1. Lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Lịch sử toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học. Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới quan. Toán học là khoa học thuộc vào loại cổ nhất. Do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai, con người đã có kiến thức toán học từ rất sớm. Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối quan hệ chặt chẽ với những nhu cầu của kỹ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán ngày càng phong phú. Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau bằng con đường thuần túy logic tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở rộng. Lịch sử cho hay nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kỹ thuật khá lâu có khi đến hàng thế kỷ. Vì vậy, quá trình hình thành, phát triển và những thành tựu toán học trong từng giai đoạn toán học này cần có nhận thức rộng rãi. Thực tế đã chứng minh, toán học có phát triển đến đâu thì những thành tựu của các nhà toán học trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển là sự hình thành các môn cơ sở của nền toán học cao cấp cổ điển. Với hình học giải tích và giải tích các đại lượng vô cùng bé, toán học đã thay đổi về chất, trở thành toán học của những đại lượng biến thiên. Với mong muốn tổng hợp lại những kiến thức cũng như đi sâu tìm hiểu về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển nên tôi chọn đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu về quá trình hình thành và những thành tựu của các nhà toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Nâng cao sự hiểu biết của bản thân. 3. Phạm vi nghiên cứu - Quá trình hình thành và phát triển của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Những thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. 4. Đóng góp của đề tài - Giúp sinh viên hiểu được quá trình hình thành, trào lưu toán học cũng như các thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực, sáng tạo. 5. Cấu trúc của đề tài Đề tài được trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Khái quát chung về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Chương 2: Trào lưu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Chương 3: Thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.
MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng sống Lịch sử toán học (hay lịch sử toán) ngành toán học Đối tượng toán học túy quan hệ số lượng hình dạng không gian giới quan Toán học khoa học thuộc vào loại cổ Do ảnh hưởng hoạt động sản xuất sơ khai, người có kiến thức toán học từ sớm Phạm vi quan hệ số lượng hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng mở rộng, mối quan hệ chặt chẽ với nhu cầu kỹ thuật khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát toán ngày phong phú Bắt nguồn từ thực, quan hệ số lượng hình dạng không gian trí óc người trừu tượng hóa nghiên cứu mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ chúng với đường túy logic tính trừu tượng toán học cao phạm vi ứng dụng toán học mở rộng Lịch sử cho hay nhiều phát minh toán học trước khoa học kỹ thuật lâu có đến hàng kỷ Vì vậy, trình hình thành, phát triển thành tựu toán học giai đoạn toán học cần có nhận thức rộng rãi Thực tế chứng minh, toán học có phát triển đến đâu thành tựu nhà toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển hình thành môn sở toán học cao cấp cổ điển Với hình học giải tích giải tích đại lượng vô bé, toán học thay đổi chất, trở thành toán học đại lượng biến thiên Với mong muốn tổng hợp lại kiến thức sâu tìm hiểu giai đoạn toán học cao cấp cổ điển nên chọn đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển” làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu trình hình thành thành tựu nhà toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển - Nâng cao hiểu biết thân Phạm vi nghiên cứu - Quá trình hình thành phát triển giai đoạn toán học cao cấp cổ điển - Những thành tựu toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Đóng góp đề tài - Giúp sinh viên hiểu trình hình thành, trào lưu toán