Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 85 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
85
Dung lượng
4,46 MB
Nội dung
H th ng t p ch n l c Hình H c 12 GV Nguy n Cơng Nh t-mail: ncnhutqnam@gmail.com Khối đa diện GV: Nguy n Cơng Nh t CHƯƠNG ÔN TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Đònh nghóa: ìa, b Ì ( P ) aP b Û í ỵa Ç b = Ỉ b) Tính chất ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R ) · ï( P ) Ç (Q) = a é a, b, c đồng qui í( P ) Ç ( R ) = b Þ ê a P b P c ë ï ïỵ(Q) Ç ( R ) = c ìa ¹ b ·í Þ aP b ỵa P c, b P c ì( P ) Ç (Q) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïỵa P b Đường thẳng mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: d // (P) Û d Ç (P) = Ỉ b) Tính chất ìd Ë ( P ), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í ·í Þ d P ( P) Þd P a ỵd P d ' ỵ(Q) É d ,(Q ) Ç (P ) = a ì( P ) Ç (Q) = d ·í Þd P a ỵ( P ) P a,(Q) P a Hai mặt phẳng song song a) Đònh nghóa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ b) Tính chất ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q) ì(Q) P ( R ) ï ï ï · ía Ç b = M Þ ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R ) Þ ( P ) P (Q ) · í( P ) Ç (Q) = a Þ a P b ïỵa P (Q), b P (Q ) ïỵ(Q) P ( R ) ïỵ( P ) Ç ( R ) = b Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, đònh lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng đònh lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang `Ìi`ÊÜÌ ÊÌ iÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ* Ê
`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Khối đa diện Nguy n Cơng Nh t II QUAN HỆ VUÔNG GÓC Hai đường thẳng vuông góc a) Đònh nghóa: a ^ b Û ( a¶ , b ) = 90 b) Tính chất r r rr · Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ^ b Û u.v = ìb ¤¤ c ·í Þa^b ỵa ^ c Đường thẳng mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: b) Tính chất d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) ìa, b Ì ( P ), a Ç b = O · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: í Þ d ^ ( P) ỵd ^ a, d ^ b ìa P b ìa ¹ b · í ·í Þ (P) ^ b ÞaP b ỵ( P ) ^ a ỵa ^ ( P ), b ^ ( P ) ì( P ) P (Q) ì( P ) ¹ (Q) · í ·í Þ a ^ (Q) Þ ( P ) P (Q) ỵa ^ ( P ) ỵ( P ) ^ a,(Q) ^ a ìa P ( P ) ìa Ë ( P ) · í ·í Þb^a Þ a P ( P) ỵb ^ ( P ) ỵa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Đònh lí ba đường vuông góc Cho a ^ ( P ), b Ì ( P ) , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Hai mặt phẳng vuông góc a) Đònh nghóa: ( ) (P) ^ (Q) Û · ( P ),(Q) = 900 b) Tính chất ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q) ỵa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q) ï ì( P ) ^ (Q),(P ) Ç (Q ) = c · í · í A Ỵ (P ) Þ a Ì (P) Þ a ^ (Q) ỵa Ì ( P ), a ^ c ïỵa ' A, a ^ (Q) ì( P ) Ç (Q) = a ï · í( P ) ^ ( R ) Þ a ^ ( R) ïỵ(Q) ^ ( R ) Chứng minh quan hệ vuông góc a) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Để chứng minh d ^ a , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vuông góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a Trang `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Khối đa diện GV: Nguy n Cơng Nh t · Chứng minh d vuông góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng đònh lí ba đường vuông góc · Sử dụng tính chất hình học phẳng (như đònh lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vuông góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vuông góc với giao tuyến c (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · Chứng minh (· P ),(Q) = 