Thiết lập phương trình năng lượng tổng quát

THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯỢNG TỔNG QUÁT PGS.TS Trịnh Văn Quang ĐHGT Đặt vấn đề : Khi khảo sát trình tỏa nhiệt đối lưu, phải xây dựng phương trình (PT) riêng biệt gồm PT chuyển động, lượng, liên tục, toả nhiệt Việc vô hình tách rời tượng xảy đồng thời thành trình riêng biệt độc lập dường không liên quan Vấn đề đặt bốn PT có liên hệ với không, tượng dòng chảy thực tế phụ thuộc vào Vậy biểu thị toàn tượng trình mô hình toán mà có chất thống tự nhiên trình xảy hay không? Bài viết trình bày cách xây dựng PT bao hàm biến đổi lượng dạng vận động hệ thống biến đổi chúng Gọi PT lượng tổng quát Các yếu tố đặc trưng phân tố chất lỏng Trong dòng chảy, phân tố chất lỏng vừa chuyển động vừa biến dạng biểu thị qua cách yếu tố đặc trưng sau 1.1 Tốc độ ứng suất: phân tố chất lỏng toạ độ xyz có tốc độ bề mặt xuất ứng suất ̿ (hình 2) Tốc độ véc tơ : (1) (r, )  x i  y j  z k = (hình 1), có ma sát z Ứng suất ten xơ: p xx  P  p yx  p zx  p xy p yy p zy p xz   p yz  = [Pij] p zz  y (2) Tenxơ ứng suất đối xứng P  P * (tenxơ chuyển vị) Với i hướng pháp tuyến bề mặt, j hướng ứng suất Hình Y 1.2 Biến dạng tuý dãn nở nén không gây méo Biến dạng tuý khác tốc độ điểm nút hướng với cạnh phân tố gây nên Độ dãn dài cạnh theo hướng x thời gian d là:  x   x  (3) dx  d -  x d  dx.d  x  x x   Tương tự theo hướng y z, độ dãn dài cạnh là:  y y dy.d , PXZ PXX PZZ PZX PZY PXY PYZ Z  z dz.d z PYX PYY Hình Tốc độ dãn dài tương đối ba cạnh phân tố là:  x  x  z    div x x z (4) Thấy rằng, phân tố không bị dãn hay nén thì: (5) div  1.3 Méo tuý Phân tố bị méo dạng thành phần tốc độ vuông góc với cạnh phân tố gây nên (hình 3) Góc méo quanh trục z mặt xy hai cạnh quay hai góc d d có giá trị khác nhau: d d Hình X   y  x   d d - d =   y   x (6) d  d   y  x      d y   x Tương tự vậy, tốc độ méo góc quanh trục x là:   y  z  Tốc độ méo góc quanh trục z là: (7)    y   z   x  z     x   z Tốc độ méo góc quanh trục y là: Các phương trình 2.1 Phương trình dịch chuyển dòng chảy Trong trình dịch chuyển, phân tố gắn với đại lượng đặc trưng định Gọi F(x) hàm dung lượng mở rộng biểu thị đại lượng đặc trưng phụ thuộc vào thể tích khảo sát, F(x) hàm thời gian xác định bởi: F() =  f (r, )dV (8) V () Trong đó: r - vectơ toạ độ;  - thời gian; V() - thể tích hệ kín khảo sát thay đổi theo thời gian; f ( r ,  ) hàm mật độ tổng quát phụ thuộc vào toạ độ thời gian Hàm F() là: khối lượng, xung lượng, lượng Hàm f ( r ,  ) tương ứng với phải là: mật độ , động lượng (  ), tổng nội động phân tố  u   / 2 Cụ thể: Khối lượng: M    dV ; Xung lượng: V( ) J  . dV ; Năng lượng: E   V( )    u  V ( )  2  dV  Sự thay đổi thực hàm F() theo thời gian đạo hàm toàn phần F(): D D F ( )  f ( r ,  ) dV D D V ( ) (9) Việc tính trực tiếp (9) phức tạp khó khăn khảo sát dòng chảy, đạo hàm toàn phần tính theo phương pháp Lagrange, tích phân lại tính theo phương pháp Euler hai phương pháp độc lập Bởi vậy, cần biến đổi vế phải (9) theo định nghĩa đạo hàm thời điểm  = 0:   D   (10) f (r ,  )dV   lim   f ( r , o   ) dV   