học thành tựu toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển - Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia hoạt động môn học, có lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực, sáng tạo Cấu trúc đề tài Đề tài trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Khái quát chung giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Chương 2: Trào lưu toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Chương 3: Thành tựu toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Chương KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN Vào kỷ thứ XVII, nước Tây Âu có tiến sâu sắc kinh tế, trị xã hội Đó yếu tố quan trọng thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ 1.1 Về trị Những cách mạng tư sản Tây Âu Bắc Mỹ bước thiết lập hệ thống trị tư sản quốc gia phát triển( Anh, Pháp, Đức, Mỹ) lan tỏa ảnh hưởng nước mức độ khác châu Âu, châu Mỹ Latinh châu Á Cùng với hình thành máy nhà nước tư sản xuất trào lưu tư tưởng quyền người quyền công dân; học thuyết thể chế trị quyền tự dân chủ, bật triết học Ánh sáng; dòng văn học lãng mạn thực phản ánh vận động lớn lao 1.2 Về kinh tế Thời kỳ đánh dấu cách mạng công nghiệp, mở đầu việc phát minh sử dụng máy nước vào sản xuất nước Anh cuối kỷ XVIII Một cách mạng diễn rầm rộ châu Âu làm thay đổi cách thức sản xuất từ lao động tay, sang sử dụng máy móc bước hình thành cấu công nghiệp hoàn chỉnh; từ sản xuất quy mô nhỏ lên quy mô lớn với đời nhà máy khu công nghiệp, khiến cho loài người vòng chưa đầy trăm năm, sáng tạo nên lực lượng vật chất to lớn đồ sộ tất hệ trước cộng lại Chính thành tựu kinh tế kỹ thuật khẳng định ưu chế độ tư chế độ phong kiến, tạo nên bước ngoặt “từ sóng nông nghiệp sang sóng công nghiệp” 1.3 Về xã hội Có biến động lớn lao đời sống xã hội với tăng dân số, phát triển đô thị, pháp lý hóa chế độ gia đình chồng vợ điều quan trọng hình thành giai cấp mới: giai cấp tư sản giai vô sản Giai cấp tư sản công thương nghiệp giai cấp vô sản công nghiệp – hệ tất yếu cách mạng công nghiệp – trở thành hai gai cấp xã hội tư chủ nghĩa, có mối quan hệ khăng khít guồng máy sản xuất kinh tế, đồng thời ẩn mối mâu thuẫn quyền lợi người thống trị người bị trị, tư sản vô sản Hình thành trào lưu tư tưởng như: xã hội chủ nghĩa tiền công nghiệp (Moro, Melie, Babop,…) xã hội chủ nghĩa không tưởng (Xanh Ximong, Phuarie, …) chủ nghĩa khoa học Mac Ăngghen Chương TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 2.1 Thế kỷ XVII Thế kỷ XVII kỷ bật lịch sử toán học Trong lịch sử toán học, kỷ XVII chiếm vị trí đặc biệt, mở giai đoạn mới, giai đoạn toán học đại lượng biến thiên Ở kỷ này, phương pháp toán học tiếp tục sử dụng mạnh mẽ vào khoa học tự nhiên, trước hết vào học Ở đầu kỷ này, Napier phát minh logarit Sự phát minh logarit, quy tắc phần vòng tròn tái tạo công thức dùng để giải tam giác cầu xiên Nó dùng làm phương tiện cho phép nhân, chia, lấy bậc hai số Giải tích toán học bắt đầu xuất hình thức khác Đầu tiên vào khoảng năm 1665 đến 1666, công trình Niutơn, phép tính tích phân đời dạng lý thuyết thông lượng Từ giải tích, người ta nói đến toán biến phân, mà việc giải chúng sau, làm xuất tính biến phân, phận đời sớm giải tích hàm Ở Đức, phát triển giải tích nhiều ký hiệu giải tích sử dụng ngày Và gần cuối kỷ này, lĩnh vực lớn hình học mở ra, hình học giải tích sở cho lý thuyết số đại hình thành Môn hình học giải tích trình bày phương pháp biểu thị kích thước, dạng dạng tính chất hình đối tượng hệ thức số, thực chất phương pháp tọa độ Sự phát minh hình học giải tích mở môn hình học hình học xạ ảnh Các nhà toán học quan tâm đến kết hợp phương trình đại số đường cong; tức sử dụng phương pháp có tính định hướng vào nghiên cứu hình học Chính mà họ xây đựng nên môn hình học giải tích Sự khác hai ngành hình học xạ ảnh nhánh hình học nói chung hình học giải tích phương pháp hình học Sự phát minh hình học giải tích tạo thay đổi đối tượng nghiên cứu toán học Hình học họa hình đánh giá quan trọng kiến trúc, kỹ thuật khí,…do nhà toán học Monggio (Gaspard Monge, 1746-1818) đặt