PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PT: LIÊN HỢP

Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT H PH NG TRÌNH: LIÊN H P ÁP ÁN BÀI T P T LUY N Giáo viên: LÊ ANH TU N ây tài li u tóm l c ki n th c kèm v i gi ng H ph ng trình: Liên h p thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tu n) t i website Hocmai.vn có th n m v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u v i gi ng Bài Gi i h ph H    4x2  3xy  7y  x2  5xy  6y  3x2  2xy  y ng trình:   3x  10xy  34y  47 2 ng d n 3x2  2xy  y  K:  2  4x  3xy  7y  Chuy n v nhân liên h p x ph ng trình  1 , ta đ c:   x  y  n   5xy  6y   4      2 2  x  6y  n   4x  3xy  7y  3x  2xy  y   V i x  y thay vào   , ta đ V i x  6y thay vào   , ta đ   x   y  c: x2     x  1  y  1  47  x  6 y  82 c: 82y2  47    47 x6 y   82  47 82 47 82  47 47   47 47    ; 6 ;6  ;     82 82 82 82      K t lu n: S  1;1 ,  1; 1 ,    Bài Gi i h ph H   y   y    x   x    ng trình:  x 6x  2xy   4xy  6x   ng d n  2 2   x   x     y     y     Ta có h     (nhân liên h p) x 6x  2xy   4xy  6x   Xét hàm s : f(t)  t   t  f '(t)   Ch ng t hàm s đ ng bi n Thay vào ph t  t2   t2  t t2   t t  t2  0t  R f  x   f  y  ch x y x  y (*) ng trình (2) :  2x2  6x   3x  x 25 x 6x  2x2   4x2  6x    2x2  6x     x2    2   2x  6x   2x Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)   x  x  2x2  6x   3x     x  1; y  1 2x  6x   9x   7x  6x    Tr ng h p :  Tr ng h p : 2x2  6x   2x   x x  x     2 2x  6x   4x 2x  6x      11 3  11 V y h có hai nghi m : (x; y) = (1;-1), ;y  2 Bài 3: Gi i h ph H PT – HPT- BPT 2x  y  3xy  3x  2y   ng trình  2 2  4x  y  x   2x  y  x  4y   11 3  11  ;     (1) (x, y  ) (2) (2013 – B ) ng d n 2x  y  i u ki n:  x  4y  +) Khai thác ph ng trình (1) đ rút y theo x b ng: (Phân tích (1) thành tích ) (1)  ( y2  y  1)  x2  3xy  3x   ( y  1)2  x2  3x2  3xy  3x   ( y  x  1)( y  x  1)  3x( x  y  1)   y  x 1  3x( x  y  1)  ( x  y  1)( y  x 1)   ( x  y  1)(2 x  y  1)     y  2x 1 (Dùng liên h p – nh m đ c nghi m x  k t h p ph ng pháp đánh giá) (3)  x(3x  1)  ( 3x   1)  ( 5x   2)  x(3x  1)  3x 3x       x  3x    0 5x   3x   5x     5x x      VP (*) VT  3x    3x   5x   VT  3 VT  V i   x  1  v i x    VP     VP     V i x   VT  VP  V y (*) có nghi m x  x  V y ta có nghi m:  y  Bài 4: Gi i h ph H x  y  ho c   x4  2x2   x2   y  2y  10  y (1)  ng trình  nên (*) vô nghi m  13x  11y   (x, y  ) ( t2 ) (2) ng d n i u ki n x4  2x2    (x2  4)(x2  2)   x   x  1 (1)   2   x2   9  x  1 2    (x2  1) Hocmai.vn – Ngôi tr  y  12   y   y  1   (y  1) ng chung c a h c trò Vi t  (*)  x  1 2   (x2  1)    y  12   (y  1)  *  T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) C ng tr   c:     (*) v i (2*) ta đ  x  1 2 9  y 1    x2   y  12   x2  PT – HPT- BPT    y  1  (x2  y)(x  y  2)  Ta có: (2)  (x2  y)  12(x2  y  2)  21 a  x2  y t   b  x  y  b   b(21  12b)   12b2  21b     b  a  12b  21  ab  , ta có h :  x  y   x  2 x  x  y  ho c    2 y  y  x  y    x   +) V i b   a      86 86 x2  y  12 x2  y  12  x  x      4 +) V i b   a  12   ho c     43 x  y   x   y  53  y  53     8    86 53   86 53     V y h ph ng trình có nghi m (x; y)  (2; 5),(2; 5),  ;  ,  ;             Bài Gi i h ph H     x3  y3 x2  y     x  y   xy  xy xy ng trình   5x  y  5x    y   ng d n i u ki n: x  ;  y  t u  x  y, u  0; v  xy , v   1  2u3  3u2 v  uv2  2v3    uv     uv    x  y  xy   x y 5x    x  3x        u u       u  2v  v v    x  y thay vào   , ta đ 5x  5x    1 x 2x 1 c:  3x  x   y      x  1         30 5x 2 x       2x 1  5x   VN x2 K t lu n: S  1;1 Bài Gi i h ph H x  x   y   y  ng trình    x  16(y  x)  y  xy (1) (2) ng d n i u ki n: x  3; y  5; x2  16(y  x)  0; xy  Ta có: (2)  x2  16(y  x)  xy  xy  y Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT x  y   y x 16  0 y x  16  (x  y)     0  xy  y  x 16(y x) xy     xy  y   x 16(y x) xy     +) V i: x  y Thay vào (1) ta đ 2x   c:  x   x   x4  9x3  9x2  324   x   y  6(t / m) +) V i: x  16  x2  16(y  x)  xy y Ta có: y    xy  y y xy  y 0 0 T (1) ta có: x  x   y   y  y   y   x   x    (*) Ta coi (*) ph Ta có:  y5 ng trình b c hai v i y  n, x tham s  (*) có nghi m    x3      x   x    4(x  3)  12 x   y5   4(x  3)  12 x     10  x  16  x  16 x  16(y  x)  xy y  xy  y x  16 x  16(y  x)  xy 0   VN V y h có nghi m (6;6)   2(1  y3 )  y x  2xy  y  (1)  ng trình   (2) x (x  6)  x(12  y )  Bài Gi i h ph ( t2 ) (x, y  ) i u ki n : xy  (*) Gi i: Dùng k thu t nhân liên h p đánh giá bi u th c không âm    y xy  2y 2xy  2y     y    xy  2y  y (y  8)2  23 y   0    0 y0 y    3   n thay y  ta đ  (  xy  2y     y8 1 0 , xy  ) 3 c  x3  6x2  12x    2x3  x3  6x2  12x     2x 3  (x  2)3  2x  x   x  1  ;0  1  V y nghi m c a h là: (x; y)   Bài Gi i h ph x3 (4y  1)  2(x2  1) x   ng trình:    2 x y   4y    x  x     Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) Gi i: T ph PT – HPT- BPT ng trình (2) ta đc: x2 y   4y    x  x2   2x2 y  2x y 4y   x  x     x(2xy  1)  2x y 4y   x    x(2xy  1)   x(2xy  1)   x(2xy  1)  (2xy)4  4x y  x2    x(2xy  1)  2x2 y 4y   x   (4x2 y  1) 4x2 y   x2 2x2 y 4y   x  4x4 y (4y  1)  (x  1) 2x2 y 4y   x2  0 (4x y )2   x (4x y  1) 2x y 4y   x     (2xy  1)  x  (2xy  1)  4x y 0    x2  0  2 2x y 4y   x    2    *Xét x = không ph i nghi m nên x >  x  x2   T pt (2)  y(2  4y2  1)  Chia hai v pt (2) cho x , ta đ  2y    2y   2y  c: 1 1  1 1     f(2y)  f   (3)   x x x x Xét hàm s : f(t)  t  t t  kho ng  0;   f '(t)   t   t2 t 1  0, t   hàm s đ ng bi n kho ng  0;   (4) T (3) (4) Vi c l i *Thay 2y   vào pt (1), ta đ x  c : x3  x  x2  x  (5)   Xét hàm s : f(x)  x3  x  x2  x kho ng  0;   Có f '(x)  3x2  x  4x x  x2  x đ ng bi n kho ng  0;   (6) T  0, x   hàm s (5) (6)  x  nghi m nh t c a pt (5)  1 * x   y  V y nghi m c a h :  1;   2 t t x , t  ta đ Bài Gi i h ph c t t    ng trình     x y x , t  ta đ c t t  2 2 y (1)  2 2 x (2) x , t  ta đ c Gi i K: x  , y  Tr v hai pt ta đ c Hocmai.vn – Ngôi tr x  y  2 1  2 0 y x ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)  Tr y x xy 2   1 2   y  x 2 1  2 y x yx 0 xy  x y   ng h p y  x   y  x th vào (1) ta đ t t x , t  ta đ PT – HPT- BPT yx 0  1 xy       y x   c x  2 2 x c   2  t  t  2  t2   t     t   x  y  2 2 2  t   4t  t   t  2t   Tr ng h p xy  x y    TH vô nghi m  1 xy       y x   K V y h có nghi m nh t (1; 1) Bài 10 Gi i h ph  x y 1 1 x y  x y    ng trình  2x  y   H ng d n i u ki n: x  y  pt(1)  x  y   3(x  y)  4(x  y)2   2x  2y  x  y   3(x  y)  (2x  2y  1)(  (2x  2y  1)(2x  2y  1)  x  y   3(x  y)  2(x  y)  1)   2x  2y    2x  2y   x   T ta có h :   2x  y  y    Bài 11 Gi i h ph H x  x   y   y  ng trình    x  16(y  x)  y  xy (1) (2) ng d n i u ki n: x  3; y  5; x2  16(y  x)  0; xy  Ta có: (2)  x2  16(y  x)  xy  xy  y x  y   y  x 16 0  y x  16  (x  y)     0    xy y  x2  16(y  x)  xy xy  y  x  16(y  x)  xy   V i: x  y Thay vào (1) ta đ 2x   c:  x   x   x4  9x3  9x2  324  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  x   y  6(t / m) x  16 V i: x2  16(y  x)  xy y Ta có: y    xy  y  y xy  y 0 0 T (1) ta có: x  x   y   y  y   y   x   x    (*) ng trình b c hai v i y  n, x tham s Ta coi (*) ph Ta có:  y5  (*) có nghi m    x3  y5   4(x  3)  12 x    x  16  10  x  16  0  x  16(y  x)  xy x   x2  2x  y  y   ng trình   4x  x  y 2y  Bài 12 Gi i h ph H    x   x    4(x  3)  12 x   x  16 x  16(y  x)  xy  y xy  y   VN  1 2  ng d n y  i u ki n  x  Ta có x   x  2x  y  y   x   y  x  2x  y    x 1 y   x   y    x  khong la nghiem       y    x  2x  y  x2  2x  y   x  1  y x  2x  y    x   y   x   y  x  y  1  x  2x  y   x   y      x  y  1  0   x   y  1   x  y  1    2 1  x 2x y      x  2x  y   Do   x  y  1 x2  2x  y    1  y  x  Thay vào   ta đ 4x3  x   x  1  x  1   4x  x   x  1 2x    *  c:  4x3  x   x  1 2x    4x  2x  x   x  1 2x  2x            x 4x  2x    x  1 2x  2x    x 4x   2x  1    x  1 2x  2x      x 2x  2x  2x  2x    x  1 2x  2x    2x  2x  2x  x 2x   x  1     2x  2x    vi    x   2x  x 2x   x      1 5 2x  2x   x y 4 x  Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  1 x   V y nghi m c a h  y     (1  y) x  y  x   (x  y  1) y Bài 13 Gi i h ph ng trình   2y  3x  6y   x  2y  4x  5y  H ng d n i u ki n: x  2y  Ta có: (1  y) x  y  x   (x  y  1) y  (1  y) x  y  x   (x  y  1) y   (1  y) x  y  (x  y  1)  (y  1)  (x  y  1) y   1  y      x  y   (x  y  1)  y   1  y  x  y 1 x y 1  (x  y  1) 1 y 1 y 0  1  y  y  1   1  y  x  y  1    0    x y  x  y  1  y   x  y   V i y  1 x   V i y  x  thay vào (2)    2y2  3y    y  2(y  y  1)  y   y   1 1 (tm)  x  y  2 )   y2  y      2(y  y  1)    (y  y  1)(2   y  1 y y  1 y 1 y (loai)          V y h có nghi m là:  x; y    3;1 ,  ;        y  (1  y) y2  y  1  y  x  y  x  3y    x  y   y  ng trình   x  2y  x    x y 7  Bài 14 Gi i h ph H ng d n i u ki n x  2y  Ta có: 1  y  x  y  x  3y    x  y   y  x  3y    x  y   y   y  1 x  y   x  y    x  y  4 y 1 y 1   y  1   y    y  1   xy 2 0      x  y   y  1   0 xy 2 x  y    y  xy4 y   x  y   + V i y  thay vào PT l i ta có: Xét hàm s f  x   x   x   x2  x1 x8 *  D  2;   \8 th y hàm đông bi n D nh n th y x8 x  nghi m Nên x  nghi m nh t c a PT (*) Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) + V i y   x , thay vào ph ng trình l i ta đ c 3x   x   ng t nh ta xét hàm s f  x   3x   x   T 8   11   11   11  ng t , kho ng  ;   có nghi m x   y  4   * *  ng trình có nghi m nh t là: x   loai  2  2x  y  5x   3y  x  1   2x  y  1 y  x ng trình  2  4x  y  x   2x  y  x  4y Bài 15 Gi i h ph H 2x  11 8   11   ;   \   ta th y r ng, f  x  2x  11   2 đ ng bi n  ;   \   Mà  ;  ta th y r ng ph 3  2 3  T PT – HPT- BPT ng d n y  x   i u ki n 2x  y  x  4y   2x  y  5x   3y  x  1   2x  y  1 y  x  2x  y  5x   3xy  3y   y  2x  1 y  x   2x  y  3x   3xy  2y   y  2x  1   y  x 1   y  x  1    y  2x  1  y  x  1 y  x  1   y  2x  1  y  x  1    y  2x  1  y  x  1 y  x      y  2x  1 y  x  1   y  2x  1  y  2x     y  x   + V i y  2x  ta thay ng c vào PT th đ Xét f  x   3x  4x   9x   v i x   Ta có: f '  x    +V i 4x   9x  4  0, x   y  x    y  x  , thay ng c: => có nghiêm nh t x = => y =1 c l i ta đ c 3x2  x   3x   5x  Gi i Pt này: 3x2  x   3x   5x   3x  x   3x   5x          3x  3x  x   3x   x   5x    x  x  x   3x   x   5x       x2  x x2  x  x2  x    0  x   3x    x   5x         1  x2  x    0 x   3x  x   5x    x  => y=1  x2  x    x  => y=2     Bài 16 Gi i h ph Hocmai.vn – Ngôi tr  2x  y  3y  x  x  2y  ng trình  2  x  2x  y  x  3y  ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT H ng d n i u ki n x, y  D dàng th y x  y  không nghi m c a h ph Ta có:  ng trình 2x  y  3y  x  x  2y  2x  y  x  x  2y  3y xy 2x  y  x  yx x  2y 3y  xy 2x  y  x  xy x  2y  3y   1    x  y  x  y    x  2y  3y   2x  y  x  0 x  2y  3y  2x  y  x 2x  y  x  x  2y  3y  0  3y  x 3y  x  0  x  2y  2x  y  3y  x    x  y    x  2y  2x  y 3y  x     x  y  1 0   x  y  3y  x     x  2y  2x  y 3y  x   3y  x    x  y   + V i 3y  x  y  x thay ng c l i ta đ c x2  x   x2  9x 0 i u ki n là: x  x  0, x  không nghi m Xét hàm f  x   x2  x   x2  9x , x  D dang nh n f '  x   0, x   9;   Do f  x  đ ng bi n  9;   Do f  x   f    88  0, x  V y f  x   vô nghi m V i x  y ta có x2  x   x2  x   x2  x   x2  x     0   x2  x      x2  x  x2  x     1 1 y x  2  x  x 1    1  loai x    x2  x   x2  x  Bài 17 Gi i h ph H ng d n:    x4  x2 y2  4y4  x4  20x2 y2  4y4  7xy ng trình  2  x  xy  y  i u ki n xy  Vì x  y  không nghi m c a h Do đó: x4  x2 y2  4y4  x4  20x2 y2  4y4  7xy Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 - Trang | 10 - Hocmai.vn – Website h c tr c n s t i Vi t Nam Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng) PT – HPT- BPT  x  x y  4y  2xy  x  20x y  4y  5xy   x4  x2 y  4y  4x y x  x y  4y  2xy x4  5x2 y  4y  x4  x2 y  4y  2xy  x4  20x2 y  4y  25x y  x  20x y  4y  5xy x4  5x2 y  4y x  20x y  4y  5xy 0 0   1 0  x  5x y  4y     2 4 2 x x y 4y 2xy       x 20x y 4y 5xy      x4  5x2 y  4y    x  2y  x  2y  x  y  x  y    x  2y   x  y  Thay ng  xy   c vào ph ng trình l i ta đ c + V i x  y  x2   x  y  1 + V i x  2y  y2   y   V y h ph       ng trình có nghi m S  1;1 ,  1; 1 ;  ;    2 1   ;  ;    3   Giáo viên Ngu n Hocmai.vn – Ngôi tr ng chung c a h c trò Vi t T ng đài t v n: 1900 58-58-12 : Lê Anh Tu n : Hocmai.vn - Trang | 11 -