900 ( ) III GÓC – KHOẢNG CÁCH Góc a) Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00 £ ( a¶ , b ) £ 900 a//a', b//b' Þ ( a¶ , b ) = ( a· ', b ' ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · Nếu d ^ (P) d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) · Nếu d ^ ( P ) d· ,( P ) = ( d· , d ' ) với d¢ hình chiếu d (P) Chú ý: 00 £ d· ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) · ¶ íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q) = ( a, b ) ỵ ìa Ì ( P ), a ^ c · Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I Ỵ c, dựng í Þ (· P ),(Q) = ( a¶ , b) b Ì ( Q ), b ^ c ỵ Chú ý: 0 £ (· P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) (Q), j = (· P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Trang `Ìi`ÊÜÌ ÊÌ iÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ* Ê
`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì Khối đa diện Nguy n Cơng Nh t d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng IV Nhắc lại số công thức Hình học phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vuông A, có đường cao AH 1 = + 2 AH AB AC b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường tròn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p · Đònh lí hàm số cosin: · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC.CH · a =b + c – 2bc.cosA; b2 = c + a2 - 2ca.cos B; c2 = a2 + b2 - ab.cos C a b c · Đònh lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c2 a2 c + a2 b a2 + b2 c2 - ; mb2 = - ; mc2 = 4 Các công thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuông A: 2S = AB AC = BC AH ma2 = · DABC đều, cạnh a: b) Hình vuông: c) Hình chữ nhật: S= S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vuông) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · = AC BD e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vuông góc: S = AC BD Trang `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì GV: Nguy n Cơng Nh t Khối đa diện CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích công thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng công thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích công thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích toàn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = Bài 1 a tan a Þ V = a3 tan a Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 ÞV= Trang `Ìi`ÊÜÌ ÊÌ iÊ`iÊÛiÀÃÊvÊ vÝÊ*ÀÊ* Ê
`ÌÀÊ /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Vectơ pháp tuyến – Cặp vectơ phương mặt phẳng r r r · Vectơ n ¹ VTPT (a) giá n vuông góc với (a) r r · Hai vectơ a , b không phương cặp VTCP (a) giá chúng song song nằm (a) r r Chú ý: · Nếu n VTPT (a) kn (k ≠ 0) VTPT (a) r r r r r · Nếu a , b cặp VTCP (a) n = [ a , b ] VTPT (a) Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax + By + Cz + D = với A2 + B + C > r · Nếu (a) có phương trình Ax + By + Cz + D = n = ( A; B; C ) VTPT (a) r · Phương trình mặt phẳng qua M0 ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B; C ) là: A( x - x0 ) + B( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = Các trường hợp riêng Các hệ số D=0 A=0 B=0 C=0 A=B=0 A=C=0 B=C=0 Chú ý: Phương trình mặt phẳng (a) Ax + By + Cz = By + Cz + D = Ax + Cz + D = Ax + By + D = Cz + D = By + D = Ax + D = Tính chất mặt phẳng (a) (a) qua gốc toạ độ O (a) // Ox (a) É Ox (a) // Oy (a) É Oy (a) // Oz (a) É Oz (a) // (Oxy) (a) º (Oxy) (a) // (Oxz) (a) º (Oxz) (a) // (Oyz) (a) º (Oyz) · Nếu phương trình (a) không chứa ẩn (a) song song chứa