HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA CƠ BẢN
DE TAI NGHIEN CUU KHOA HQC CAP KHOA
HOAN THIEN NOI DUNG BAI TAP MO HINH TOAN KINH TE
CHO PHÙ HỢP VỚI HÌNH THỨC ĐÀO TẠO
'THEO TÍN CHỈ VÀ GIÁO TRÌNH MỚI
Trang 2Phan mé dau
Mơ hình Tốn kinh tế là một mơn Tốn ứng dụng trong lĩnh vực kinh tế, nĩ
đĩng vai trị là mơn cơ sở của các ngành Kinh tế, Kỹ thuật, Tài chính Ngân hàng và
Kế tốn Kiểm tốn Mơn học đã và đang được đưa vào giảng dạy trong hầu hết các trường đại học thuộc khối kinh tế Ở Học viện Tài chính, Mơ hình Tốn kinh tế
(trước đây là Tốn kinh tế) đã và đang được đưa vào chương trình đào tạo cho sinh
viên thuộc tất cả các hệ và các ngành trong Học viện Nhằm đáp ứng vai trị là mơn
học cơ sở ngành, từ năm 2010 trở lại đây, được sự đồng ý của Hội đồng Khoa học
'Học viện, mơn học đã được bỗổ sung thêm một số nội dung mới nhằm tăng thêm các minh họa kinh tế cho tốn và khả năng ứng dụng tốn cho các mơn chuyên ngành
trong Học
tốn kinh tế cơ bản mà cịn trang bị cho sinh viên tập mơ tả các mơ hình kinh tế
Hiện nay, mơn học khơng chỉ đưa ra các thuật tốn giải các bài
bằng ngơn ngữ tốn và phương pháp dùng tốn học để phân tích mơ hình Đề tài
khoa học: “Hồn thiện nội dưng Bài tập Mơ hình Tốn kinh tế cho phù hợp với hình thức đào tạo theo tín chỉ và giáo trình mới” của các thầy, cơ thuộc Tỗ Tốn
kinh tế, Bộ mơn Tốn, Khoa Cơ bản, Học viện Tài chính nhằm mục đích củng cố thêm một số nội dung lý thuyết mới và chuẩn bị cho việc biên soạn cuốn Bài tập
Mơ hình Tốn kinh tế phục vụ cho sinh viên của Học viện Đề tài gồm 53 trang và
được bố cục thành ba phần:
Phần 1: Một số kiến thức tốn cao cấp bỗ trợ
Phần 2: Các mơ hình tối ưu tuyến tính
Phần 3: Các mơ hình tối ưu phi tuyến
Nội dung của đề tài tập trung vào việc phân tích cận biên cho lời giải tối ưu của các mơ hình tuyến tính; củng cố, mở rộng và thống nhất các phương pháp giải va phân tích cận biên cho một số mơ hình tối ưu phi tuyến tiêu biểu Các nội dung
đưa ra trong đề tài được trình bày theo kiểu định hướng cho các dạng bài tập cơ bản phục vụ cho các giáo viên giảng dạy mơn học chủ động và thống nhất trong việc ra
Trang 3MỤC LỤC
Phan 1 Một số kiến thức tốn cao cấp bỗ trợ
1.1 Ma trận xác định 1⁄2 Tập lồi và hàm lồi
13 Dao ham của hàm ẩn
14 Hệ số co giãn của hàm lũy thừa
1.5 Cực trị cĩ điều kiện của hàm hai biến
Phần 2 Các mơ hình tối ưu tuyến tính
2.1 Bài tốn quy hoạch tuyến tính
2.1.1 Bài tốn tối đa hĩa lợi nhuận với điều kiện số lượng các yếu tố sản xuất cĩ hạn
2.1.2 Bài tốn tối thiểu hĩa chỉ phí với điều kiện
phải đảm bảo kế hoạch sản lượng sản phẩm
2.2 Bài tốn vận tai — phân phối
2.2.1 Mơ hình tốn
2.2.2 Phương pháp giải
2.2.3 Phân tích mơ hình của bài tốn vận tải
Phần 3 Các mơ hình tối ưu phi tuyến
3.1 Mơ hình tối đa lợi nhuận của doanh nghiệp
3.1.1 Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
3.1.2 Doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm
3.2 Mơ hình tối ưu hai biến với một ràng buộc phương trình
3.2.1 Mơ hình cực đại hàm lợi ích cĩ dạng hàm Cobb —
Trang ¬ an 15 16 16 17 17 24 24 25 32 44
Douglas và một ràng buộc về ngân sách dạng phương trình tuyến tính
3.2.2 Mơ hình cực tiểu hàm chỉ phí (ngân sách) Aphin với một ràng buộc là hàm sản xuất cĩ dạng hàm Cobb — Douglas
Trang 4Phần 1 Một số kiến thức tốn cao cấp bổ trợ
1.1 Ma trận xác định
Cho 4 là ma trận vuơng, đối xứng cấp n, định thức con chính dẫn đầu cấp k,1<k<n của det(20) là định thức của ma trận gồm các phần tử nằm trên k hàng
đầu và k cột đầu của 4 Ma trận 4 được gọi là:
« Xác định dương nếu tất cả các định thức con chính dẫn đầu của 4 đều dương
«Xác định âm nếu định thức con chính cấp k cĩ dấu (—1)", Vk =1, 2,
1.2 Tập lỗi và hàm lồi
+ Tập CC R" được gọi là một tập lồi nếu với mọi X', X? eC thì AX'+(—-2)X? eC,0<41,
hay đoạn thẳng nối X, X? nằm trọn trong C
+ Ham ƒ xác định trên tập lồi C được gọi là một hàm lồi nếu f(axt +(1- 2°) <^AƒŒ9)+q-2)/?) và được gọi là một hàm lõm nếu
Z(Ax'+d~ 2)X?)>A/ƒ')+q~ 2)/Œ?) với mọi 0<4<1; X', X? eC
+ Cho f là hàm số cĩ các đạo hàm riêng, đến cấp 2 trên tập lồi C Khi đĩ, ƒ là
hàm lồi (lõm) trên nếu ma trận Hessian:
H„œ)=(7,)),„
xác định dương (xác định âm) trên C
Trang 5« Nếu ƒ là hàm lõm trên C thì mọi điểm cực đại địa phương đều là cực đại tồn cục Điểm đạt cực đại (nếu cĩ) sẽ nằm trên biên của Œ
1.3 Đạo hàm của hàm an
« Hàm ẩn một biến:
Nếu hàm ẩn y= ƒ(x) được cho bởi phương trình hàm an:
F(x, y)=0
thì đạo hàm của hàm f tai điểm (x, y) thỏa mãn phương, trình hàm ẳn sẽ được tính theo cơng thức:
Uy) = Fe
#Œ)= a
+ Ham dn hai biến:
Néu ham ẩn hai biến z = ƒ(z, y) được cho bởi phương trình hàm an:
FŒ, y,Z)=0
thì đạo hàm riêng của ƒ theo x, y được tính theo cơng thức:
1 F
=
¬:
1.4 Hệ số co giãn của hàm lđy thừa
« Hàm mộtbiến:
y= f(x) = 4x" (@ #0) Khi đĩ ta cĩ:
ef (x) =a,
Trang 6ƒ(Œ)= Axfhxf? xế" (œ,=0, 1=], n)
Khi đĩ, nếu hàm ƒ cĩ các đạo hàm riêng liên tục theo tất cả các biến tại điểm X
