Các phương pháp giải toán tích phân lớp 12

Tổng hợp các dạng toán tích phân thường gặp, một số bài toán tích phân theo dạng có lời giải. Tài liệu này thích hợp với những ai đang ôn luyện thi đại học nhưng chưa tổng kết được các dạng bài và có những ví dụ minh họa kèm theo

DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! CÁC DẠNG TÍCH PHÂN VÀ CÁCH TÍNH A - TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC: Dạng P ( x) Q( x) Dạng 1: Bậc tử lớn (hay bằng) bậc mẫu: Cách giải: Ta thực phép chia đa thức cho đa thức Ví dụ 1: I = ∫ x + 3x + 19   dx = ∫  x + + dx = x−2 x−2 0 De b Chú ý: I = ∫ a (x + x + 19 ln | x − |) |10 dx (Rất quan trọng tích phân hữu tỉ) ax + bx + c A B = + giải tìm A, B ax + bx + c x − x1 x − x2 TH1: Mẫu có nghiệm Đặt Ví dụ 2: I = ∫ 1 dx = ∫ dx x + 3x + ( x + 1)( x + 2) Th Làm ngài nháp:  A+ B =  A =1 A B A( x + 2) + B( x + 1) ( A + B ) x + A + B = + = = ⇒ ⇔ ( x + 1)( x + 2) x + x + ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2)  A + B =  B = −1 1 1 1   1 Khi I = ∫ dx = ∫ dx = ∫  − dx = ( ln | x + 1| − ln | x + |) |0 x + 3x + ( x + 1)( x + 2) x +1 x +  0 0 TH2: Mẫu có nghiệm Phân tích ax + bx + c = a ( x − x0 ) Tính trực tiếp iTh Ví dụ 3: I = ∫ 1 −1 dx = ∫ dx = |0 2 x + 4x + ( x + 2) x+2  b ∆ b  ∆  TH3: Mẫu vô nghiệm Phân tích ax + bx + c = a  x +  −  Đặt x + = − tan t 2a 4a 2a  4a   Ví dụ 4: I = ∫ 1 dx = ∫ dx 2 x + 4x + ( x + 2) + arctan 3/ I = , x = ⇒ t = Arc tan 3 et u.N Đặt x + = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = ⇒ t = Arc tan arctan 3/ arctan 3/ 1 1 arctan 3/ 2 (1 + tan t ) dt = (1 + tan t ) dt = dt = t |arctan 2/ ∫ ∫ 3(tan t + 1) 3 ( tan t ) + 3 arctan 2/ arctan 2/ ∫ arctan 2/ Đặc biệt: + I = ∫ 1 dx Đặt x +a a tan t = x + I =∫ 3 dx dạng TH1 (a > 0) x −a dx Đặt x = tan t Giải hoàn toàn tương tự Ví dụ x +5 Ví dụ 5: a) I = ∫ b) I = ∫ 1 dx = ∫ dx Giải tương tự Ví dụ 2 x −5 ( x − 5)( x + 5) Dạng 2: Một số phép biến đổi thường dùng (phải nhớ dạng cách biến đổi) (ax + b) n ax + b  ax + b  dx = ∫  dx Từ đặt t =  n+2 (cx + d ) cx + d  cx + d  (cx + d ) n + I =∫ (2 x + 3)3 2x + −10  2x +  Ví dụ 6: a) I = ∫ dx = ∫  dx Đặt t = ⇒ dt = dx  2 (4 x + 1) x + (4 x + 1) x + (4 x + )   0 1 DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học ( x + 2)5 (3 x − 5)7 (5 x − 2) (3 x + 1) 1 * Tương tự: 1/ I = ∫ 2/ I = ∫ Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan b) Áp dụng phương pháp trên: 1 1 1 1 dx = ∫ dx = ∫ dx 3 (2 x + 3) (4 x + 1) (4 x + 1) (4 x + 1)2 0  2x +   2x +    (4 x + 1)    4x +1   4x +1  De I =∫ 1  2x +   2.