trục tương ứng x y z · Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: + + =1 a b c (a) cắt trục toạ độ điểm (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) Vò trí tương đối hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): A1x + B1y + C1z + D1 = (b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = · (a), (b) cắt Û A1 : B1 : C1 ¹ A2 : B2 : C2 · (a) // (b) Û A1 B1 C1 D1 = = ¹ A2 B2 C2 D2 · (a) º (b) Û A1 B1 C1 D1 = = = A2 B2 C2 D2 · (a) ^ (b) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(a ) ) = A2 + B + C Trang 36 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t VẤN ĐỀ 1: Viết phương trình mặt phẳng Để lập phương trình mặt phẳng (a) ta cần xác rđònh điểm thuộc (a) VTPT Dạng 1: (a) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTPT n = ( A; B;C ) : (a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = r r Dạng 2: (a) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có cặp VTCP a , b : r r r Khi VTPT (a) n = [ a , b ] Dạng 3: (a) qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với mặt phẳng (b): Ax + By + Cz + D = 0: (a): A ( x - x0 ) + B ( y - y0 ) + C ( z - z0 ) = Dạng 4: (a) qua điểm không thẳng hàng A, B, C: u uuur r uur Khi ta xác đònh VTPT (a) là: n = éë AB, AC ùû Dạng 5: (a) qua điểm M đường thẳng (d) không chứa M: r – Trên (d) lấy điểm A VTCP u uuur r r – Một VTPT (a) là: n = éë AM , u ùû Dạng 6: (a) qua điểm M vuông góc với đường thẳng (d): r VTCP u đường thẳng (d) VTPT (a) Dạng 7: (a) qua đường thẳng cắt d1, d2: r r – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 r r r – Một VTPT (a) là: n = [ a , b ] – Lấy điểm M thuộc d1 d2 Þ M Ỵ (a) Dạng 8: (a) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau): r r – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 r r r – Một VTPT (a) là: n = [ a , b ] – Lấy điểm M thuộc d1 Þ M Ỵ (a) Dạng 9: (a) qua điểm M song song với hai đường thẳng chéo d1, d2: r r – Xác đònh VTCP a , b đường thẳng d1, d2 r r r – Một VTPT (a) là: n = [ a , b ] Dạng 10: (a) qua đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (b): r r – Xác đònh VTCP u (d) VTPT nb (b) r r r – Một VTPT (a) là: n = éë u , nb ùû – Lấy điểm M thuộc d Þ M Ỵ (a) Dạng 11: (a) qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng cắt (b), (g): r r – Xác đònh VTPT nb , ng (b) (g) r r r – Một VTPT (a) là: n = éëub , ng ùû Dạng 12: (a) qua đường thẳng (d) cho trước cách điểm M cho trước khoảng k cho trước: – Giả sử (a) có phương trình: Ax + By + Cz+D = ( A2 + B + C ¹ ) – Lấy điểm A, B Ỵ (d) Þ A, B Ỵ (a) (ta hai phương trình (1), (2)) – Từ điều kiện khoảng cách d ( M ,(a )) = k , ta phương trình (3) – Giải hệ phương trình (1), (2), (3) (bằng cách cho giá trò ẩn, tìm ẩn lại) Dạng 13: (a) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H: – Giả sử mặt cẩu (S) có tâm I bán kính R `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ Trang 37 ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t uur r – Một VTPT (a) là: n = IH Chú ý: Để viết phương trình mặt phẳng cần nắm vững cách xác đònh mặt phẳng học lớp 11 r Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M có VTPT n cho trước: r r r a) M ( 3;1;1) , n = ( -1;1;2 ) b) M ( -2;7; ) , n = ( 3; 0;1) c) M ( 4; -1; -2 ) , n = ( 0;1;3 ) r r r d) M ( 2;1; -2 ) , n = (1; 0; ) e) M ( 3;4;5 ) , n = (1; -3; -7 ) f) M (10;1;9 ) , n = ( -7;10;1) Bài Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước, với: a) A(2;1;1), B(2; -1; -1) b) A(1; -1; -4), B(2; 0; 5) c) A(2; 3; -4), B(4; -1; 0) ư ỉ1 ỉ ỉ 1ư ỉ d) A ç ; -1; ÷ , B ç 1; - ;5 ÷ e) A ç 1; ; ÷ , B ç -3; ;1 ÷ f) A(2; -5; 6), B(-1; -3; 2) ø ø è2 ø è è 2ø è r r Bài Viết phương trình mặt phẳng qua điểm M có cặp VTCP a , b cho trước, với: r r r r a) M (1; 2; -3), a = (2;1; 2), b = (3; 2; -1) b) M (1; -2; 3), a = 3; -1; -2), b = (0; 3; 4) r r r r c) M (-1; 3; 4), a = (2; 7; 2), b = (3; 2; 4) d) M (-4; 0; 5), a = (6; -1; 3); b = (3; 2;1) Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M song song với mặt phẳng (b ) cho trước, với: a) M ( 2;1; ) , ( b ) = (Oxy ) b) M (1; -2;1) , ( b ) : x - y + = c) M ( -1;1; ) , ( b ) : x - y + z - 10 = d) M ( 3; 6; -5) , ( b ) : - x + z - = e) M (2; -3; 5), ( b ) : x + y - z + = f) M (1;1;1), ( b ) : 10 x - 10 y + 20z - 40 = Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M song song với mặt phẳng toạ độ, với: a) M ( 2;1; ) b) M (1; -2;1) c) M ( -1;1; ) d) M ( 3; 6; -5 ) e) M(2; -3; 5) f) M(1;1;1) g) M(-1;1; 0) h) M(3; 6; -5) Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng cho trước, với: a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3) b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1) c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7) e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1) f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm A vuông góc với đường thẳng qua hai điểm B, C cho trước, với: a) A(1; -2; 4), B(3; 2; -1), C (-2;1; -3) b) A(0; 0; 0), B(-2; -1; 3), C (4; -2;1) c) A(-1; 2; 3), B(2; -4; 3), C (4; 5; 6) d) A(3; -5; 2), B(1; -2; 0), C (0; -3; 7) e) A(2; -4; 0), B(5;1; 7), C (-1; -1; -1) f) A(3; 0; 0), B(0; -5; 0), C (0; 0; -7) Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua hai điểm A, B vuông góc với mặt phẳng (b) cho trước, với: ì A(3;1; -1), B(2; -1; 4) ì A(-2; -1; 3), B(4; -2;1) ì A(2; -1; 3), B(-4; 7; -9) a) í b) í c) í ỵ( b ) : x - y + 3z - = ỵ( b ) : x + 3y - z + = ỵ( b ) : 3x + y - 8z - = ì A(3; -1; -2), B(-3;1; 2) d) í ỵ( b ) : x - y - z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M vuông góc với hai mặt phẳng (b), (g) cho trước, với: a) M (-1; -2; 5), ( b ) : x + y - 3z + = 0, (g ) : x - 3y + z + = Trang 38 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t b) M (1; 0; -2), ( b ) : x + y - z - = 0, ( g ) : x - y - z - = c) M (2; -4; 0), ( b ) : x + 3y - 2z + = 0, (g ) : x + y - 8z - = d) M (5;1; 7), ( b ) : 3x - y + 3z + = 0, (g ) : 3x - y + 5z - = Bài 10 Viết phương trình mặt phẳng (a) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; -3) , ( P ) : x - 3y + z - = 0, ( Q ) : x - y + 5z - = b) M ( 2;1; -1) , ( P ) : x - y + z - = 0, (Q ) : 3x - y + z - = c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x - y - 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x - 8y + 3z + 11 = d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : x - 3y + z - = 0, (Q ) : x - y - z - = Bài 11 Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + 2z - = 0, (Q ) : x + y - z - = 0, ( R) : x + y + z - = b) ( P ) : x - y + 2z - = 0, (Q) : y + z - = 0, ( R) : x - y + 19 = c) ( P ) : 3x - y + z - = 0, (Q ) : x + y - = 0, ( R) : x - z + = Bài 12 Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : x + 3y - = 0, (Q ) : y - 3z - = 0, ( R) : x + y - 3z - = b) ( P ) : y + 2z - = 0, (Q ) : x + y - z + = 0, ( R) : x + y + z - = c) ( P ) : x + y - z - = 0, (Q ) : x + y + z + = 0, ( R) : x - y - 3z + = d) ( P ) : 3x - y + z - = 0, (Q ) : x + y - = 0, ( R) : x - z + = Bài 13 Viết phương trình mặt phẳng (a) qua giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời cách điểm M cho trước khoảng k, với: a) ( P ): x - y - = 0, (Q ) : x - 13y + z = 0, M (1; 2; 3), k = VẤN ĐỀ 2: Vò trí tương đối hai mặt phẳng Bài Xét vò trí tương đối cặp mặt phẳng sau: ì2 x + 3y - 2z + = ì3 x - y + 3z + = a) í b) í ỵ3 x + y - 8z - = ỵ3 x - y + 5z - = ì x - y - 4z + = ï e) í 25 ïỵ5 x - 5y - 10z + = Bài Xác đònh m, n để cặp mặt phẳng sau: · song song ì3 x + my - z - = ì5 x - y + mz - 11 = a) í b) í ỵ nx + y - z + = ỵ 3x + ny + z - = ì3 x - y + mz - = ì x + y + 3z - = d) í e) í ỵ2 x + ny + z - = ỵmx - y - z - = ì x - y - 6z + = d) í ỵ12 x - 8y - 12z - = ì5 x + y - 5z - = c) í ỵ3 x + 3y - 3z + = ì3 x - y - z - 23 = f) í ỵ3 x - y - z + 33 = · cắt · trùng ì2 x + my + 3z - = c) í ỵnx - y - z + = ì3 x - 5y + mz - = f) í ỵ x + y - 3z + = ì x + my - z + = ì2 x - ny + 2z - = ì3 x - (m - 3) y + 2z - = g) í h) í i) í ỵ2 x + y + 4nz - = ỵ3 x - y + mz - = ỵ(m + 2) x - y + mz - 10 = Bài Xác đònh m để cặp mặt phẳng sau vuông góc với ì2 x - y + mz + = ì(2m - 1) x - 3my + z + = a) í b) í ỵ 3x + y - z + 15 = ỵ mx + (m - 1)y + z - = `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ Trang 39 ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t ìmx + y + mz - 12 = c) í x + my + z + = ỵ ì x - 3y - 3z = e) í mx + y - 7z - = ỵ ì3 x - (m - 3) y + 2z - = d) í ỵ(m + 2) x - y + mz - 10 = ì3 x - 5y + mz - = f) í ỵ x + 3y + z + = VẤN ĐỀ 3: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách hai mặt phẳng song song Hình chiếu điểm mặt phẳng Điểm đối xứng điểm qua mặt phẳng · Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M0 ,(a ) ) = A2 + B + C · Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Chú ý: Nếu hai mặt phẳng không song song khoảng cách chúng uuuur ì MH , nr phương · Điểm H hình chiếu điểm M (P) Û í H Ỵ (P) uuuur uuuur · Điểm M¢ đối xứng với điểm M qua (P) Û MM ¢ = MH Bài Cho mặt phẳng (P) điểm M · Tính khoảng cách từ M đến (P) · Tìm toạ độ hình chiếu H M (P) · Tìm toạ độ điểm M¢ đối xứng với M qua (P) a) ( P ) : x - y + 2z - = 0, M (2; -3; 5) b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0, M (1; -4; -2) c) ( P ) : x - y + 3z + 12 = 0, M (3;1; -2) d) ( P ) : x - y + 4z + = 0, M (2; -3; 4) e) ( P ) : x - y + z - = 0, M (2;1; -1) f) ( P ) : 3x - y + z - = 0, M (1; 2; 4) Bài Tìm khoảng cách hai mặt phẳng: ì x - y + 3z + = ì6 x - y + z + = ì x - y + 4z + = a) í b) í c) í ỵ2 x - y + 3z + = ỵ6 x - y + z - = ỵ3 x + 5y - z - = ì4 x - y + 8z + = ì x - y + 4z + = ì3 x + y - 3z + = d) í e) í f) í x y + z + = x + y z = ỵ ỵ ỵ x + 2y - z + = Bài Tìm tập hợp điểm cách mặt phẳng khoảng k cho trước: a) x - 3y + 2z - = 0, k = b) x - y - 6z + = 0, k = c) x - y + 3z + 12 = 0, k = d) x - y + 4z - 14 = 0, k = Bài Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng: ì x - y + 3z + = ì6 x - y + z + = a) í b) í ỵ2 x - y + 3z + = ỵ6 x - y + z - = d) Bài a) Bài ì x - y + 4z + = c) í ỵ3 x + 5y - z - = ì4 x - y + 8z + = ì x - y + 4z + = ì3 x + y - 3z + = e) í f) í í4 x - y + 8z + = x + y z = ỵ ỵ ỵ x + 2y - z + = Tìm tập hợp điểm có tỷ số khoảng cách đến hai mặt phẳng k cho trước: ì x + y - 2z - 10 = ì6 x - y + z + = ì6 x + y - z - = ï x + y - 4z + = ï ï b) x - y + z - = c) x + y - z + = í í í ïk = ïk = ïk = ïỵ ïỵ ïỵ Tìm điểm M trục Ox (Oy, Oz) cách điểm N mặt phẳng (P): `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° Trang 40 /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t a) ( P ) : x + y + z - = 0, N (1; 