Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 40 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
40
Dung lượng
0,94 MB
Nội dung
NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Biên tập: Nguyễn Phú Khánh x x x y y Giải hệ phương trình: 3x y 2x y x y Lần – THPT QUỐC OAI Lời giải Điều kiện: y 0;1 3x 0 y x 3x x x 3x x y (1) 1 y y y y y Hệ phương trình x 3x 3x 4x 2 y 2x y x 1 y y y y a x a 2b 3a 2a 1 y Đặt: Khi ta có hệ: 3a 2a ab 1 b y Cộng theo vế hai phương trình cho nhau, ta được: a 2b 1 3a 2a 2a ab a 2b 1 3a 2a a 2b 3a 2a x 1 x y y y Thế vào (1) ta được: Với a 2b y 1 2 y y 2 y y 2 y y 2 y y 2 y 0 y x y y 2 y 0 14 2 y y x y y 11 11 y 14 ;x vào hệ, không thỏa mãn 11 11 a 3a a a 1 x y 4 a 3a 1 Thay y Với Khi đó: 1 x 2 x x 4; y Vậy, hệ phương trình có hai nghiệm: x ; y 0;2;4; Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 1- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x xy 2 y 1 y y x 6 x 1 y x y 1 2 x y x y 2 xy 3 x y xy x 3 x y x 1 12 x x y 2 x y x y 3x y (3 x 2) y x 14 x y x y 1 xy y y 3 x y x y x x x y x y 3xy ( x y ) 24 y x 27 y 14 x y x y y y 4( x y 1) xy ( x 1) y x (2 y 1) x 3x 2 x x x y y x y x 1 xy y 21 ( x x 2) y x ( x x 1) y (2 x x ) y x y y y x x 13 x 12 10 x y Lần – THPT SỐ BẢO YÊN Lần – THPT THẠCH THÀNH Lần – THPT NGHỀ NHA TRANG Lần – THPT NGUYỄN TRÃI – KONTUM Lần – THPT PHẠM VĂN ĐỒNG Lần – THPT SỞ BẮC GIANG Lần – THPT BÌNH LONG Lần – THPT LỘC NINH Lần – THPT NGUYỄN DU Lần 1– THPT TRẦN BÌNH TRỌNG Hướng dẫn: x Phương trình đầu tương đương 2 y x 1 x y y x y x 0, x Thay vào phương trình thứ hai ta được: x 1 x x x 2 x x x 1 4 x 13 x 10 x x 1 x 2 y3 x 3 3 2x 9y = (x y )(2xy + 3) 2 x y ( x y )(2 xy x y xy ) 2 x y xy x + y = + xy 2 x y x y x y x 8y3 2 x y xy x y xy x y xy x y x x 2 3 y y y 1 - 2- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 3 x y x 1 12 3 x y x x 12 Hệ (1) x x y 3 x y x x u x y u.v 12 u u Đặt hệ (1) v x x u v v v x y u 3x y ; v x x x 2 y x 3 y 11 u 3x y v x x x y 2 x 0, y Đặt a x y 1, b x y 1, a, b Phương trình đầu suy a b a b (a b ) a b 5x y x y x y Thay vào phương trình thứ hai, ta : (3 x 2) x x 14 x x ( a ) 2 1 Với x (a ) trở thành 3 14 Đặt u u 3, x x x x x Khi đó, có phương trình: 2u 4u 3u 26 u u x 1 y x x 1 y 1 Đặt a x 1; b y ;a, b thay vào phương trình đầu ta được: x x y a 2b a ab 4b a 2b y x , thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x x x x x x x 1 (*) Đặt t x x 1; t , (*) trở thành: t 2t t thỏa điều kiện x y 4 Phương trình đầu tương đương ( x y ) 3( x y ) 2 y 2 2 y 2 x y 2 ( x y ) ( x y ) 2 y 2 2 y 3 y x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 1 x x x x x 1 x ( x 4) x (x 5) ( x x 2)( x 2) 3 x 1 x x 1 x x 23 x 2 x 1 x x 3 x x Phương trình viết lại y x 3x ( y 2)( y 2)( y x ) y 2 x x 2 1 y x 1 x x ( x ) ( x ) (vn ) 2 - 3- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 1, x y x x x y y x y x xy y x x y x y 2 x y 2x x y x x y Do x 1, x y x y , từ suy x y Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x y 2 x y xy x x x 21 x 1 1 x x 21 x 2 x x x 2 x x 21 x x 21 10 x 91 x 21 x 2 ( x ; y ) (0;0) nghiệm hệ, cặp nghiệm ( x ;0),(0; y ) với x 0, y không nghiệm x y xy y x x ( xy 1) y xy Với x 0, y x ( xy 1) xy ( xy 1) y x y x y x y y x y xy x 1 x ; y 1; ( x ) y x a 2b a x , b , a ab b 1 y x 4 1 1 1 x x x ; y ; 29 y y x x x x y x 10 x y 0, t x y (t 0) x y 3xy y y 1 Bài 3 x xy y x y Giải hệ phương trình: 5 x xy y x y Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU Lời giải 3 x xy y 3x y (1) Lấy (1).3 (2) theo vế, ta được: 5 x xy y 3x y (2) x xy y x y (2 x y ) 3(2 x y ) x y x y x y Với x y y x , thay vào (1) ta được: x x x y 7 x y Với x y y x , thay vào (1) ta được: x 11x x y 7 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm 0;1;1;0; ; ; ; 7 7 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 4- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x ( x y ) y x 1 x ( x y ) y x 504 y y 1008 2016 x x x x xy xy x x x y y x x x x y x y ( y 1) 6 x x y y xy 3 x 2 x y x y x y xy y x y 3 x y x 14 y 12 y x y x y ( x xy y 1) y y x 5 x 26 x 44 x 20 51 y y y x x x 1 x y x y y x x y x x y 17 x x y 2 y y y 1 x x xy x y y 3x x 14 x x x y y x x x 10 x y x y ( x 1) Lần – THPT GDTX NHA TRANG Lần – THPT HỒNG QUANG Lần 1– THPT HÀ HUY TẬP Lần – THPT HỒNG QUANG Lần – SỞ QUẢNG NAM Lần – THPT BÌNH LONG Lần – THPT THỪA LƯU Lần – THPT THUẬN THÀNH Lần – THPT THANH HOA Lần – THPT THANH HOA Hướng dẫn: Nhận thấy x không nghiệm hệ x y y x Với x , hệ cho tương đương (*) y2 1 ( x y ) 7 x x y a a b Đặt y , hệ (*) trở thành hệ phương trình , hệ có nghiệm a 2b b x x x Từ ta tìm y y 2 Phương trình đầu tương đương: a a 5 b b 2016 x x 2016 2 y 2 y y ( x a x x x a x a để đảm bảo khác liên hợp) - 5- Email: phukhanh@moet.edu.vn x NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x x x y 2 x x 1 3x 25 x x x x 2 11 3 11 x x 2 x x y Thay y x 1; y Phương trình đầu tương đương: x x y y x x x x x x y x 1 x y x y x x x2 y x2 x x y x x y x2 x với x 1; y Thay x y vào phương trình thứ hai, ta được: x x x x ( x 1) x x 1 x x 1 x 25 25 y 6 Phương trình đầu tương đương: y x y x 1 y 3 x y x Phương trình thứ hai ta có: y nên y 3 x không thỏa mãn Thay y x vào phương trình thứ hai ta x x x x , phương trình có nghiệm x y x y ( x y )( y 1) 2( y 1) (1) 3 x y x 14 y 12 (2) (1) xy xy 2 y 1 y 1 xy xy 1 x y Thay vào (2) ta được: y 1 y 1 y y (2 y 1) 14 y 12 y y y 10 y 11 4( y 2) 3( y 1) y 10 y ( y 3) y 1 (3) y y , : 1 y nên y 2 y 1 y 1 2 32 , 3 , y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y y không thỏa hệ x y 1 Phương trình thứ tương đương ( x 1) y x y 1 ( x 1)( x x 1) y ( x 1)( x y 1) ( x 1)[ x x xy y y ( x 1)[ x (3 y 1) x y y y x y 1 ] y x y 1 ] (*) A x (3 y 1) x y y 0, 3( y 1) 0, x - 6- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Với x 1 thay vào phương trình thứ hai, ta y y y Phương trình đầu tương đương x x Thay vào phương trình thứ hai, ta ta tìm x y 1 1 17 y 1 y x2 4x 5 x x x x x 19 , đặt ẩn phụ, từ 23 341 353 19 341 23 341 353 19 341 y x y 2 2 x y Phương trình đầu viết lại 2 x y 1 x y x y 1 x y x y x y 1 x 0; y x y x y 1 x y x y x y 1 x y 1 x x y 1 y 1 x y 0 x y 1 x y x y x y TH1: x y y x 1 Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x x 14 x x x (a ) , điều kiện: x (a ) 6 x x 16 x x 3 x x x 9x x x 1 x x 16 x x x x x 0 x x 16 3x x 3x 1 x y x x x 16 3x x TH2: x y 1 x y x y x y y x x y Ta có: x y x y x y Trừ hai vế tương ứng hai phương trình ta được: x y y x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 16 x x x (b ) , điều kiện x x x 2 (b ) x x x (vô lý) phương trình vô nghiệm x x x x y ( x ; y ) (0;1) không nghiệm hệ 2 y x - 7- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 y 1 x Phương trình đầu viết lại: y y y 1 x x xy ( y x 1)( y 1 x x y 1) y x 1; y 1 x x xy y y 1 x x y 1 0, y y 1 x x y y x 3x 14 x Thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x x 14 x ( x 4) (1 x ) ( x 5)(3 x 1) ( x 5)( 3x 1 6 x x 1) x x 10 Phương trình đầu tương đương x ( x y x x ) ( x y ) y yx x x y ( x y )( x y x x x ) 2 x y x x x Vì suy x y Thay vào phương trình thứ hai : x x x x ( x 1) y Đặt t x x 1(t 0) t x x ( x 1) , tìm t x x x 25 25 25 x ( x 1) x x ( x ; y ) ; 16 16 16 4 x x 25 20 x x Bài x xy 2 y 1 y y x Giải hệ phương trình: 6 x 1 y x y 1 Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải Điều kiện: x Phương trình đầu tương đương: 2 y x 1 x y y x y x 0, x Thay y x vào phương trình sau ta được: x 1 x x x 2 x x x 1 với x 4 x 13 x 10 x y Với x x x Vậy, nghiệm phương trình ( x ; y ) (2;3) Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 xy x y 1 xy x y x y x 2 x y x x y x x x y x x y - 8- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lần – THPT HÙNG VƯƠNG – BÌNH PHƯỚC NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 ( x y )( x xy y 3) 3( x y ) 4 x 16 y x y y x x xy y x y y x (1 y )( x y 3) x ( y 1)3 x x y x 2( y 2) Lần – THPT NGUYỄN HỮU CẢNH Lần – THPT ĐỒNG XOÀI Lần 1– THPT TÔN ĐỨC THẮNG 2 x x x y y x y x 1 xy y 21 x xy 2 y 1 y y x 6 x 1 y x y 1 xy y y x 1 y x 3 y 2x y 2x y x y 1 x 2x x y y 1 4 x y x x y x x 10 x x 11x y x y 12 x 12 y Hướng dẫn: x y Lần 1– THPT TRẦN PHÚ Lần – THPT TRẦN PHÚ Lần – THPT TRẦN QUANG KHẢI Lần – THPT VĂN GIANG Lần – THPT VIỆT TRÌ 2 Phương trình đầu tương đương: ( x y ) 2xy 1 ( x y 1)( x y x y ) x y x y 1 x y nên x y x y x 1 y Thay x y vào phương trình sau ta được: x (1 x ) x x x 2 y x y x y Phương trình (2) y x 1 , vào phương trình (1) ta được: x x x x x Từ có: x 1 x 2, y x x 4 x x x 1 x 16 Phương trình đầu tương đương ( x 1)3 ( y 1)3 y x Thay y x vào phương trình thứ hai, ta được: - 9- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 22 x x x 4 x 2 2 4( x 2) x 2 2 ( x 2) ( x 2)( x 2) 22 3x 3( x 2) 22 x 0 22 Nhận thấy VT hàm số đồng biến đoạn 2; , suy x 1 nghiệm 4 phương trình, với VT ( x 2) x 2 2 22 3x 4 y 1, x 0, y x Phương trình thứ hai biến đổi dạng: y x 1 y 1 x , thay y x vào y 1 x phương trình đầu, ta được: x x 1 x x Hàm số f ( x ) x x x x đồng biến f (2) x y x y Nhận xét x 1, y không nghiệm hệ Xét y phương trình x 0, y x 1, y x x x đầu viết lại x x ( y 1) 3( y 1) ( y 1) x ( y 1) 3 0 y 1 y 1 y 1 t x , t Khi đó, ta có t t t t 1t t 2t 3 t y 1 Với t , x y x , vào phương trình thứ hai, ta y 1 x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 0 x x 2 3 x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 2 3 x x x x x x 1 x 1 3 x 1 y 2 x 1, x y x x x y y x y x xy y x x y x y 2 x y x y 2 x y 2x x y x x y xy Do x 1, x y x y , từ suy x y Thay vào phương trình thứ hai, ta x x x 21 x 1 1 x x 21 - 10- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Đặt x x x x xy y y xy 1 2 y y y y Với y 0,(1) x 5xy y y 2 2 x t t [2; 4] y 2t 5t t t 2t (t 3) t ( t 1) (1 t ) 2t ( t 3) ( t 3) t t 3 t 1 1 t Thay x y vào (2) ta được: t x 3y x x 2x x x x x 1 x x x Xét hàm số f (t ) t t , f (t ) t Với f x f x Bài t2 0, t t2 x x x y 0; x y x x y x 1 y 1 x 1 Giải hệ phương trình: 3 x x x 1 y Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Lời giải Điều kiện: x 1; y 1 Phương trình đầu tương đương: x x x 1 x3 x2 x y x 1 y 1 y 2 y x 1 x 1 x x x x x 1 y y (*) Xét hàm số f t t t có f t 3t 0, t f (t ) đồng biến x f Nên (*) có dạng f x Thay x x 1 y 1 y 1 x 1 x x x 32 x x 1 13 x x x x 9 x 10 x 2 x 1 x x x x2 1 x 1 x 1 x x 1 y vào phương trình thứ hai, rút gọn ta x x x x Ta có y suy y Với x y 3 13 41 13 Với x y 72 - 26- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Các nghiệm thỏa mãn điều kiện 3 13 41 13 ; Hệ phương trình có hai nghiệm x ; y 3 3; , 72 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: x y x y 24 x 24 y 52 x Lần – THPT CAM RANH y x x 13x y y 10 Lần – THPT CAM RANH x y x y x x 10 y xy ( x 1) x y x y Lần – THPT CHUYÊN SƠN LA 3 y x 4 y x x x y x y 3x y 5 x y 10 y 2 y 6 x x 13 y x 32 Lần – THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC x y x y x y xy x 2015 x x y 2016 x x y y x y y x x xy y Lần – THPT LIÊN SƠN Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Hướng dẫn: 2 x 1 y Đặt t y Biến đổi phương trình đầu dạng x x 24 x t 3t 24 t x y Xét hàm số f x x x 24 x liên tục 2;2 , từ có hệ mới: x y 2 Phương trình đầu viết lại: x x 13 x y y 10 x ( x 2) y y (*) Xét hàm số f t t t , có f ' t 3t t f t đồng biến Do (*) y x Thay y x vào phương trình thứ hai ta được: 3x x x x 10 x 26 x x x x 10 x 24 (điều kiện : x ) 3 x 2 x 2 x 2 x x 12 3x x - 27- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 3x 1 2x x x 12 (*) (*) vô nghiệm với x x x 12 Phương trình đầu viết lại: x y x y 1 y x y x Với y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 4 x 2 1 x x 1 2 x 1 2 (3x )2 2 x 1 Xét f (t ) t (3 x ) ( a ) t có f '(t ) 0, t f (t ) hàm số đồng biến nên (a ) có dạng 1 f 2 x 1 f 3 x x x x y 5 Với y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: 3( x 1) x x 2 x x x x 2 Điều kiện : y y 7 Phương trình đầu viết lại x 1 x 1 y 1 y 1 3 a Xét hàm số f t t 5t , tập , f t 3t 0, t hàm số f t đồng biến Từ a có dạng f x 1 f y 1 x y b Thay b vào phương trình thứ hai ta được: 5 x x 10 x 2 x 6 x x 13 x x 32 c điều kiện: x 2 x x 10 x x x 5 x x 7 3 x x 5x 10 2x ( x 2) x 5 x x 2 2 c Với x y x ; y 2;2 Thỏa mãn Với 5x x 10 x 7 3 x x 10 x 7 3 2x x 2 2 x 5 x 5x 10 x 0 x 2 2 2x 1 1 5 x 5x 10 2x 6 vô nghiệm 0, x 2 x 0,x 2 x 2 0, x 2 8 xy x x x y - 28- Email: phukhanh@moet.edu.vn 0, x 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 1 y y y x x x y y y x 3x x 1 x x 1 x y y y x 1 x 1 x 1 Xét hàm số f t t 2t 3t , t Có f ' t 3t t t , suy f t đồng biến Ta 1 f y f x 1 y x 1 Thay y x vào 2 rút gọn phương trình * x 2015 x 2016 x Ta có 2015 2016 x x 2016 x 2015 x Xét hàm số g x x x 2016 x 2015 , x g ' x x x 8 x x 3 2016 x 2015 2016 x2 3 x2 8 x 8 x 3 2016 x 2015 2016 2015 Suy g x nghịch biến ; 2016 Suy phương trình g x (Phương trình (*)) có tối đa nghiệm Mặt khác g 1 Từ ta x nghiệm phương trình (*) Với x y 2 (thỏa mãn điều kiện ban đầu) x y y 3x (1) Ta có hệ phương trình y y x x xy y (2) Điều kiện: y 1, x 0, y x (2) y x ( y y 1) x ( y xy y ) y 1 x ( y 1) x y ( y x 1) y 1 x ( y x 1) y 1 x y x y x Do Thế y vào (1) ta y 1 x 0, y 1, x 0 y 1 x x x x x (3) Xét f ( x ) x x x x , f '( x ) 2x 1 x x 1 Xét g (t ) t t 3 x 1 x x 1 , g '( t ) ( t 3)3 x 1 (2 x 1) x 1 (2 x 1) 0, t suy g(t) đồng biến Do x x nên g (2 x 1) g (2 x 1) suy f '( x ) g (2 x 1) g (2 x 1) 0, x - 29- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Do f ( x ) đồng biến , nên (3) f ( x ) f (2) x y Bài 10 2 x x x 1 x 2 y y Giải hệ phương trình: x 14 x y 1 2 Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lời giải Nhận thấy x nghiệm hệ, chia hai vế (1) cho x ta 2 y y 1 1 3 y y y * x x x x x Xét hàm f t t t , t , có f '(t ) 3t 0, t nên hàm f (t ) đồng biến 1 * có dạng f 1 f ( y ) y 3 x x x 15 x x 15 x 1 x 7 0 2 x x 15 x 15 0 111 Vậy, hệ cho có nghiệm x ; y 7; 98 Thế (3) vào (2) ta Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 x y y 9 x xy y x y x x y y x y 13 x 1 2 2 x x y x x y x x y2 x y2 y2 1 x x 2x 1 2 x 1 y x xy (2 x xy ) x x 3xy x ( x y ) x y y ( y 1) x y 5x 7( x y ) xy x x y y x y x x x y Hướng dẫn: - 30- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT PHƯỚC BÌNH Lần – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lần – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lần – SỞ GD TP HÀ NỘI Lần – THPT TÔ VĂN ƠN Lần – THPT TRẦN QUÝ CÁP NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x y , để hệ có nghiệm y x 1 VT (1) x y VT (1) VP (1) hệ vô nghiệm VP (1) y Nếu y , từ phương trình thứ hai suy x x xy y y y (*) x x 2 Xét hàm số f (t ) t t , t 0; f '( t ) 2t t2 t (*) có dạng f f ( y ) y x x y x Thế x 9 vào phương trình đầu ta được: 2 y y Hàm số g ( y ) 2 y đồng y y y biến ;0 ; hàm số h( y ) y nghịch biến ;0 g (3) h(3) Phương trình đầu viết lại: x x y 1 y 1 (*) Xét hàm số f t t 3t có f t 3t 0, t f t đồng biến Do (*) x y Thế x y vào phương trình thứ hai ta được: x 1 x x 3 x 1 a Nhận thấy x không nghiệm phương trình Với x a viết lại dạng Xét hàm số g x Ta có: g x 2x 7x 2x 7x 2x 3 7 x 6 x x 1 x x 1 có D \ 1 3 g x 0, ; x 1, g không xác định x 1 Hàm số đồng biến khoảng ;1 1; Ta có g 1 0; g 3 Từ phương trình g x có hai nghiệm x 1 x Vậy hệ phương trình có hai nghiệm 1;2 3;2 x y Phương trình đầu tìm được: x x y x x y , thay vào phương trình thứ hai, đưa 2 dạng: Xét hàm f t t t đồng biến x x x x 1 1 1 ;x ( x ; y ) ; Từ giải x 2 x x - 31- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x x xy Phương trình viết lại: 1 y 1 1 1 y y y (*) x x x x Xét hàm số f (t ) t t , t có f ( t ) hàm số đồng biến 1 Do (*) có dạng f ( y ) f y x x Khi đó, phương trình thứ hai (2 x 7) x 3x x 3x x (vì 2x 7 không nghiệm) 2 , với x ; \ 2x 7 3 2 10 g ( x ) , với x ; \ x 2 x (2 x 7) 2 7 7 Suy g ( x ) đồng biến ; ; Xét hàm số g ( x ) x x Mà g (1) g (6) nên phương trình có hai nghiệm x 1; x x y 0, y y không thỏa hệ x y y y x y y ( x y )( x y ) x y y ( x y )( x y x y 2y )0 x y Thay vào phương trình thứ hai, ta x x 14 x x x 1 ( x 1) 3( x 1) x x 3 x x dạng f ( x 1) f ( x x 8) x x 2 Xét hàm số f t t t 2; Ta có: f ' t 3t 0, t 2; Mà f t liên tục 2; , suy hàm số f t đồng biến 2; Do đó: x y 1 Thay vào phương trình (2) ta được: x x x3 8 x x 2 x x x x x x 2 2 x 2 2 x 2 x x x 2 2 x 2 x 2 2 x 2x - 32- Email: phukhanh@moet.edu.vn x 2 2 (*) 0 x x 2 x y x 2x x 2 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Ta có VT x x x 1 3;VP 2 Bài 11 x 2 2 1, x 2; x xy x y x y y Giải hệ phương trình: x 3 y 1 y 1 x x 3 x Lần – THPT LƯƠNG TÀI Lời giải Đặt a x 3, b y a, b phương trình đầu trở thành: a 2b ab a b a b a 2b Với a, b a 2b vô nghiệm Xét a b y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 3 x 3 x 1 x 2x 3 x 2 x 3 x 3 x 1 x 2x 3 x 3 x 1 x y ( thỏa mãn ) x 3 Phương trình * x 2 x x 1 x 2x 3* x x 1 2 x 1 * * Xét hàm số: f t t 2t 2 , t có f ' t t f (t ) đồng biến nửa khoảng x x 3 y 5 x 3x 0; * * có dạng f x 1 f x 1 x x 1 Vậy, hệ cho có nghiệm ( x ; y ) 3;5 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 32 x y y ( y 4) y x ( y 1) x x 13( y 2) 82 x 29 ( xy 3) y x x ( y 3x ) y x 16 2 y x x 10 x y x y x y (2 x x 1)(2 y y 1) x x y y Hướng dẫn: 1 x , y 2 - 33- Email: phukhanh@moet.edu.vn Lần – THPT BỐ HẠ Lần – THPT PHAN THÚC TRỰC Lần – THPT THẠCH THÀNH Lần – THPT TRẦN PHÚ – VĨNH PHÚC NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Phương trình đầu viết lại: (2 x ) x ( y y ) y y (2 x ) x y 2 y (a ) Xét hàm số f (t ) t t , f '(t ) 5t 0, x f ( t ) đồng biến (a ) có dạng f (2 x ) f ( y 2) x y Thay x y ( x 0) vào phương trình thứ hai ta được: (2 x 1) x x 52 x 82 x 29 (2 x 1) x (2 x 1)(4 x 24 x 29) (2 x 1) x x x 24 x 29 2 x x 24 x 29 (b ) (b ) ( x 2) (4 x 24 x 27) x 2x 1 2x 3 2x 1 (2 x 3)(2 x 9) (2 x 9) c Đặt t x x t c trở thành t 2t 10 21 (t 3)( t t 7) Từ tìm t 29 13 29 103 13 29 thỏa mãn, suy x ,y 2 x 2; y 2 x Phương trình đầu viết lại: ( x 1) ( y 3) y ( x 1) x ( y 3) y ( x 1) x ( a ) 31 Với x thay vào phương trình thứ hai, ta được: 2 y y ( không thỏa ) Phương trình (a ) y y ( x ) x (b ) Xét hàm số f (t ) t t , t có f '(t ) 3t 0, t f (t ) đồng biến Phương trình (b ) có dạng: f ( y ) f ( x ) y x y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x 2 x x 16 32 x 16 2(4 x ) x 8(4 x ) 16 2(4 x ) ( x x ) ( c ) Đặt: t 2(4 x ) (t 0) ; phương trình ( c ) trở thành: 4t 16t ( x x ) t x t ( không thỏa ) 0 x x 4 6 2(4 x ) 32 x y x 3 y y ( x ; y ) (0;0) không nghiệm hệ x Với t 2 y y Xét x , chia hai vế phương trình đầu cho x , ta x x (1) x x - 34- Email: phukhanh@moet.edu.vn x NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét hàm số f t t 2t , t Ta có f ' t 5t 0, t Vậy hàm số f t t 2t đồng biến Do (1) x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta được: y y x2 x y y (2) Xét hàm số g ( y ) y y 1, y 1 Ta có g '( y ) 0, y Vậy g(y) đồng biến khoảng 2 y5 y 1 ; x x 2 Mà g (4) nên (2) y y y 4 y y x x y (2 y ) (2 x) (2 x ) (*) Xét hàm số f (t ) t t có f '(t ) t t 1 Thay vào (2) ta t 1 t t 1 0, t suy hàm số đồng biến , (*) x y x x x 3x x x 4( x 1) x ( x 1) x 1 4 (chia vế cho x x không thỏa mãn) x x ( x 1) t , ta có phương trình mới: 4t t t x x y 1 ( x 1) 2 Tức x x x x 1 x x y 2 Bài 12 2016 x y ( x x )( y y ) Giải hệ phương trình: Lần – THPT SÔNG LÔ 25 x x x 18 y y 1 Đặt Lời giải Điều kiện : x Phương trình tương đương 2016 x ( x x ) 2016 y ( y y ) x ln 2016 ln( x x ) y ln 2016 ln[ ( y ) ( y )] (*) Xét hàm số : f (t ) t ln 2016 ln( t t ), t có f ' t ln 2016 t 2 số đồng biến Phương trình (*) có dạng f ( x ) f ( y ) x y Thay vào phương trình thứ hai, ta : 25x x x Nếu x 18 x 18 x ,7 x VT ( a ) VP (a ) (loại) x 1 - 35- Email: phukhanh@moet.edu.vn 18 x (a) x 1 0, t Do hàm NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 18 25 9 x x x 1 Đặt t (0 t ) ta x Nếu x 18t 18t 12 2t 9 t t 1 t 1 36(t 2) ( t 2) 2( t 2) 0 t 1 4t 36 2 (b ) t t 1 4t 9 36 Vì t 12 36 VT (b ) 0, t 0; 9t 1 ,y t Từ tìm x 2 1 Vậy, hệ cho có nghiệm ( x ; y ) ; 2 25 9 t 2t Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: x x x y1 Lần 1– THPT ISCHOOL – KHÁNH HÒA y y y 3x 1 2 y x x y y Lần – THPT TĨNH GIA 3 x x 2 y 2.2 x 6 y3 9.2 x 6 y3 22 x x 2 y 1.3 x 3 y 18.4 x x 2 y Hướng dẫn: u u 3v (1) u x 1, v y , , hệ trở thành v v 3u (2) Trừ (1) (2) vế theo vế ta có u u 3u v v 3v (*) t Xét hàm số f (t ) t t 3t có f '(t ) 3t ln 0, t t 1 Do (*) f (u ) f (v ) u v Với u v thay vào (1) ta u u 3u 1 u u 1 2 3u 3u u u 1(**) u u ln 0, u u 2 y x y Phương trình (1) y x y y x y 3 y x y Xét hàm số g (u ) 3u Từ : 2 x x 2 y u u , g '(u ) 3u 2 x y 2 x 6 y x x 2 y - 36- Email: phukhanh@moet.edu.vn x 3 y2 x x 2 y NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x x 2 y x 3 y 2 x x 2 y 1 x x 2 y 1 x x 2 y 3x 3 y2 1 x y 2 x x 2y x 3y 2 x y 2 x y 2 y x y 4 y y x x 12 TH1: x x y x y y y 2 x y 9 y y x 3 y x y x x y TH2: x x y x y y y x y Bài 13 4 x y x x x x y Giải hệ phương trình: x 12 y y 12 x 12 Lần – THPT NGUYỄN VIẾT XUÂN Lời giải x y 12 Điều kiện: * y 12 x x x y Phương trình thứ hai tương đương: x 12 y 12 y 12 x 12 x 12 y 12 x 24 x 12 y 12 12 y y 12 x x 12 y 12 x 12 y x 3; y 12 Thay y 12 x vào phương trình ta được: x x x x 3x x x 1 3x x 5x 1 x x 3 x x x x x x x x Khi ta nghiệm x ; y 0;12 1;11 Vậy, hệ phương trình cho có nghiệm x ; y 0;12, 1;11 Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: - 37- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4 y x y 85 50 x y 13 y x x xy y x xy y 3( x y ) 2 x y y 8 x y x xy x 11 12 x y x x xy 17 y 17 x xy y 5( x y ) ( x 1) x y (6 y 11) x x x x y y x y x y y x y x y x x Lần – THPT ĐOÀN THƯỢNG Lần – THPT QUỲNH LƯU Lần 1– THPT SỞ NAM ĐỊNH Lần – THPT NGUYỄN KHUYẾN Hướng dẫn: 11 23 11 Ta có x 3xy y ( x y )2 ( x y ) ( x y ) 6 36 6 Nên 11 11 11 x xy y ( x y ) x y x y 6 6 6 Tương tự x xy y ( Cộng lại ta : 11 11 11 x y)2 x y x y 6 6 6 x xy y x xy y 3( x y ) dấu xảy x y 11 23 ; ; sau : 6 36 2 x xy y (ax by ) c (x y) Do tính đối xứng nên giả sử : 4 x xy y (b x ay ) c (x y) a c Khai triển đồng hệ số ta có hệ số x b c a b VP 3( x y ) 11 23 Trừ vế (1) cho (2) kết hợp với (3), ta a ; b ; c 6 36 Chú ý : Cách tìm hệ số PT (1) 4 x x x 85 57 x 13 x x 4 x x 2x 5 x x 1 Áp dụng bất đẳng thức bunhia copki ta có : VT (4 x ) 12 ( x 2) (7 x ) (4 x ) 12 (5 x ) 4 x x 2x 5 x x 1 4x Dấu xảy x 3 x 2 2x 2 x , y - 38- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4x 8 y Đẳng thức xảy y x 4x y y 8 x y 8 x Đẳng thức xảy y x 2 x y 4( x 2) y Suy x y y 8 x y x Đẳng thức xảy y x Do phương trình tương đương y x thay vào phương trình thứ hai, ta được: x x 11 x 3x x x 3 3x x 1 x x 3 3x x x x 3 do x 2; 3x x 3x x 1 0 x x 3 3x x x x 1 x x (a ) (b ) 3x x 3x x x x 3 13 13 ( thỏa mãn ) x ( không thỏa mãn ) 2 7 3x x 2; : g ( x ) x x g '( x ) 1 0 3x 3x 7 1 g ( x ) g 3 3x x 7 1 x 2; x x 10 3x x 1 7 1 x 2; : nên (b ) vô nghiệm 3x x 3x x x x (a ) x x 2 , phương trình x y VT (1) ( x y ) ( x y ) (4 x y ) ( x y ) ( x y ) (4 x y ) x y x y thay x y ( x 1) x x (6 x 11) x x ( x x 12) x x x x x x ( x 2) x 6( x 2) x 2x x x 2 x2 x 2 6 x 2 0 x x x 0(do x 0) x x x 2 Đặt t x x 2 x x 2 , phương trình trở thành: 2t t t (2t 3)( t 2t 2) t 369 x x x x 18 x - 39- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Từ phương trình đầu hệ ta có đánh giá: x 3x x 3x 3.1.1 x 3x y2 3y 2 x 3x y y Từ phương trình đầu suy ra: x y x 1 x x y y 3 y 3y 2 y y .1.1 x y x y Thay y x vào phương trình thứ hai, liên hợp ta tìm nghiệm: 1 x ; y ; ,3;3 2 - 40- Email: phukhanh@moet.edu.vn [...]... 9 x 5 Giải hệ phương trình: x 3 y 3 12 x 3 y 3 y 2 6 x 2 7 Lời giải x 3 Điều kiện : y 1 - 17- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 1 4 t 0, t 2; 4 Lần 2 – THPT ANH SƠN 2 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Phương trình thứ 2 tương đương với ( x 2)3 ( y 1)3 y x 1 (3) Thay (3) vào phương trình thứ nhất... Lần 2 – THPT CHUYÊN NGUYỄN HUỆ Lần 2 – THPT CHUYÊN QUANG TRUNG Lần 1 – SỞ GD TP HÀ NỘI Lần 2 – THPT TÔ VĂN ƠN Lần 1 – THPT TRẦN QUÝ CÁP NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x y 6 0 1 , để hệ có nghiệm thì 1 y 0 x 1 VT (1) 2 x y 6 2 5 VT (1) VP (1) hệ vô nghiệm VP (1) 1 y 1 Nếu y 0 , từ phương trình thứ hai... 27 x 2 27 x 8 0(vn ) Vậy, hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) (0;2) Bài tập tương tự: Giải hệ phương trình: 2 x 3 4 x 2 3 x 1 2 x 3 2 y 3 2 y 1 x 2 3 14 x 3 2 y 1 - 23- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 2 Lần 2 – THPT HẬU LỘC NHOÙM TOAÙN 02 2 3 4 5 6 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 2 x 2 y 2 2 x 1 x 2 ... 1 y 1 vào phương trình thứ hai, rút gọn ta được 3 x 2 8 x 3 4 x x 1 2 Ta có y 1 suy ra y Với x 3 2 3 y 2 4 3 3 5 2 13 41 7 13 Với x y 2 9 72 - 26- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện 4 3 3 5 2 13 41 7 13 ; Hệ phương trình có hai nghiệm... được phương trình * x 2 8 2015 x 2 3 2016 x Ta có 2015 2016 x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 0 x Xét hàm số g x x 2 8 x 2 3 2016 x 2015 , x g ' x x x 8 2 x x 3 2 2016 x 2015 2016 x2 3 x2 8 x 2 8 x 2 3 2016 0 x 2015 2016 2015 Suy ra g x nghịch biến trên ; 2016 Suy ra phương trình g x 0 (Phương trình. .. 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 4 x 1 Phương trình đầu viết lại: ( x 2 y ) (2 x 3 4 x 2 y ) ( xy 2 2 y 3 ) 0 ( x 2 y )(1 2 x 2 y 2 ) 0 x 2 y Vì 1 2 x 2 y 2 0, x , y Thế vào phương trình thứ hai, ta được: x 2( ) 2 x x 16 x 1 2 2 2 2 x 4x 7 x 8 x 4 x 4x 7 2 x 1 x 8 Phương trình. .. Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 xy y 2 2 y x 1 y 1 x Tương tự: 3 6 y 3 2 x 3 y 7 2 x 7 Lần 1 – THPT LÝ THÁI TỔ Điều kiện: x 0, 1 y 6, 2 x 3 y 7 0 (*) x 0 Nhận thấy không là nghiệm của hệ phương trình y 1 x 0 y 1 Khi đó phương trình đầu x ( y 1) ( y 1) 2 ... 0; xy 0;1 x 1 Từ phương trình thứ nhất, ta có được: x 0 y 0 x 0 Xét , thỏa mãn hệ phương trình y 0 - 14- Email: phukhanh@moet.edu.vn 1 y 1 1 0 y 1 NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Xét x , y không đồng thời bằng 0, phương trình thứ nhất tương đương với: 9 y 2 2 y 3 y x 3 x 4 xy 4 x 0 9 y 2 2 y ... - 11- Email: phukhanh@moet.edu.vn NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 x 2 x 0 x 0 hoặc x 1 Bài 4 2x 2 y 2 x 3( xy 1) 2 y Giải hệ phương trình: 2 2 9 2x y 9 3 2 x y 3 4 5 x Lần 1– THPT BẢO THẮNG SỐ 3 Lời giải 4 Điều kiện: x ;2 x y 0 5 Phương trình đầu tương đương: 2 x 2 y 2 x 3( xy 1)... NHOÙM TOAÙN 02 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUA KỲ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2016 Ta có VT x 2 2 x 4 x 1 3 3;VP 2 2 Bài 11 x 2 2 1, x 2; x 3 xy x 3 y 3 x 1 2 y y 1 Giải hệ phương trình: x 3 y 1 y 1 x 2 2 x 3 x 1 2 Lần 3 – THPT LƯƠNG TÀI 2 Lời giải Đặt a x 3, b y 1 a, b 0 thì phương trình đầu trở