f ( r , )dV    t 0  V ( )  D V ( )    V (   )  Với V(0),V(o+) thể tích trước sau thay đổi miền tích phân mở rộng: V(0+) = V(0) + V(0+) (11) V(0 +) V(0) V(0 + ) hiệu V1 (diện tích gạch dọc) V2 (diện tích gạch ngang): V1 V(0 + ) = V2 - V1 Hình V2 (12) Thay (11) vào (10) được:  D   f ( r ,  ) dV  lim f ( r ,     ) dV  f ( r ,     ) dV  f ( r ,  ) dV   (13)   0    t 0  V ( )  V (  ) V ( )  D V ( )    Sau khai triển chuỗi Taylor hàm f (r ,   ) lân cận  = 0 bỏ qua đạo hàm bậc hai trở lên được:  D  f (14) f ( r ,  ) dV   dV  lim f (r ,   ) dV     t   V (0  )  D V ( )   V ( )  Thấy số hạng đầu vế phải xác định miền tích phân có vị trí hình dạng cố định Còn số hạng sau vế phải cần phải biến đổi tiếp Chú ý đến (11) phân tích thay đổi thể tích V(0 dV> d + ) Xét phân tố thể tích dV xác định bởi: (15) dV   (r , ). dA Ở dA véc tơ tốc độ véc tơ pháp tuyến mặt cắt diện tích phân tố dA Tích hai véc tơ là: dV < dV thuộc V1; dV > dV thuộc V2 , (hình 5) d  dV< Hình Áp dụng (15) có  f (r , o   ) dV  V ( o   )  f ( r , o   ). ( r , ). dA (16) A ( o ) Sau lại khai triển chuỗi Taylo hàm f ( r,   ) lân cận  = 0 thay vào (16) được:  f (r ,  V ( o   ) dV   A( o  ) f    f (r , )     . dA o) (17) Trở lại số hạng sau (14) là: lim  0   f(r ,  o   )dV  lim  0 V ( o  )  Thay (18) vào (10) sẻ có :  D  D   f    f (r , )     . dA   f (r , ) dA  A( o )  A( o )   f f ( r  ) dV   dV      o  V ( o )  V ( o )  f ( r , (18) ) ( r , ).dA A ( o ) Nếu lấy lân cận 0 (9) trở thành: D D F ( )  D D  F (r , )dV   V( ) V( f dV   f (r , ) (r , ).dA  ) A ( ) (19) (19) gọi phương trình dịch chuyển dòng chảy Về ý nghĩa vật lý hiểu thay đổi thực đại lượng dung lượng mở rộng hệ kín môi trường chảy liên tục gồm hai thành phần, phần thứ thay đổi cục thể tích khảo sát mà chứa đầy hệ kín, phần thứ hai thay đổi đối lưu lượng vào qua bề mặt giới hạn thể tích đơn vị thời gian 2.2 Nguyên lý bảo toàn lượng Theo định luật bảo toàn biến hoá lượng biến đổi lượng hệ thể công nhiệt (định luật Nhiệt động học): DE    LQ D (20) đó: E lượng tổng cộng hệ dòng chảy; L công hệ sinh đơn vị  thời gian gọi công suất cơ; Q nhiệt hệ sinh đơn vị thời gian gọi công suất nhiệt 2.3 Phương trình lượng Năng lượng tổng hệ dòng chảy có tốc độ  ( r , ) nói chung gồm động nội năng: E  2   u  dV  (21)    V đó: u nội kg (kJ/kg); (2/2 + u) lượng tổng m3 (kJ/m3) Thấy (2/2 + u) đóng vai trò f, E đóng vai trò F (8) thay vào (19) có: D D    u  dV      V      u   dV          V Xét số hạng đầu vế phải (22):    2 V       u   dV    2   u   dA  (22)    A  2        u  (  dV )     u  dV          V     V Theo điều kiện liên tục dòng chảy;  (  dV )  (22) trở thành: D D  V      u dV     V     2  u )  dV   (     A (  (23)  u ) dA Theo ý nghĩa vật lý phương trình dịch chuyển thấy rằng, số hạng đầu vế phẳi (23) biểu thị biến đổi lượng bên thể tích kín V hệ đơn vị thời gian Đó công suất toàn phần hệ Số hạng sau vế phải (23) biểu thị thành phần lượng qua diện tích A bao kín hệ, dạng truyền lượng vi mô phân tử thực Nó phải công suất nhiệt toàn phần phân tố Bởi (23) viết thành:   D 2 (24)  (  u ) dV   l dV   q dA  D V V A   đó: l công tổng cộng đơn vị thể tích đơn vị thời gian; q mật độ dòng nhiệt A Theo tích phân Gauss - Ostrogradski :   (25)  q dA   div q dV A V thay (25) vào (24) có:     D 2 (  u ) dV   l dV   div q dV   ( l  div q ) dV  D A V V V (26) (26) gọi Phương trình lượng dạng vi phân, biểu thị công suất toàn phần gồm công suất công suất nhiệt Công suất gồm có công suất lực khối công suất lực bề mặt phân tố :   D 2 (27)  (  u )  l  div q D Xây dựng thành phần phương trình lượng tổng quát 3.1 Công suất lực bề mặt y Y PXZ PXX Z X x PXY x z z Hình Hình Xét phân tố chất lỏng môi trường liên tục Ứng suất tốc độ mặt theo hướng : + Theo hướng x: - Mặt thứ có ứng suất: Pxx, Pxy, Pxz tốc độ: x, y, z (hình 6, hình 7)  P XX  P XYy    P XZ     - Mặt thứ hai có ứng suất: dx  ,  P  dx  ,  P  dx  P   tốc độ: XX   X  XY x XZ x x      X  Y  Z       dx ,   Y  dx  ,   Z  dx  , x x x       + Theo hướng y : - Mặt thứ có ứng suất tốc độ: Pyy, Pyx, Pyz ; x, y, z - Mặt thứ hai có ứng suất:       PYY  PYX  PYZ  PYY  dy  ,  Pyx  dy  ,  PYZ  dy  y  y y        X    Y    Z    X  dx ,   Y  dx  ,   Z  dx   y  y  y       tốc độ: ,   + Theo hướng z tương tự Tích số lực ứng suất mặt với tốc độ mặt theo ba hướng công suất riêng phân tố Xét riêng thành phần pháp tuyến :  P    P  PXX dx     X dx    P   , XX X  XX x  X x  x XX X Sau bỏ qua đạo hàm bậc cao, cách tương tự theo ba hướng, tích lực ứng suất với tốc độ tạo nên công suất lực bề mặt:  PXX X + PXY Y + PXZ Z    PYX X + PYY Y + PYZ Z    PZX X + PZY Y + PZZ Z   x y z    (28)  pij i  x j Công suất lực bề mặt làm phân tố thực chuyển động biến dạng Nếu phân tố chuyển động tuý không biến dạng nghĩa phân tố coi vật rắn công suất động phân tố, gọi công suất chuyển động Trong trường hợp chung phân tố chất lỏng vừa chuyển động vừa biến dạng Biến dạng gồm hai thành phần: biến dạng thuận nghịch: nén dãn nở chất lỏng chịu nén biến dạng không thuận nghịch chất lỏng không bị nén Sau phân tích thành phần công suất lực bề mặt:  div p   3.1.1 Công suất chuyển động Trường hợp phân tố không bị biến dạng, lúc thành phần tương ứng tốc độ mặt Các thành phần công suất lực bề mặt theo ba hướng gây nên chuyển động phân tố Công suất riêng chuyển động phân tố: Pxy Pzy  Pxx P P   P P   P P   x y  z xz  + x yx  y yy  z yz  +  x zx   y  z zz  =  x x x   y y y   z z z   =  divP   i Pij (29) x j Công suất gọi công suất chuyển động trọng tâm lực bề mặt gây chuyển động quy trọng tâm 3.1.2 Công suất biến dạng phân tố Từ phân tích thấy công suất biến dạng phân tố hiệu công suất toàn phần công suất chuyển động, tức là: P (30) div P ,    divP   ( Pij  i ) -  i ij  Pij  i  P div   x j x j x j Trong ứng suất Pịj ứng suất pháp (i = j) gây nên biến dạng thuận nghịch, làm phân tố thay đổi thể tích tuý: nén dãn Các ứng suất tiếp lại (i  j) ứng suất trượt tính nhớt chất lỏng thực tạo Các ứng suất trượt gây méo dạng phân tố không trở lại hình dạng cũ nên làm tiêu hao công suất không thuận nghịch Trong chất lỏng không chịu nén chúng gây méo góc, chất lỏng chịu nén chúng gây nên thay đổi thể tích phân tố Có thể viết ứng P suất dạng:    j Pij = - P. ij +   i       div( ). ij xi   x j (31) Công suất biến dạng (30) biến đổi sau:     j   i     div( ).   i P div  Pij  - P. ij +   i    x j   x j      y   Pdiv.  2  x     x   y  xi   x j 2 2 2    z   +  x y   y z   z x                   2 div.         x   z y   x z    y   z      i   Pdiv.  D x j đó:  Pdiv. Công suất biến dạng thuận nghịch: chất lỏng bị nén: div  < 0, dãn nở: div  > 0, không bị nén: div  = D Công suất biến dạng không thuận nghịch: hoặc:  (32) Pij      y         2    2       z   +   x  y    y  z    z  x    2 div. D  2  x     x  y  z  y  x  z  y  x  z                   (33) Công suất biến dạng thuận nghịch không bị tiêu hao trình chảy Trong đường ống thu hep tốc độ tăng, áp suất giảm, đến khu vực đường ống mở rộng, áp suất lại tăng lên nhờ tốc độ giảm Các phấn tố chất lỏng thay đổi thể tích: dãn nở nén (không biến dạng) Công suất biến dạng không thuận nghịch làm phân tố chất lỏng quay, méo dạng Công suất lấy lại được, biểu thị D 3.2 Công suất lực khối Lực khối tác dụng lên phân tố chất lỏng tác dụng trọng trường là:  g dxdydz đó:  - mật độ chất lỏng, g - gia tốc trọng trường Vậy công suất riêng lực khối là: g  (34) 3.3 Công suất nhiệt Lượng nhiệt truyền đơn vị thời gian hiệu số lượng nhiệt qua mặt thứ thứ hai Công suất nhiệt truyền theo ba hướng đơn vị thể tích:  q y q z   q dQ  = - div q = + div(gradT) =-  x    x   y  z dV   (35) Phương trình lượng tổng quát 4.1 Phương trình lượng tổng quát Từ phương trình lượng (26) thành phần dẫn đến:  D 2   u    g    divP  Pdiv  D  div (gradT ) D   (36) gọi Phương trình lượng tổng quát Vế trái biểu thị công suất tổng động Vế phải biểu thị thành phần: công suất lực khối  g   div.P  Pdiv D công suất chuyển động công suất biến dạng thuận nghịch công suất biến dạng không thuận nghịch (36) div(gradT) công suất nhiệt Như phân tích, tách (36) thành hai phương trình: phương trình phương trình nhiệt 4.2 Phương trình D 2  (37)    g    divP  D   4.3 Phương trình nhiệt D u   Pdiv   D  div ( gradT ) D (38) Một vài dạng ứng dụng phương trình lượng dạng tổng quát 5.1 Phương trình chuyển động 5.1.1 Phương trình chuyển động tổng quát Từ phương trình (37) ta có: D ( )   g    divP D đơn giản cho  được: D  ( )  g  divP D  (39) (40) dạng ký hiệu:  Pij D i  g i  D x j (41) 5.1.2 Phương trình Navier – Stokes Từ (41) viết theo thành phần ứng suất D x P P P   g X  XX  YX  ZX D x y z D Y P P P   g Y  XY  YY  ZY D x y z D Z PXZ PYZ PZZ   g Z    D x y z (42) Với giá trị Pij (31) được:  y D x  x P         = g x    2   div      x  D x x  x x  y   y       x  z         z x    z    y      Y  z   Y      P            2   div      x   y y  y x  z   z y   x   y  D Y = g Y D  D Z  Z  Z     Y  Z P        = g Z    2   div     X       D z z  z  x  z x  y   z y    (43)    Hệ (43) gọi hệ phương trình chuyển động Navier - Stokes dạng tổng quát Cũng viết gọn thành phương trình dạng tenxơ:   D  g  div 2Ds   div  P E D hay dạng ký hiệu:  (44)  D i     i  j = g i +   D x j   x j xi     div  P  ij     (45) đó:    j Ds   i   x j xi    tenxơ tốc độ biến dạng   Phương trình ứng dụng với chất lỏng Newton 5.1.3 Phương trình chuyển động Navier - Stokes chất lỏng không chịu nén Khi div  = 0,  không phụ thuộc vào áp suất (  f(P)),  phụ thuộc nhiệt độ  = (T) Triển khai hệ (43) theo điều kiện hệ: D x P d  T  X T   X  y  T   X Z     g X   2 X       2 D x dT  x x y  y x  z  z x  DY P d  T Y T   X Y  T  Y Z       gY   2Y      2 D y dT  y y x  y x  z  z y  DZ P d  T Z T  Z  X  T  Z Y     g Z    2Z        D z dT  z z x  x z  y  y z   (46) 5.1.4 Phương trình chuyển động Navier - Stokes chất lỏng không chịu nén, đẳng nhiệt Trường hợp  = const,  = 0 = const hệ phương trình trở thành: D x p  0 g X    2 X D x D Y p   0 gY    2 Y D y D Z p   0 gZ    2 Z D z  (47) dạng vectơ:  D   g  gradP   2 D (48) (47) (48) phương trình quen thuộc giáo trình nhiệt, dạng đơn giản trường hợp nêu 5.2 Phương trình nhiệt 5.2.1 Dạng tổng quát: viết theo nội  Du   Pdiv.  D  div.(gradT ) D (49) 5.2.2 Dạng chứa entanpy (i) Bằng cách thay u = i - P/ vào (49) được: Di DP    D  div.( gradT ) D D 5.2.3 Dạng chứa nhiệt độ Thay i = i(P, T) vào (50) sau biến đổi được: (50) C P với    DT DP  T  D  div.(gradT ) D D (51)        T  P 5.2.4 Trong dòng chảy đẳng áp  Di  D  div.(gradT ) D (52) DT (53)  D  div.(gradT ) D Trong dòng chảy đẳng áp, bỏ qua tổn thất không thuận nghịch D coi  = const, Cp = const DT C P  div( gradT )   2T D hay DT T (54)   .gradT  a 2T D  dạng đơn giản quen thuộc Fourier – Kirshopp, C P a   gọi hệ số khuếch tán nhiệt độ C p 5.3 Hệ phương trình truyền nhiệt đối lưu 5.3.1 Phương trình chuyển động Trong dòng chảy không bị nén, thay đổi nhiệt độ không lớn coi  = (T) = const  = (T)  a Khi phương trình chuyển động có dạng  D   g  gradP   2 D (55) 5.3.2 Phương trình nhiệt Với điều kiện phương trình nhiệt có dạng: T  .gradT  a 2T  5.3.3 Phương trình liên tục: G = const Từ phương trình dịch chuyển lấy f = , suy (56)  dV = G = const thì: V D  dV   dV    dV   div (  )dV   D V  V A V (57) suy ra: div(  ) = Trong môi trường không bị nén, nhiệt độ thay đổi không lớn:  = const, đó: div  = div  = hay div  = 5.3.4 Phương trình vi phân toả nhiệt : Trường hợp dòng chảy có truyền nhiệt với bề mặt vật rắn có thêm điều kiện biên gọi phương trình vi phân toả nhiệt:   T  (58)     t  n   m đó:  T  grad nhiệt độ bề mặt,  hệ số toả nhiệt  n  m t độ chênh nhiệt độ chất lỏng chất lỏng Kết luận Phương trình lượng tổng quát xây dựng từ tương tác yếu tố phân tố dòng chảy trình dich chuyển, mang chất thống tự nhiên trình biến đổi nhiệt xảy dòng chảy Tài liệu tham khảo: [1] Pr Konecsny Ferencs уравнение энeргии и возоможностии егo упросщении пpи исследoвaнии охлаждeнния элeктрoмoтoрoв Periodica Polytechnica – Transp.Eng.6.(1978) No.2 [2] Trịnh Văn Quang " Xây dựng phương trình lượng tổng truyền nhiệt đối lưu " Đề tài NCKH cấp sở Nghiệm thu: 12 tháng 11 năm 1993 Kết quả: Xuất sắc [3] Bruce R Munson et al Fundamentals of Fluid Mechanics West Virginia University Morgantown, West Virginia, USA John Wiley & Sons, Inc [4] Yunus A Aenge et al Fluid Mechanics: Fundamentals and Applications Mc Graw Hill 10