lịch sử toán. giai đoạn toán học cổ điển

1. Lý do chọn đề tài Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Lịch sử toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học. Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới quan. Toán học là khoa học thuộc vào loại cổ nhất. Do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai, con người đã có kiến thức toán học từ rất sớm. Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối quan hệ chặt chẽ với những nhu cầu của kỹ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán ngày càng phong phú. Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong mối liên hệ nhiều hình, nhiều vẻ giữa chúng với nhau bằng con đường thuần túy logic tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở rộng. Lịch sử cho hay nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kỹ thuật khá lâu có khi đến hàng thế kỷ. Vì vậy, quá trình hình thành, phát triển và những thành tựu toán học trong từng giai đoạn toán học này cần có nhận thức rộng rãi. Thực tế đã chứng minh, toán học có phát triển đến đâu thì những thành tựu của các nhà toán học trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển là sự hình thành các môn cơ sở của nền toán học cao cấp cổ điển. Với hình học giải tích và giải tích các đại lượng vô cùng bé, toán học đã thay đổi về chất, trở thành toán học của những đại lượng biến thiên. Với mong muốn tổng hợp lại những kiến thức cũng như đi sâu tìm hiểu về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển nên tôi chọn đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ điển” làm đề tài nghiên cứu của mình. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu về quá trình hình thành và những thành tựu của các nhà toán học giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Nâng cao sự hiểu biết của bản thân. 3. Phạm vi nghiên cứu - Quá trình hình thành và phát triển của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Những thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. 4. Đóng góp của đề tài - Giúp sinh viên hiểu được quá trình hình thành, trào lưu toán học cũng như các thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. - Sinh viên tích cực, hoạt động tham gia các hoạt động của môn học, có năng lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực, sáng tạo. 5. Cấu trúc của đề tài Đề tài được trình bày theo bố cục sau: Chương 1: Khái quát chung về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Chương 2: Trào lưu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển. Chương 3: Thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên có nhiều ứng dụng trong cuộc sống Lịch sử toán học (hay lịch sử toán) là một ngành của toán học Đối tượng của toán học thuần túy là những quan hệ số lượng và hình dạng không gian của thế giới quan Toán học là khoa học thuộc vào loại cổ nhất Do ảnh hưởng của những hoạt động sản xuất sơ khai, con người đã có kiến thức toán học từ rất sớm Phạm vi của quan hệ số lượng và hình dạng không gian mà toán học nghiên cứu không ngừng được mở rộng, trong mối quan hệ chặt chẽ với những nhu cầu của kỹ thuật và khoa học tự nhiên làm cho nội dung định nghĩa tổng quát về toán ngày càng phong phú Bắt nguồn từ hiện thực, các quan hệ số lượng và hình dạng không gian được trí óc con người trừu tượng hóa và nghiên cứu trong mối liên hệ nhiều hình, nhiều

vẻ giữa chúng với nhau bằng con đường thuần túy logic tính trừu tượng của toán học càng cao thì phạm vi ứng dụng toán học càng mở rộng Lịch sử cho hay nhiều phát minh toán học đi trước khoa học và kỹ thuật khá lâu có khi đến hàng thế kỷ

Vì vậy, quá trình hình thành, phát triển và những thành tựu toán học trong từng giai đoạn toán học này cần có nhận thức rộng rãi Thực tế đã chứng minh, toán học có phát triển đến đâu thì những thành tựu của các nhà toán học trong giai đoạn toán học cao cấp cổ điển là sự hình thành các môn cơ sở của nền toán học cao cấp

cổ điển Với hình học giải tích và giải tích các đại lượng vô cùng bé, toán học đã thay đổi về chất, trở thành toán học của những đại lượng biến thiên

Với mong muốn tổng hợp lại những kiến thức cũng như đi sâu tìm hiểu về giai

đoạn toán học cao cấp cổ điển nên tôi chọn đề tài “Giai đoạn toán học cao cấp cổ

điển” làm đề tài nghiên cứu của mình.

- Những thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển.

5 Cấu trúc của đề tài

Đề tài được trình bày theo bố cục sau:

Chương 1: Khái quát chung về giai đoạn toán học cao cấp cổ điển

Chương 2: Trào lưu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển

Chương 3: Thành tựu toán học của giai đoạn toán học cao cấp cổ điển

Chương 1 KHÁI QUÁT CHUNG VỀ GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC

CAO CẤP CỔ ĐIỂN

Vào thế kỷ thứ XVII, ở các nước Tây Âu có những tiến bộ sâu sắc về kinh tế, chính trị và xã hội Đó là những yếu tố quan trọng thúc đẩy toán học phát triển mạnh mẽ.

1.1 Về chính trị

Những cuộc cách mạng tư sản ở Tây Âu và Bắc Mỹ đã từng bước thiết lập hệ thống chính trị tư sản trong các quốc gia phát triển( Anh, Pháp, Đức, Mỹ) rồi lan tỏa ảnh hưởng ra các nước trên những mức độ khác nhau ở châu Âu, châu Mỹ Latinh và châu Á

Cùng với sự hình thành bộ máy nhà nước tư sản là sự xuất hiện các trào lưu tư tưởng về quyền con người và quyền công dân; các học thuyết về thể chế chính trị

và quyền tự do dân chủ, nổi bật nhất là triết học Ánh sáng; các dòng văn học lãng mạn và hiện thực phản ánh cuộc vận động lớn lao đó

1.2 Về kinh tế

Thời kỳ này còn được đánh dấu bởi cuộc cách mạng công nghiệp, mở đầu bằng việc phát minh và sử dụng máy hơi nước vào sản xuất ở nước Anh cuối thế kỷ XVIII Một cuộc cách mạng diễn ra rầm rộ ở châu Âu đã làm thay đổi cách thức sản xuất từ lao động bằng tay, sang sử dụng máy móc và từng bước hình thành một

cơ cấu công nghiệp hoàn chỉnh; từ sản xuất quy mô nhỏ lên quy mô lớn với sự ra đời của các nhà máy và các khu công nghiệp, khiến cho loài người trong vòng chưa đầy một trăm năm, có thể sáng tạo nên một lực lượng vật chất to lớn và đồ sộ hơn tất cả các thế hệ trước cộng lại

Chính những thành tựu kinh tế và kỹ thuật ấy đã khẳng định ưu thế của chế độ

tư bản đối với chế độ phong kiến, đã tạo nên một bước ngoặt cơ bản “từ làn sóng nông nghiệp sang làn sóng công nghiệp”

1.3 Về xã hội

Có những biến động lớn lao về đời sống xã hội với sự tăng dân số, sự phát triển của đô thị, sự pháp lý hóa chế độ gia đình một chồng một vợ và điều quan trọng là sự hình thành các giai cấp mới: giai cấp tư sản và giai vô sản.

Giai cấp tư sản công thương nghiệp và giai cấp vô sản công nghiệp – hệ quả tất yếu của cách mạng công nghiệp – trở thành hai gai cấp cơ bản của xã hội tư bản chủ nghĩa, có mối quan hệ khăng khít trong guồng máy sản xuất của nền kinh tế, đồng thời ẩn chứ mối mâu thuẫn cơ bản về quyền lợi những người thống trị và những người bị trị, giữa tư sản và vô sản

Hình thành những trào lưu tư tưởng như: xã hội chủ nghĩa tiền công nghiệp (Moro, Melie, Babop,…) xã hội chủ nghĩa không tưởng (Xanh Ximong, Phuarie,

…) và chủ nghĩa khoa học của Mac và Ăngghen

Chương 2 TRÀO LƯU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC

CAO CẤP CỔ ĐIỂN 2.1 Thế kỷ XVII

Thế kỷ XVII là thế kỷ nổi bật trong lịch sử toán học Trong lịch sử toán học, thế kỷ XVII chiếm vị trí đặc biệt, nó mở ra một giai đoạn mới, giai đoạn toán học của những đại lượng biến thiên Ở thế kỷ này, các phương pháp toán học vẫn tiếp tục sử dụng mạnh mẽ vào khoa học tự nhiên, trước hết là vào cơ học

Ở đầu thế kỷ này, Napier đã phát minh ra logarit Sự phát minh ra logarit, quy tắc các phần vòng tròn tái tạo các công thức dùng để giải các tam giác cầu xiên Nó còn dùng làm phương tiện cho các phép nhân, chia, lấy căn bậc hai các số

Giải tích toán học đã bắt đầu xuất hiện dưới những hình thức khác nhau Đầu tiên vào khoảng năm 1665 đến 1666, trong các công trình của Niutơn, phép tính tích phân ra đời dưới dạng lý thuyết thông lượng Từ giải tích, người ta nói đến những bài toán biến phân, mà việc giải chúng về sau, đã làm xuất hiện tính biến phân, bộ phận ra đời sớm nhất của giải tích hàm

Ở Đức, đã phát triển giải tích và rất nhiều các ký hiệu giải tích vẫn còn được

sử dụng cho đến ngày nay

Và gần cuối thế kỷ này, lĩnh vực lớn của hình học được mở ra, hình học giải tích và cơ sở cho lý thuyết số hiện đại được hình thành Môn hình học giải tích được trình bày như một phương pháp biểu thị các kích thước, các dạng và các dạng các tính chất hình của các đối tượng bằng các hệ thức số, thực chất là phương pháp tọa độ Sự phát minh ra hình học giải tích đó là sự mở ra một môn hình học mới là hình học xạ ảnh Các nhà toán học quan tâm đến sự kết hợp giữa các phương trình đại số và các đường cong; tức là sử dụng các phương pháp có tính định hướng vào nghiên cứu hình học Chính vì vậy mà họ đã xây đựng nên môn hình học giải tích

Sự khác nhau giữa hai ngành này là hình học xạ ảnh là một nhánh của hình học nói

chung còn hình học giải tích là một phương pháp của hình học Sự phát minh ra hình học giải tích đã tạo ra thay đổi mới về đối tượng nghiên cứu của toán học.Hình học họa hình được đánh giá là quan trọng trong kiến trúc, kỹ thuật cơ khí,…do nhà toán học Monggio (Gaspard Monge, 1746-1818) đặt nền móng Monggio đã xây dựng hình học họa hình thành lí luận và có tính ứng dụng cao.Đến cuối thế kỷ XVII sau hàng loạt các công trình toán học dọn đường của các nhà toán học khác nhau trong thế kỷ này thì môn phép tính vi-tích phân mang tầm cỡ thế kỷ được sáng tạo ra Sự phát minh ra phép tính vi-tích phân: Sự ra đời của phép tính vi-tích phân đã đưa toán học sang một giai đoạn toán cao cấp, gần như kết thúc của toán học sơ cấp Từ đối tượng nghiên cứu là các số và hình ở dạng tĩnh tại, toán học bước sang nghiên cứu đối tượng trong quá trình vận động

và biến đổi

Phép tính vi, tích phân được sáng tạo ra là để giải quyết bốn vấn đề khoa học của thế kỷ XVII như sau:

+) Vấn đề thứ nhất, cho vật thể chuyển động theo một công thức là một hàm

số theo thời gian, hãy tìm vận tốc và gia tốc của nó ở một thời điểm bất kỳ; ngược lại, cho biết gia tốc của vật thể chuyển động là một hàm theo thời gian, hãy tìm vận tốc và quãng đường đi được

+) Vấn đề thứ hai là, vấn đề tìm tiếp tuyến của đường cong Bài toán này có ứng dụng quan trọng trong khoa học như: quang học, nghiên cứu chuyển động, hướng chuyển động