(2 x + 3) − (4 x + 1)  =∫ dx = ∫ − 1 dx    4x +  x +  (4 x + 1)  (4 x + 1)  2x +    2x +       4x +   4x +1  2x + 4x +1 1 1 * Tương tự: 1/ I = ∫ dx 2/ I = dx ∫ (3 x + 4) (3 x − 2) (2 x − 1) (3 x − 1) 0 6 Đặt t = Th Ví dụ 7: Các phép biến đổi hay + I1: Đặt t = x2 - iTh 3 3 dx dx x − ( x − 3)dx  x2 x2 −  1 x  a) I = ∫ =∫ = = − dx = dx −    ∫1 x dx  x − 3x x( x − 3) ∫1 x( x − 3) ∫1  x( x − 3) x( x − 3)   ∫1 x − 3 + I2: ln|x| dx * Tương tự: 1/ I = ∫ x + 3x5 2/ I = ∫ dx x + 3x dx x − (x + k) xm xm + k Tổng quát: I = ∫ n m = dx = ∫ n m dx − ∫ n m dx x ( x + k ) k ∫a x n ( x m + k ) x (x + k) x (x + k) a a a b b m b m b et u.N 1 1+ 1+ x2 + 1 x dx = x b) I = ∫ dx = ∫ dx Từ đặt t = x − (ở bước đầu chia cho x2) ∫ 1 x +1 x 1 x2 + ( x − )2 + x2 x 3 x −1 x2 −1 * Tương tự: 1/ I = ∫ dx 2/ I = ∫ dx x + x − x − x − x + 1 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỈ x3 + 1/ I = ∫ dx x − 5x + x 3x + 3x + 2/ I = ∫ dx ( x + 2)( x − 1) 2 3x + 4/ I = ∫ dx ( x + 2)( x + 1) 3x + 5/ I = ∫ dx ( x + 1)3 1 7/ I = ∫ 3 3x dx x − 3x + 3 x dx ( x + 1) 8/ I = ∫ 3/ I = ∫ 6/ I = ∫ 9/ I = dx dx x( x + 1) x3 dx x2 + dx ∫ x+x dx Tham gia ngay! Group ÔN THI ĐH TOÁN - ANH: Facebook.com/groups/onthidhtoananhvan www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học 10/ I = ∫ 1 dx dx x + x3 x dx (1 + x)3 13/ I = ∫ 11/ I = ∫ dx dx x +1 (3 x − 5) dx (1 + x)9 14/ I = ∫ 12/ I = ∫ x5 dx x2 + 1 dx ( x − 1)( x + 1)( x + 3) 15/ I = ∫ De DeThiThu.Net - Đ Thi Th Đ i H c - THPT Qu c Gia - Tài Li u Ôn Thi.C p nh t h ng ngày! et u.N iTh Th www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net B – TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC www.Dethithu.Net b Dạng 1: I = ∫ sin n x.cos m xdx a + Nếu n m lẻ: Đặt hàm số mũ chẵn t (Tức sinx = t cosx = t) + Nếu n, m lẻ: Đặt t = sinx t = cosx + Nếu n, m chẵn dùng công thức hạ bậc: sin x = De − cos x + cos x , cos x = 2 Dạng 2: I = ∫ f [cos x].sin xdx - Hàm số ta đưa hết cosx lại sinx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ sinx lẻ) Đặt t = cosx Các phép biến đổi: A1 = sin x = sin x.sin x = (1 − cos x) sin x ⇒ Tổng quát lên sin k +1 x.cos batki x = sin k x.cosbatki x.sin x = (1 − cos x) k cosbatki x.sin x (nhận dạng: sinx mũ lẻ) Th s inx s inx s inx = = 2k +2 k +1 sin x sin x (sin x) (1 − cos x) k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = k +1 = π π 4 sin x dx 3sin x − sin x + áp dụng: 1/ I = ∫ π sin x + sin x dx cos x + dx sin x 2/ I = ∫ 3/ I = ∫ k +1 = π et u.N cos x cos x cos x = = 2k +2 k +1 cos x cos x (cos x) (1 − sin x)k +1 A3: Hàm số có chứa sin x = 2sin x cos x A2 = iTh Dạng số 3: I = ∫ f [sin x].cos xdx - Hàm số ta đưa hết sinx lại cosx phần dư sau (cách nhận dạng số mũ cosx lẻ) Đặt t = sinx Các phép biến đổi: A1 = cos3 x = cos x.cosx = (1 − sin x)cosx ⇒ Tổng quát lên cos k +1 x.sin x batki x = cos k x.sin xbatki x.cos x = (1 − cos x) k sin x batki x.cos x (nhận dạng: cosx mũ lẻ) π 4 2/ I = ∫ dx cos x áp dụng: 1/ I = ∫ sin x.cos5 xdx π sin x + cos x dx sin x + 3/ I = ∫ Dạng số 4: I = ∫ f [sin x, cos x].sin xdx - Hàm số chứa sin x, cos x sin2x tách rời Cách biến đổi: Đặt t = f [sin x, cos x] - Chú ý: + (sin x) ' = sin x, (cos x) ' = − sin x + Đôi người ta không cho sin2x mà cho sinx.cosx ta biến đổi sinx.cosx = Ví dụ 8: a) I = π /2 sin x ∫ + cos x dx sin x Ta nhận thấy hàm số có chứa cos2x sin2x Đặt t = + cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇒ dx = dt đổi cận: x = pi/2 t = 1, x = t = − sin x sin x dt = − ln | t ||12 = ln t − sin x Khi đó: I = ∫ www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học b) I = π /2 ∫ sin x cos x + 4sin x 2 dx Ta nhận thấy hàm số có chứa đồng thời sin x, cos x sin2x Đặt t = cos x + sin x ⇒ t = cos x + 4sin x ⇒ 2tdt = (− sin x + sin x)dx ⇒ dx = 2tdt 3sin x Đổi cận: x = pi/2 t = 2, x = t = 1 sin x 2tdt 2 = t |12 = t 3sin x 3 1 Dạng 5: I = ∫ f (tan x) dx - Hàm số chứa tanx tách rời cos x cos x Khi đó: I = ∫ De Cách biến đổi: Đặt t = tanx π /4 (tan x + 1) ∫0 cos2 x dx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx ⇒ dx = cos x.dt Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = π / ⇒ t = cos x 1 (t + 1) Khi đó: I = ∫ cos xdt = ∫ (t + 1)2 dt = cos x 0 Ví dụ 9: a) I = Th Nhưng đề thi không cho cách đơn giản vậy, có nghĩa phải qua phép biến đổi nhận dạng lúc đầu chưa thấy có tanx π /4 (yêu cầu kỹ làm nhiều) cos x iTh sin x b) I = ∫ dx Mới nhìn vào ta thấy có tanx có thêm sin x, cos x Ta cos x(tan x - tan x + 5) −π / cố gắng tìm cách đưa dạng, Ở ví dụ sau ta thấy điều đó: I= π /4 π /4  sin x  sin x dx =   dx 4 ∫ ∫ cos x(tan x - tan x + 5) cos x tan x - tan x +  −π / −π /  π /4 et u.N π /4  sin x  1   = ∫   dx = ∫  tan x  dx 2 cos x cos x tan x - tan x +  cos x tan x - tan x +  −π /  −π /  π /4  tan x  = ∫   dx tan x - tan x + cos x  −π /  Từ ta tổng quát số mũ sin tử nhỏ số mũ cos mẫu ta tách Chú ý: Các phép biến đổi thường dùng để đưa dạng A1 = 1 1 = = (1 + tan x) Từ làm cho thầy ??? 2 cos x cos x cos x cos x cos x Tổng quát lên cosx mũ chẵn ta giải hết cách (Nếu cosx mũ lẻ ta giải A2 dạng 3) ta chia tử mẫu cho cos2x a sin x + b sin x.cos x + c cos x + d 1/ cos x / cos x = = sin x sin x.cos x cos x d a tan x + b tan x + c + d (1 + tan x) a + b + c + cos x cos x cos x cos x A2 = www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học 1 = (Chia tử mẫu cho asinx + b cos x + c asin x cos x + b(cos x − sin x ) + c(cos x + sin x ) 2 2 2 x co s ) 1 A4 = = 2 (phải dạng A2 chưa?) (a s inx + bcosx) a sin x + 2ab sin x cos x + b cos x 1 A5 = = = (Chia tử mẫu a + cosx a (sin x + cos x ) + (cos x − sin x ) (a − 1)sin x + (a + 1) cos x 2 2 2 A3 = De cho?) A6 = 1 = = (Chia tử mẫu a + sinx a (sin x + cos x ) + 2sin x cos x asin x + 2sin x cos x + a cos x 2 2 2 2 cho?) 1 dx - Hàm số chứa cotx tách rời sin x sin x Th