móng Monggio xây dựng hình học họa hình thành lí luận có tính ứng dụng cao Đến cuối kỷ XVII sau hàng loạt công trình toán học dọn đường nhà toán học khác kỷ môn phép tính vi-tích phân mang tầm cỡ kỷ sáng tạo Sự phát minh phép tính vi-tích phân: Sự đời phép tính vi-tích phân đưa toán học sang giai đoạn toán cao cấp, gần kết thúc toán học sơ cấp Từ đối tượng nghiên cứu số hình dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trình vận động biến đổi Phép tính vi, tích phân sáng tạo để giải bốn vấn đề khoa học kỷ XVII sau: +) Vấn đề thứ nhất, cho vật thể chuyển động theo công thức hàm số theo thời gian, tìm vận tốc gia tốc thời điểm bất kỳ; ngược lại, cho biết gia tốc vật thể chuyển động hàm theo thời gian, tìm vận tốc quãng đường +) Vấn đề thứ hai là, vấn đề tìm tiếp tuyến đường cong Bài toán có ứng dụng quan trọng khoa học như: quang học, nghiên cứu chuyển động, hướng chuyển động +) Vấn đề thứ ba là, tìm giá trị cực đại cực tiểu hàm số +) Vấn đề thứ tư là, tìm chiều dài đường cong Phép tính vi phân, tích phân ngành toán học bao gồm hai tư tưởng phép tính vi phân phép tính tích phân với khái niệm sở là: khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số liên tục Trong kỷ XVII đại số ngày thoát khỏi yếu tố hình học Trong công cụ ký hiệu chữ củng cố Lý thuyết tổng quát phương trình xác định Lý thuyết số phong phú thêm nghiên cứu xuất chúng Phécma, định phát triển sau Đặc biệt, có hai định lý ông phát biểu mà không chứng minh n n n +) Định lý Phécma lớn: “Phương trình Điôphăng x + y = z , n > nguyên, nghiệm nguyên dương” +) Định lý Phécma nhỏ: “Nếu p số nguyên tố, a số nguyên không chia hết n −1 n −1 cho p a ≡ 1( mod p ) , nghĩa a − chia hết cho p Khoảng kỷ XVII, lý thuyết xác suất mà toán nghiên cứu với lý thuyết tổ hợp bắt đầu hình thành môn khoa học 2.2 Thế kỷ XVIII Toán học kỷ XVII, người ta dành cho việc tìm tòi phương pháp có hiệu lực phép tính vi-tích phân, kỷ đa phần toán học mục tiêu lĩnh vực học thiên văn học Nửa sau kỷ XVIII, logarit giữ vai trò đặc biệt quan trọng Các bảng logarit thước tính logarit phổ biến toàn giới công cụ hỗ trợ không thay tính toán Nó coi phương tiện trung gian làm giảm nhẹ phép tính lượng giác thiên văn Chương THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN Thế kỷ XVII kỷ bật lịch sử toán học Ở đầu kỷ này, Nepier phát minh logarit, Harriot Oughtred đặt móng khoa học động lực, Kepler công bố định luật chuyển động hành tinh Vào gần cuối kỷ này, Desargues Pascal mở lĩnh vực hình học, Desscartes Fermat đưa hình học giải tích, Fermat đặt sở lý thuyết số đại, Huygens có đóng góp bật cho lý thuyết xác suất vài lĩnh vực khác Vào cuối kỷ XVII, sau hàng loạt công trình khoa học dọn đường nhà khoa học khác kỷ phép tính vi phân, tích phân mang tầm cỡ kỷ Newton Leibniz Như vậy, kỷ XVII nhiều lĩnh vực quan trọng mở cho nghiên cứu toán học 3.1 Các thành tựu giải tích 3.1.1 Sự phát minh logarit Jonh Napier (1550-1617) người Scotland, ông phát minh logarit, quy tắc phần hình tròn để tái tạo công thức dùng để giải tam giác cầu vuông góc; tương tự Napeir hữu ích việc giải tam giác cầu xiên; Napier xương Nepier dùng làm phương tiện cho phép nhân, chia, lấy bậc hai số Các tính chất logarit trình bày ví dụ số Từ cách viết chữ (năm 1648) chuyển sang cách viết tắt (năm 1742), chẳng hạn Lab = La + Lb Trong thời gian phép tính logarit chưa xem phép tính đại số Ơle, vào năm 1748, định nghĩa logarit phép tính ngược phép tính nâng lên lũy thừa coi logarit lũy thừa Sự phân biệt ký hiệu Ln log cho logarit tự nhiên logarit thập phân có từ năm 1821 (do Côsi) Phát minh logarit Napier hưởng ứng đầy nhiệt tình khắp châu Âu Đối với thiên văn học, khám phá nảy lúc, Laplace xác nhận việc phát minh logarit “đã giảm lao động cho nhà thiên văn học nửa đời mình” 3.1.2 Sự phát minh phép tính vi-tích phân Đây thành tựu bật kỷ XVII, phát minh Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibnitz Sự đời phép tính vi tích phân đưa toán học sang giai đoạn toán học cao cấp, gần kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp Phép tính vi phân, tích phân sáng tạo nhằm giải vấn đề khoa học kỷ XVII Trước Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibnits có nhiều người có đóng góp quan trọng theo Richey, ngành giải tích (do Newton Leibniz phát minh) ngành nghiên cứu tính chất đường cong tiếp tuyến, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, chiều dài cung, độ cong, trọng tâm nhờ dùng kỹ thuật giải tích nghĩa kỹ thuật giống đại số) để áp dụng vào tất đường cong cách có quy tình thuật toán Việc tính toán (hay cách thức tính toán) thu hẹp tất câu hỏi vào hai trình liên hệ ngược với nhau; gọi phép tính vi phân phép tính tích phân Trong lịch sử, phép tính vi tích phân thức xuất đồng thời hai dạng: Dạng lý thuyết thông lượng công trình Niutơn người kế tục ông Anh dạng phép tính vi phân Lépnít, truyền bá trước hết lục địa châu Âu +) Lý thuyết thông lượng Niutơn Niutơn (Issac Newton, 1643 – 1727) sinh Anh Ông hoạt động khoa học lĩnh vực vật lý, học, thiên văn toán học Ông sáng tạo phép tính vi phân tích phân dạng “ lý thuyết thông lượng” Trong lý thuyết thông lượng, Niuton nghiên cứu đại lượng biến thiên, đưa vào trừu tượng hóa chuyển động học liên tục thuộc dạng Chúng gọi thông lượng Mọi thông lượng biến lượng phụ thuộc vào đối số thời gian Tiếp theo Niuton đưa vào khái niệm tốc độ chảy thông lượng, tức đạo hàm thông lượng theo thời gian, chúng gọi thông vận Vì thông vận đại lượng biến thiên nên ta tìm thông vận thông vận, ký hiệu thông lượng y kí hiệu thông lượng thú là, thứ hai, thứ ba y ', y '', y ''' Muốn tính tốc độ tức thời, tức thông vận, cần thay đổi vô bé thông lượng mà Niuton gọi mômen Trong lí thuyết thông lượng, Niuton giải hai toán chính, phát biểu ngôn ngữ học ngôn ngữ toán học: Xác định tốc độ chuyển động thời điểm cho theo đoạn đường cho (bài toán thuận lí thuyết thông lượng) Nói cách khác xác định hệ thức thông vận từ hệ thức cho thông lượng Đây vi phân hàm số ẩn dạng tổng quát nhận phương trình vi phân Xác định đoạn đường thời gian cho theo tốc độ chuyển động cho trước (bài toán ngược lí thuyết thông lượng) Theo ngôn ngữ toán học tức tìm hệ thức thông lượng theo hệ thức biết thông vận Đây toán tích phân phương trình vi phân đặt dạng tổng quát Trường hợp riêng toán dẫn tới việc tìm nguyên hàm Lí thuyết thông lượng Niuton đánh dấu giai đoạn phát triển giải tích vô bé mà theo cách nói C.Mac: “Lí thuyết tồn sau giải thích” sở bí hiểm +) Phép tính vi phân Lépnít Lépnít (Gottfried Wihelm Leibnitz, 1646 – 1716), sinh Lépdích (nước Đức) Những cống hiến ông mặt khoa học đa dạng, khoa học tự nhiên, vật lý, triết học, luật pháp, văn học, ngôn ngữ học, toán học Trong khuôn khổ túy toán học, phép tính Lepnit hình thành từ yếu tố: 10 - Những toán lấy tổng chuỗi đưa vào hệ thống sai phân hữu hạn - Việc giải toán tiếp tuyến việc chuyển dần hệ thức phần tử hữu hạn thành tùy ý, thành phần tử vô bé - Những toán ngược với toán tiếp tuyến, việc lấy tổng sai phân vô bé, phát tính chất tương hỗ toán vi phân tích phân Năm 1684, tạp chí Lépđích, Lépnit xuất tập hồi kí giải tích đại lượng vô bé “Phương trình cực đại, cực tiểu, tiếp tuyến mà đại lượng phân, vô tỷ không gây trở ngại gì, loại toán riêng cho phương pháp ấy” tập hồi ký không lớn, chưa đầy 10 trang, chứng minh Nhưng lần phép tính vi phân xuất đối tượng nghiên cứu toán học hình thức giống với cấu trúc đại Vi phân đối số ( dx ) coi đại lượng hoàn toàn tùy ý Vi phân hàm số ( dy ) xác định đẳng thức dy = ydx St St tiếp ảnh với đường cong điểm ( x, y ) Các ký hiệu dx, dy đưa Các quy tắc vi phân đại lượng không đổi, tổng hàm số, hiệu, tích, thương, lũy thừa, thức trình bày Hồi ức năm 1684, luận giảng phép tính vi phân Hai năm sau, năm 1686, tác phẩm khác Lepnit xuất “Về hình học sâu sắc”, tập trung quy tắc tích phân nhiều hàm số sơ cấp Để ký hiệu phép tính tích phân, ông đưa ký hiệu ∫ hiểu tổng vi phân để nhấn mạnh tính chất ngược với phép tính vi phân Năm 1693, Lepnit mở rộng phép tính cho hàm số siêu việt cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định Năm 1695, ông nêu quy tắc vi phân hàm lũy thừa