Trong các khẳng định sau, cho biết khẳng định nào là mệnh đề: a) Trần hưng đạo là một vị tướng tài. b) x + 1 là một số nguyên dương. c) 9 là một số chẵn. d) Hôm nay trời đẹp làm sao e) Nếu bạn đến trễ thì tôi sẽ đi xem đá bóng trước. 2. Gọi P, Q là các mệnh đề” P: “Minh giỏi Toán” Q: “Minh yếu Anh văn” Hãy viết lại các mệnh đề sau dưới dạng hình thức trong đó sử dụng các phép nối. a) Minh giỏi Toán nhưng yếu Anh văn b) Minh yếu cả Toán lẫn Anh văn c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn nhưng vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Toán thì Minh giỏi Anh văn e) Minh giỏi Toán và Anh văn hay Minh yếu Toán nhưng giỏi Anh
1 A Bài tập cần giải Bài tập chương Luận lý mệnh đề luận lý vị từ Trong khẳng định sau, cho biết khẳng định mệnh đề: a) Trần hưng đạo vị tướng tài b) x + số nguyên dương c) số chẵn d) Hôm trời đẹp làm sao! e) Nếu bạn đến trễ xem đá bóng trước Gọi P, Q mệnh đề” P: “Minh giỏi Toán” Q: “Minh yếu Anh văn” Hãy viết lại mệnh đề sau dạng hình thức sử dụng phép nối a) Minh giỏi Toán yếu Anh văn b) Minh yếu Toán lẫn Anh văn c) Minh giỏi Toán hay Minh vừa giỏi Anh văn vừa yếu Toán d) Nếu Minh giỏi Toán Minh giỏi Anh văn e) Minh giỏi Toán Anh văn hay Minh yếu Toán giỏi Anh Hãy lấy phủ định mệnh đề sau: a) Ngày mai trời mưa hay trời lạnh thi không b) 15 chia hết cho không chia hết cho c) Hình tứ giác hình chữ nhật mà hình thoi d) Nếu An không làm ngày mai bị đuổi việc e) Mọi tam giác có góc 60◦ Cho biết chân trị ,mệnh đề sau’: a) π = tổng góc tam giác 180◦ b) π = 3, 1416 kéo theo tổng góc tam giác 170◦ c) π = kéo theo tổng góc tam giác 170◦ d) Nếu > nước sôi 100◦ e) Nếu < < f) Nếu < < Trong khẳng định sau khẳng định a) q ⇒ p → q b) ¬(p → q) ⇒ p c) (p ∧ q) ∨ r ⇒ p ∧ (q ∨ r) d) (p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → (q → r) e) p → (q → r) ⇒ (p → r) f) p → (q ∧ r) ⇒ p → q g) (p ∧ q) → r ⇒ (p → r) ∧ (q → r) Đơn giản mênh đề sau: [[[(p ∧ q) ∧ r] ∨ [(p ∧ r) ∧ ¬r]] ∨ ¬q] → s Lấy phủ định đơn giản mệnh đề sau: a) p ∧ (q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) b) (p ∧ q) → r c) p → (¬q ∧ r) Cho biết quy luật áp dụng bước tương đương sau: (p → q) ∧ [¬q ∧ (r ∨ ¬r)] ⇔ (p → q) ∧ ¬q ⇔ (¬p ∨ q) ∧ ¬q ⇔ ¬q ∧ (¬p ∨ q) ⇔ (¬q ∧ ¬p) ∨ (¬q ∧ q) ⇔ (¬q ∧ ¬p) ∨ ⇔ (¬q ∧ ¬p) ⇔ ¬(p ∨ q) Cho biết suy luận suy luận cho biết quy tắc suy diễn sử dụng? a) Điều kiện đủ để Việt Nam thắng trận đối thủ không gỡ lại vào phút cuối Mà Việt Nam thắng trận Vậy đối thủ Việt Nam không gỡ lại vào phút cuối b) Nếu Minh giải toán thứ tư em nộp trước quy định Mà Minh không nộp trước quy định Vậy Minh không giải toán thứ tư c) Nếu lãi suất giảm số người gửi tiết kiệm giảm Mà lãi suất không giảm Vậy số người gửi tiết kiệm không giảm d) Nếu thưởng cuối năm Hà Đà Lạt Nếu Đà Lạt Hà thăm Thung Lũng Tình Yêu Do thưởng cuối năm Hà thăm Thung Lũng Tình Yêu 10 Hãy kiểm tra xem suy luận sau có không? a) Nếu muốn dự họp sáng Thứ Ba Minh phải dậy sớm Nếu Minh muốn nghe nhạc tối Thứ Hai Minh phải trễ Nếu trễ thức dây sớm Minh phải họp ngủ 7h Nhưng Minh họp ngủ 7h Do Minh không nghe nhạc tối Thứ Hai Minh phải bỏ họp sáng Thứ Ba b) Nếu Bình làm muộn vợ anh giận Nếu An thường xuyên vắng nhà vợ giận Nếu vợ Bình hay vợ An giận cô Hà bạn họ nhận lời than phiền Mà Hà không nhận lời than phiền Vậy Bình làm sớm An vắng nhà 11 Xét vị từ p(x) : x2 − 3x + = Cho biết chân trị mệnh đề sau: a) p(0) b) p(1) c) p(2) d) ∃x, p(x) d) ∀x, p(x) 12 Lớp Phân tích Thuật toán (PTTT) có 110 sinh viên ghi tên học có: - 15 sinh viên Toán - Tin học năm Thứ - sinh viên Toán năm Thứ - 25 sinh viên Toán - Tin học năm Thứ - sinh viên Toán năm thứ - 50 sinh viên Công nghệ Thông tin năm Thứ - sinh viên Toán - Tin học Cao học - sinh viên Công nghệ Thông Tin Cao học Xét vị từ l(x): Sinh viên x ghi tên học môn Phân tích Thuật toán b(x): x sinh viên năm Thứ c(x): x sinh viên năm Thứ d(x): x sinh viên Cao học r(x): x sinh viên Công nghệ Thông Tin s(x): x sinh viên Toán - Tin học t(x): x sinh viên Toán Hãy viết mệnh đề theo dạng lượng từ hóa a) Có sinh viên năm Thứ lớp PTTT b) Có sinh viên lớp sinh viên Công nghệ Thông tin c) Mọi sinh viên lớp sinh viên Toán - Tin học hay Công nghệ Thông tin d) Không có sinh viên Cao học Toán lớp PTTT e) Mọi sinh viên năm Thứ lớp thuộc ngành Toán hay Toán - Tin học f) Có sinh viên Trường không thuộc ngành Toán - Tin học không thuộc ngành Công nghệ Thông tin 13 Xét vị từ theo biến nguyên tự nhiên: p(x, y): “x ước y” Hãy xác định chân trị mệnh đề sau: a) p(2, 3) b) p(2, 6) c) ∀y, p(1, y) d) ∀x, p(x, x) e) ∀x∃y, p(x, y) f) ∃y∀x, p(x, y) g) ∀x∀y, (p(x, y) ∧ p(y, x)) → (x = y) h) ∀x∀y∀z(p(x, y) ∧ p, (y, z)) → (p(x, z)) 14 Lấy phủ định mệnh đề sau: a) Với số nguyên n, n không chia hết cho n số lẻ b) Nếu bình phương số nguyên lẻ số nguyên lẻ c) Nếu k, l, m số nguyên cho k − m m − n số lẻ k − n số chẵn d) Nếu x số thực cho x2 > 16 x < −4 hay x > e) Với số thực x, |x − 3| < −4 < x < 10 15 Cho biết chân trị mệnh đề sau x, y biến thực: a) ∃x∃y, xy = b) ∃x∀y, xy = c) ∀x∃y, xy = d) ∀x∀y, sin2 x + co2 x = sin2 y + cos2 y e) ∃x∃y, (2x + y = 5) ∧ (x − 3y = −8) Bài tập chương Các phương pháp chứng minh Hãy chứng minh công thức sau: a) 02 + 12 + + n2 = n(n+1)(2n+1) b) 03 + 13 + + n3 = n2 (n+1)2 c) 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) = n(n+1)(n+2)(n+3)) d) 1.1! + 2.2! + + n.n! = (n + 1)! − e) 2! + 3! + + n (n+1)! =1− (n+1)! Xét vị từ: p(n) : n vật đồng với n biến nguyên, n ≥ Khẳng định: ∀n > 1, p(n) Chứng minh: p(1) : hiển nhiên Giả sử p(n − 1) Xét n vật x1 , x2 , , xn Do p(n−1) nên x1 , x2 , xn−1 đồng đồng thời x2 , x3 , , xn đồng Suy x1 , x2 , , xn đồng Nghĩa p(n) Do theo nguyên lý quy nạp ∀n ≥ 1, p(n) mệnh đề đúng! Suy luận sai đâu? Chứng minh bất đẳng thức sau với n ∈ N a) Nếu n > 2n < n! b) n > n2 < 2n c) n > n3 < 2n Chứng minh n số nguyên dương n3 + số lẻ n số chẵn cách a) Chứng minh gián tiếp ( phản đảo) b) Chứng minh phản chứng Tìm công thức của: + 14 + 18 + + 21n Chứng minh công thức tìm 7 Chứng minh: + √1 + √1 + + √1 k √ > 2( k + − 1) với n > 0, n ∈ Z Chứng minh với số nguyên n ≥ 1, 4n + 15n + chia hết cho Chứng minh dãy số Fibonacci có số đặc tính đặc biệt sau: a) Với số nguyên n ≥ 1, F4n chia hết cho 3, + F4n+1 , + F4n+2 b) < Fn+1 /Fn < với số nguyên n > c) Fn2 = Fn−1 Fn+1 + (−1)n+1 , với số nguyên n ≥ Bất đẳng thức Bernoulli’s x > 1, x = n số nguyên dương lớn 1, ta có (1 + x)n > + nx Hãy chứng minh bất đẳng thức 10 Cho a, b số thực, a.b = Chứng minh có hai phương trình sau có nghiệm ax2 + 2ax + b = bx2 + 2bx + a = B Bài tập làm thêm