Dạng 6: I = ∫ f (cot x) Cách biến đổi: Đặt t = cotx Ví dụ 10: a) I = π /4 ∫ π /6 3cot x + 1 dx theo cách máy móc thấy hàm số chứa cotx ta sin x sin x A1 = iTh đặt t = cotx Nhưng tinh ý ta đặt nguyên t toán đơn giản nhiều Không tin thử? Cũng giống dạng đề cho sẵn dạng, mà phải qua phép biến đổi 1 1 = = (1 + co t x) Từ làm cho thầy ??? sin x sin x sin x sin x sin x A2, A3, A4, A5, A6 Ở dạng ta giải cách cách không chia cho cos mà ta chia tử mẫu cho sin Thử coi? Từ ta có nhận xét: hầu hết tích phân hàm lượng giác mà tử số số giải cách dạng dạng Ví dụ 11: I = π /2 ∫ sin x + cos x + dx sin x + 3cos x + Ta phân tích tử số: et u.N asinx + b cos x + c dx - Hàm bậc sinx, cosx chia hàm bậc sinx,cosx a 'sin x + b 'cos x + c ' Hướng giải quyết: Tử = asinx + b cos x + c = A(a 'sin x + b 'cos x + c ') + B(a 'cos x − b 'sin x) + C Dạng 7: I = ∫ sin x + cos x + = A(4sin x + 3cos x + 5) + B (4 cos x − 3sin x) + C = (4 A − 3B )sin x + (3 A + B ) cos x + A + C  A − 3B =  Khi ta có hệ phương trình: 3 A + B = (tức ta cho hệ số sinx, cosx đầu cuối)  5A + C =  giải hệ phương trình ta được: A = 1, B = 1, C = Khi đó: I = π /2 ∫ = π /2 ∫ sin x + cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 4sin x + 3cos x + dx + 4sin x + 3cos x + π /2 ∫ ∫ (4 sin x + 3cos x + 5) + (4 cos x − 3sin x) + sin x + 3cos x + cos x − 3sin x dx + sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx 4sin x + 3cos x + www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học I1 = π /2 ∫ I3 = π /2 ∫ sin x + 3cos x + dx = sin x + 3cos x + π /2 ∫ dx = π I2 = π /2 ∫ cos x − 3sin x dx đặt t = mẫu sin x + 3cos x + dx quay lại A3 dạng 4sin x + 3cos x + MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC THƯỜNG DÙNG TRONG TÍNH TÍCH PHÂN De / sin x = sin x.cos x 2/ cos x = cos x − sin x = cos x − = − 2sin x − cos x + cos x − cos x / sin x = / cos x = ⇒ tan x = 2 + cos x 3sin x − sin x 3cos x + cos x / sin x = / cos x = 1 7/ = + tan x 8/ = + co t x cos x sin x 1 / sin x + cos x = − sin 2 x = + cos 2 x = + cos x 2 4 10 / sin x + cos x = − sin 2 x = + cos x 11 /1 + sin x = (sin x + cos x) 8 Th CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM QUAN TRỌNG / (sin x) ' = sin x = + tan x cos x / (co t x) ' = iTh / (tan x) ' = / (cos x) ' = − sin x = + co t x sin x BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 1/ I = π /2 ∫ sin x.cos x(1 + cos x) dx 4/ I = ∫ 10/ I = 13/ I = sin x.cos x dx + cos x cos3 x dx + sin x π /2 ∫ π /4 ∫ ∫e sin x dx x sin x sin xdx 6/ I = ∫ x)3 dx cos x + cos x dx tan xdx 3sin x + cos x dx 9/ I = 3sin x + cos x π /2 ∫ π /2 ∫ 17/ I = π /4 ∫ 20/ I = π /2 ∫ 0 4sin x sin x + sin x dx + 3cos x π /12 π /3 cos x dx + cos x ∫ sin x.tan xdx 12/ I = (esin x + cos x) cos xdx π /2 ∫e cos x 23/ I = π /2 ∫ sin xdx 15/ I = ∫ sin x(1 + sin ∫ ∫ 14/ I = ∫ + cos π /2 π /2 (tan x + esin x cos x)dx π /2 22/ I = ∫ 0 I= π /2 ∫ + cos x dx 11/ I = 19/ I = π /2 sin x dx + cos x π /4 π /2 5/ I = 8/ I = 16/ I = ∫ 3/ I = tan xdx et u.N π /2 ∫ π /2 π /2 7/ I = 2/ I = π /2 ∫ − sin x dx + sin x cos x dx + cos x 18/ I = www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net ∫ cos x dx + cos x 21/ cos x(sin x + cos x)dx 24/ I = π /3 sin x dx − cos x π /2 ∫ sin x.cos3 x dx + cos x www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học 25/ I = π /2 ∫ I= sin x dx + cos x 26/ I = π /2 sin x ∫ + cos x 27/ dx π /2 ∫ sin x(1 + sin x)3 dx 28/ I = π /2 ∫ cos x + sin x dx cos x π /4 ∫ 34/ I = π /4 ∫ 37/ I = 43/ I = 46/ I = ∫ ∫ sin dx x ∫π /4 sin xdx π /3 dx sin x + cos x /3 ∫ π cos x dx (sin x + cos x + 2)3 49/ I = π /4 ∫ 52/ I = π /2 ∫ π /4 ∫ π /2 35/ I = 41/ I = sin x + cos x dx sin x − cos x cos x dx (sin x − cos x + 3)3 sin x 57/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x dx π /4 ∫ tan π /4 ∫ 38/ I = cos x + s in x xdx sin x dx (tan x + 1) c os5 x π /2 ∫ + sin x dx 30/ I = 33/ I = 36/ I = ∫ 39/ I = π /4 ∫ dx π /2 ∫ π 3cot x + dx sin x π /2 cot x e ∫ π sin x dx π /2 sin x − cos x 50/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x 56/ I = π /6 π /2 /4 53/ I = ∫ tan /4 47/ I = π /4 π /2 ∫ + cos x π /3 sin x + cos x dx + sin x /4 ∫ π ∫ + tan x dx 42/ I = 44/ I = π /2 ∫ 45/ I = tan x dx cos x dx (sin x + cos x) dx − cos x π /4 ∫ π sin /6 xdx dx x cot x 48/ 51/ I = π /2 dx ∫ π + sin x /4 54/ I = π /2 sin x − cos x dx + sin x /4 ∫ π π /2 sin x − cos x dx + sin x /4 ∫ π et u.N 55/ I = π /2 cos x dx sin x + cos x + ∫ sin x cos x iTh I= π /2 − π /4 tan x dx cos x 4π /3 ∫ π 32/ I = dx dx sin x + 2sin x cos x − cos x π /2 Th 40/ I = π /6 29/ I = dx De 31/ I = sin x π /2 sin x 58/ I = ∫ dx π /4 sin x + cos x www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net 59/ I = π /2 ∫ π /4 sin x dx sin x + cos x www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học C - TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ (CHỨA CĂN) www.Dethithu.Net b Dạng 1: I = ∫ f ( x; x − k )dx - Hàm số có chứa x2 − k a x − k = t − x ⇒ x − k = (t − x)2 ⇒ x − k = t − xt + x ⇒ x = Hướng giải quyết: đặt x2 dx Nếu đặt t = việc giải khó khăn De Ví dụ 1: I = ∫ x2 − t2 + k 2t x2 − = t − x Khi ta định hướng đặt x − = t − x ⇒ x − = (t − x) ⇒ x − = t − xt + x ⇒ x = t2 + t2 − ⇒ dx = ( )dt 2t 2t Th  t2 +   3+  3+ 3+ 2t  t − (t + 3)2 2t (t − 3) (t + 3)(t − 3)  I= ∫ dt = ∫ dt = ∫ dt t + 2t −(2t ) (t + 3) 2t −(2t ) t 3 t− 2t Đến việc giải tiếp dành cho em!!! Dạng 2: I = ∫ ( x + a)( x + b)dx - Hàm số có chứa ( x + a)( x + b) a+b iTh Hướng giải quyết: t = x + Ví dụ 2: I = ∫ ( x + 1)( x + 3)dx Đặt t = x + 1+ = x + ⇒ dt = dx , x + = t − 1, x + = t + 3 2 