VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Sở GD & ĐT Quảng Nam ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Trường THPT Núi Thành MÔN TOÁN Thời gian: 180 phút ======= Câu 1: điểm y = x − 3x + Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc Câu 2: điểm Giải phương trình: (x ( R) sin 3x − sin x + sin x = Câu 3: điểm 1) Giải phương trình: (x ( R) 3x − 31− x = 2) Tìm môđun số phức z, z = (2 − i )(1 + 2i ) (1 + i ) biết Câu 4: điểm e Tính tích phân: ( x − 1) ln x I =∫ dx Câu 5: điểm x Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 0; - 2), B(3; 2; 0) mặt phẳng (P) có phương trình x + y – z – = 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B 2) Chứng minh mặt cầu có đường kính AB tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu 6: điểm Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 600 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 2) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB theo a Câu 7: điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC, G trọng tâm tam giác ABM, D(7; - 2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Viết phương trình đường thẳng AB, biết đỉnh A có hoành độ nhỏ phương trình đường thẳng AG 3x – y – 13 = Câu 8: điểm Giải hệ phương x + y + = y − 3x + trình: (x, y (R) 2 y − + y + = x + x + xy + y Câu 9: điểm Cho x, y, z số thực x + y + z = xyz ≤ thỏa mãn Chứng minh 2(x + y + z) – xyz ≤ 10 = Hết = ĐÁP ÁN VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí Câu y = x − 3x + Cho hàm số (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) + Txđ: D = R + Sự biến thiên lim y = −∞; lim y = +∞ x →−∞ y’ = 3x – 6x BBT x -∞ x →+∞ x = y' = ⇔ x = 2 y’ y 0,25 +∞ +∞ -∞ -2 0,25 Hàm số cho đồng biến khoảng (- ∞ ; 0) (2 ; + ∞); nghịch biến khoảng (0 ; 2) Đồ thị hàm số có điểm cực đại A(0 ; 2) điểm cực tiểu B(2 ; -2) 0,25 + Đồ thị: (vẽ đúng) 0,25 Câu Câu 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc + Gọi M(x0 ; y0) thuộc (C), d tiếp tuyến (C) điểm M Phương trình đt d : y – y0 = y’(x0)(x – x0) + Tt d có hệ số góc nên y’(x0) = (3x02 – 6x0 = + Với x0 = - y0 = -2 Pttt: x0 = −1 ⇔ y = 9x + x0 = + Với x0 = y0 = Pttt : y = 9x - 25 sin 3x − sin x + sin x = (2) + Pt (2) ( 2sin2xcosx – sin2x = ( sin2x(2cosx – 1) = π + sin2x = ⇔ x = k (k ∈ ¢ ) + 2π x = + k 2π cos x = ⇔ (k ∈ ¢ ) x = π + k 2π x 1− x 1) Giải phương trình: (x (R) − = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Giải 3x = - 1(loại) 3x = + Tìm x = 0,25 0,25 2) Tìm môđun số phức z = (2 − i )(1 + 2i ) (1 + i ) z, biết + Tìm z = − 2i 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí z = Câu Tính tích phân: +I= + = + kết I = e + Tính 0,25 ( x − 1) ln x I =∫ dx e x ln x e ∫ x ln xdxx 3+ ∫1 ex dxe x 2 = e ln x − dx ∫1 x lnexdx x 3 2e31 + 1∫1 e = e e− ln x 9 ln x x) = = ∫1 x dx = ∫1 ln4xde3 (ln + 11 2 18 e 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu Trong không gian Oxyz cho điểm A(1; 0; - 2), B(3; 2; 0) mặt phẳng (P) có phương trình x + y – z – = 1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B r + Đường thẳng AB có vtcp uuu AB = (1;1;1) x 2− y z + + Pt đt AB: = = 1 0,25 0,25 2) Chứng minh mặt cầu có đường kính AB tiếp xúc với mặt phẳng (P) + Mặt cầu (S) có đường kính AB có tâm I(2; 1; - 1) bán kính R = 0,25 IA = + Tính d(I, (P)) = Vì d(I, (P)) = R nên mặt cầu có đường kính AB 0,25 tiếp xúc với mặt phẳng (P) Câu Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Đường thẳng SA vuông góc với mặt đáy Góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABC) 600 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a + Nêu góc Tính SA = · SBA = 600 a 0,25 a3 V = dt ( ABC ).SA = 0,25 + Thể tích khối S.ABC 2) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB theo a + Gọi d đt qua B song song với AC I hình chiếu vuông góc A d, H hình chiếu vuông góc A SI + Chứng minh AI (SB, d) ⊥ + Tính AI = kết luận a 15 d(AC, SB) = Câu Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm đoạn BC, G trọng tâm tam giác ABM, D(7; - 2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Viết 0,25 0,25 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí phương trình đường thẳng AB, biết đỉnh A có hoành độ nhỏ phương trình đường + Gọi N trung điểm AB Ta có MN đường trung trực đoạn AB nên GA = GB Lại có GA = GD, nên G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD · · Vì góc , tam giác ABD = 450 nên AGD = 900 AGD vuông cân G GD = d(D, AG) = , suy AD = 10 NA Tìm A(3; -4) NM = 1rNA ⇒ cos BAG · = = 2 3n( a; b) ( a + b ≠ 0)NG 10 NG = Gọi vtpt đt uur AB n '(3; −1) Đt AG có vtpt Góc BAG góc đt AB AG nên : 3a − b = 2 b = 10 b 10 ⇔a +⇔ 3a + 4b = 0,25 0,25 0,25 + b = 0, chọn a = 1, pt đt AB : x – = (thỏa mãn) + 3a = - 4b, chọn a = 4, b = - 3, pt đt AB: 4x – 3y – 24 = (loại) 0,25 Câu Giải hệ phương trình: (x, y (R) + Đk + (2) ⇔ x + y + = y − 3x + (1) 2 y − + y + = x +2 x + xy + y (2) y ≥ 1, x ≥ 0, y ≥ 3x 2 y − − x + ( y − 1) − x + y − xy − y = ⇔ ( y − x − 1) + y − + x ÷= y1 − + x ⇔ y − x − = + y − + x > 0∀y ≥ 1, x ≥ ÷ y −1 + x + Thế y = x + vào pt(1): (3) x2 + x + − x2 − x + = − Xét hàm số f ( x) = x2 + x + − x2 − x + f '( x ) = 2x + x2 + x + − 2x −1 x2 − x + = 2x + (2 x + 1) + − 2x −1 0,25 0,25 (2 x − 1) + 3 t Xét hàm số g(t) = , g’(t) = > 0∀t ∈ R 32 nên hs g(t) đồng biến t + t + R Do 2x + > 2x – nên g(2x + 1) > g(2x – 1), suy ra: F’(x) = g(2x + 1) - g(2x – 1) > (x (R Do hàm số f(x) đồng biến R, nên (3) (f(x) = f(2) (x = Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (2; 3) ) ( 0,25 0,25 x + y + z = xyz ≤ Câu Cho x, y, z số thực thỏa Chứng minh 2 VnDoc - Tải tài liệu, văn pháp luật, biểu mẫu miễn phí 2(x + y + z) – xyz ≤ 10 + Giả sử + Ta có , x ≤ y ≤ z, xyz ≤ nên x ≤ x + y + z = y9 +⇒z x ≤ 9y ⇒+ xz ∈ [ −3;0] yz ≤ 2 ÷ ≤ 2( y32 2+ z ) − x y + z 2( x + y + z ) − xyz ≤ x + 2 = x (9 − x ) x x x + 2(9 − x 23) − = − + 2(92− x ) Xét hàm số , x 5x 2 f ( x) = − + 2(9 − x ) x ∈ [ −3;0] 23 2x f '( x ) = x −2 − − 3x29 −≥ x0 (5 − 3x9 −) =x 2−4 x f '( x ) = 05⇔ ⇔ 2 2 (x = (x = -1 (9 − x )(5 − 3x ) = 32 x max f ( x ) = f ( − 1) = 10 f(-3) = - ; f(-1) = 10 ; [ −3;0] 2 2 2 0,25 f(0) = nên Suy 2(x + y + z) – xyz ≤ f(x) ≤10 Đẳng thức xảy Vậy 2(x + y + z) – x = −1 x = −1 xyz ≤ 10 Đẳng ⇔ y = z thức xảy y = z = 2 y + z = 2( y + z ) = (x ; y ; z) hoán vị (-1 ; ; 2) 0,25 0,25 0,25