+) Vấn đề thứ ba là, tìm giá trị cực đại cực tiểu của một hàm số

+) Vấn đề thứ tư là, tìm chiều dài của đường cong

Phép tính vi phân, tích phân là một ngành toán học bao gồm hai tư tưởng chính là phép tính vi phân và phép tính tích phân với các khái niệm cơ sở là: khái niệm hàm số, giới hạn, dãy số, chuỗi số và liên tục

Trong thế kỷ XVII đại số ngày càng thoát khỏi các yếu tố hình học Trong đó công cụ ký hiệu bằng chữ đã được củng cố Lý thuyết tổng quát về các phương trình được xác định

Lý thuyết số được phong phú thêm bởi những nghiên cứu xuất chúng của Phécma, quyết định sự phát triển về sau của nó Đặc biệt, có hai định lý do ông phát biểu mà không chứng minh

+) Định lý Phécma lớn: “Phương trình Điôphăng x n + y n = z n n, >2và nguyên,

không có nghiệm nguyên dương”

+) Định lý Phécma nhỏ: “Nếu p là số nguyên tố, a là số nguyên không chia hết cho p thì a n− 1 ≡1 mod( p), nghĩa là a n− 1−1chia hết cho p.

Khoảng giữa thế kỷ XVII, lý thuyết xác suất mà những bài toán của nó cũng được nghiên cứu với lý thuyết tổ hợp đã bắt đầu được hình thành như một môn khoa học

2.2 Thế kỷ XVIII

Toán học thế kỷ XVII, người ta dành cho việc tìm tòi phương pháp mới và có hiệu lực của phép tính vi-tích phân, trong thế kỷ này đa phần toán học là mục tiêu trong các lĩnh vực cơ học và thiên văn học

Nửa sau thế kỷ XVIII, logarit giữ vai trò đặc biệt quan trọng Các bảng logarit

và thước tính logarit đã được phổ biến trên toàn thế giới và đã là một công cụ hỗ trợ không gì có thể thay thế được trong tính toán Nó được coi là phương tiện trung gian làm giảm nhẹ phép tính trong lượng giác và thiên văn

Chương 3 THÀNH TỰU TOÁN HỌC CỦA GIAI ĐOẠN TOÁN HỌC

CAO CẤP CỔ ĐIỂN

Thế kỷ XVII là một thế kỷ nổi bật trong lịch sử toán học Ở đầu thế kỷ này, Nepier đã phát minh ra logarit, Harriot và Oughtred đã đặt nền móng khoa học động lực, Kepler đã công bố định luật chuyển động của các hành tinh Vào gần cuối thế kỷ này, Desargues và Pascal đã mở ra một lĩnh vực mới của hình học, Desscartes và Fermat đưa ra hình học giải tích, Fermat đặt ra cơ sở lý thuyết số hiện đại, Huygens có đóng góp nổi bật cho lý thuyết xác suất và vài lĩnh vực khác Vào cuối thế kỷ XVII, sau hàng loạt các công trình khoa học dọn đường của các nhà khoa học khác nhau trong thế kỷ này thì phép tính vi phân, tích phân mang tầm

cỡ thế kỷ của Newton và Leibniz

Như vậy, trong thế kỷ XVII nhiều lĩnh vực quan trọng đã được mở ra cho nghiên cứu toán học

3.1 Các thành tựu về giải tích

3.1.1 Sự phát minh ra logarit

Jonh Napier (1550-1617) người Scotland, ông đã phát minh ra logarit, quy tắc các phần hình tròn để tái tạo ra các công thức dùng để giải các tam giác cầu vuông góc; các tương tự Napeir rất hữu ích trong việc giải các tam giác cầu xiên; và thanh Napier hoặc xương Nepier được dùng làm phương tiện cho các phép nhân, chia, lấy căn bậc hai các số Các tính chất của logarit đầu tiên được trình bày bằng ví dụ số