Dạng 3: I = ∫ dx, a < b ( x − a )(− x + b) et u.N I = ∫ (t − 1)(t + 1)dx = ∫ t − 1dx Hình quay dạng hehe!!! π Hướng giải quyết: x = a + (b − a) sin t , (0 < t < ) dx = 2(b − a ) sin t cos tdt x − a = (b − a ) sin t , − x + b = (b − a )(1 − sin t ) = (b − a )cos t I= ∫ 2(b − a ) sin t cos t (b − a ) sin t cos t Ví dụ 3: I = ∫ dt = ∫ 2dt = 2t − x + 3x + Ta phân tích: I = ∫ dx − x + 3x + dx = ∫ dx Trình bày lời giải cho thầy ( x + 1)(− x + 4) Nhưng phương trình vô nghiệm chắn cách không giải được!!!! www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học Dạng I = ∫ f ( x; a − x )dx - Hàm số có chứa a − x Hướng giải quyết: Đặt x = a sin t 1 Ví dụ 4: I = ∫ dx đặt x = sin t , trình bày lời giải tiếp − x2 De Ta quay lại với trường hợp phương trình vô nghiệm, coi cách có giải không? 1 Ví dụ 5: I = ∫ dx phương trình vô nghiệm có hệ số a < − x + x + Thử biến đổi: − x + x + = −( x − x + 1) + = − ( x + 1) I =∫ 1 dx = I = ∫ x2 + x + − ( x + 1)2 dx đặt x + = sin t thử coi không? Từ đặt câu hỏi: vô nghiệm hệ số a dương toán giải nào? Th Dạng 5: I = ∫ f ( x; x + a )dx Hướng giải quyết: có cách Cách 1: đặt x = a tan t Cách 2: đặt x + a + x = t x +3 dx iTh Ví dụ 6: I = ∫ cách 1: đặt x = tan t ⇒ dx = 3(1 + tan t )dt đổi cận x = 0, t = 0: x = 1, t = π / 1 đó: I = ∫ x +3 dx = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt ( tan t ) + = π /6 ∫ 3(1 + tan t )dt 3(tan t + 1) = π /6 ∫ x + + x = t ⇒ x + = t − x ⇒ x + = (t − x)2 ⇒ x = cách 2: đặt t2 + dx = ∫ dt = t − 2t x2 + 3t− 2t đó: I = ∫ π /6 ∫ cosx dx = ??? t2 − t2 + ⇒ dx = dt 2t 2t et u.N đổi cận: x = 0, t = : x = 1, t = + tan tdt = 2t t + ∫ t + 2t dt = 3 ∫ t dt = ln t | 3 = ln 3 Ví dụ 7: Đề không cho sẵn trên, bước tính cuối tích phân I =∫ x + 2x + dx - vô nghiệm hệ số a dương Ta biến đổi: x + x + = ( x + 1)2 + I = ∫ x + 2x + dx = ∫ ( x + 1) + cách 1: x + = tan t Giải tiếp cách 2: ( x + 1) + + ( x + 1) = t Giải tiếp (ta xem x + x ví dụ 6) Dạng 6: I = ∫ (a ' x + b ') ax + bx + c dx www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net 10 www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học Hướng giải quyết: đặt t = a'x + b' dx or ax + b + ax + c Dạng 7: I = ∫ ∫ dx ax + b − ax + c Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử mẫu cho dấu trừ ngược lại) Dạng 8: I = ∫ dx De xn xm + k hướng giải quyết: đặt t = xm + k (cách sử dụng hiệu đặt t = không được) x Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = - Hướng thứ hai: đặt t = x Th - Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn  π π Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ;   2 x = |a| cost; với t ∈ [0; π ] a2 − x2  π π ; với t ∈  − ;  \ {0} sint  2 a π  x = ; với t ∈ [0; π ] \   Đặt x = iTh x2 − a2 2  π π Đặt x = |a|tant; với t ∈  − ;   2 x = |a|cost; với t ∈ ( 0; π ) a2 + x2 a−x a+x cost Đặt x = acos2t ( x − a )( b − x ) et u.N a+x a−x a Đặt x = a + (b – a)sin2t  π π Đặt x = atant; với t ∈  − ;   2 a + x2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 1/ I = ∫x ∫ 4/ I = 3/ 7/ I = ∫ dx x2 + dx (1 + x )3 dx x4 + x2 2/ I = ∫ x3 3 5/ I = ∫x −1 8/ I = ∫ −3 x2 + 1 dx dx 33 3/ I = ∫ x3 − x dx − x3 dx x + + ( x + 4)3 6/ I = ∫ 9/ I = ∫ www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net dx x(1 + x ) x − dx x+2 x+2 11 www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học 10/ I = ∫ x−4 dx x + (2 − x)2 13/ I = ∫ x (1 + x )5 dx 14/ I = ∫ 16/ I = ∫ x +1 De dx 19/ I = ∫ x − xdx 17/ I = ∫ dx x 1− x dx 25/ I= ∫ 28/ I = ∫ 31/ I = ∫ -x - 2x + dx 3x + + 3x + dx x4 + x2 x + x +1 29/ I = ∫ x + x + 1.dx 32/ I = ∫ 24/ 1 x x2 + dx 18/ I = ∫ x5 − x dx x +2x+1 ∫ 21/ I = ∫ dx 26/ I= ∫ 15/ I = dx ( x + 1) −1 23/ I = ∫ Th x -3x+2 dx dx x +1 dx dx x(1 + x ) x3 16 12/ I = ∫ 3 20/ I = ∫ 3/ ∫ x + 2x x +1 x4 2 22/ I = x −1  dx   x +  ( x − 1) 11/ I = ∫  dx x + x3 dx ∫ ( 2x + 4) 27/ I = ∫ x2 + x dx x2 + x + 1 30/ I = ∫ − x − x + 3.dx dx 2x + − 2x + et u.N iTh www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net 12 [...]...www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi đại học Hướng giải quyết: đặt t = 1 a'x + b' 1 dx or ax + b + ax + c Dạng 7: I = ∫ ∫ 1 dx ax + b − ax + c Hướng giải quyết: nhân cho lượng liên hợp (nếu cộng nhân tử và mẫu cho dấu trừ và ngược lại) Dạng 8: I = ∫ 1 dx De xn xm + k hướng giải quyết: đặt t = xm + k (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được)... 2 BÀI TẬP TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ 4 1/ I = ∫x 7 3 ∫ 4/ I = 3/ 2 4 7/ I = ∫ 1 dx x2 + 9 dx (1 + x 2 )3 dx x4 1 + x2 7 2/ I = ∫ x3 3 0 3 5/ I = 3 ∫x 1 −1 8/ I = ∫ −3 x2 + 1 1 dx 0 4 dx 33 3/ I = ∫ x3 1 − x 2 dx 2 − x3 dx x + 4 + ( x + 4)3 6/ I = ∫ 1 6 9/ I = ∫ www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net 4 dx x(1 + x ) x − 4 dx x+2 x+2 11 www.D E T H I T H U N E T Võ Hữu Quốc Tích phân ôn thi... -3x+2 dx dx x +1 dx 1 dx x(1 + 4 x ) 1 x3 2 16 12/ I = ∫ 2 3 3 0 2 20/ I = ∫ 1 3/ 2 ∫ x + 2x 5 x +1 3 x4 2 2 0 2 22/ I = x −1  dx  2  x + 1  ( x − 1) 3 11/ I = ∫ 3  dx x 1 + x3 dx ∫ ( 2x + 4) 0 1 27/ I = ∫ 0 x2 + 2 x dx x2 + x + 1 1 30/ I = ∫ − x 2 − 2 x + 3.dx 0 dx 2x + 4 − 2x + 9 et u.N iTh www.DETHITHU.NET – Facebook: facebook.com/dethithu.net 12 ... quyết: đặt t = xm + k (cách này sẽ sử dụng rất hiệu quả khi đặt t = căn không được) x Tổng kết lại - Hướng thứ nhất: đặt t = căn - Hướng thứ hai: đặt t = x Th - Hướng thứ ba: dựa vào bảng sau Dấu hiệu Cách chọn  π π Đặt x = |a| sint; với t ∈  − ;   2 2 hoặc x = |a| cost; với t ∈ [0; π ] a2 − x2  π π ; với t ∈  − ;  \ {0} sint  2 2 a π  hoặc x = ; với t ∈ [0; π ] \   Đặt x = iTh x2 −