MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học là một môn học khó bởi vì tính chặt chẽ, logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác. Đặc biệt là các phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học và nó là công cụ hữu ích để giải toán.Phép biến hình là một công cụ mới mẻ để giải toán và nó còn giúp chúng ta làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới. Nó giúp chúng ta nhìn nhận sự việc và các hiện tượng trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở để chúng ta tư duy và phát triển.Phép đối xứng tâm là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, tìm tập hợp điểm, chứng minh tính chất,…Tuy nhiên việc vận dụng được nó vào giải toán không phải là việc dễ dàng.Chính vì lí do trên nên tôi chọn đề tài “Một số ứng dụng của phép đối xứng tâm vào giải toán” làm đề tài nghiên cứu của mình.2. Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống hóa kiến thức về phép đối xứng tâm đặc biệt là việc vận dụng các kiến thức của phép đối xứng tâm vào giải toán. Nâng cao hiểu biết của bản thân về phép đối xứng tâm.3. Phạm vi nghiên cứuNghiên cứu định nghĩa, tính chất của phép đối xứng tâm và một số ứng dụng của phép đối xứng tâm vào giải toán.4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu và mạng internet5. Cấu trúc của đề tàiĐề tài được trình bày theo bố cục sau:Chương 1: Cơ sở lí thuyếtChương 2: Một số ứng dụng của phép đối xứng tâmChương 3: Bài tập vận dụng
Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, hình học môn học khó tính chặt chẽ, logic tính trừu tượng hình học cao môn học khác Đặc biệt phép biến hình sơ cấp phần quan trọng hình học công cụ hữu ích để giải toán Phép biến hình công cụ mẻ để giải toán giúp làm quen với phương pháp tư suy luận Nó giúp nhìn nhận việc tượng sống với vận động biến đổi chúng để nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo sở để tư phát triển Phép đối xứng tâm phép biến hình sơ cấp vận dụng để giải toán dựng hình, tìm tập hợp điểm, chứng minh tính chất,… Tuy nhiên việc vận dụng vào giải toán việc dễ dàng Chính lí nên chọn đề tài “Một số ứng dụng phép đối xứng tâm vào giải toán” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nhằm hệ thống hóa kiến thức phép đối xứng tâm đặc biệt việc vận dụng kiến thức phép đối xứng tâm vào giải toán - Nâng cao hiểu biết thân phép đối xứng tâm Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu định nghĩa, tính chất phép đối xứng tâm số ứng dụng phép đối xứng tâm vào giải toán Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu mạng internet Cấu trúc đề tài Đề tài trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Cơ sở lí thuyết Chương 2: Một số ứng dụng phép đối xứng tâm Chương 3: Bài tập vận dụng Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 Phép đối xứng tâm 1.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành M’sao cho I trung điểm đoạn thẳng MM’ gọi phép đối xứng tâm I Điểm I gọi tâm đối xứng Phép đối xứng tâm I kí hiệu ĐI 1.1.2 Tính chất Tính chất 1: Phép đối xứng tâm bảo tồn khoảng cách hai điểm Tính chất 2: Phép đối xứng tâm biến: - Đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó; - Đoạn thẳng thành đoạn thẳng nó; - Tam giác thành tam giác nó; - Đường tròn thành cđường tròn có bán kính 1.1.3 Biểu thức tọa độ Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I (a,b) Nếu phép đối xứng tâm Đ I biến điểm M(x,y) thành điểm M’(x’,y’) thì: x ' = 2a − x y ' = 2b − y Công thức gọi biểu thức tọa độ phép đối xứng tâm ĐI 1.1.4 Tâm đối xứng hình Điểm O gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm ĐO biến hình H thành nó, tức ĐO(H) = H Chương II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM 2.1 Một số ứng dụng phép đối xứng tâm 2.1.1 Tìm ảnh hình qua phép đối xứng tâm a) Bài toán: Cho điểm I (a, b) hình (H) có phương trình f ( x, y ) = Tìm phương trình ảnh (H’) hình (H) qua phép đối xứng tâm I b) Phương pháp chung Gọi M(x, y) tùy ý (H): f ( x, y ) = Gọi M’(x’, y’) ảnh M qua phép đối xứng tâm I Dùng biểu thức tọa x ' = 2a − x độ Ta có M (2a-x’, 2b-y’) y ' = 2b − y M ∈ ( H ) thay tọa độ M vào (H) ta có (H’): g ( x ', y ' ) = (H’) ảnh (H) qua phép đối xứng tâm I Vậy (H’) tập hợp tất điểm M’ Các trường hợp đặc biệt - (H) đường thẳng (gọi đường thẳng (d)) Ta thực cách sau: Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Cách 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm Sử dụng tính phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng có giá song song trùng với Cách 3:Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm +) Chọn hai điểm M (x0, y0), N (x1, y1) thuộc đường thẳng d +) Dùng biểu thức tọa độ ta có: M’ (2a-x 0, 2b-y0) N’ (2a-x1, 2b-y1) ảnh M N qua phép đối xứng tâm I Vậy ảnh d qua phép đối xứng tâm I d’ có phương trình là: d ': x − ( 2a − x1 ) y − ( 2b − y1 ) = ( 2a − x0 ) − ( 2a − x1 ) ( 2b − y0 ) − ( 2b − y1 ) - (H) đường tròn (gọi đường tròn (C)) Ta dùng cách sau: Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Phương pháp làm giống phương pháp chung Cách 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm Sử dụng tính chất: Phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có bán kính +) Xác định tâm O ( x0 , y0 ) bán kính đường tròn (C) +) dùng biểu thức tọa độ ta có tọa độ tâm O ' ( 2a − x0 ,2b − y0 ) ảnh tâm O qua phép đối xứng tâm I +) Đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm I có tâm O ' ( 2a − x0 ,2 b− y0 ) bán kính R Vậy phương trình đường tròn (C’) là: (C’): x − ( 2a − x0 ) + y − ( 2b − y0 ) = R 2 c) Ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I ( 1,2 ) đường thẳng d : x − y + = Hãy xác định phương trình đường thẳng d’ảnh d qua phép đối xứng tâm I Giải Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ Gọi A ( x, y ) điểm thuộc đường thẳng d A ' ( x ', y ' ) thuộc đường thẳng d’ ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I Khi đó: x ' = 2.1 − x x = − x ' ⇔ y ' = 2.2 − y y = − y ' Thay x, y vào phương trình đường thẳng d ta có: ( − x ') − ( − y ' ) + = ⇔ −3 x '+ y '+ 11 = ⇔ x '− y '− 11 = Vậy phương trình đường thẳng d’ là: d ': x '− y '− 11 = Cách 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm Gọi d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I Do d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I nên d’ phải có giá song song trùng với d Suy phương trình đường thẳng d’ là: d ' : 3x '− y '+ c = Gọi M ( 0;9 ) ∈ d M ' ( x ', y ') ảnh M qua phép đối xứng tâm I Suy x ' = 2.1 − x ' = ⇔ ⇒ M ' ( 2; −5 ) M ' ∈ d ' Ta có: y ' = 2.2 − y ' = −5 Thay M’ vào phương trình d’ ta có: 3.2 − ( −5 ) + c = ⇔ c = −11 Vậy phương trình đường thẳng d’ là: d ': x '− y '− 11 = Cách 3: Viết phương trình đường thẳng qua hia điểm M ( 0;9 ) ∈ d Lấy Gọi M’ N’ ảnh M, N qua phép đối N ( −3;0 ) ∈ d xứng tâm I M ' ( 2; −5 ) Suy ra: N ( 5;4 ) Gọi d’ ảnh d qua phép đối xứng tâm I Vậy d’ đường thẳng qua hai điểm M’ N’ Phương trình đường thẳng d’ là: d ': x '− y '− 11 = Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M ( 1;2 ) đường tròn (C) có 2 phương trình x + y + x − y + = Hãy xác định đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M Giải Cách 1: Sử dụng công thức tọa độ Gọi A ( x, y ) điểm thuộc đường tròn (C) A ' ( x ', y ' ) ảnh điểm A qua phép đối xứng tâm M Khi A’ thuộc đường tròn (C’) Theo biểu thức tọa độ ta có: x ' = 2.1 − x x = − x ' ⇔ 2.2 − y 4 − y ' Thay x; y biểu thức vào phương trình đường tròn (C) ta được: ( − x ') + ( − y ') + ( − x ') − ( − y ') + = ⇔ − x '+ x '2 + 16 − y '+ y '2 + − x '− 24 + y '+ = ⇔ x '2 + y '2 − x '− y '+ = ⇔ ( x '− 3) + ( y '− 1) = 2 Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm là: ( C ') : ( x − 3) + ( y − 1) = Cách 2: sử dụng tính chất phép đối xứng tâm 2 Đường tròn ( C ) : x + y + x − y + = hay ( C ) : ( x + 1) + ( y − 3) = 2 Suy đường tròn (C) có tâm I ( −1;3) bán kính R=2 Phép đói xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có bán kính Do đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm M có bán kính R’=R=2 Gọi I’(x’, ,y’) tâm đường tròn(C’) Do I’ ảnh I qua phép đối xứng tâm M Ta có: x ' = 2.1 − ( −1) x ' = ⇔ ⇔ I ' ( 3;1) y ' = y ' = 2.2 − Vậy phương trình đường tròn (C’) cần tìm là: ( C ') : ( x − 3) + ( y − 1) = 2.1.2 Chứng minh tính chất hình học tính yếu tố hình a) Phương pháp chung Bài toán chứng minh tính chất hình học Bước 1: Xác định nhiều phép đối xứng tâm để thiết lập mối liên hệ yếu tố Bước 2: Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm để giải yêu cầu toán - Bài toán tính yếu tố hình Bước 1: Xác định yếu tố biết toán Bước 2: Tìm mối liên hệ yếu tố cho với yếu tố cần tính toán Bước 3: Thiết lập phép đối xứng tâm thích hợp Bước 4: Dựa vào liệu thiết lập để tính toán yếu tố cần tính toán b) Ví dụ Ví dụ 3: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến đường phân giác xuất phát từ đỉnh mà trùng tam giác tam giác cân Giải A C B E D Giả sử ∆ABC có đường trung tuyến AE đồng thời đường phân giác Suy E trung điểm BC hay B C đối xứng qua E Gọị D=ĐE(A) ⇒ Tứ giác ABDC hình bình hành tâm E · · · ⇒ AC=BD (1) , BDA ⇒ ∆BAD cân B ⇒ BD=BA (2) = DAC = BAD Từ (1) (2) suy ∆ABC cân A ⇒ đfcm 2.1.3 Tìm tập hợp tất điểm M thỏa mãn số tính chất cho trước (bài toán quỹ tích) a) Phương phápchung Bước 1: Từ giả thiết chọn điểm E di động cho EM nhận điểm cố định I làm trung điểm Bước 2: Xác định hình (H) quỹ tích điểm E Bước 3: Kết luận tập hợp điểm M hình (H’) ảnh hình (H) qua phép đối xứng tâm I b) Ví dụ Ví dụ 4: Cho tam giác ABC đường tròn (O) Trên cạnh AB ta lấy điểm E cho BE=2AE F trung điểm cạnh AC I đỉnh thứ tư hình bình hành AEIF với điểm P đường tròn (O) ta dựng điểm Q cho uuur uuur uuur uur PA + PB + 3PC = IQ Tìm tập tập hợp điểm Q P thay đổi Giải A F E I C B P uuur uuur uuur r Gọi K điểm thỏa mãn điều kiện KA + KB + 3KC = uuur uuur uuur Suy ra: AK = KB + 3KC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ⇒ AK = KA + AB + KA + AC ⇒ AK = AB + AC ( 1) ( ) ( ) uur uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur AI = AE + AF = AB + AC ⇒ AI = AB + AC ( ) Ta có: uur uur uur r Từ (1) (2) suy K ≡ I ⇒ IA + IB + 3IC = Theo giả thiết ta có: uuur uuur uuur uur uur uur uur uur uur uur uur PA + PB + 3PC = IQ ⇒ PI + IA + PI + IB + 3PI + 3IC = IQ uur uur uur uur ⇒ PI = IQ ⇒ IP = − IQ Suy P Q đối xứng qua I Vậy tập hợp tất điểm Q đường tròn (O’) ảnh (O) qua ĐI 2.1.4 Bài toán cực trị a) Phương phápchung Sử dụng tính chất phép đối xứng tâm - Khi tìm vị trí hình H mền D cho biểu thức f có giá trị lớn ta phải chứng minh được: Bước 1: Với vị trí H miền D f ≥ m (với m số) Bước 2: Xác định vị trí H miền D cho f = m - Khi tìm vị trí hình H miền D ch biểu thức f có giá trị nhỏ ta phảo chứng tỏ được: Bước 1: Với vị trí hình H miền D f ≤ m ( với m số) Bước 2: Xác định vị trí H miền D cho f = m b) Ví dụ Ví dụ 5: cho tam giác ABC điểm O nằm tam giác Gọi A’,B’, C’ ảnh A, B, C qua phép đối xứng tâm O T đa giác tạo phần chung hai tam giác ABC A’B’C’ Tìm vị trí O cho T có diện tích lớn Giải C' B' A H O K A' B C Ta có hai trường hợp TH1: A’ ảnh A qua ĐO nằm tam giác Vì ĐO biến A thành A’, B thành B’ nên AB // A′B ' ( 1) Vì ĐO biến A thành A’, C thành C’ nên AC // A′C ' ( ) Từ (1) (2) suy T hình bình hành có hai cạnh liên tiếp nằm AB, AC đường chéo AA’ Gọi M giao điểm AA’ với BC Dựng hình bình hành AKMH có MK //AC MH // AB (K∈ AB, H ∈ AC) Suy T bị chứa hình bình hành AKMH Do đó: S( T ) ≤ S AKMH Ta có : S AHK AK AH = S ABC AB AC AK CM AH BM = , = AB BC AC BC Do MK //AC , MH // AB nên Và AK AH + =1 AB AC Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: AK AH AK AH ≤ + ÷ = AB AC AB AC ⇒ S AHK ≤ S ABC ⇔ S AKMH ≤ S ABC Vậy diện tích (T) lớn phần hai diện tích ABC Dấu xảy AK AH = = suy A ' ≡ M , M trung điểm BC suy O trung AB AC điểm A A C' Q R B' O P S B N M A' C TH 2: A’, B’, C’ nằm tam giác ABC Khi T lục giác Phép đối xứng tâm ĐO biến A, B, C thành A’, B’, C’ nên T lục giác có cặp cạnh đối song song Gọi S1, S2, S3 diện tích tam giác bị cắt từ tam giác ABC đường thẳng B’C’, C’A’, A’B’ S diện tích tam giác ABC 2 S AQ S2 BP S3 PQ = = Ta có: = ÷, ÷, ÷ S AB S AB S AB AQ BP PQ Suy ra: S1 + S2 + S3 = S ÷ + ÷ + ÷ AB AB AB Áp dụng bắt đẳng thức bunhiacopxki ta có: S AQ BP PQ S S1 + S2 + S3 ≥ + + ÷ = AB AB AB Vậy ( S1 + S2 + S3 ) = S AQ BP PQ = = xảy hay O trọng tâm AB AB AB cảu tam giác ABC Diện tích cuả T lớn S1 + S2 + S3 nhỏ Vậy diện tích T lớn S 2.1.5 Bài toán dựng hình a) Phương phápchung Giải toán dựng hình ta thực theo bước sau: Bước 1: Phân tích Giả sử dựng hình thỏa mãn điều kiện đầu Ta tìm điều kiện xác định phận hình cần dựng (phần thể điều kiện cần) Bước 2: Cách dựng Dựa vào bước để dựng hình phép đối xứng tâm phù hợp (phần thể điều kiện đủ) Bước 3: Chứng minh Khẳng định hình thu từ cách dựng nghiệm Chứng tỏ điều cần điều kiện đủ Bước 4: Biện luận Bài toán có nghiệm: số nghiệm Bài toán vô nghiệm b) Ví dụ Ví dụ 6: cho đường tròn ( O ) , đường thẳng d điểm chung với đường tròn ( O ) điểm H Hãy dựng hình bình hành ABCD cho hai đỉnh liên tiếp A,B nằm d hai đỉnh lại nằm ( O ) nhận H làm giao điểm đường chéo Hãy xác định vị trí H để hai đỉnh hình bình hành để d cách xa Giải d C d' D H A B Phân tích : Gải sử dựng hình bình hành ABCD thõa mãn A, B thuộc d H giao điểm hai đường chéo hình bình hành ĐH(A) = C, ĐH(B) = D Kí hiệu d’ ảnh d qua ĐH suy d Pd ' d qua C,D Cách dựng: Dựng d’ ảnh d qua ĐH, d '∩ ( O ) = { C , D} Dựng CH ∩ d = A, DH ∩ d = B Vậy ABCD hình cần dựng Chứng minh: Theo cách dựng ta có: ĐH-1 biến d’ thành d mà C,D thuộc d’ nên ĐH-1 biến C, D thành A, B ⇒ A, B thuộc d ABCD hình bình hành Biện luận: Bài toán có nghiệm hình d’ cắt (O) hai điểm phân biệt Bài toán vô nghiệm d’ không cắt (O) cắt (O) điểm AB lớn CD lớn CD đường kính (O), trường hợp ảnh tâm (O) qua Đ H phải thuộc d Gọi O’ giao điểm OH d h trung điểm OO’ Chương 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình x + y − = điểm A ( 2;3) Tìm ảnh d trường hợp sau: a) Phép đối xứng tâm gốc tọa độ b) Phép đối xứng tâm A 2 Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x + y + x − y + = điểm B ( −1;2 ) Hãy tìm ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm B Bài 3: Cho đường tròn (C) có tâm O dây cung AB Gọi x, y hai đường thẳng vuông góc với AB tạ đầu mút dây cung Chứng minh x, y đối xứng qua tâm O Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD A’B’C’D’ A ' ∈ AB , B ' ∈ BC , C ' ∈ CD Chứng minh hai hình bình hành có tâm Bài 5: Cho ∆ABC Hãy tìm đa giác lồi có tâm đối xứng chứa (các đỉnh cạnh tam giác nằm biên đa giác) tam giác cho có diện tích nhỏ Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) BC cố định A di động đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H tam giác ABC Bài 7: Qua điểm A cho trước, kẻ đường thẳng cho đoạn thẳng xác định giao điểm với đường thẳng đường tròn cho trước nhận O làm trung điểm KẾT LUẬN Quá trình học tập nghiên cứu số ứng dụng phép đối xứng tâm giúp nhiều bạn sinh viên tìm thấy niềm vui, hứng thú học toán Dẫu biết hiểu biết hạn hẹp, nhiên qua đề tài rút cho nhiều kinh nghiệm, nhiều hiểu biết lạ Đề tài trình bày cách có hệ thống khái niệm sở, tính chất số ứng dụng phép đối xứng tâm Tôi hi vọng khối lượng kiến thức nhỏ gọn phần giúp bạn học sinh, sinh viên việc giải khó khăn gặp toán phép đối xứng tâm Tuy nhiên đề tài không tránh khỏi thiếu sót hạn chế, mong đóng góp chân thành quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Bộ giáo dục đào tạo, Hình học 11, NXB Giáo dục Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải toán hình học, NXB Giáo dục Lê Hoành Phò, Hình học 11 tập phương pháp giải, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề, NXB Giáo dục, năm2010 MỤC LỤC Trang [...]... lớn nhất khi và chỉ khi CD là đường kính của (O), trong trường hợp này ảnh của tâm (O) qua Đ H phải thuộc d Gọi O’ là giao điểm của OH và d thì h là trung điểm của OO’ Chương 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Cho đường thẳng d có phương trình x + 2 y − 2 = 0 và điểm A ( 2;3) Tìm ảnh của d trong các trường hợp sau: a) Phép đối xứng tâm là gốc tọa độ b) Phép đối xứng tâm A 2 2 Bài 2: Cho đường tròn (C) có phương... cứu về một số ứng dụng của phép đối xứng tâm đã giúp tôi cũng như nhiều bạn sinh viên tìm thấy niềm vui, sự hứng thú học toán Dẫu biết rằng hiểu biết của mình còn rất hạn hẹp, tuy nhiên qua đề tài này tôi cũng đã rút ra cho mình nhiều kinh nghiệm, nhiều hiểu biết mới lạ Đề tài trên đây trình bày một cách có hệ thống những khái niệm cơ sở, tính chất và một số ứng dụng của phép đối xứng tâm Tôi hi vọng... ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm B Bài 3: Cho đường tròn (C) có tâm O và dây cung AB Gọi x, y là hai đường thẳng vuông góc với AB tạ các đầu mút của dây cung đó Chứng minh rằng x, y đối xứng nhau qua tâm O Bài 4: Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ trong đó A ' ∈ AB , B ' ∈ BC , C ' ∈ CD Chứng minh rằng hai hình bình hành trên có cùng tâm Bài 5: Cho ∆ABC Hãy tìm một đa giác lồi có tâm. .. sinh, sinh viên trong việc giải quyết những khó khăn khi gặp bài toán về phép đối xứng tâm Tuy nhiên trong đề tài sẽ không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế, rất mong sự đóng góp chân thành của quý thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Bộ giáo dục đào tạo, Hình học 11, NXB Giáo dục 2 Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học, NXB... giao điểm các đường chéo Hãy xác định vị trí của H để hai đỉnh của hình bình hành để d cách nhau xa nhất Giải d C d' D H A B Phân tích : Gải sử dựng được hình bình hành ABCD thõa mãn A, B thuộc d H là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ĐH(A) = C, ĐH(B) = D Kí hiệu d’ là ảnh của d qua ĐH suy ra d Pd ' và d đi qua C,D Cách dựng: Dựng d’ là ảnh của d qua ĐH, d '∩ ( O ) = { C , D} Dựng CH ∩... hai diện tích ABC Dấu bằng xảy ra khi AK AH 1 = = suy ra A ' ≡ M , M là trung điểm của BC suy ra O là trung AB AC 2 điểm của A A C' Q R B' O P S B N M A' C TH 2: A’, B’, C’ nằm ngoài tam giác ABC Khi đó T là một lục giác Phép đối xứng tâm ĐO biến A, B, C lần lượt thành A’, B’, C’ nên T là một lục giác có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau Gọi S1, S2, S3 là diện tích các tam giác bị cắt ra từ tam... một đa giác lồi có tâm đối xứng chứa trong nó (các đỉnh các cạnh của tam giác có thể nằm trên biên đa giác) tam giác đã cho và có diện tích nhỏ nhất Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) BC cố định và A di động trên đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC Bài 7: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi các giao điểm của nó với một đường... + ÷ AB AB AB Áp dụng bắt đẳng thức bunhiacopxki ta có: 2 S AQ BP PQ S S1 + S2 + S3 ≥ + + ÷ = 3 AB AB AB 3 Vậy min ( S1 + S2 + S3 ) = S AQ BP PQ = = xảy ra khi hay O là trọng tâm 3 AB AB AB cảu tam giác ABC Diện tích cuả T lớn nhất khi S1 + S2 + S3 nhỏ nhất Vậy diện tích của T lớn nhất bằng 2 S 3 2.1.5 Bài toán dựng hình a) Phương phápchung Giải bài toán dựng hình ta thực hiện... Phân tích Giả sử đã dựng được hình thỏa mãn điều kiện đầu bài Ta tìm điều kiện xác định từng bộ phận hình cần dựng (phần này thể hiện điều kiện cần) Bước 2: Cách dựng Dựa vào bước 1 để lần lượt dựng các hình bằng các phép đối xứng tâm phù hợp (phần này thể hiện điều kiện đủ) Bước 3: Chứng minh Khẳng định hình thu được từ cách dựng là nghiệm Chứng tỏ cả điều cần và điều kiện đủ Bước 4: Biện luận Bài... học 11, NXB Giáo dục 2 Nguyễn Đăng Phất, Các phép biến hình trong mặt phẳng và ứng dụng giải toán hình học, NXB Giáo dục 3 Lê Hoành Phò, Hình học 11 bài tập và phương pháp giải, NXB Đại học quốc gia Hà Nội 4 Đỗ Thanh Sơn, Phương pháp giải toán hình học 11 theo chủ đề, NXB Giáo dục, năm2010 MỤC LỤC Trang