Từ cách viết bằng chữ (năm 1648) chuyển sang cách viết tắt (năm 1742), chẳng hạn

Lab La Lb= + Trong thời gian này các phép tính logarit chưa được xem là các

phép tính đại số Ơle, vào năm 1748, đã định nghĩa logarit là phép tính ngược của phép tính nâng lên lũy thừa và coi logarit là một lũy thừa nào đó Sự phân biệt ký

hiệu Ln và log cho logarit tự nhiên và logarit thập phân đã có từ năm 1821 (do

Côsi)

Phát minh ra logarit của Napier đã được hưởng ứng đầy nhiệt tình ở khắp châu

Âu Đối với thiên văn học, khám phá này nảy ra đúng lúc, Laplace đã xác nhận rằng việc phát minh ra logarit “đã giảm lao động cho các nhà thiên văn học được một nửa cuộc đời mình”

3.1.2 Sự phát minh ra phép tính vi-tích phân

Đây là thành tựu nổi bật của thế kỷ XVII, là phát minh của Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibnitz Sự ra đời của phép tính vi tích phân đã đưa toán học sang một giai đoạn toán học cao cấp, gần như kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp.Phép tính vi phân, tích phân được sáng tạo ra là nhằm giải quyết vấn đề khoa học của thế kỷ XVII

Trước Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibnits có nhiều người có những đóng góp quan trọng nhưng theo Richey, ngành giải tích (do Newton và Leibniz phát minh) là một ngành nghiên cứu các tính chất của các đường cong như tiếp tuyến, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, chiều dài cung, độ cong, trọng tâm nhờ dùng các kỹ thuật giải tích nghĩa là kỹ thuật giống như đại số) để áp dụng vào tất

cả các đường cong một cách có quy tình thuật toán Việc tính toán này (hay cách thức tính toán) thu hẹp tất cả các câu hỏi vào hai quá trình liên hệ ngược với nhau; được gọi là phép tính vi phân và phép tính tích phân

Trong lịch sử, phép tính vi tích phân chính thức xuất hiện đồng thời dưới hai dạng: Dạng lý thuyết thông lượng trong công trình của Niutơn và những người kế tục ông ở Anh và dưới dạng phép tính vi phân của Lépnít, được truyền bá trước hết trên lục địa châu Âu

+) Lý thuyết thông lượng của Niutơn

Niutơn (Issac Newton, 1643 – 1727) sinh ra ở Anh Ông hoạt động khoa học trên các lĩnh vực vật lý, cơ học, thiên văn và toán học Ông sáng tạo ra phép tính vi phân và tích phân dưới dạng “ lý thuyết thông lượng”

Trong lý thuyết thông lượng, Niuton nghiên cứu những đại lượng biến thiên, được đưa vào như sự trừu tượng hóa các chuyển động cơ học liên tục thuộc các

dạng các nhau Chúng được gọi là nhưng thông lượng Mọi thông lượng đều là các biến lượng phụ thuộc vào đối số thời gian Tiếp theo đó Niuton đưa vào khái niệm tốc độ chảy của các thông lượng, tức là đạo hàm của thông lượng theo thời gian, chúng được gọi là những thông vận Vì thông vận là đại lượng biến thiên nên ta có

thể tìm thông vận của thông vận, nếu ký hiệu thông lượng là y thì kí hiệu thông

lượng thú nhất là, thứ hai, thứ ba lần lượt là ', '', ''' y y y Muốn tính tốc độ tức thời, tức là các thông vận, cần những thay đổi vô cùng bé các thông lượng mà Niuton gọi là mômen

Trong lí thuyết thông lượng, Niuton đã giải quyết hai bài toán chính, được phát biểu bằng ngôn ngữ cơ học cũng như ngôn ngữ toán học:

Xác định tốc độ của chuyển động ở một thời điểm đã cho theo một đoạn đường đã cho (bài toán thuận của lí thuyết thông lượng) Nói cách khác là xác định

hệ thức giữa các thông vận từ hệ thức đã cho giữa các thông lượng Đây là vi phân hàm số ẩn ở dạng tổng quát và nhận được phương trình vi phân

Xác định đoạn đường đi được trong thời gian đã cho theo tốc độ chuyển động cho trước (bài toán ngược của lí thuyết thông lượng) Theo ngôn ngữ toán học tức

là tìm các hệ thức giữa các thông lượng theo hệ thức đã biết giữa các thông vận Đây là bài toán tích phân các phương trình vi phân được đặt ra dưới dạng tổng quát Trường hợp riêng của bài toán này dẫn tới việc tìm các nguyên hàm

Lí thuyết thông lượng của Niuton đánh dấu một giai đoạn phát triển của giải tích vô cùng bé khi mà theo cách nói của C.Mac: “Lí thuyết này tồn tại và sau đó mới được giải thích” và cơ sở nó vẫn là bí hiểm

+) Phép tính vi phân của Lépnít

Lépnít (Gottfried Wihelm Leibnitz, 1646 – 1716), sinh tại Lépdích (nước Đức) Những cống hiến của ông về mặt khoa học rất đa dạng, khoa học tự nhiên, vật lý, triết học, luật pháp, văn học, ngôn ngữ học, toán học Trong khuôn khổ thuần túy toán học, phép tính của Lepnit được hình thành từ những yếu tố:

- Những bài toán lấy tổng các chuỗi và sự đưa vào các hệ thống sai phân hữu hạn.

- Việc giải các bài toán tiếp tuyến việc chuyển dần các hệ thức giữa những phần tử hữu hạn thành tùy ý, và rồi thành các phần tử vô cùng bé

- Những bài toán ngược với bài toán tiếp tuyến, việc lấy tổng các sai phân vô cùng bé, phát hiện ra tính chất tương hỗ của các bài toán vi phân và tích phân

Năm 1684, trong tạp chí của Lépđích, Lépnit mới xuất bản tập hồi kí đầu tiên

về giải tích các đại lượng vô cùng bé “Phương trình mới về các cực đại, cực tiểu, các tiếp tuyến mà đối với nó các đại lượng phân, cũng như vô tỷ không gây ra trở ngại gì, và loại toán riêng cho phương pháp ấy” tập hồi ký này không lớn, chưa đầy 10 trang, trong đó không có các chứng minh Nhưng ở đây lần đầu tiên phép tính vi phân xuất hiện như một đối tượng nghiên cứu của toán học dưới hình thức giống với cấu trúc hiện đại của nó

Vi phân của đối số ( )dx được coi như đại lượng hoàn toàn tùy ý Vi phân của

hàm số ( )dy được xác định bởi đẳng thức

ydx dy

St

=

trong đó St là tiếp ảnh với

đường cong tại điểm ( x y Các ký hiệu ,, ) dx dy đã được đưa ra Các quy tắc vi phân

của đại lượng không đổi, của tổng các hàm số, của hiệu, tích, thương, lũy thừa, căn thức đã được trình bày

Hồi ức năm 1684, là một bài luận giảng về phép tính vi phân Hai năm sau,

năm 1686, một tác phẩm khác của Lepnit được xuất bản “Về hình học sâu sắc”,

trong đó tập trung các quy tắc tích phân của nhiều hàm số sơ cấp Để ký hiệu phép

để nhấn mạnh tính chất ngược với phép tính vi phân

Năm 1693, Lepnit đã mở rộng phép tính mới cho những hàm số siêu việt bằng cách khai triển chúng thành chuỗi nhờ phương pháp hệ số bất định

Năm 1695, ông nêu quy tắc vi phân của hàm lũy thừa tổng quát và công thức

vi phân bội của tích phân: