những sai lầm và cách khác phục trong giải bất phương trình, phương trình

I. Lí do chọn đề tài Trong dạy học Toán việc vận dụng lí thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm. Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp. Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắm vững lí thuyết vừa học. Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêm điều kiện nào. Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được… Vì những lí do trên tôi chọn đề tài : “NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ CÁCH KHẮC PHỤC KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT ’’ II. Mục đích nghiêm cứu Nghiêm cứu những sai lầm mà học sinh có thể gặp trong quá trình giải phương trình, bất phương trình. nghiên cứu khả năng của giáo viên trong việc giải quyết những sai lầm của học sinh trong quá trình giải phương trình, bất phương trình. Thiết kế một số kiểu sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán. III. Các đối tượng nghiên cứu Các tài liệu về những sai lầm của học sinh khi giải phương trình, bất phương trình. Các hoạt động thiết kế cho bài dạy nhằm giúp học sinh vượt qua sai lầm khi giải phương trình, bất phương trình. Học sinh trường Trung Học Phổ Thông. IV. Phương pháp nghiên cứu phương pháp nghiên cứu lí luận: Sử dụng phương pháp phân tíchtổng hợp tài liệu. Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn : Phương pháp quan sát sư phạm. Phương pháp điều tra thực nghiệm sư phạm CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÍ LUẬN Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Trong dạy học toán , mỗi bài tập toán được sử dụng với mỗi dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để

MỞ ĐẦU

I Lí do chọn đề tài

Trong dạy học Toán việc vận dụng lí thuyết đã học để giải bài toán của học sinh còn gặp một số khó khăn và sai lầm Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp nào để giúp học sinh giải bài toán mà không mắc phải sai lầm là cần thiết và phù hợp

Mặt khác khi đứng trước một bài toán về phương trình hay bất phương trình thì học sinh thường giải theo thói quen mà không biết mình bị sai do không nắmvững lí thuyết vừa học Việc giải hay sai nhất là học sinh lớp 10 khi giải một phương trình hoặc bất phương trình thì rút gọn hoặc bỏ mẫu mà không ghi thêmđiều kiện nào Những sai sót đó là do trước đây ở THCS học sinh giải phương trình hoặc bất phương trình mà mẫu thường là hằng số nên học sinh rút gọn hoặc bỏ mẫu được…

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài : “NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP

VÀ CÁCH KHẮC PHỤC KHI GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH

VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH Ở TRƯỜNG THPT ’’

II Mục đích nghiêm cứu

• Nghiêm cứu những sai lầm mà học sinh có thể gặp trong quá trình giải phương trình, bất phương trình

• nghiên cứu khả năng của giáo viên trong việc giải quyết những sai lầm của học sinh trong quá trình giải phương trình, bất phương trình

•

Thiết kế một số kiểu sai lầm của học sinh trong quá trình giải toán

III Các đối tượng nghiên cứu

IV Phương pháp nghiên cứu

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Trong dạy học toán , mỗi bài tập toán được sử dụng với mỗi dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra…

Ở thời điểm cụ thể nào đó, mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau( chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức năng kiểm tra) những chức năng này đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học

a Yêu cầu đối với lời giải bài toán

+ Lời giải không có sai lầm

+ Lập luận phải có căn cứ chính xác

+ Lời giải phải đầy đủ

Ngoài ba yêu cầu nói trên, trong dạy học bài tập, cần yêu cầu lời giải ngắn gọn, đơn giản nhất, cách trình bày rõ ràng hợp lí

Tìm được lời giải hay của một bài toán tức là đã khai thác được những đặc điểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh “ có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi” (G Polya-1975)

b Phương pháp tìm tòi lời giải bài toán

- Tìm hiểu nội dung bài toán:

+ Giả thiết là gì? kết luận là gì ? sử dụng kí hiệu như thế nào?+ Dạng toán nào ?( toán chứng minh hay toán tìm tòi…)+ Kiến thức cơ bản cần có là gì ? ( các khái niệm, các định lí, các điều kiện tương đương, các phương pháp chứng minh…)

- Xây dựng chương trình giải( tức là chỉ rõ các bước tiến hành): Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề gì ?

- Thực hiện chương trình giải : trình bày bài làm theo các bước đã chỉ ra Chú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, trong biến đổi,…

- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: xét xem có sai lầm không? Có biện luận kết quả tìm được không? nếu bài toán có nội dung thực tiễn thì kết quả tìm được có phù hợp với thực tiễn hay không? một điều quan trọng là cần luyện tập cho học sinh đọc lại yêu cầu của bài toán sau khi đã giải xong bài toán đó, để học sinh hiểu rõ hơn chương trình giải đề xuất, hiểu sâu sắc hơn kiến thức cơ bản đã ngầm cho trong giả thiết

c Trình tự dạy học bài tập toán Trình tự dạy học bài tập toán

thường bao gồm các bước sau :

Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán Hoạt động 2:Xây dựng chương trình giải Hoạt động 3:Thực hiện chương trình giải Hoạt động 4:Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

d Quan niệm về tiến trình giải toán

Giải toán là việc thực hiện một hệ thống hành động phức tạp, vì bài toán là

sự kết hợp đa dạng nhiều khái niệm, quan hệ toán học, cần có sự chọn lọc sáng tạo các phương pháp giải quyết vấn đề Như vậy giải bài toán là tìm kiếm một cách có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt được mục đích của bài tập Đó

là một quá trình tìm tòi sáng tạo, huy động kiến thức, kĩ năng, thủ thuật và các phẩm chất của trí tuệ để giải quyết vấn đề đã cho

Theo G Polya , việc giải toán xem như thực hiện một hệ thống hành động: hiểu rõ bài toán, xây dựng một chương trình giải, thực hiện chương trình khảo sát lời giải đã tìm được Theo ông điều quan trọng trong quá trình giải bài toán

là qua đó học sinh nảy lòng say mê, khát vọng giải toán, thu thập và hình thành tri thức mới, đặc biệt là tiếp cận,phát hiện và sáng tạo

1.1 Cơ sở thực tiễn

Trong quá trình quan sát, điều tra tôi thấy khi học sinh giải các bài toán về phương trình hoặc bất phương trình thì học sinh thường vận dụng biến đổi tương đương mà không chú ý đến điều kiện xác định Từ thực trạng trên nên tôi xây dựng kế hoạch hình thành phương pháp mới bằng cách trước tiên học sinh cần nắm vững lí thuyết về phương trình tương đương và bất

phương trình tương đương từ đó áp dụng vào bài toán cơ bản đến bài toán ở mức độ khó hơn Trong giảng dạy cần trang bị đầy đủ kiến thức phổ thông

và phương pháp giải toán đại số cho học sinh Như vậy khi giải bài toán về phương trình hay bất phương trình học sinh có thể tự tin lựa chọn một

phương pháp để giải phù hợp mà không mắc sai lầm

1.2 Giải pháp thực hiện

- Nêu các định nghĩa về phương trình, bất phương trình; các định lí

về các phép biến đổi tương đương giữa hai phương trình; bất

- Dạy thành các dạng nhỏ trong các tiết tự chọn toán để bổ sung kiến thức cho các em

CHƯƠNG II NỘI DUNG

2.1 Những kiến thức liên quan

2.1.1 Phương trình; cách giải phương trình

Khái niệm phương trình một ẩn:

Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng :

f x( ) =g x( )

(1) Trong đó f x( )

và g x( )

là những biểu thức của x Ta gọi f x( )

là vế trái, g x( )

là vế phải của phương trình (1).

Nếu có số thực x0 sao cho f x( )0 =g x( )0

là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm

nghiệm gần đúng của phương trình.

Chẳng hạn, bằng máy tính bỏ túi, ta tính nghiệm gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của phương trình là

Điều kiện của một phương trình

Khi giải phương trình ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số x để f x( )

và g x( )

có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được) Ta cũng nói

đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của

(3) Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y) , còn (3) là phương trình

Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò

ẩn số còn có thể có các chữ khác, các chữ này được xem như nhữnghằng

số và được gọi là tham số Tập nghiệm của phương trình có thể phụ thuộc vào tham số.

Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các

Phương trình tương đương

Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng điều kiện xác định

là D và tương đương với nhau, ta nói:

• Hai phương trình tương đương trên D, hoặc

• Với điều kiện D, hai phương trình là tương đương với nhau.

