y ( y − x ) = x + y Câu 4: Giải hệ phương trình ( x + y + ) − y + ( x − y − ) x − + x = y Lời giải: Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 2 x ( x − y ) ≥ 2 y ( y − x ) ≥ Điều kiện: 5 − y ≥ 0, x − ≥ x ≥ 0, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki ta có: 2x ( x − y ) + y ( y − x) = x ( 2x − y ) + y ( y − x) ≤ ( x + y )( x − y + y − x ) = x + y x 2y = ⇔ xy − x = xy − y ⇔ x = y ⇔ x = y 2x − y y − x Với x = y thay vào phương trình (2) ta ta có: ⇒ ( x + 3) − x + ( x − ) x − + x = x ⇔ ( x + 3) − x + ( x − ) x − = (*) Đặt a = − x , b = x − phương trình (*) trở thành (b + ) a − ( a + ) b = ⇔ ab + 4a − a b − 4b = a = b ⇔ ab ( b − a ) − ( b − a ) = ⇔ ( b − a )( ab − ) ⇔ ab = +) Với a = b ⇒ − x = x − ⇔ − x = x − ⇔ x = ⇒ y = +) Với ab = ⇒ Ta có ( − x )( x − 1) = (**) ( − x )( x − 1) = (10 − x )( x − 1) ≤ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 2;1) 2 < ⇒ (**) VN ( x + y + 3) xy + y = y ( y + x + ) Câu 5: Giải hệ phương trình − x + x − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 Lời giải: ĐK: y ≥ 1; xy + y ≥ 0; − x + x − 24 y + 417 ≥ (*) Khi (1) ⇔ ( x + y + 3) y x + = y ( y + x + ) Đặt x + = a ≥ 0; y = b ≥ ⇒ (1) trở thành (a + 6b ) ab = b ( 8b + 3a ) ⇔ b ( a + 6ab − 8b3 − 3a 2b ) = ⇔ b ( a − 2b ) ( a − ab + 4b ) = (3) b 15b > Do ( 3) ⇔ a − 2b = ⇔ a = 2b Với b ≥ có a − ab + 4b = a − + 2 2 ⇒ x + = y ⇒ x + = y ⇔ x = y − Thế vào (2) ta − ( y − 3) + ( y − 3) − 24 y + 417 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ −16 y + 32 y + 384 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ − y + y + 24 = ( y + ) y − + y + 16 ⇔4 ( y + )( − y ) = ( y + ) y − + y + 16 ⇔ y + − y = ( y + ) y − + y + 16 Áp dụng BĐT Cô-si ta có y + − y ≤ ( y + ) + ( − y ) = 20 Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Với y ≥ ⇒ ( y + ) y − + y + 16 ≥ + + 16 = 20 Do y + − y ≤ ( y + ) y − + y + 16 Dấu " = " xảy ⇔ y = ⇒ x = 4.1 − = Thử lại x = y = thỏa mãn hệ cho Đ/s: ( x; y ) = (1;1) Câu 6: Giải bất phương trình ( x + ) x − x + > x + x − Lời giải: ĐK: x − x + ≥ ⇔ ( x − 1) + ≥ ⇔ x ∈ ℝ (*) Khi (1) ⇔ x + x − − ( x + ) x − x + < ) ( ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − ( x + 2) x2 − x + < ⇔ ( x2 − x − ) + ( x + 2) − x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) + ( x + 2) (9 − x2 + x − 2) + x2 − x + < ⇔ ( x − 2x − 7) − x+2 ⇔ ( x2 − x − ) 1 − < ⇔ ( x − 2x − 7) + x − 2x + Với ∀x ∈ ℝ có x2 − x + = (1 − x ) +1 > (1 − x ) ( ( x + 2) ( x2 − 2x − 7) + x2 − x + Do ( ) ⇔ x − x − < ⇔ − 2 < x < + 2 ( ) Vậy (1) có nghiệm T = − 2;1 + 2 17 − x = x + x + 63 − 14 x − 18 y Câu 7: Giải hệ phương trình y x x + x + + 12 y = 34 + (13 − y ) 17 − y ) ( ( ) Lời giải 17 Điều kiện ≤ y ≤ ; x ≥ 0;63 − 14 x − 18 y ≥ Phương trình thứ hai hệ tương đương với x3 + x + x = (17 − y ) 17 − y + (17 − y ) + 17 − y Xét hàm số f ( t ) = t + 2t + 9t ⇒ f ′ ( t ) = 3t + 4t + = ( t + ) + 2t + > 0, ∀t ∈ ℝ Suy hàm số liên tục đồng biến tập hợp số thực ℝ Hơn x = 17 − y f ( x ) = f 17 − y ⇔ x = 17 − y ⇔ x ≥ Phương trình thứ hệ lúc trở thành 6y = x + x + 63 − 14 x + ( x − 17 ) ⇔ = 3x + x + 3x − 14 x + 12 y ( ) ( − x ) − x = ( x2 − x + 4) − x ⇔ ( − x ) − x = ( − x ) − x Đặt − x = u; x = v ( v ≥ ) thu Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG • • Facebook: LyHung95 3u − v ≥ 3u − v = 3u − 2v ⇔ 2 2 9u − 6uv + v = 12u − 8v 3u − v ≥ 3u − v ≥ 3u − v ≥ ⇔ ⇔ ⇔ u = v u + 2uv − 3v = ( u − v )( u + 3v ) = u = −3v 0 ≤ x ≤ 3u − v ≥ u ≥ 0; v ≥ 0 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x = x − x + = 2 − x = x u = v u = v 3u − v ≥ −10v ≥ v ≤ v = x = ⇔ ⇔ ⇒ ⇔ (Hệ vô nghiệm) u = −3v u = −3v u = −3v u = x = ( )( ) 8 Từ đến kết luận hệ có nghiệm ( x; y ) = 1; 3 y + x + y + ( y + 1) − x = Câu 8: Giải hệ phương trình sau 2 2 y + y − x + (1 − y − x ) y + = Lời giải x ≤ Điều kiện: y ≥ −1 Phương trình (1) hệ phương trình cho tương đương y + y + + x − + ( y + 1) − x = ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) − x − (1 − x ) = y + = − x ⇔ ( y + 1)2 = − x ⇔ x = − y − y ⇔ y + + − 2x y + − − 2x = ⇔ y + + − x = ( l ) Thay x = − y − y vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có ( )( ) y + y + y + y + (1 − y + y + y ) y + = ⇔ y + y + ( y + 1) y + = ( ⇔ ( y + 1) + ( y + 1) y + + ( y + 1) = ⇔ y + + y + • Với y + + y + = ⇔ ) 2 y + + y + = =4⇔ y + + y + = −2 y ≤ y ≤ y +1 = 1− 2y ⇔ ⇔ ⇒ y =0⇒ x=0 y + = (1 − y ) 4 y − y = • Với y + + y + = −2 ⇔ y + + y + = ⇔ ( y + 1) + y + + = ( l ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ( 0; ) x − y − x + y2 = Câu 9: Giải hệ phương trình 2 x + − y + y xy + y = 34 − 15 x Lời giải: − ≤ x ≤ Điều kiện: y ≥ ( ) Phương trình (1) hệ phương trình tương đương Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016! Khóa học KĨ THUẬT GIẢI HỆ PT, BẤT PT – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 − x = y ⇔ − x = y2 ⇔ x = − y2 2− x − y = ⇔ − y + y = ( l ) Thay x = − y vào phương trình ( ) hệ phương trình ta có (2 − x) + y − x − y2 = ⇔ ( − x + 2y )( ) ) ( − y − y + y y ( − y ) = 34 − 15 ( − y ) ⇔ − y − y + y − y = 15 y + ⇔ ( y + 1) − y = 15 y + y + ⇔ ( y + 1) − ( y + 1) − y + ( − y ) − = ( ⇔ 4y +1− − y • Với ) 4 y + − − y = − y2 = y =1⇔ ⇔ y + − − y = −1 4 y + = − y2 − y = y ⇔ − y = 16 y ⇔ y = 30 ⇒x= ⇔ y= 17 17 17 • Với y + = − y ⇔ ( y + ) = − y ⇔ 17 y + 16 y = ⇔ y = ⇒ x = 2 30 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y ) = ; , ( 2; ) 17 17 HỘI ĐỒNG BIÊN SOẠN: Thầy Đặng Việt Hùng (tổng chủ biên) Lê Văn Tuấn Nguyễn Thế Duy Lương Tuấn Đức Vũ Văn Bắc Trịnh Anh Dũng Thầy Đặng Việt Hùng Tham gia khóa Luyện thi trực tuyến môn Toán MOON.VN để đạt điểm số cao kì thi THPT Quốc gia 2016!