2; -2) c) ( P ) : x - y + 3z + 12 = 0, N (3;1; -2) e) ( P ) : x - y + z - = 0, N (2;1; -1) b) ( P ) : x + y + 5z - 14 = 0, N (1; -4; -2) d) ( P ) : x - y + z + = 0, N (2; -3; 4) f) ( P ) : x - y + z - = 0, N (1; 2; 4) Bài Tìm điểm M trục Ox (Oy, Oz) cách hai mặt phẳng: ìx + y - z +1 = ì x + y - 2z + = a) í b) í c) ỵx - y + z - = ỵ2 x + y + z - = ì4 x - y + 8z + = ì x - y + 4z + = d) í e) í f) ỵ4 x - y + 8z + = ỵ3 x + 5y - z - = ì x - y + 4z + = í4 x + y - z - = ỵ ì3 x + y - 3z + = í x + 2y - z + = ỵ Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) qua điểm A song song với mặt phẳng (Q) cho trước Tính khoảng cách (P) (Q): a) A (1; 2; –3) , (Q) : x - y - z + = b) A ( 3; 1; –2 ) , (Q ) : x - y + 3z + 12 = Bài Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) cách điểm A khoảng k cho trước: a) (Q) : x + y - z + = 0, A(2; -1; 4), k = b) (Q) : x - y + z + = 0, A(2; -3; 4), k = Bài 10 Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (P) cách mặt phẳng (Q) khoảng k: a) (Q) : x - y + z - = 0, k = 14 b) (Q) : x + 3y - 2z + = 0, k = 29 VẤN ĐỀ 4: Góc hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng (a), (b) có phương trình: (a): A1x + B1y + C1z + D1 = (b): A2 x + B2 y + C2 z + D2 = r r Góc (a), (b) bù với góc hai VTPT n1 , n2 r r n1.n2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 cos ( (a ),( b ) ) = r r = n1 n2 A12 + B12 + C12 A22 + B22 + C22 Chú ý: ( ) · 00 £ · (a ),( b ) £ 900 · (a ) ^ ( b ) Û A1 A2 + B1B2 + C1C2 = Bài Tính góc hai mặt phẳng: ìx + y - z +1 = ì x + y - 2z + = ì x - y + 4z + = a) í b) í c) í x y + z = x + y + z = ỵ ỵ ỵ4 x + y - z - = ì2 x - y - z + = ì ì4 x + y - 2z + = d) í e) í f) í x - 3y + 3z + = ỵ2 x + z - = ỵ y + 2z + 12 = ỵ4 x + y + 4z - = Bài Tìm m để góc hai mặt phẳng sau a cho trước: ì(2m - 1) x - 3my + z + = ìmx + y + mz - 12 = ì(m + 2) x + 2my - mz + = ï ï ï a) ímx + (m - 1) y + 4z - = b) í x + my + z + = c) ímx + (m - 3) y + 2z - = ïỵa = 900 ïỵa = 450 ïỵa = 900 ìmx - y + mz + = ï d) í(2m + 1) x + (m - 1) y + (m - 1)z - = ïỵa = 300 Bài Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC vuông góc với đôi Gọi a , b , g góc hợp mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) với mặt phẳng (ABC) Bằng phương pháp toạ độ, chứng minh rằng: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos a + cos b + cos g = `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀ iÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi°i Trang 41 /ÊÀ ÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê i ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t VẤN ĐỀ 5: Vò trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Cho mặt phẳng (a): Ax + By + Cz + D = mặt cầu (S): ( x - a)2 + ( y - b)2 + ( z - c )2 = R · (a) (S) điểm chung Û d ( I ,(a )) > R · (a) tiếp xúc với (S) Û d ( I ,(a )) = R (a) tiếp diện Để tìm toạ độ tiếp điểm ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vuông góc với (a) – Tìm toạ độ giao điểm H d (a) H tiếp điểm (S) với (a) · (a) cắt (S) theo đường tròn Û d ( I ,(a )) < R Để xác đònh tâm H bán kính r đường tròn giao tuyến ta thực sau: – Viết phương trình đường thẳng d qua tâm I (S) vuông góc với (a) – Tìm toạ độ giao điểm H d (a) H tâm đường tròn giao tuyến (S) với (a) Bán kính r đường tròn giao tuyến: r = R - IH Bài Xét vò trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): ì( P ) : x + y + z - = ì( P ) : x - 3y + z - = a) í b) í 2 2 2 ỵ(S ) : x + y + z - x - y + 4z + = ỵ(S ) : ( x - 1) + ( y - 3) + ( z + 2) = 16 ì( P ) : x + y - z - 11 = c) í 2 ỵ(S ) : x + y + z + x - y - z + = ì( P ) : x + y + z = e) í 2 ỵ(S ) : x + y + z - x + y - z + 10 = ì( P ) : x - y + 2z + = d) í 2 ỵ(S ) : x + y + z - x - y - 8z + 13 = ì( P ) : z - = f) í 2 ỵ(S ) : x + y + z - x + y - 16 z + 22 = Bài Biện luận theo m, vò trí tương đối mặt phẳng (P) mặt cầu (S): a) ( P ) : x - y - z - = 0; (S ) : x + y + z2 - 2(m - 1) x + 4my + 4z + 8m = b) ( P ) : x - y + z - = 0; (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 2)2 + (z - 3)2 = (m - 1)2 c) ( P ) : 3x + y - 6z + = 0; (S ) : ( x - 2)2 + ( y - 1)2 + (z + 1)2 = (m + 2)2 d) ( P ) : x - 3y + 6z - 10 = 0; (S ) : x + y + z2 + 4mx - 2(m + 1) y - 2z + +3m + 5m - = Bài Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I tiếp xúc với mặt phẳng (P) cho trước: a) I (3; -5; -2), (P ) : x - y - 3z + = b) I (1; 4; 7), ( P ) : x + y - z + 42 = c) I (1;1; 2), ( P ) : x + y + 2z + = d) I (-2;1;1), ( P ) : x + y - z + = Bài Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước: a) (S ) : ( x - 3)2 + ( y - 1)2 + ( z + 2)2 = 24 M(-1; 3; 0) b) (S ) : x + y + z2 - x - y + z + = M(4; 3; 0) c) (S ) : ( x - 1)2 + ( y + 3)2 + (z - 2)2 = 49 M(7; -1; 5) d) (S ) : x + y + z - x - y - 2z - 22 = song song với mặt phẳng x - y + 6z + 14 = e) (S ) : x + y + z - x + y + 2z - 11 = song song với mặt phẳng x + 3z - 17 = f) (S ) : x + y + z2 - x - y + z = song song với mặt phẳng x + y + 2z + = g) (S ) : x + y + z - x + y + z + = chứa đường thẳng d : x = 4t + 4, y = 3t + 1, z = t + Trang 42 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ* Ê
`ÌÀÊ ÊvÀiiÊvÀÊViÀV>ÊÕÃi° /ÊÀiÛiÊÌ ÃÊÌVi]ÊÛÃÌ\Ê ÜÜÜ°Vi°VÉÕV° Ì PP Toạ độ không gian Nguy n Cơng Nh t h) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; – 1), D(4; 1; 0) i) Tiếp xúc với mặt cầu: x + y + z - 10 x + y + 26 z - 113 = song song với đường thẳng: d1 : x + y - z + 13 x + y +1 z - = = , d1 : = = -3 -2 Bài tập ôn: Phương trình mặt phẳng Bài Cho tứ diện ABCD · Viết phương trình mặt tứ diện · Viết phương trình mặt phẳng chứa cạnh song song với cạnh đối diện · Viết phương trình mặt phẳng qua đỉnh song song với mặt đối diện · Viết phương trình mặt phẳng qua cạnh AB vuông góc với (BCD) · Viết phương trình mặt phẳng trung trực cạnh tứ diện · Tìm toạ độ điểm A¢, B¢, C¢, D¢ điểm đối xứng với điểm A, B, C, D qua mặt đối diện · Tính khoảng cách từ đỉnh tứ diện đến mặt đối diện · Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác đònh tâm I bán kính R (S) · Viết phương trình tiếp diện (S) đỉnh A, B, C, D tứ diện · Viết phương trình tiếp diện (S) song song với mặt tứ diện a) A ( 5;1; 3) , B (1; 6; ) , C ( 5; 0; ) , D ( 4; 0; ) b) A (1;1; ) , B ( 0; 2;1) , C (1; 0; ) , D (1;1;1) c) A ( 2; 0; ) , B ( 0; 4; ) , C ( 0; 0; ) , D ( 2; 4; ) d) A(2; 3;1), B(4;1; -2), C (6; 3; 7), D (-5; -4; 8) e) A(5; 7; -2), B(3;1; -1), C (9; 4; -4), D(1; 5; 0) f) A(0;1; 0), B(2; 3;1), C (-2; 2; 2), D(1; -1; 2) Bài Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cắt ba trục toạ độ điểm: A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; –3) E(–2; 0; 0), F(0; 1; 0), G(0; 0; 1) a) Tìm phương trình tổng quát (P) (Q) b) Tính độ dài đường cao hình chóp O.ABC c) Tính góc hai mặt phẳng (P), (Q) Bài Cho bốn điểm: A(1; 1; 1), B(3; 3; 1), C(3; 1; 3) D(1; 3; 3) a) Chứng minh ABCD tứ diện b) Chứng minh tứ diện ABCD có cặp cạnh đối đôi vuông góc c) Tìm phương trình tổng quát mặt phẳng (ABC), (ABD), (ACD), (BCD) d) Tính góc cặp mặt phẳng: (ABC) (ABD), (BCD) (ACD) Trang 43 `Ìi`ÊÜÌ ÊvÝÊ*