tổng quát công thức vi phân bội tích phân: 11 d m ( xy ) = d m xd y + m ( m − 1) m−2 m m−1 d xdy + + d xd y + 1.2 Cùng lúc đó, ông mở rộng khái niệm vi phân cho trường hợp số mũ âm phân Trong năm 1702-1703 tìm phương pháp tích phân phân số hữu tỷ Nhờ phép tính này, nhà toán học cuối kỷ XVII đầu kỷ XVIII giải số lượng tăng nhanh toán khó quan trọng thực hành Trong loại hoạt động này, Lepnit người tiên phong Chẳng hạn, năm 1691, ông xác định hình dạng dây đồng chất, nặng, mềm treo lên hai đầu viết phương trình dây xích Từ năm 1696, ông nghiên cứu toán mới, toán biến phân Ông tìm phương pháp giải toán đường đoản trình Kí hiệu danh từ Lepnit nêu suy nghĩ, cân nhắc kỹ lưỡng, chúng không phức tạp phản ánh chất vấn đề, giúp đỡ ta tìm hiểu chúng cho phép toán theo quy tắc tương đối đơn giản Lepnit đặt thuật ngữ: vi phân, phép tính vi phân, hàm số, tọa độ phương trình vi phân, thuật tính nhiều từ khác Tuy nhiên Lepnit hay Niuton không đủ sức để giải vấn đề sở giải tích vô bé, chưa giải thích cách cho hợp lý khái niệm dựa tính chất gần vô hạn, nhỏ vô hạn kéo dài vô hạn trình Trong thảo, báo cáo, Lepnit trở trở lại vấn đề Ông nhiều lần đứng góc độ khác để giải chưa thành công Ngày nay, ta thấy rằng, xuất phát từ khác nhau, Niuton Lepnit phản ánh nhu cầu chung khoa học giải tích vô bé Nhưng tài liệu Lepnit xuất sớm Sự thuận lợi thuật tính kí hiệu, công lao tuyên truyền cho ngành toán học cách tích cực lại thuộc Lepnit 12 3.1.3 Một vài thành tựu khác Blaise Pascal (19/6/1623-19/8/1662) nhà toán học, nhà vật lý học, triết gia người Pháp Ông tiếp thu giáo dục từ người cha ông Ngay từ thời trẻ Pascal tiếng thần đồng Ông khám phá phương trình quy nạp toán học, có đóng góp quan trọng cho phép tính tích phân phép lấy tổng chuỗi Johann Bernuoulli( 27/7/1667-1/1/1748) nhà toán học người Thụy Sĩ, trai thứ 10 Nicolaus Margaretha Bernoulli, em trai Jacob Bernoulli nhà toán học có tiếng Ông khám phá lý thuyết hàm số mũ, tích phân phân thức hữu tỷ, cầu phương cầu trường đường cong khác Phần lớn công trình ông tập trung vào tính chất số đa dạng đường cong đặc biệt, kể đường xích, đường xoắn ốc logarit, Johann Bernoulli thường xem cha đẻ ngành toán biến đổi ông nghiên cứu đường brachistochrone (đường cong mà theo chất điểm trượt từ điểm tới điểm khác ảnh hưởng trọng lực thời gian nhỏ có, lực ma sát xem không đáng kể) 3.2 Các thành tựu hình học Sự đời hình học xạ ảnh phát minh hình học tọa độ (hình học giải tích) Desargues Pascal mở môn hình học môn hình học xạ ảnh Desargues hậu duệ ông quan tâm đến phương pháp tổng quát để nghiên cứu đường cong Nhưng Fecmat Descarts quan tâm đến kết hợp phương trình đại số đường cong, Descarts Fecmat xây dựng nên môn hình học giải tích 3.2.1 Hình học giải tích Descarts Descarts (Rene Descarts, 1596-1650) nhà bác học người Pháp lỗi lạc, nhà triết học, vật lý học, toán học, sinh lý học Descarts viết tập “Hình học” gồm 13 Quyển I: Nói “Về toán giải đường tròn đường thẳng” Nội dung quy tắc lập phương trình cho đường cong hình học Ông chứng minh toán giả thước compa đưa giải phương trình không cao bậc hai Descarts không tình bày cặn kẽ tổng quát quy tắc chung môn hình học giải tích mà xen vào giới thiệu lời giải toán khó Quyển II: Viết “Bản chất đường cong” Nội dung việc khảo sát cụ thể đường cong bậc khác nhau, phân loại chúng trình bày tính chất chúng Descarts phân loại đường cong vào chỗ khảo sát chúng công cụ Theo đó, đường cong thừa nhận đường cong vạch chuyển động liên tục số chuyển động thế, chuyển động sau phải xác định chuyển động trước (nhờ thước compa) Những đường cong lại ông gọi đường cong học (về sau, Lepnit gọi đường cong siêu việt) tính chất đường cong tìm cách ngẫu nhiên nhờ phương pháp đặc biệt, thiếu hệ thống, tổng quát Trong này, Descarts trình bày định lý phép dựng pháp tuyến tiếp tuyến đường cong Ông đặc biệt nhấn mạnh ý nghĩa định lý nêu quang học Kết thúc II phần nói khả mở rộng phương pháp Descarts cho trường hợp chiều, biểu diễn đường cong ghềnh cách chiếu lên hai mặt phẳng vuông góc mà giao tuyến chúng trục tọa độ Tuy nhiên không thấy nói đến ba tọa độ điểm không gian phương trình mặt Quyển III: Đề cập “Những toán khối thể” Nội dung xây dựng lý thuyết tổng quát việc giải phương trình sử dụng quỹ tích với công cụ đại số để giải phương trình Kí hiệu đại số Descarts không khác với kí hiệu đại Mọi phương trình coi đưa dạng Pn ( x ) = , Pn ( x ) đa thức với hệ số nguyên xếp theo lũy thừa 14 giảm dần x Từ việc khảo sát vấn đề chia hết Pn ( x ) cho ( x − a ) a nghiệm phương trình, Descarts rút kết luận sâu sắc số nghiệm phương trình số mũ cao Descarts nói đến nghiệm thực (dương), nghiệm giả (âm) nghiệm tưởng tượng (ảo phức) Tuy nhiên ông chưa chứng minh kết luận Mãi đến năm 1797, Gaoxơ chứng minh điều Descarts chứng tỏ dãy hệ số có lần đổi dấu có nhiêu nghiệm dương, có lần lập dấu có nhiêu nghiệm âm Ông nêu phương pháp biến đổi hệ số phương trình để làm thay đổi nghiệm theo ý muốn tăng lên, giảm làm thay đổi dấu Về vấn đề tính khả quy, tức việc biểu diễn hàm số hữu tỷ nguyên với hệ số hữu tỷ dạng tích hàm số loại dự đoán xuất chúng Descarts chứng tỏ phương trình bậc ba giải thức bậc hai khả quy Ông đưa vấn đề tính khả quy phương trình bậc vấn đề tính khả quy phương trình bậc Hình học giải tích Descarts nhiều thiếu sót Trước hết, phạm vi nghiên cứu ngành khoa học bàn đến đòi hỏi xuất phát từ nguồn gốc triết học, từ nhu cầu phương pháp hạn chế việc khảo sát đường cong đại số Việc phân loại đường cong đại số theo loại, theo bậc phương trình, theo biểu thức chúng chưa tốt Descarts chưa làm xong việc áp dụng công cụ đại số vào hình học Ông chưa mở rộng phương pháp ông vào việc nghiên cứu tính chất đường cong theo tính chất phương trình tương đương Các trục tọa độ chưa bình đẳng, có trục luôn vạch ra, trục vạch cần thiết Dạng đường cong nghiên cứu góc phần tư thứ mặt phẳng tọa độ, góc phần tư khác chưa ý 15 Tuy nhiên tập “Hình học” Descarts đánh dấu bước tiến có giá trị nguyên tắc việc cải tổ toán học giá trị lớn đến mức độ làm cho tác phẩm trở thành kinh điển Tập “Hình học” Descarts nêu tư tưởng có tác dụng phát triển đại số lý thuyết 3.2.2 Hình học giải tích Phécma Phécma (Pierre Fermat, 1601-1665) ông sống Pháp Ông đạt kết xuất sắc lý thuyết số, hình học, phép tính đại lượng vô bé, quang học - Ông sáng chế phương pháp tọa độ để định điểm mặt phẳng - Quan niệm đường cong quỹ tích điểm (nghĩa tập hợp điểm để xác định đẳng thức) - Người khởi xướng phương pháp tổng quát để xác định tiếp tuyến tới đường cong phẳng - Hợp hai lĩnh vực đại số hình học Sự xuất môn hình học giải tích công lao riêng Descarts Những người thời có công trình, dạng chưa đầy đủ, Descarts cải biên phát triển lên Đồng thời với Descarts Phécma có cống hiến phát triển quan điểm hình học giải tích, tức việc đưa hệ tọa độ vuông góc, việc ứng dụng phương pháp đại số vào hình học Tác phẩm “Nhập môn lý thuyết quỹ tích phẳng không gian” Phécma nhiều người biết đến từ năm 1636, đến năm 1679 in với tác phẩm khác Thời Phécma người ta gọi quỹ tích biểu diễn thành đường thẳng đường tròn quỹ tích phẳng, quỹ tích biểu diễn thành thiết diện conic gọi quỹ tích không gian Trong tác phẩm này, Phécma chứng tỏ đường thẳng ứng với phương trình bậc phương trình bậc hai ứng với đường conic Ông tìm dạng tổng quát phương trình bậc bậc cách biến đổi hệ tọa độ, đưa chúng dạng tắc, làm dễ dàng cho việc giải tích hình học 16 Phécma mở rộng hình học giải tích việc nghiên cứu quỹ tích không gian cách xét giao mặt phẳng Tuy nhiên ông chưa nêu tọa độ không gian hình học giải tích không gian tất nhiên chưa hoàn thành Tác phẩm “ Nhập môn lý thuyết quỹ tích phẳng không gian” Phéc ma nhiều người biết đến từ năm 1636, đến năm 1679 in với tác phẩm khác Tác phẩm ảnh hưởng to lớn toán học tập “Hình học” Descarts Có hai nguyên nhân: thứ nhất, in chậm; thứ hai nói trình bày ngôn ngữ đại số nặng nề, khó hiểu Phécma hiểu rõ ông đạt bước đầu ngành khoa học mẻ Ông nói thêm: “Tôi có phần hối hận việc viết tác phẩm sớm chưa chín muồi Tuy nhiên, khoa học, không dấu diếm hệ kế tục thành chưa chưa hoàn hảo có lợi Nhờ phát minh khoa học mà quan niệm lúc đầu thô thiển, sơ sài củng cố tăng cường” kinh nghiệm lời bảo quý báu công tác nghiên cứu khoa học Sự phát triển sau hình học giải tích chứng tỏ quan niệm Descarts phương pháp liên kết phương pháp đại số va hình học thực Hình học giải tích trở thành ngành toán học không bao trùm lên đại số học Đến năm 1658, vấn đề parabon nửa culic giải quyết, thành tựu có tham gia Nây (16371670), Vangâyrát (sinh năm 1633) Phécma Năm 1679, Laghia (1640-1718) lần tìm cách viết phương trình mặt Song đến năm 1700, tác phẩm “Phân loại đường cong bậc 3” (1704), Niuton phần phát triển sử dụng giải tích cách có hệ thống Trong tập hai tác phẩm “Nhập môn giải tích học” (1748) giành riêng cho hình học giải tích, Ơle làm cho môn có phong thái gần với đại Trước ông, có Klero (1713-1765) mở rộng hình học cho không gian chiều cách đưa vào hệ tọa độ vuông góc 17 trục Danh từ “Hình học giải tích” nhà toán học, Viện sĩ viện hàn lâm Pháp Lacơroa đặt từ cuối kỷ XVIII Sự xuất hình học giải tích toán học thực làm cho hình thành giải tích đại lượng vô bé dễ dàng Mặt khác, công cụ cần thiết Newton, Lagrange Ơle việc xây dựng học công cụ có hiệu để giải nhiều toán “khoa học tự nhiên toán học” Sự phát minh hình học giải tích tạo bước thay đổi đối tượng nghiên cứu toán học Sự đời hình học giải tích làm toán học thành công cụ “kép” Các khái niệm hình học chuyển đổi thành khái niệm đại số mục tiêu đạt thông qua đại số Ý nghĩa lớn đời hình học giải tích cung cấp cho khoa học công cụ có tính định lượng 3.3 Thành tựu số học, đại số Trong kỷ XVII, đại số ngày thoát khỏi yếu tố hình học Trong công cụ ký hiệu chữ củng cố Lý thuyết tổng quát phương trình xác định Trong phạm vi kể: - Việc xác lập có đôi chút tiến triển vấn đề khả quy phương trình đại số - Việc đặt sở cho lý thuyết định thức quy tắc, mang tên Corame, Lépnít nêu năm 1693 Cần nói thêm danh từ “định thức” dùng từ năm 1815 (do Côsi) ký hiệu định thức dùng từ năm 1841 (do Kêli) - Những cố gắng nhằm chứng minh định lí đại số số nghiệm phương trình đại số Lý thuyết số phong phú thêm nghiên cứu xuất chúng Phécma Ông đưa hai định lý mang tên ông hai định lý: n n n +) Định lý Phécma lớn: “Phương trình Điôphăng x + y = z , n > nguyên, nghiệm nguyên dương” 18 +) Định lý Phécma nhỏ: “Nếu p số nguyên tố, a số nguyên không chia hết n −1 n −1 cho p a ≡ 1( mod p ) , nghĩa a − chia hết cho p Năm 1665, Pascan lần phát biểu nguyên lý phép quy nạp toán học Ông với Phécma Lépnít sáng tạo khái niệm tổ hợp loạt báo Lý thuyết xác suất mà toán nghiên cứu với lý thuyết tổ hợp, khoảng kỷ XVII bắt đầu hình thành khoa học Nhưng với tác phẩm Pascan, Phécma Huyghen, khái niệm kỳ vọng toán học trở thành quen thuộc Vào cuối kỷ thứ XVII Béc-nu-li (Jacob Bernoulli, 1654-1705) phát minh dạng đơn giản quy luật số lớn (xuất năm 1713) hoàn thành giai đoạn lịch sử lý thuyết xác suất theo phân loại Kônmôgôrốp 19 20 KẾT LUẬN Trên đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển” Trong đề tài cung cấp cho bạn trình hình thành, tình hình kinh tế, trị, xã hội, trào lưu toán học, thành tựu toán học số nhà toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Tuy nhiên đề tài không tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý, phê bình thầy cô tất bạn Cuối em xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô hướng dẫn, sửa đổi giúp em hoàn thành đề tài này./ 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Giáo trình lịch sử toán, NXB Đại học sư phạm [ 2] Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, 2008 22 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đóng góp đề tài Chương KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN Chương TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 2.1 Thế kỷ XVII .5 Chương THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 3.1 Các thành tựu giải tích 3.1.1 Sự phát minh logarit 3.1.2 Sự phát minh phép tính vi-tích phân KẾT LUẬN 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO 22 23 [...]... bản năm 1713) hoàn thành giai đoạn đầu tiên của lịch sử lý thuyết xác suất theo phân loại của Kônmôgôrốp 19 20 KẾT LUẬN Trên đây là đề tài Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Trong đề tài này tôi cung cấp cho các bạn về quá trình hình thành, tình hình kinh tế, chính trị, xã hội, trào lưu toán học, thành tựu toán học của một số nhà toán học trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển Tuy nhiên đề tài sẽ... 1 4 Đóng góp của đề tài 2 Chương 1 KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC 2 CAO CẤP CỔ ĐIỂN 2 Chương 2 TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 5 2.1 Thế kỷ XVII .5 Chương 3 THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC CAO CẤP CỔ ĐIỂN 8 3.1 Các thành tựu về giải tích 8 3.1.1 Sự phát minh ra logarit 8 3.1.2 Sự... dẫn, sửa đổi giúp em hoàn thành đề tài này./ 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ 1] Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Giáo trình lịch sử toán, NXB Đại học sư phạm [ 2] Nguyễn Phú Lộc, Lịch sử toán học, NXB Giáo dục, 2008 22 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1 1 Lý do chọn đề tài 1 2 Mục đích nghiên cứu 1 4 Đóng góp của đề tài 2 Chương 1 KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC... thiết đối với Newton, Lagrange và Ơle trong việc xây dựng cơ học và là công cụ hết sức có hiệu quả để giải nhiều bài toán của “khoa học tự nhiên toán học Sự phát minh ra hình học giải tích đã tạo ra bước thay đổi mới về đối tượng nghiên cứu của toán học Sự ra đời của hình học giải tích đã làm toán học thành một công cụ “kép” Các khái niệm hình học có thể chuyển đổi thành các khái niệm đại số và những... Descarts, 1596-1650) là nhà bác học người Pháp lỗi lạc, nhà triết học, vật lý học, toán học, sinh lý học Descarts đã viết tập “Hình học gồm 3 quyển 13 Quyển I: Nói “Về các bài toán có thể giải được chỉ bằng đường tròn và đường thẳng” Nội dung cơ bản là những quy tắc lập phương trình cho những đường cong hình học Ông đã chứng minh rằng mọi bài toán có thể giả được bằng thước và compa đều đưa về giải các... giải tích học (1748) giành riêng cho hình học giải tích, Ơle làm cho môn này có một phong thái khá gần với hiện đại Trước ông, chỉ có Klero (1713-1765) đã mở rộng hình học cho không gian 3 chiều bằng cách đưa vào hệ tọa độ vuông góc 3 17 trục Danh từ “Hình học giải tích” do nhà toán học, Viện sĩ viện hàn lâm Pháp Lacơroa đặt ra từ cuối thế kỷ XVIII Sự xuất hiện hình học giải tích trong toán học đã thực... và Lepnit đều đã phản ánh nhu cầu chung của khoa học về giải tích vô cùng bé Nhưng tài liệu của Lepnit được xuất bản sớm hơn Sự thuận lợi của các thuật tính và kí hiệu, công lao tuyên truyền cho ngành toán học mới này một cách tích cực lại thuộc về Lepnit 12 3.1.3 Một vài thành tựu khác Blaise Pascal (19/6/1623-19/8/1662) là một nhà toán học, nhà vật lý học, triết gia người Pháp Ông được tiếp thu nền... nguyên lý của phép quy nạp toán học Ông cùng với Phécma và Lépnít đã sáng tạo ra những khái niệm cơ bản về tổ hợp trong một loạt bài báo Lý thuyết xác suất mà những bài toán của nó cũng được nghiên cứu với lý thuyết tổ hợp, khoảng giữa thế kỷ XVII đã bắt đầu được hình thành như một khoa học Nhưng chỉ với những tác phẩm của Pascan, Phécma và Huyghen, khái niệm kỳ vọng toán học mới trở thành quen thuộc... độ, trong các góc phần tư khác chưa được chú ý 15 Tuy nhiên tập “Hình học của Descarts đã đánh dấu mọi bước tiến có giá trị nguyên tắc trong việc cải tổ toán học và giá trị đó lớn đến mức độ làm cho tác phẩm này trở thành kinh điển Tập “Hình học của Descarts còn nêu tư tưởng mới có tác dụng phát triển đại số lý thuyết 3.2.2 Hình học giải tích của Phécma Phécma (Pierre Fermat, 1601-1665) ông sống ở... khoa học mà những quan niệm lúc đầu còn thô thiển, sơ sài sẽ được củng cố và tăng cường” đó là một kinh nghiệm một lời chỉ bảo rất quý báu của công tác nghiên cứu khoa học Sự phát triển về sau của hình học giải tích chứng tỏ rằng quan niệm của Descarts về một phương pháp duy nhất liên kết các phương pháp của đại số va hình học là không thể thực hiện được Hình học giải tích đã trở thành một ngành của toán