thì:
ef(X)= a, Vi=Ln
1.5 Cực trị cĩ điều kiện của hàm hai biến
Cho hàm hai biến z= f(x, y) xác định trên miền #? Bài tốn được quan tâm ở đây là
ƒ(Œ, y)— min (max)
ax+by=c (PO)
x20, y20
Ta tạm thời bỏ qua điều kiện x >0, y >0 và bài tốn được viết lại là
{ f(x, y) > min (max)
ax+by=c 1)
Ta sẽ giải bài tốn (P1) và sẽ kiểm tra diéu kign x20, y>0 với phương án tối ưu
(x’, y') nhận được Để giải bài tốn (P1) ta dùng phương pháp nhân tử Lagrange,
bao gồm các bước sau:
5 Lập hàm Lagrange:
LA, x, Y= f(y) + Mart bye),
trong đĩ: 4 được gọi là nhân tử Lagrange
+ _ Tìm điểm dừng cho hàm Lagrange thơng qua việc giải hệ phương trình:
12=0
=0
1=0
Trang 7« Kiểm tra điều kiện cực trị (địa phương) tại điểm dừng thơng qua việc tính định
thức của ma trận Hessian tại điểm dừng:
1J(A',x,y) 1@,x,v) 1@.*,y)
D=det(H,(A',*, y))=|tm(@,x,y)- 10,x,y)) LA, x, yD)
ata.) LAX) Lax)
Nếu D>0 thì hàm f dat cyc dai tại điểm dừng (`, y'), cịn nếu D<0 thì hàm ƒ đạt cực tiểu tại điểm dừng (+, y)
+ Kiểm tra điều kiện cực trị (tồn cục) tại điểm dừng thơng qua việc xét ma trận:
‹ (14x) 120,53)
HẠ, x, »-[n- xy) a, x 2)
Nếu đây là ma trận xác định đương (xác định âm) với mọi (x, y) e RỆ thì hàm ƒ đạt giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) trên miền #Ẻ
Trang 8Phần 2 Các Mơ hình Tối ưu Tuyến tính 2.1 Bài tốn qui hoạch tuyến tính
2.1.1 Bài tốn tối đa hĩa lợi nhuận với điều kiện số lượng các yếu tố đầu vào
cĩ hạn :
Để tối đa hĩa lợi nhuận thì doanh nghiệp đặt ra mục tiêu tối đa hĩa doanh thu Vi vay ta xét bài tốn tối đa hĩa doanh thu như sau:
a) Mơ hình tốn e Bài tốn gốc: SX) = pa + Pm + - + PX, maX đu" Ay Fw + inky < h (P) mH ĐĨ 42 T « + đux, < b —= + up à bạ
«_ Bài tốn đối ngẫu:
SƠ) = bụi + by to» +Ĩ buy„ > min đã) + 02 + « + đm⁄m 2> Pri
(D) aM + apyz +o + Gm2Ym 2 Pr
App + ann Foe + Amn¥m 2 Pn
„>0,i=lm
Trong hai bài tốn trên:
+p/>0,j 1,ø là giá của sản phẩm loại 7;
+ b,>0,ï=1,m là số lượng (tối đa) của các yếu tố đầu vào;
+ ay >0,i=1, m; 7 =1 là định mức số yếu tố đầu vào loại ¡ cho một đơn vị sản
Trang 9
Bài tốn gốc (P) là bài tốn tối đa hĩa doanh thu trong điều kiện các yếu tố
(hay nguồn lực) đầu vào phục vụ cho quá trình sản xuất bị hạn chế; cịn bài tốn đối ngẫu (D) là bài tốn tối thiểu giá trị của các yếu tố đầu vào nhưng phải đảm bao được giá trị tối thiểu của các yếu tố đầu vào tạo ra một đơn vị sản phẩm loại
Jj=bm
Với các giả thiết trên thì cả bài tốn gốc và bài tốn đối ngẫu luơn cĩ phương,
án tối ưu
b) Phương pháp giải mơ hình
Ta thực hiện giải bài tốn (P) bằng phương pháp đơn hình và giả sử nhận
được lời giải tối ưu gồm phương án tối ưu X” và giá trị doanh thu tối đa
ƒ*=ƒ(X`) Ký hiệu Xếr, J” tương ứng là phương án và cơ sở tối ưu của bài tốn chính tắc Khi đĩ, bằng các phương pháp suy nghiệm cho bài tốn đối ngẫu ta nhận được lời giải tối ưu của bài tốn đối ngẫu bao gồm phương án tối ưu Y` và
mức giá trị tối thiểu của các yếu tố đầu vào g'=sữ)`)
€) Phân tích mơ hình
Phương pháp phân tích là dựa vào bảng đơn hình và các tính chất của cặp bài
tốn qui hoạch tuyến tính đối ngẫu + Sự dư thừa của các yếu tố đầu vào
Bằng việc thay X” vào các ràng buộc của Bài tốn (P) ta cĩ thể nhận thấy các yếu tố đầu vào bị dư thừa (khơng sử dụng, hết) đĩ là các yếu tố ? cĩ:
Anx) +aax2 + a,x„ =b, <b, ÌGT” + Định mức giá trị cho các yếu tố đầu vào
-_ Như đã nĩi ở trên, Ý” =(J†, y3; y„) là phương án tối ưu của bài tốn đối
ngẫu Nĩi cách khác, y;, ¡ =1, m chính là giá trị một đơn vị yếu tố đầu vào loại ¡ Tuy nhiên, với các yếu tố đầu vào bị dư thừa ¡€ J”, theo định lý đối ngẫu thứ hai
Trang 10yị=0,Vi€I
Điều này cĩ ý nghĩa thực tế là khơng thể định mức giá trị cho các yếu tố đầu vào khi thực tế nĩ cịn chưa đưa vào sử dụng hết trong quá trình sản xuất Một vấn đề nảy sinh ở đây là định mức giá trị cho tồn bộ số lượng các yếu tố đầu vào thực tế đã sử dụng Muốn vậy, ta lập bài tốn gốc mới:
ƒ(Œ)=3;p,x, — max j=l
và bài tốn đối ngẫu mới:
„
(Y=) by; > min
© _
3 ai >p,j=Ln
Hiển nhiên X”, f° vin là lời giải tối ưu của bài tốn (P) và VÌ, g` vẫn là lời
giải tối ưu của bài tốn (D)
-Trường hợp thứ nhất:
hay J” =9
+ Nếu bài tốn đối ngẫu (D) cĩ duy nhất nghiệm và nếu tồn tại:
yạ=0,1<j;<m
thì yếu tố đầu vào ¡; là khơng thể được định mức giá trị đương
+ Nếu bài tốn đối ngẫu (D) cĩ vơ số phương án tối ưu thì ta cĩ thể chọn được
Trang 11yị >0, Vi=l,m
_Trường hợp thứ hai: Ï = Ø :
Với trường hợp này, bài tốn gốc (P) cĩ thể bị suy biến và dẫn tới bài tốn đối
ngẫu (D) cĩ vơ số phương án tối ưu Ta tìm trong tập phương án tối ưu đĩ phương
án tối ưu Ÿ” cĩ:
yị>0,Vi=l,m
+ Phan tich sy anh hướng của việc phải sử dụng hết các yếu tố đầu vào tới lời
tối ưu
Đặt yêu cầu:
Giả sử doanh nghiệp đặt thêm điều kiện là yếu tố đầu vào i¿ (1< j < m) phải
được sử dụng hết cho quá trình sản xuất thì điều kiện này ảnh hưởng tới lời giải tối ưu của bài tốn ban đầu (P) như thế nào?
Phương pháp giải:
+ Với bài tốn gốc:
(1) Néu jy ¢ I~ thi ta khơng phải giải lại bài tốn và dẫn đến lời giải tối ưu X”, f° khơng bị thay đổi
(2) Nếu ¡ạ €J” thì chúng ta sẽ phân tích sự thay đổi thơng qua bảng đơn hình Tại
bêng tối ưu, với bài tốn cũ thì Ấn bù x„¿„ > 0 và cột A„„„, là cột cơ sở, cịn với
bảng đơn hình của bài toan méi thi x,,,, > 0 lại là ẩn giả () Nếu các hệ số:
Zptigk SO VEE ST By = Fnsigt 20, VE ET,
trong khi các hệ số Z„¿„ ¿; # J” khơng thay đổi, dẫn đến các ước lượng trong
bảng đơn hình mới:
Trang 12Khi đĩ phương án X?„ là phương án tối ưu với ẩn giả eth >0 và bài tốn
mới khơng cĩ phương án nào
(i) Néu tin tại chỉ số k Ø J” cĩ z„„„ „ > 0, ta chon:
max {Zpsipk kES |= 2 ¿„ >0
và giả sử
% nh 2/7, >0 2
Zis Zntig,s
Do phương án cực biên nhận được sau bước cải tiến đơn hình này chưa chắc
đã là phương án tối ưu nên trong trường hợp này ta kết luận giá trị lợi nhuận tối đa sẽ giảm tối đa một lượng bằng:
—Ø,#, >0
+ Phân tích sự ảnh hưởng của việc tăng (giảm) các yếu tố đầu vào tới lời giải tối ưu
Đặt yêu cầu:
Giả sử yếu tố đầu vào ¡ạ (L<iạ <”) tăng (giảm) một lượng A, > 0 thì lời giải tối
ưu sẽ thay đổi như thế nào?
Phương pháp giải:
-_ Trường hợp tăng: Ta xét hai khả năng:
(1) €1”, nghĩa là thực tế yếu tố đầu vào ¡ạ khơng sử dụng hết nên việc tăng số
lượng của yếu tố đầu vào ¡ạ khơng ảnh hưởng tới lời giải tối ưu của bài tốn ban
đầu
() iy #1, nghĩa là yếu tố đầu vào i, đã được sử dụng hết Trường hợp này, X”
vẫn là phương án của bài tốn gốc mới, cịn Y` vẫn là phương án của bài tốn đối ngẫu mới Vì vậy bài tốn gốc mới chắc chắn vẫn cĩ phương án tối ưu Mặt khác, giá trị hàm mục tiêu của bài tốn đối ngẫu mới ứng với phương án Y` đã tăng thêm
Trang 13RA, >0
Vì VY” chưa chắc là phương án tối ưu của bài tốn đối ngẫu mới nên dẫn tới giá trị tối ưu của bài tốn gốc mới hay lợi nhuận tối đa tăng thêm một lượng khơng quá
FigAby «
-_ Trường hợp giảm: Ta cũng xét hai khả năng:
(1) iạ€7— Với khả năng này, nếu mức giảm
Ab, <2,
thì khơng ảnh hưởng tới lời giải tối ưu của bài tốn, cịn nếu lượng giảm
Ab, > by — Big
thì sẽ được xét cùng với khả năng thứ hai
(2) iy #1” Trường hợp này, bài tốn gốc vẫn cĩ phương án tối ưu và Y` vẫn là phương án của bài tốn đối ngẫu Giả sử yếu tố đầu vào iạ giảm một lượng Ab, >0so với 5, Khi đĩ, giá trị tối ưu của bài tốn đối ngẫu và kéo theo giá trị
tối ưu của bài tốn gốc giảm tối thiểu một lượng bằng 2A, >0
«Phân tích sự ảnh hưởng của giá sản phẩm tới lời giải tối ưu
Giả sử san phdm loai jy (1< jp $7) 6 mite gid p,, > 0 và mức tăng (giảm) là Ap,>0
- Trường hợp tăng:
(1) Nếu jy ¢J* thi xj, =0 va sin phim nay thyc té khong duge sin xuất (do cĩ
giá bán thấp), nếu tăng giá thì cĩ thể nĩ cũng sẽ được đưa vào sản xuất Xét trên
bảng đơn hình thì ước lượng ứng với biến xj, sẽ giảm đi lượng Ap,„
+ Nếu A„ —Apj, >0 © Ap;, Sj, thi X” vẫn là phương án tối ưu của bài
tốn gốc mới
Trang 14+ Nếu Aj, — App <0 Ap, > Aj 20 thi X” khơng là phương án tối ưu của bài tốn gốc mới
'Vì bài tốn gốc chắc chắn cĩ phương án tối ưu nên ta chọn được:
Tuy nhiên, do phương án nhận được sau bước cải tiến này chưa chắc là
phương án tối ưu nên doanh thu tối đa sẽ tăng thêm một lượng tối thiểu bằng:
(Pj, — Aj.) 29-
(2) Néu jp € J", nghia la loai sin phdm nay duge sin xuất Khi đĩ, bài tốn gốc vẫn giải được, phương án tối ưu X” vẫn cịn là phương án của bài tốn gốc mới,
tuy nhiên nĩ chưa chắc là phương án tối ưu Vì vậy, đoanh thu tối đa tăng tối thiểu
một lượng bằng:
XjpAP ig
- Trường hợp giảm:
(1) Néu jp ¢ J" thi x}, =0 va sản phẩm này thực tế khơng được sản xuất (do cĩ giá bán thấp), nếu tiếp tục giảm giá thì chắc chắn nĩ cũng sẽ được đưa vào sản
xuất, nghĩa là lời giải tối ưu của bài tốn khơng thay đổi Trên bảng đơn hình thì: Aj 7 Ajy + APin > O-
(2) Nếu jp € J", nghia 1A loai san phim nay duge san xuất Khi đĩ, bài tốn gốc vẫn giải được, phương án tối ưu X” vẫn cịn là phương án của bài tốn gốc mới, tuy nhiên nĩ chưa chắc là phương án tối ưu Vì vậy, doanh thu tối đa sẽ giảm tối đa một lượng bằng: `
Xj AP jg: 4) Vi dy minh họa
Dữ liệu của bài tốn (P) được cho ở bảng sau:
Trang 15Sản phẩm|
A|B|C |D |Số lượng yếu tố đầu vào
|Yếu tố đầu vào
1 4|2|1]|5 55
2 3|1|12 30
3 1|1|3|1 20
Giá bán sản phẩm | 5 | 3 | 2 | 6
¢ Gai mé hinh:
Ching ta thực hiện giải bài tốn gốc bằng phương pháp đơn hình:
5 3 2 6 0 0 0
4 | Π| 2 [AI LAO aA, Dar [As [Ae [Ar
5 0 55 4 2 1 (5) 1 0 0 6 0 30 3 1 2 0 1 0 7 0 20 1 1 3 1 0 0 1 A 0 5 3 -2 I-6] 0 0 0 4 6 5 2/3 0 -5/3 1 13 0 -2/3 6 0 5 (4/3) 0 -1/3 0 -1⁄3 1 -1⁄3 Tối 3 15 1/3 1 14/3 0 -1/3 0 5/3 A 75 0 0 2 0 1 0 1
Lời giải tối ưu của bài tốn gốc (P):
X* =(0,15, 0, 5); f° =75 Lời giải tối ưu của bài tốn đối ngẫu (D):
Y°=(,0,1; g`=75
5 Phân tích mơ hình:
(1) Xác định các yếu tố đầu vào bị dư thừa:
'Yếu tố đầu vào bị dư thừa là 2, J” = {2} va 5, =25
(2) Xác định bảng định mức phân bổ giá trị đơn vị cho các yếu tố đầu vào
Theo Định lý đối ngẫu 2, tập định mức giá trị của các yếu tố đầu vào đã được sử
dụng được xác định từ hệ phương trình:
Trang 162y +y;+yy =3 5 +22 +y¿ =6
4y, +3y2 +325 @)
YtY.+3y3 22
yị>0,i=1,3
'Nghiệm tổng quát của hệ là:
Chẳng hạn, néu ta chon a = thì ta cĩ một phương án phân bổ định mức giá trị
Jung 312 di lương của ba yêu ủa ba yếu tố đầu vào là: |“; ~; —|- iu vào là Ễ 7 ;|
(3) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do yêu cầu sử dụng hết các yếu tố đầu vào
+ Nếu thêm yêu cầu các yếu tố đầu vào 1 và 2 phải được sử dụng, hết thì lời giải tối
ưu khơng thay đồi
+ Nếu yêu cầu yếu tố đầu vào 2 phải được sử dụng, hết thì:
5 3 2 6 o [-mu | 0 A C 2 2 % Ai A¿ A3 Ag As As Ay 4 6 5 2/3 0 |-53 | 1 1⁄3 0 | -28 5 ẽ 5 ga 5 5 2 3 l5 | 1/2 1 | 143 | 0 | -13 | 0 53 a 75 0 0 2 0 1 0 1 4 B -5 |I[423]] 0 1⁄3 0 1⁄3 0 1⁄3
Từ kết quả bảng đơn hình ta cĩ được lợi nhuận tối đa giảm tối đa một lượng là:
15
a6 mờ
nghĩa là lợi nhuận tối đa khơng thay đổi
(4) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do tăng (giảm) số lượng của các yếu tố đầu vào
Trang 17Nếu tăng yêu tố đầu vào 2 thì lời giải tối ưu khơng thay đổi, vì nĩ đang là yếu tố
ơng sử dụng hết
+ Nếu tăng (hoặc giảm) yếu tố đầu vào 1 thêm 1 đơn vị, bài tốn gốc vẫn cĩ lời giải
đối ưu và lợi nhuận tối đa tăng tối thiểu một lượng 1a: y,(@) =a, trong đĩ ø là
:nghiệm của hệ phương trình (*) Với 0< ø <1, thì lợi nhuận tối đa tăng tối thiểu (giảm tối đa) thêm một lượng là 1 đơn vị
+ Nếu yêu tố đầu vào 2 giảm đến mức ð; =25 thì lời giải tối ưu khơng thay đổi Tuy nhiên, nếu nĩ giảm thêm 1 đơn vị nữa thì lợi nhuận tối đa sẽ giảm tối đa một
lượng bằng,
y;(œ)=3—3ø,0<z<1
và khả nămg giảm mạnh nhất là 3 đơn vị, ứng với ø =0
(6) Sự thay đổi của lời giải tối ưu do tăng (giảm) giá bán sản pham
5 3 2 6 0 0 0
A | Œ | 7 [Ai [Ái LAI |LÁIC LAI | Á [Ai > |o0 |5 | 4 1 2 1 |@ | 1 0 | 0
6 0 30 3 2 0 1 0 7 0 20 1 1 3 1 0 0 1 A 0 -5 3 -2 [-6] 0 0 0 4 6 ° 2/3 0 -5/3 1 1⁄3 0 -2/3 6 0 5 (4/3) 0 -1⁄3 0 -1⁄3 1 -1⁄3 2 3 15 1/3 1 14/3 0 -1/3 0 5/3 A 75 0 0 tà 0 1 0 1
+ Nếu giảm giá bán của sản phẩm A va C thì lời giải tối ưu khơng thay đổi
| + Nếu tăng giá bán của sản phẩm C thêm 2 đơn vị thì lời giải tối ưu cũng khơng
thay đổi
| + Nếu tăng giá bán của sản phẩm A thêm 1 đơn vị thì doanh thu tối đa tăng tối _ thiểu một lượng bằng:
(A +)4=14 ="
Trang 18Nếu tăng giá bán của sản phẩm B thém 1 đơn vị thì doanh thu tối đa sẽ tăng tối “du một lượng bằng:
: 1x2 =15
2.12: Bài tốn tối thiểu hĩa chỉ phí với điều kiện phải đảm bảo kế hoạch sản
lượng sản phẩm
a) Mơ hình tốn:
+ Bài tốn gốc:
A(X) = pa + Pm + + Pr%y > tain
ax + a¿ + « + AX, 2 hị
(P2) yx + Ay% tm + đu 2
Am % ĐĨ đg⁄y se + đưxy, 2 bạ
x;>0 Jj=Ln
+ Bài tốn đối ngẫu:
BY) = by + By +o + buyạ — max
: ayy, + ay toe + đmVm SP
(2) ayy + đa; + « + Guam S Pa
AY + Pn
Trong hai bài tốn trên:
+ p;>0, j =], n là giá của một đơn vị yếu tố sản xuất, hay nguyên liệu đầu vào;
+ b,>0,7=1,m là sản lượng (tối thiểu) của các loại sản phẩm;
+ ay >0,i=1,m; j=in là định mức số sản phẩm loại ¡ từ một đơn vị yếu tố đầu
vào |oại j ;
| + xj, j=hn là số lượng yếu tố đầu vào / ;
+ y„, =1 m là giá trị đơn vị của sản phẩm loại 7
Trang 19Bài tốn gốc (P) là bài tốn tối thiểu hĩa chỉ phí với điều kiện phải đảm bảo
ế hoạch sản lượng tối thiểu; cịn bài tốn đối ngẫu (D) là bài tốn tối đa giá trị của
sản phẩm với điều kiện giá trị phần sản phẩm do một đơn vị yếu tố đầu vào tạo ra khơng vượt quá mức giá p,, j =], m
'Với các giả thiết trên thì cả bài tốn gốc và bài tốn đối ngẫu luơn cĩ phương,
án tối ưu
b) Giải mơ hình
Chúng ta thực hiện giải bài tốn gốc bằng phương pháp đơn hình
©) Phân tích mơ hình
Phương pháp phân tích mơ hình hồn tồn tương tự như Mơ hình 2.1.1
2.2 Bài tốn vận tải — phân phối
2.2.1 Mơ hình tốn Bảng số liệu:
+_ Với bài tốn vận tải:
+ a,>0,b, >0; i=I,m; j=1,n tương ứng là lượng hàng ở trạm phát 4, và
b; =T (cân bằng thu phát)
j=l
+ Cy >0,i=1,m; j=Ln là cước phí vận chuyển một đơn vị hàng giữa các trạm
phát và thu
„Yêu cầu tối thiểu hĩa tổng chỉ phí vận chuyển trong điều kiện các trạm phát
ˆ phát hết hàng và các trạm thu nhận đủ hàng
Trang 20Với bài tốn phân phối:
a,>0,bj >0; =1, m; j=],n tương ứng là lượng vốn của nguồn vốn 4;
(trạm phát vốn) và cơ sở cần sử dụng vốn B }; (tram thu vốn)
+ dy>0,7=1,m; j=1,n là hiệu quả sử đụng vốn, chẳng hạn như tỉ lệ lãi trên
vốn
¿Yếu cầu tối đa hĩa hiệu quả sử dụng vốn, trong điều kiện các trạm phát vốn
phải phát hết và các trạm thu vốn phải nhận đủ "
Š 2b; =7 thì ta cĩ bài tốn phân phối cân bằng thu phát
j=l : m + NéuP=>> i=) 2.2.2 Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp thế vị và giả sử ta nhận được phương án tối ưu X = (3 }»„
với tập ơ chọn cơ sở S” và giá trị /„„„= /(X”) (tương ứng ƒụạ„ = /(Ý”))
2.2.3 Phân tích mơ hình với bài tốn vận tải
