Trường ĐHBK Tp HCM Khoa Điện – Điện Tử Bộ Môn Điều Khiển Tự Động MÔN HỌC : CƠ SỞ TỰ ĐỘNG BÀI TẬP SỐ Câu : Cho hệ thống có sơ đồ khối : 1.1 Tìm PTTT mô tả hệ hở (1.0đ) 1.2 Tìm điều kiện k1, k2, N, để hệ kín ổn định (0.75đ) 1.3 Cho N = Thiết kế luật điều khiển u(t) = N*r(t) – k1*x1(t) – k2*x2(t) để hệ kín có cặp cực định s*1,2 = -3 ± 3i (0.75đ) 1.4 Tìm N cho e(∞) = với k1, k2 tìm câu 1.3 Lưu ý [ e(t) = r(t) – y(t) ] (1.0đ) Giải : Câu : 1.1 PTTT mô tả hệ hở X (s) 2/ s = = ⇒ x1 = −2 x1 + 2u U ( s) + / s s + X ( s) = ⇒ x2 =3 x1 − x2 X (s) s + −2 2 = x + u x ⇒ −3 0 y = (0 1) x 1.2 Điều kiện k1, k2, N để hệ kín ổn định u = Nr − k1 x1 − k2 x2 = Nr − Kx ⇒ x = Ax + Bu = Ax + B( Nr − Kx) = ( A − BK ) x + BNr ⇒ sX ( s ) =− ( A BK ) X ( s ) + BNR( s ) ⇒ X ( s ) = ( sI − A + BK ) −1 BNR ( s ) ) CX ( s= ) C ( sI − A + BK ) −1 BNR ( s ) Y ( s= Phương trình đặc trưng : det( sI − A + BK ) = s + + 2k1 2k2 ⇔ det = ( s + + 2k1 )( s + 3) + 6k2 = s + (2k1 + 5) s + 6k1 + 6k2 + = −3 s + 3 Điều kiện ổn định : (2k1 + 5) > k1 > −2.5 ⇒ 6k1 + 6k2 + > k1 + k2 > −1 N tùy ý 1.3 Thiết kế hồi tiếp trạng thái PTĐT : s + (2k1 + 5) s + 6k1 + 6k2 + = PTĐT mong muốn : ( s + − 3i )( s + + 3i ) = s + s + 18 = Cân hệ số hai PTĐT : = (2k1 + 5) = k1 0.5 ⇒ k1 + 6k2 + 18 = 6= k2 1.5 Vậy luật điều khiển : u (t ) = r (t ) − 0.5 x1 (t ) − 1.5 x2 (t ) 1.4 Tìm N + Áp dụng định lý giá trị cuối y (∞) = lim sY ( s ) = lim sC ( sI − A + BK ) −1 BNR( s ) = C (− A + BK ) −1 BN , s →0 x →∞ ( R ( s ) = 1/ s ) ⇒ e(∞) = − y (∞) = + C ( A − BK ) −1 BN = − N = 3 ⇒N= Câu : Cho hệ thống có sơ đồ khối : 2.1 Thành lập phương trình trạng thái hệ hở 2.2 Cho k0 = Thiết kế luật điều khiển u (t ) = k0 r (t ) − k1 x1 (t ) − k x2 (t ) cho đáp ứng ngõ hệ kín có POT = 4.32% tqđ = 1(giây) (tiêu chuẩn 5%) 2.3 Viết hàm truyền hệ kín với k1, k2 tìm Tìm k cho y xl = lim y (t ) = tín hiệu vào hàm nấc đơn vị t →+∞ Giải 2.1 Tìm PTTT mô tả hệ hở X1 ( s ) = s = ⇒ x1 = −2 x1 + 2u U (s) 1+ s+2 s X2 (s) = ⇒ x2 = x1 − x2 X1 ( s ) s + Y (= s ) X ( s ) ⇒= y x2 −2 2 = x x + u ⇒ −3 0 y = x ( ) 2.2 Thiết kế hồi tiếp trạng thái PTĐT hệ kín: det ( sI − A + BK ) = s + + 2k1 ⇔ det −3 2k2 = s + 3 ( s + + 2k1 )( s + 3) + 6k2 = Từ POT tqđ, ta có: Suy ra, cặp cực định: s + ( 2k1 + ) s + 6k1 + 6k2 + = Do đó, PTĐT mong muốn: ( s + − 3i )( s + + 3i ) = s + 6s + 18 = = 2k1 + = k1 0.5 Cân hệ số hai PTĐT: ⇒ k2 + 18 = 6k1 + 6= k2 1.5 Vậy luật điều khiển là: u(t) = r(t) – 0.5x1(t) – 1.5x2(t) 2.3 Hàm truyền kín: GK ( s ) = k0C[ sI − A + BK ]−1 B , Đáp ứng hệ thống: Y ( s ) = GK ( s ) R( s ) = k 0C[ sI − A + BK ]−1 BR( s ) , Giá trị xác lập: 1 y (∞) = lim sY ( s ) = lim sk 0C[ sI − A + BK ]−1 B = k 0C[− A + BK ]−1 B = k s →0 s →0 s Suy ra, để y (∞) = ta cần phải chọn k = 3 Câu : Cho hệ thống điều khiển : 3.1 Cho GC(z) = Tìm hàm truyền vòng kín Gk(z) (1.0đ) 3.2 Cho GC(z) = K Tìm điều kiện K để hệ kín ổn định (0.75đ) z +1 3.3 Cho GC ( z ) = Tính e(∞) tín hiệu vào hàm dốc (0.75đ) z − 0.5 z−a 3.4 Cho GC ( z ) = K C Tính KC, a, b để hệ kín có cặp cực phức z*1,2 = -0.5 ± 0.5i Biết a z −b cực khác G(z) bị khử (1.0đ) Giải : 3.1 Hàm truyền vòng kín 20 G (s) G( z) = (1 − z −1 ) (1 − z −1 ) = s s ( s + 10) z[(10*0.1 − + e −10*0.1 ) z + − e −10*0.1 − 10*0.1e −10*0.1 ] = 2(1 − z ) 10( z − 1) ( z − e −10*0.1 ) 0.07 z + 0.05 0.07 z + 0.05 = ( z − 1)( z − 0.37) z − 1.37 z + 0.37 0.07 z + 0.05 2 GC ( z )G ( z ) 0.14 z + 0.10 z − 1.37 z + 0.37 ⇒ G= = k ( z) = + GC ( z )G ( z ) + 0.07 z + 0.05 z − 1.23 z + 0.47 z − 1.37 z + 0.37 −1 3.2 Điều kiện K để hệ kín ổn định PTĐT : + GC ( z )G ( z ) = 1+ K 0.07 z + 0.05 =+ z (0.07 K − 1.37) z + 0.05 K + 0.37 = (1) z − 1.37 z + 0.37 w +1 w −1 (1) ⇔ 0.12 w + 2(0.63 − 0.05 K ) w + 2.74 − 0.02 K = Đổi biến : z = Điều kiện ổn định : K > 2(0.63 − 0.05 K ) > 2.74 − 0.02 K > K > ⇒ K < 12.6 K < 137 ⇒ < K < 12.6 3.3 Tính e(∞) 0.1z R( z ) ( z − 1) E( z) = = + GC ( z )G ( z ) z + 0.07 z + 0.05 1+ z − 0.5 ( z − 1)( z − 0.37) 0.1z 0.1 ( z − 1) z −1 (1 − z −1 ) E ( z ) = z z + 0.07 z + 0.05 ( z − 1) + z + 0.07 z + 0.05 1+ z − 0.5 z − 0.37 z − 0.5 ( z − 1)( z − 0.37) 0.1 = 0.13 z →1 z + 0.07 z + 0.05 ( z − 1) + z − 0.5 z − 0.37 e(∞ ) lim(1 − z −1 ) E (= = z ) lim z →1 3.4 Tìm KC, a, b PTĐT : z − a 0.07 z + 0.05 + GC ( z )G ( z ) = + KC (1) = z − b ( z − 1)( z − 0.37) • Theo đề chọn a = 0.37 (1) ⇔ ( z − b)( z − 1) + K C (0.07 z + 0.05) = ⇔ z + (0.07 K C − b − 1) z + 0.05 K C + b = • PTĐT mong muốn : ( z + 0.5 + j 0.5)( z + 0.5 − j 0.5) =z + z + 0.5 =0 • Cân hệ số hai PTĐT : 0.07 K C − b − = b = −13 / 24 ⇒ 0.5 K C = 250 /12 0.05 K C + b = Câu : Cho hệ thống điều khiển : G (s) = K T z +1 , GC ( z ) = K P + I , T = 0.2 sec 2s + z −1 4.1 Cho K P = , vẽ QĐNS hệ thống K I = → +∞ 4.2 Thiết kế điều khiển GC (z ) cho hệ thống kín sau hiệu chỉnh có cặp cực phức với ξ = 0.707 ω n = 4.3 Cho tín hiệu vào hàm dốc đơn vị Tính đáp ứng hệ thống y(k) với k = → , tính sai số xác lập Giải : 4.1 Vẽ QĐNS : 0.476 Gh ( z ) = z − 0.905 : 0.1( z + 1) 0.476 = + KI z − z − 0.905 - := p1 1,= p2 0.905 Zero: z1 = −1 - : OA = 2.905 α =π - : z = −2.952, z2* = 0.952 * - = z 0.896 ± 0.443 j : 4.2 Thiết kế GC(z) : + Gc ( z )Gh ( z ) = - z + 0.476 = + K P + 0.1K I z − z − 0.905 z + (0.476 K P + 0.048K I − 1.905) z + (0.048K I − 0.476 K P + 0.905) = : * ξ =0.707, ωn =4 ⇒ z1,2 =0.480 ± 0.304 j z − 0.960 z + 0.323 = - Suy ra: K P = 1.60; K I = 3.78 4.3 Đáp ứng hệ thống : Gc ( z )Gh ( z ) 1.618 z − 1.237 = Gk ( z ) = + Gc ( z )Gh ( z ) z − 0.287 z − 0.332 : 1.618 z − 1.237 z = Y ( z ) G= z R z ( ) ( ) k z − 1.287 z − 0.045z + 0.332 = y ( k ) 1.287 y ( k − 1) + 0.045 y ( k − 2) − 0.332 y ( k − 3) + 1.618δ ( k − 1) − 1.237δ ( k − 2) - = y (0) 0,= y (1) 1.618,= y (2) 0.845, = y (3) 1.160, = y (4) 0.994, = y (5) 1.051 exl = = POT 1.618 − = 100% 61.8%