Phép biến đổi tương đương

Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương.

Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng:

Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương

đương.

a) Cộng hay trừ từng vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

phương trình hệ quả

đều là nghiệm của phương trình f x1( ) = g x1( )

thì phương trình f x( ) =g x( )

được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f x( ) = g x( )

.

loại nghiệm ngoại lai ta phải thử lại các nghiệm tìm được.

Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự.

2.1.2 Bất phương trình; cách giải bất phương trình

Khái niệm bất phương trình một ẩn trên trường số thực

Bất phương tình một ẩn là một mệnh đề chứa biến x so sánh hai hàm số

Tuy nhiên các bất phương trình trên đều có thể chuyển về dạng tương đương f x( ) > 0

(hoặc f x( ) ≥ 0

)

Cũng như trong phương trình biến x trong bất phương trình cũng được gọi

là ẩn, hàm ý là một đại lượng chưa biết

Sau đây ta sẽ xét bất phương trình dạng tổng quát f x( ) > 0

Nếu với giá trị x a f a= , ( ) > 0

là bất đẳng thức đúng thì ta nói rằng alà nghiệm đúng của bất phương trình f x( ) > 0

,hay alà nghiệm của bất phương trình

Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình được gọi là tập nghiệm haylời giải của bất phương trình , đôi khi nó cũng được gọi là miền đúng của bất phương trình

Giải một bất phương trình nghĩa là tìm tập nghiệm của nó

Phân loại bất phương trình

Các bất phương trình một ẩn đều có thể chuyển về dạng f x( ) > 0

Sau đây là cách giải các bất phương trình dạng f x( ) > 0

Các kết quả tương tự cho các bất phương trình f x( ) ≥ 0

⊕

Nếu ∆ <0

và •

a<0

thì bất phương trình không nghiệm đúng với mọi Giá trị thực của x Tập nghiệm là ∅

thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi

Giá trị thực của x Tập nghiệm là

\ 2

b R a

a

− + ∆

=

Khi đó :

2.2.1 Những khó khăn khi giải phương trình.

2.2.1.1 sai lầm khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Phương trình dạng :

( ) ( ) 0 ( ) 0

6 0

2 6

2 0

2

x x

x x

không thỏa mãn phương trình (3)

Lời giải đúng:

x Pt

Bài tập tương tự: Giải phương trình: ( x+ + 1 1)( x+ 10 4 − =) x

2.2.1.4 Sai lầm khi vận dụng một cách máy móc các phương pháp biến đổi tương đương

Sai lầm thường gặp :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x x x x x

x x

Nguyên nhân sai lầm : x= −1

là ngiệm của phương trình Lời giải đúng :

1

2 1

3 1

x

x x

x x

x x

x x

3 3

3 3

x x

x x x x

Nguyên nhân sai lầm : x= −3

là nghiệm của pt(5) cách giải trên đã làm mất

nghiệm x= −3

( ) ( )

( ) ( )

3 3

3 3

3

x x

x x

x x

0 0

x x

x x x x x

Nguyên nhân sai lầm : phép biến đổi phương trình sau không phải là phép

biến đổi tương đương : x x(2 2 − 3) = x x( − 2) ⇔ x 2x2 − = 3 x x− 2

x

x x x

x x x x x x

x x

2.2.2 Những khó khăn khi giải bất phương trình

2.2.2.1 Sai lầm khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu Bất phương trình dạng:

x x Bpt

S = −∞ − ∪ −( ; 5] ( 4;2]∪(3; +∞)

2 giải bất phương trình :

(8)

Sai lầm thường gặp :

( 3 4) ( 6) 0 3; 3 3; 3 (8) 2 2 3 3 4 6 3 9 3 x x x x x x Bpt x x x x x  + − ≠  ≠ − ≠  ≠ − ≠    ⇔  ⇔  ⇔ ⇔ ≥ + ≤ −   ≥  ≥  Nguyên nhân sai lầm : Với 3 3; 2 x∈ −   ÷   thì x+ > >3 0 4x−6 và bất phương trình nghiệm đúng Cách giải trên đã làm mất nghiệm Lời giải đúng :

( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) 4 6 3 3 3 1 1 (8) 0 0 0 3 4 6 3 4 6 3 4 6 x x x Bpt x x x x x x − − + − ⇔ − ≥ ⇔ ≥ ≥ + − + − + − Lập bảng xét dấu : x −∞

−3

3/2 3 +∞

x−3 - - - 0 +

x+3 - 0 + + +

4x− 6 - - 0 + +

VT - + - 0 +

Dựa vào bảng xét dấu ta chọn nghiệm của bất phương trình là :

S = −( 3;3 / 2)∪ +∞[3; )

KẾT LUẬN :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2.2.2.3 Sai lầm khi giải bất phương trình tích giữa biểu thức chứa căn và

biểu thức không chứa căn

x x

Nguyên nhân sai lầm : x=2

cũng là nghiệm của bất phương trình (10)

2 2

1 3

2 1

KẾT LUẬN :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

Bài tập tương tự : Giải bất phương trình : (2x− 5) 2x2 − 5x+ ≥ 2 0

2.2.2.4 Sai lầm khi không nắm vững phương pháp biến đổi bất phương trình

Bất phương trình dạng :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⊕f x( ) ( )+h x ≥g x( ) ( )+h x ⇔ f x( ) ≥ g x( );

với x thuộc tập xác định của f x( ) ( )+h x ≥ g x( ) ( )+h x

2.2.3 Cách khắc phục

2.2.3.1 Bổ sung, hình thành những kiến thức cơ bản mà học

sinh thiếu hụt2.2.3.2 Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương

pháp2.2.3.3 Đổi mới phương pháp dạy học (lấy học sinh làm trung

tâm)2.2.3.4 Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá2.2.3.5 Có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho

phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài tập phương trình, bất phương trình, cho học sinh tự học tự làm bài tập

2.2.3.6 Phân dạng bài tập và phương pháp giải

3 Kết quả

Sau khi tìm hiểu, điều tra và nghiên cứu tôi nhận thấy nếu thực hiện tốt việc chỉ ra sai lầm của học sinh và đưa ra biện pháp khắc phục tốt thì tỉ lệ học sinh mắc sai lầm trong giải phương trình và bất phương trình sẽ giảm một cách triệt để

CHƯƠNG III KẾT LUẬN

Qua đợt kiến tập vừa qua được chủ nhiệm lớp 10 và quan sát, nghiên cứu , giảng dạy các em tôi nhận thấy được một số khuyết điểm, sai lầm

mà học sinh thường mắc phải trong khi giải bài tập, nhất là những bài toán về phương trình và bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa

ẩn trong dấu căn thức bậc hai

Khi hướng dẫn học sinh chữa bài tập gặp những bài toán về phương trình, bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu và có chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em thấu suốt một cách triệt để , biết phân loại các bài toán, phân tích mỗi loại và tìm

phương pháp vận dụng lý thuyết vào mỗi loại bài Trên cơ sở đó tôi luôn

tích lũy kinh nghiệm sau mỗi lần giúp các em chữa bài tập,tìm tòi, đổi mới và đưa các bài tập áp dụng để giúp các em phần nào hiểu được Qua

đó giúp các em phần nào tự tin hơn khi giải một bài toán mà không sợ mình mắc phải sai lầm nào

Trên đây, tôi chỉ giới thiệu một số dạng toán cơ bản mà các em thường mắc sai lầm khi giải để cho các em nắm được một cách chắc chắn hơn

Mong rằng sẽ nhận được những ý kiến đóng góp, chia sẽ quý báu của các thầy cô cũng như các bạn để đề tài được hoàn thiện và hữu ích hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng

Hùng Thắng, Trần Văn Vuông(2006), Đại số 10 nâng cao,

NXBGD

2 Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng,

Nguyễn Tiến Tài (2006), Đại số 10 cơ bản , NXBGD.

3 Nguyễn Huy Đoan, phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn quỳnh, Đặng

Hùng Thắng, Lưu Xuân Tình (2006) , bài tập Đại số 10 nâng cao, NXBGD.

4 Nguyễn Thái Hòe (1998) Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán, NXBGD.

5 G.Polya (1975) Giải một bài toán như thế nào, NXBGD.

6 Trần Phương, Nguyễn Đức Tần (2004) Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán, NXB Hà Nội