a) Phân tích sự ảnh hưởng của lời giải tối ưu do sự thay đổi của cước phí vận chuyển
() Tăng cước phí vận chuyển của 6 (i, /ạ) thêm một lượng Ac, „ > 0
+ Nếu (0y, jạ) # 9” thì lời giải tối ưu khơng thay đi
+ Nếu (0y, jạ)€S” thì X” đương nhiên vẫn là phương án của bài tốn, tuy nhiên chưa chắc là phương án tối ưu nên tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất tăng tối đa
một lượng bằng:
Ae,yXaj, >0
đi) Giảm cước phí vận chuyển của ơ (ip, jo) đi một lượng Ae,, > 0
+ Néu (ig, jo) ¢ S* X” đương nhiên vẫn là phương án của bài tốn Nếu mức giảm
Trang 21Uj +V jp — Cigig — ACinin) £9 ACinig <-Ang
` lời giải tối ưu khơng thay đổi
gược lại, nếu:
Ae igig > —Ainin
thì X” chưa chắc là phương án tối ưu Kí hiệu 7° 14 vong tao bdi 6 (i, jạ) với một số ơ chọn khác và qạ lượng hàng nhỏ nhất trên Vo (các ơ cĩ thứ tự chẵn) Khi đĩ, tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất giảm tối thiểu là:
đo(Â + ein jn) :
+ (lạ, jạ)€ S” Trường hợp này X” vẫn là phương án tối ưu và tổng chỉ phí vận
chuyển nhỏ nhất giậm đi một lượng bằng:
ASgjpXujy >0
b) Phân tích sự ảnh hưởng của lời giải tối ưu do sự thay đổi của lượng hàng trên các trạm thu, phát hàng
«Thay đổi trên các trạm phát hàng
(0) Tăng lượng hàng trên trạm phát 4, thêm một lượng À2, > 0
Với trường hợp này ta lập thêm trạm thu giả Ư„, với lượng hang Aq, và chỉ cĩ
một ơ giả (jạ, n +1) sé c6 lugng hang Aa, Khi đĩ, các thế vị cũ khơng thay đổi,
chỉ cĩ một thể vị mới:
Tin — + + Trường hợp:
Uj, +u, <0, Vi=l, m
thì lời giải tối ưu khơng thay đổi, trạm phát 4, sẽ dư một lượng hàng, bằng lượng
' mới tăng thêm
+ Trường hợp tồn tại chỉ số 1< ¡ <m sao cho:
Apmai = tụ +, >0
Trang 22a chọn:
max{A, nit =-u, + ¡ISi<m}=A xa >0
'Trường hợp này X” khơng cịn là phương án tối ưu nữa Ký hiệu ŸÌ, 4 tương ứng
là vịng tạo bởi ơ (¡,m-+1) với một số ơ chọn khác và lượng hàng nhỏ nhất trên các ơ thứ tự chẵn của Ƒ1 Kết quả ta cĩ tổng chỉ phí nhỏ nhất sẽ giảm tối thiểu một lượng bằng:
4y +4)-
(i) Giảm lượng hàng trên trạm phát 4, đi một lượng 0< Az„ < đụ -
Một giả thiết mang tính kỹ thuật được đưa ra ở đây là lượng hàng giam Aa, đủ nhỏ
sao cho trên hàng ¡ạ tồn tại ít nhất một ơ chọn cĩ lượng hàng khơng nhỏ hơn lượng
hàng giảm Giả sử ơ chọn đĩ nằm trên cột jạ, nghĩa là ta cĩ:
Xing ZA >0
Trường hợp này ta lập thêm mét tram phat gid 4,,,, voi lugng hàng Aa, > 0 va đưa một lượng hàng bằng Aa,, vào 6 giả (m+1, 7a), đồng thời bớt đi ở 6 chon (ig, jo) một lượng hàng Az„ Phương án phân phối hàng mới nhận được cĩ tập ơ chọn cơ sở:
SUL(m+], jo},
cén thé vi trén hang m+1 được tính bằng z„.¡ =v:
+Nếu:
—vy +, <0, Vj=ln
thì phương án phân phối hàng mới nhận được vẫn là phương án tối ưu và tổng chỉ
phí vận chuyển giảm đi một lượng bằng:
Cini Aig:
Trang 23vj, +¥;,> 0
` phương án phân phối hàng mới nhận được cĩ thể chưa tối ưu và tổng chỉ phí
an chuyển nhỏ nhất cĩ thể giảm nhiều hơn c„„„Â4,,
Nếu trên hàng ¡ tồn tại nhiều hơn một ơ chọn cĩ lượng hàng khơng nhỏ hơn
¡„ thì ta đặt tập chỉ số cột:
K=lk:l<k<m,xụ >Aa,}
Trong trường hợp này thì tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất giảm đi một lượng
khơng nhỏ hơn:
AƑ= ma | max [T +]:
«Thay đổi trên các trạm thu hàng
Nếu tăng lượng hàng ở một trạm thu nào đĩ thì ta lập thêm trạm phát gid 4,415 nếu giảm lượng hàng trên một trạm thu nào đĩ thì ta lập thêm trạm thu giả B,.ị
Quá trình phân tích và kết quả mang lại hồn tồn tương tự như với trường hợp tăng (giảm) hàng ở các trạm phát hàng
Nhận xét:
(1) Với bài tốn phân phối (bài tốn cực đại hàm mục tiêu) thì quá trình phân tích
hồn tồn tương tự như với bài tốn vận tải
(2) Tăng hoặc giảm hàng ở một trạm phát hàng, hay trạm thu hàng nào đĩ nếu cĩ
thay đổi thì chỉ làm giảm mà khơng làm tăng tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất (3) Nếu cùng tăng (hay giảm) hàng ở nhiều trạm khác nhau thì ta thực hiện tăng (giảm) lần lượt ở từng trạm, sau đĩ tích lũy lại
_ Ví dụ minh họa: Xét bảng vận tải đã thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu:
Trang 2440 60 100 U P ae wal 10 “ol ° nf, PP nol oo (eof, pol 7 v_t« 19 [10
(1) Tăng cước phí vận chuyển ở ơ (1, 2) thì lời giải tối ưu khơng thay đổi vì số kiểm tra của các ơ khác khơng thay đổi, cịn số kiểm tra của ơ (1, 2) là số âm
(2) Giảm cước phí tại ơ (2, 1) đi 1 đơn vị:
- 1 | 60 | 100 |v 6—m lo 2| 0] ae po] ° 6a 1 7 | œp | — tro}! 6 R_b 0| _ [60] Ioj X6 I=o | s10
Bảng vận tải này chưa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ
nhất giảm tối thiểu:
(41)x40=40 đơn vị
() Tăng cước phí tại ơ (1, 1) thêm 1 đơn vị thì tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất
| tăng tối đa:
| 1x40 đơn vị
(4) Giảm cước phí tại ơ (3, 2) đi 1 đơn vị thì tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất giảm
tối thiểu:
1x60=60 đơn vị
(4)Tăng hàng ở trạm phát As thêm 10 đơn vị:
Trang 25| Ỉ ị ị ị 7 p 40 | 60 | 100 | 10 | U 6 1 hơ 50 0| — nơi =|? 7 12 i Ð 70+ 10)" 0 (ro fro]? 6 —R—b 80 | _ [so] pòj - | 1 W6 |9 |0 |
Bảng vận tải này thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Khi đĩ, lượng hàng tăng đã trở thành
lượng hàng tồn kho
(6) Tăng hàng ở trạm phát As thêm 10 don vi:
p7] 4o|so|lo| l6 |U l8 it [10 50 [40|[ — po} +1 | ° 7 2 |r 7m | o | - | fol ca | ? 6 8
80+10 — tool pøi HơN Vị 6 | 9 | 109 [ 1
Bảng vận tải này chưa thỏa mãn tiêu chuẩn tối ưu Tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ
nhất giảm tối thiểu:
(+2)x10=20 đơn
(7) Giảm 5 don vi hang 6 tram thu Bs:
vi + Xử lý theo phương án 1: i 40 | 0 | 95 | 5 | U 6 i floes 0 = [40] 5Ì [5 l I2 fa 2 l6 TP 0ø| œ) | ' " [60|_ I0) 2 vy [toto | [0
Trường hợp này tổng chi phi vận chuyên nhỏ nhất giảm tối thiểu:
Trang 26: 5x10+(+1)x5=55 don vi + Xử lý theo phương án 2: p 1 40 | 60 | 95 5 U 50 |6 I1 10 0 [40] 0] 70 [7 I2 II 0 1 [6S {5 80 6 8 9 {60]] [20] V 6 9 10 +1
Trường hợp này tổng chỉ phí vận chuyển nhỏ nhất khơng giảm
+ Xử lý theo phương án 3: 40 60 95 5 U IP 50 6 mm 6 [40 [0| +1 70 |7 12 J1 0 1 [0| (+2) 80 [6 8 9 7 j60|[ us| I5 Vv 6 9 | 10 | 1
Trường hợp này tổng chỉ phí vận chuyên nhỏ nhất giảm tối thiểu:
5x9+(+2)x5=55 đơn vị
Trang 27n3 Các mơ hình tối ưu phi tuyến
„Mơ hình tối đa lợi nhuận của doanh nghiệp
Phát biểu mơ hình
oanh nghiệp sản xuất sản phẩm với các yếu tố liên quan: ) Sản lượng: @>0 (cĩ thể là vơ hướng hoặc véc tơ)
) Hàm giá sản phẩm: p (cĩ thể phụ thuộc sản lượng hoặc khơng)
) Hàm chỉ phí:
TC =C(Q)+FC,
ng đĩ C(Ø) là chỉ phí biến đổi cịn FC 1a chi phi cố định Hàm chỉ phí TC cĩ
ác tính chất:
ï) Khơng âm, tăng theo sản lượng Ø;
ii) Thường là hàm lõm, điều này thể hiện chỉ phí ting dần theo sản lượng nhưng
tốc độ tăng giảm dần Tuy nhiên trong thực tế cũng cĩ thể là hàm lồi (4) Hàm doanh thu:
TR(O)= p(Ø)9
cĩ các tính chất: Khơng âm, tăng theo sản lượng Ở
(5) Hàm lợi nhuận:
TI(Ø) =TR(O) - TC(Ø)
Mục đích của doanh nghiệp là tối đa hĩa lợi nhuận bằng việc lựa chọn mức sản
lượng Q thích hợp » Mơ hình tốn
Mơ hình khơng cĩ ràng buộc về sản lượng:
T1(Q) > max
9>0
'# Phương pháp chung, để giải mơ hình là sử dụng, đạo hàm cấp 1 va dao hàm cấp 2
Phương pháp phân tích mơ hình là sử dụng hàm ẩn, đạo hàm và hệ số co giãn
Trang 28:1 Doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm
rong trường hợp này thì 7C, 7R, II đều là các hàm của một biến sản lượng @ ) Doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo
Giá p khơng phụ thuộc sản lượng @ và được xem là biến ngoại sinh
+ Hàm doanh thu là hàm bậc nhất:
TR(Q)= pQ
+ Hàm lợi nhuận cĩ cấu trúc phụ thuộc vào hàm chỉ phí và tính lồi, lõm ngược với hàm chỉ phí:
T1(Q) = pQ-TC(Q)
+ Phương trình tìm điểm dừng, hay phương trình điều kiện cần tối ưu:
p-TC'(Q)=0
Gia sir Q’ > 0 1A mét diém dimg + Điều kiện đủ cực đại địa phương:
I(Ø)=-TC(Ø')<0,
hay
TC"(g)>0 là phụ thuộc vào tính chất của hàm chỉ phí TC + Nếu 7C là hàm lõm trên miền @ > 0 thì
TC"(Q) <0, VO>0
và dẫn đến điều kiện đủ cực đại khơng thỏa mãn Trường hợp này hàm lợi nhuận
lại đạt cực tiểu tại điểm dừng Œ, dẫn tới doanh nghiệp sản xuất với sản lượng @
càng lớn thì lợi nhuận càng cao
+ Nếu 7C là hàm lõm và chỉ xác định trên miền 0<@<Ø„„„ thì lợi nhuận tối đa đạt được tại 0 hoặc Ĩ„„„ -
Vi dy Cho ham chi phi:
TC =-Q? +400+ FC
Trang 29định và lõm trên miền
0<O<20 ới giá p=30, ta cĩ hàm lợi nhuận:
TI(@)= @?—100— FC
iểm dừng @` =5 Hàm lợi nhuận đạt cực tiểu tại @` = 5 Tại hai đầu mút: I(0)=—FC;
11(200) = 200— FC
Chứng tỏ hàm lợi nhuận đạt giá trị tối da tai diém san long Ona = 20
+ Nếu hàm chỉ phí 7C lồi trên miền >0 thì lợi nhuận tối đa sẽ đạt được tại điểm dừng Ø` >0
Kết luận Bài tốn tối đa hĩa lợi nhuận của doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo sản
xuất một loại sản phẩm khơng thực sự cĩ ý nghĩa khi hàm chỉ phí của doanh nghiệp là một hàm lõm Trường hợp này, doanh nhiệp sản xuất với sản lượng càng cao thì
lợi nhuận đạt được càng cao Điều này khuyến khích các doanh nghiệp cĩ hàm chỉ
phí lõm, tức là tiết kiệm chỉ phí sao cho tốc độ tăng chỉ phí giảm dần Ngược lại, nếu hàm chỉ phí là lồi, tức là tốc độ tăng chỉ phí tăng dần thì bài tốn tim điểm sản lượng để tối đa hĩa lợi nhuận là rất cĩ ý nghĩa
+ Phân tích lời giải t6i wu theo giá p trong trường hợp hàm chỉ phí là hàm lồi
Giả sử ta xét tại mức giá „ cho trước Dựa vào tính chất điểm sản lượng Ở” thỏa mãn điều kiện cần và đủ tối ưu:
p-TC(Ø)=0
+ Phân tích sự thay đổi của Ø” = Ø (7) theo mức giá ?:
Từ phương trình hàm ẩn:
FŒœ,Ø)=p-TC(Ø)=0
Tính đạo hàm của hàm ẩn ta cĩ:
Trang 30air 1
dp Ey FE, 10")
với điều kiện TC”(Q") #0) Tir dé ta c6 hé s6 co gifin cia Q* theo p tai diém
0Ì
z (Po) = ơ P= FN
+ Phân tích sự thay đổi của lợi nhuận tối đa theo mức giá p:
Từ cơng thức tính lợi nhuận tối đa:
TT =IH(Ø)= pØ`~7C(Ø`)
Tinh đạo hàm của IÏ” theo _p, kết hợp với phương trình điều kiện cần tối ưu ta cĩ:
41 _ dp O+p dp 40 _ re: (OF se
=đ + [p- TC(Ở)]
=0
Từ đĩ suy ra:
oan
a = Po= of
b) Với doanh nghiệp độc quyền cĩ hàm giá phụ thuộc tuyến tính theo sản
lượng
Giả sử hàm giá (hay hàm cầu ngược) của doanh nghiệp cĩ dạng:
: p(0)=z-9,
trong đĩ ø, đ là các số dương Khi đĩ ta cĩ:
+ Hàm doanh thu:
TR(Q)= P(Q)O
=aQ- pO
Trang 31T1(Q)=TR(Q)-TC(Q) =ø0- 8Ø -TC(0)
+ Phương trình điều kiện cần tối ưu, hay phương trình tìm điểm dừng:
TÍ(Ø) = p(Ĩ)+ p(@)0-TC(O) =z-Ø0- 80-TC(0) =z~280-TC\(0)
=0
Giả sử phương trình này cĩ nghiệm @ >0
+ Điều kiện đủ cực đại:
T(Ø)=-28-TC(Ø))<0
Điều này hiển nhiên đúng nếu 7C là hàm lồi và vẫn cĩ thể xảy ra khi TC là hàm
' lõm
'+ Phân tích cận biên của lời giải tối ưu @`, IT” theo ø (là mức giá kế hoạch) và
- (hệ số giảm giá do tăng sản lượng) tại điểm øạ, /, cho trước nào đĩ | + Phân tích cận biên đối với Ở”:
| Từ phương trình điều kiện cần tối ưu, hay phương trình xác định điểm dừng:
| TT(@)=ø~260~TC(Ø)=0
“taxée lập phương trình hàm ẩn của hàm hai biến
Q =O'(a, f)
là
F(a, B, O')=a-2f0' -TC'(Q")=0 'Theo cơng thức đạo hàm của hàm ẩn thì:
3.1 aa Tạ 28+TC(Ơ)” — EU
28+TC(Ø)”
Từ đĩ ta tính được các hệ số co giãn riêng:
Trang 32ag" af (yy) = 22-0, ° ` g[DA,+TC(Ø) a ~28, j ———_—_ £5 (A> By) = 22,+TCG) g ao ae
+ Phân tích cận biên đối với TT”: Từ biểu thức:
TỶ =I(Ø)=(œ- 90)Ø -TC(Ø) =aØ - Ø(Ø)Ÿ ~TC(Ø))
Tính trực tiếp đạo hàm của hàm TI’ theo ø, Ø và sử dụng tính chất @` là nghiệm
_ của phương trình điều kiện cần t6i wu ta cĩ:
Wg rap 2 Lace) _ si -g +3Z[a- 200 -T1C(Ø))] =đ om _ „2g 20" a0" ae 35 a8 ~ (OY - 260 Fe - Se ICO) =-(Øÿ + [a~28Ø'~TC(G)] =-(Ø Từ đĩ ta tính được các hệ số co giãn:
all (a, fa) = oa
Trang 33TC(Q)=cQ+FC,
ng đĩ >0 là hằng số Trong trường hợp này hàm chỉ phí vừa lồi vừa lõm
+ Với các doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo, nếu mức giá p>e thì doanh nghiệp sản xuất càng nhiều càng cho lợi nhuận cao
+ Với các doanh nghiệp độc quyền cĩ:
p=z-Ø0
Để p>c thì điều kiện cần là ø > e Khi đĩ, hàm lợi nhuận là hàm bậc hai:
| 11Ø)=(z~e)0- BQ? -FC + Phương trình xác định điểm dừng: TI(@)=z~e-280=0 cĩ nghiệm duy nhất: ƯỔ _Œ=C€ = 0 o> 5” _+ Điều kiện đủ cực đại:
TI"(Q')=-28 <0
luơn được thỏa mãn
+ Các hệ số co giãn: eg "(ys Po) = ae h £Ÿ (œạ, đ)=— Ỉ ea "tu, Aya, an y* 2 Ff (a, = ALY,
(ii) Ham chi phi bậc bai:
TC(Q)=aQ? +bQ+FC
trong d6 a#0 Dé ham TC tha man cdc điều kiện:
TC(Q)20, VO=0
Trang 34và TC(Q) tang theo Q thi:
+Nếu a>0 thì 320, hay b>0 Trong trường hợp này hàm chỉ phí 7C là hàm
lồi Nếu phương trình điều kiện cần tối ưu cĩ nghiệm @” >0 thì điều kiện cực đại
luơn được thỏa mãn với cả doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo và doanh nghiệp độc
quyền Khi đĩ các hệ số co giãn được tính như sau:
Với các doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo:
sỹ ()=z mo 3
sp ")= Bể,
'Với các doanh nghiệp độc quyền:
ef Ÿ 6,8) mg”
sổ (ay, Ay) = ae el! (i, By) = of,
elt (ao, fy) A@
+ Nếu z<0 thì Fro hay b>0 Trong trường hợp nay ham chi phi TC sé la
a
hàm lõm và chỉ xác định trên miền
0<O< 6
2a
Với doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo thì lợi nhuận tối đa sẽ đạt được tại
điểm sản lượng Ởụạx -
Với doanh nghiệp độc quyền va giả sử phương trình điều kiện cần tối ưu cĩ
nghiệm
0< 2 <Qnae
Trang 35va
—Øp—a<0
thì lợi nhuận tối đa sẽ đạt được tại điểm sản lượng @” Đồng thời chúng ta cũng cĩ các cơng thức hệ số co giãn như trường hợp a> 0
(iii) Ham chi phi bac ba
TC =aQ? +bQ? +cQ+FC
'Hàm này cĩ thể lồi trên miền này nhưng lại lõm trên miền kia
Với doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo, nếu điểm dừng Ø”>0 nằm trong
miền lồi của hàm 7C thì điều kiện cực đại của hàm lợi nhuận được thỏa mãn
'Với doanh nghiệp độc quyền thì với điểm dừng @” > 0 nằm trong miễn lõm của hàm chỉ phí TC điều kiện cực đại của hàm lợi nhuận vẫn cĩ thể được thỏa
mãn
3.1.2 Doanh nhiệp sản xuất hai loại sản phẩm
Nếu doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm thì các hàm chỉ phí, hàm doanh thu
và hàm lợi nhuận theo sản lượng là các hàm hai biến:
Q,20,0, 20
+ Ham chi phi:
TCQ,, Q)=C(Q, Ø;) + FC
Tương tự như hàm một biến, 7C là hàm khơng âm, tăng theo một biến khi biến kia cố định Tính lồi (lõm) của hàm này được thể hiện qua ma tran Hessian:
" „ {P80 Tho, ” N TCo,0, TCo,0, là ma trận xác định dương (âm) + Hàm giá:
- Với doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo thì giá được xem là biến ngoại sinh
và là các hằng số:
Trang 36Ppị>0, pạ>0
~ Với doanh nghiệp độc quyền thì:
Pr= PQ, %); P2 = P2(Qh, Q2)-
Chúng ta hạn chế xét các hàm giá (hay hàm cầu ngược) phụ thuộc tuyến tính theo
biến sản lượng và xét hai trường hợp:
+ Nếu hai loại hàng hĩa này độc lập nhau thì:
Pị = p(0)=ø — 80; Pa = P2(Q2)= % — ;Ĩ;›
trong đĩ ø¿, /; ¡ =1, 2 là các số dương thể hiện mức giá kế hoạch và hệ số giảm
giá
+ Nếu hai loại hàng hĩa này phụ thuộc nhau thì:
Pị= p(O,, Ø;)= ai — 8,0 + 82Ĩ;: Pa = P›(0› Ĩ;)= & + BaD — Pa
trong đĩ ơ,, đ; ¡ = 1 2 là các số khơng âm, cịn Ay, va Ay, là các hệ số ảnh hưởng
chéo
+ Hàm tổng doanh thu:
~ Với doanh nghiệp cạnh tranh hồn bảo thì:
TR(Q,, Q)= PQs + P2Ĩ;
là một hàm tuyến tính
- Với doanh nghiệp độc quyền thì:
TR(Qh, Qo) = PQ» 22) + p:(0,, 9;)Ĩ›
=-8¡Ø'— BQ} + Qi + 020, + (Aa + Ø,¡)0,0;-
và là hàm tồn phương hay hàm bậc hai hai biến
+ Hàm lợi nhuận:
T1(Q,, Ø,)= TR(O,› Ĩ,)— TC(Q,, D)-
Cấu trúc của hàm này phụ thuộc vào doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo hay doanh
nghiệp độc quyền và cấu trúc của hàm tổng chỉ phí TC
Trang 37Mơ hình tối đa hĩa lợi nhuận khơng cĩ ràng buộc về sản lượng cĩ dạng:
T1(Q,, Q,) > max Q20
Q20
+ Phương pháp giải:
Do các hàm số ở đây đều được giả thiết là các hàm khả vi nên ta sử dụng cơng cụ
đạo hàm, cụ thể:
- Giải hệ phương trình tìm điểm dừng:
ie =0 11g, =0
- Kiểm tra điều kiện cực đại cia diém dimg (Q{.Q>) qua tinh xác định âm
của ma trận Hessian: TH,9,(01,03) Tyo, (Oi, 2 H(Q,,93)= — ee ?ˆ|Ìn„(@,Ø@) T,0,(0l, 23)
+ Phương pháp phân tích cận biên của lời giải tối ưu Ớƒ, Ớ;, 0" = T1(Q, 03) qua
các biến ngoại sinh được thể hiện thơng qua các đạo hàm riêng, hệ số co giãn riêng
và hệ số co giãn tồn phần của các hàm tương ứng
Sau đây chúng ta sẽ trình bày chỉ tiết hơn về một số mơ hình phổ biến và
được phân loại qua cấu trúc của hàm tổng chi phi TC
a) Mơ hình với doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo
+ Lớp hàm chỉ phí tuyến tính
TC(Q,, Ĩ;)= c¡0, + c0, + FC; Ĩ,, Ø, >0,
trong đĩ ơ; > 0, ¡ =1, 2 được xem là chỉ phí biến đổi cho một đơn vị sản phẩm
Với các giả thiết trên thì lớp hàm này đảm bảo được tính chất khơng âm,
tăng theo một biến khi biến kia cố định trên miền R, Khi đĩ ta cĩ:
+ Hàm lợi nhuận:
Trang 38T1(Q,, Q,)= TR(Q,, Q,)-TCQ,, O2)
=ứ—s)0 + (P2 — 2) — FC
là hàm tuyến tính nên để lợi nhuận tối đa thì:
+Nếu p,< œ, thì đŸ =0;¡ =1, 2 (càng sản xuất nhiều thì càng lỗ nhiều);
+Nếu p,=e; (¡=1,2) thì cĩ thể sản xuất với sản lượng Ở, > 0 tùy ý nhưng khơng
mang lại lợi nhuận từ số lượng sản phẩm này
+Nếu p; > œ; (¡=1,2) thì sản lượng Ĩ, càng lớn càng cĩ lãi nhiều
+ Lớp hàm chi phí bậc hai
TC(Q, Qn) = QF +2a0/Ĩ; + a„;Ø7 + bQ, + b,Q; + FC
Trong lớp hàm này, các hệ số 41, 4125 Gap, bị, b„ phải được chọn sao cho hàm tổng
chỉ phí đảm bảo tính khơng âm, đơn điệu tăng theo một biến khi biến kia cố định và
khi đĩ: + Hàm lợi nhuận: T(@,, @,)=—anGỆ —2220/0; — 2z? + (pị — 4)Q + Ú› —b2)Q, — PC cũng là hàm bậc hai + Hệ phương trình xác định điểm dừng: Tộ =—240 — 2420; + Pị -h=0 ie = 24420, — 2ay0, + Py — by =0
hay tương đương với
luc +2a2O; = bị — Pị 2ay2O, + 24490, = by — Pr
- Nếu hệ phương trình này khơng cĩ nghiệm trên miền R? thì chúng ta thường đưa thêm các ràng buộc về sản lượng:
: 0<0.<U,
0<Ø<U;
trong đĩ U,, ¡ =1, 2 là mức sản lượng, tối đa Khi đĩ, điểm cho lợi nhuận tối đa sẽ nằm trên cạnh của hình chữ nhật ràng buộc:
Trang 39€=[0, U¡]x[0, Ua]:
- Giả sử hệ phương trình xác định điểm dừng cĩ nghiệm
đ'>0,0>0 + Kiểm tra điều kiện cực đại của hàm lợi nhuận:
Tinh ma trận Hesian:
—2a, —ai
HQ, 2=| —a, —2ap ie is |
(khơng phụ thuộc ¡; Ở;)- Để II đạt cực đại và sẽ là cực đại tồn cục trên miền
Rỷ tại điểm dừng (Qf, 0) thì H(Ới, Ø7) phải là ma trận xác định âm, nghĩa là:
—2a¡ <0
|—24 Al ~a i219
=a —2ay)|
Điều này kéo theo ma trận Hessian của hàm chi phí TC:
He(0v00)=(0" Ain | 4 242;
phải xác định dương Nghĩa là hàm chỉ phí khơng phải là hàm lõm mà
là hàm lồi Trường hợp hàm tổng chỉ phí TC là hàm lõm, tức là ma trận Hrc
xác định âm thì hàm lợi nhuận TI sé là hàm lồi và nĩ khơng đạt cực đại tại điểm
dừng Với
trường hợp này ta sẽ tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi nhuận trên miền C
và nĩ sẽ
đạt được tại một đỉnh nào đĩ của C
« Phân tích cận biên với lời giải tối ưu trong trường hợp hệ phương
trình xác
định điểm dừng cĩ nghiệm và hàm tổng chỉ phí là hàm lồi
Bài tốn được đặt ra ở đây là: Tại mức giá pj = ph: P= P cho trước,
khi mức
giá pị, p; biến đổi (nhỏ) thì sản lượng và lợi nhuận tối ưu tương ứng sẽ thay đơi
như thế nào?
Giả sử
gì, Ø; và TỪ =H(Øï, 0)
Trang 40là lời giải tối ưu của mơ hình ứng với mức giá pị = 7}; P = P2 Đề phân tích sự
phụ thuộc của lời giải tối ưu theo giá ị, p; thì ta cần tính được các hệ số co giãn
của các hàm theo 7¡, Ø:
Of =O (rr, p›)›
Ø;= 00 P›); 1 =Ớn, p;)-
+ Căn cứ vào hệ phương trình xác định điểm dừng là một hệ hai phương trình
tuyến tính với dn số Q,, Q, từ đĩ ta giải ra được nghiệm:
OF (Py P2)s O3(Pr» Pr)
Từ đĩ ta tính được các đạo hàm riêng và các hệ số co giãn của các hàm này theo
Pị Pa-
+ Căn cứ vào biểu thức của IÌỶ ta tính các đạo hàm riêng của hàm II’ theo p,, P (lưu ý ỚŸ, Ợ cũng là các hàm của 7¡› 72), kết hợp với Of, Q} 14 nghigm của hệ
phương trình điều kiện cần tối ưu ta cĩ: