Đang tải... (xem toàn văn)
Tài liệu tham khảo các bài tập phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy và đáp án dành cho các bạn học sinh nhằm phục vụ nhu cầu luyện tập và củng cố kiến môn Toán về phương trình đường thẳng trong mặt phẳng, xác định tọa độ điểm. Chúc các bạn đạt kết quả tốt với tài liệu tham khảo này.
GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan TƯƠNG GIAO ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG THẲNG Giáo viên: Nguyễn Thanh Tùng I BÀI TOÁN Nội dung Cho đường tròn (C1 ) (C2 ) cắt hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng AB Cách giải chung (C ) A Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm hệ Phương trình AB (C1 ) B Cách 2: Giả sử (C1 ) : x2 y a1 x b1 y c1 (C2 ) : x2 y a2 x b2 y c2 Khi tọa độ A, B nghiệm hệ : 2 x y a1 x b1 y c1 (a1 a2 ) x (b1 b2 ) y c1 c2 2 x y a x b y c 2 Suy phương trình AB : (a1 a2 ) x (b1 b2 ) y c1 c2 Chú ý: +) Ở cách giải có ưu điểm so với cách giải ta không cần biết tọa độ điểm A, B song hoàn toàn viết phương trình AB Trong cách để viết phương trình AB ta cần tìm cụ thể tọa độ hai điểm A, B +) Cách phù hợp cho toán cần tìm cụ thể tọa độ giao điểm hai đường tròn tường minh Còn cách thích hợp cho toán chứa tham số (ít hai phương trình đường tròn chưa tường minh) +) Đường thẳng AB trục đẳng phương hai đường tròn Ví dụ gốc Cho hai đường tròn (C1 ) : x2 y x y 17 (C2 ) : x2 y 8x y cắt hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng AB Giải: Cách 1: Tọa độ A, B nghiệm hệ: x y x y 17 x 1; y A(1; 2), B(3; 2) 2 x y 8x y x 3; y 2 A(3; 2), B(1; 2) Suy phương trình đường thẳng AB : x y Cách 2: Tọa độ A, B nghiệm hệ: x y x y 17 12 x y 24 x y 2 x y x y Vậy phương trình đường thẳng AB : x y Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan II CÁC VÍ DỤ MỞ RỘNG Ví dụ (Khối B – 2006) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x2 y x y điểm M (3;1) Gọi A B tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C ) Viết phương trình đường thẳng AB Giải: (?) A M( 3;1) I(1;3) B +) Đường tròn (C ) có tâm I (1;3) bán kính R IA Ta có MI , đó: MB MA MI IA2 20 +) Suy A, B nằm đường tròn tâm M (3;1) bán kính , có phương trình: ( x 3)2 ( y 1)2 16 x2 y 6x y x2 y 6x y +) Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: x y 12 x y x y 2x y +) Vậy phương trình đường thẳng AB là: x y Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân A , có trực tâm H (3; 2) Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết điểm A thuộc đường thẳng : x y , điểm F (2;3) thuộc đường thẳng DE HD Tìm tọa độ điểm A Giải: A(?) Δ: x 3y 3=0 I E F D H B C Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan +) Do ABC cân A nên HE HD , suy E , D thuộc đường tròn tâm H (3; 2) bán kính có phương trình: ( x 3)2 ( y 2)2 x2 y x y +) Gọi I trung điểm AH 5m2 16 m 20 3m m Gọi A(3m 3; m) I IH ; 3m m Ta có ADHE nội tiếp đường tròn tâm I ; bán kính IH nên có phương trình: 3m m 5m2 16m 20 x y 3mx (m 2) y 7m x y +) Khi tọa độ điểm E , D nghiệm hệ: 2 x2 y 6x y (6 3m) x (m 2) y 7m 18 2 x y 3mx (m 2) y 7m Suy phương trình ED : (6 3m) x (m 2) y 7m 18 +) Do F (2;3) ED 2(6 3m) 3(m 2) 7m 18 m A(3;0) Vậy A(3;0) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có A(2; 1) , trực tâm H (2;1) BC Gọi B ', C ' chân đường cao kẻ từ đỉnh B, C Lập phương trình đường thẳng BC , biết trung điểm M cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x y , tung độ M dương đường thẳng B ' C ' qua điểm N (3; 4) Giải: +) Do M nằm đường thẳng có phương trình x y nên gọi M (2m 1; m) với m Vì B ', C ' nhìn BC góc vuông nên BCB ' C ' nội tiếp đường tròn M ; MB (với MB BC 5) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do đường tròn (T ) qua điểm B, C, B ', C ' có phương trình: x 2m 1 y m 2 +) Đường tròn (T ') qua điểm A, B ', H , C ' nhận AH làm đường kính O(0;0) trung điểm AH làm tâm nên có phương trình: x y +) Do (T ) (T ') B '; C ' nên B ' C ' có phương trình: x y x 2m 1 y m 2 2(2m 1) x 2my 5m2 4m Mặt khác N (3;4) B ' C ' 6(2m 1) 8m 5m2 4m 1 m2 m m 1 (loại) Suy M (3;1) +) Khi đường thẳng BC qua M (3;1) nhận AH (4;2) 2(2;1) làm vecto pháp tuyến nên có phương trình: 2( x 3) ( y 1) x y Vậy phương trình đường thẳng BC là: x y Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I (6;6) ngoại tiếp đường tròn tâm J (4;5) Biết điểm A(2;3) Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC Giải: +) Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I (6;6) bán kính IA nên có phương trình: ( x 6)2 ( y 6)2 25 Ta có AD qua A(2;3), J (4;5) nên có phương trình : x y x ( x 6) ( y 6) 25 D(2;3) A y Khi tọa độ điểm D nghiệm hệ : D(9;10) x D(9;10) x y 1 y 10 +) Gọi E giao điểm thứ hai BJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó: AmE EnC (góc nội tiếp chắn cung ) DqB CpD CpD hay ECD (1) EnC AmE DqB AmE DqB Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan EBD sd ECD Mặt khác: (2) DJB sd AmE sd DqB DJB hay tam giác DBJ cân D , suy DB DJ (*) Từ (1) (2) suy ra: EBD Lại có A A DB DC (2*) Từ (*) & (2*) suy ra: DB DJ DC hay D tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC Suy B, C nằm đường tròn tâm D(9;10) bán kính DJ có phương trình : ( x 9)2 ( y 10)2 50 x ( x 6) ( y 6) 25 y B(2;9), C (10;3) Khi tọa độ B, C nghiệm hệ : 2 x 10 B(10;3), C (2;9) ( x 9) ( y 10) 50 y 2 Vậy B(2;9), C(10;3) B(10;3), C (2;9) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : ( x 4)2 y điểm E (4;1) Tìm tọa độ điểm M trục tung, cho từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (C ) (với A, B tiếp điểm) cho AB qua E Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (4;0) bán kính R +) Gọi M (0; m) Oy IM m 16 MA MB MI R m 12 Suy A, B thuộc đường tròn tâm M bán kính MA có phương trình: x2 ( y m)2 m2 12 +) Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: x ( y m)2 m2 12 x y 2my 12 x my 12 2 2 ( x 4) y x y x 12 Suy phương trình AB : x my 12 +) Mặt khác E(4;1) AB 16 m 12 m M (0;4) Vậy M (0;4) Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ) : ( x 1)2 ( y 1) với tâm I điểm A(4;5) Từ A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (T ) hai điểm B, C , tiếp tuyến B, C cắt K Qua K kẻ đường thẳng vuông góc với IA , cắt (T ) E , F Xác định tọa độ điểm E , F Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải: a 1 b 1 +) Gọi K (a; b) M ; trung điểm IK Do IBKC nội tiếp đường tròn tâm M bán kính MI (a 1)2 (b 1)2 nên B, C thuộc đường tròn có phương trình: a 1 b (a 1)2 (b 1) x y x y (a 1) x (b 1) y a b 2 2 +) Do B, C thuộc đường tròn ( x 1)2 ( y 1)2 x2 y x y Khi tọa độ B, C nghiệm hệ: x y (a 1) x (b 1) y a b (a 1) x (b 1) y a b 2 x y x y Suy phương trình đường thẳng BC : (a 1) x (b 1) y a b +) Do A BC 4(a 1) 5(b 1) a b 3a 4b 12 +) EF IA (3; 4) EF qua K (a; b) nên có phương trình: 3( x a) 4( y b) 3x y (3a 4b) 3x y 12 x 0; y 3x y 12 Khi tọa độ điểm E , F nghiệm hệ: 2 x 16 ; y ( x 1) ( y 1) 5 16 16 Vậy E ; , F 0;3 E 0;3 , F ; 5 5 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x2 y x y đường thẳng : x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng cho qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến 3 đường tròn (C ) ( với A, B tiếp điểm), đồng thời khoảng cách từ điểm N 1; đến AB lớn 2 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R IA Gọi M (m; m 1) Để từ M kẻ hai tiếp tuyến tới (C ) : MI R (m 1)2 (m 3)2 2m2 4m (*) +) Ta có MB MA IM R2 2m2 4m Suy A, B thuộc đường tròn tâm M (m; m 1) bán kính 2m2 4m có phương trình: ( x m)2 ( y m 1)2 2m2 4m x y 2mx 2(m 1) y 2m Khi tọa độ A, B nghiệm hệ: x y 2mx 2(m 1) y 2m (m 1) x (m 3) y m 2 x y 2x y Suy phương trình AB : (m 1) x (m 3) y m +) Gọi K ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà AB qua, : (m 1) x0 (m 3) y0 m m ( x0 y0 1)m x0 y0 m x0 x0 y0 1 K ; 4 x0 y0 y +) Gọi H hình chiếu vuông góc N lên AB , đó: d ( N , AB) NH NK 26 26 H K hay NK AB (2*) Mà ta có: NK ; (1;5) u AB (m 3;1 m) 4 Suy (2*) m 5(1 m) m (thỏa mãn (*)) Suy d ( N , AB)max Vậy M (2;3) Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (T ') : x2 y điểm A(1;3) Viết phương trình đường tròn (T ) qua A tâm đường tròn (T ') , đồng thời cắt đường tròn (T ') hai điểm B, C cho khoảng cách tư điểm A đến đường thẳng BC lớn Giải: +) Gọi I tâm R bán kính đường tròn (T ) , đó: R IO IA Suy I thuộc đường trung trực OA có phương trình : x 3y +) Khi I (5 3m; m) bán kính: R OI 10m2 30m 25 Suy phương trình đường tròn (T ) : ( x 3m 5)2 ( y m)2 10m2 30m 25 x2 y 2(3m 5) x 2my Khi tọa độ B, C nghiệm hệ: 2 x y 2(3m 5) x 2my 2(3m 5) x 2my 2 x y Suy phương trình BC : 2(3m 5) x 2my +) Ta có d ( A, BC ) 4(3m 5) 4m Dấu “=” xảy m 2 3 40 m 10 2 10 hay phương trình đường tròn (T ) : x2 y x y Ví dụ Cho đường tròn (C ) : x2 y 3x y 12 điểm A(1; 2) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD nội tiếp (C ) có diện tích Biết AB chiều dài hình chữ nhật B có hoành độ nguyên Giải: 10 3 7 +) Đường tròn (C ) có tâm I ; bán kính R Khi I trung điểm AC C (2;5) 2 2 AB a +) Đặt (với a b ) : AD b Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan a S ABCD ab a 2 (loại) 2 2 b b 2 a b 10 AB AD BD R +) Vậy AB 2 B thuộc đường tròn tâm A(1; 2) bán kính R ' 2 có phương trình: ( x 1)2 ( y 2)2 x2 y x y +) Khi tọa độ điểm B nghiệm hệ: x 2 x y 15 x 15 y x x y x y 12 (loại) 2 y x y 2x y 5 y 44 y 96 x y 2x y y 24 B(3;4) D(0;3) ( I trung điểm BD ) Vậy B(3;4), C(2,5) D(0;3) Ví dụ 10 Cho đường tròn (C ) : x2 y x y Viết phương trình đường tròn (C ') tâm M (5;1) biết (C ') cắt (C ) hai điểm A, B cho AB Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R Cách 1: +) Gọi (C ') có bán kính R ' , (C ') có phương trình: ( x 5)2 ( y 1)2 R '2 x2 y 10 x y 16 R '2 Suy phương trình AB có dạng: 8x y R '2 24 +) Ta có AB IAB d ( I , AB) 12 R '2 24 82 62 AB 3 2 R '2 43 R ' 28 15 2 R ' 13 +) Vậy đường tròn (C ') cần lập : ( x 5)2 ( y 1)2 43 ( x 5)2 ( y 1)2 13 Cách 2: +) Gọi (C ') có bán kính R ' Ta có MI 3 AB IH IA2 AH 2 13 +) Khi MH MI IH MH MI IH 2 2 Gọi IM AB H AH R ' MA R ' MA 2 7 3 13 2 13 43 +) Vậy đường tròn (C ') cần lập : ( x 5)2 ( y 1)2 13 ( x 5)2 ( y 1)2 43 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : x2 y 18x y 65 (C2 ) : x y Từ điểm M thuộc đường tròn (C1 ) kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn (C2 ) với hai tiếp điểm A, B Tìm tọa độ điểm M , biết độ dài đoạn AB 4,8 Giải: +) Đường tròn (C2 ) có tâm O(0;0) bán kính R OA Gọi H giao điểm OH AB , suy AH AB 4,8 12 2 OA2 OM 5 OH +) Vậy M nằm đường tròn tâm O bán kính có phương trình: x y 25 Suy OH OA2 AH +) Suy tọa độ điểm M nghiệm hệ : x x y 25 x y 25 y M (4;3) 2 x M (5;0) x y 15 x y 18 x y 65 y Vậy M (4;3) M (5;0) Ví dụ 12 Cho đường tròn (C ) : ( x 1)2 ( y 2)2 điểm K (3; 4) Lập phương trình đường tròn (T ) tâm K cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB lớn với I tâm đường tròn (C ) Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R +) Ta có: S IAB R2 R2 Dấu “=” xảy sin AIB = AIB 900 sin AIB IA.IB.sin AIB = 2 R2 Vậy S IAB max IAB vuông I AB R 2 +) Khi toán tương tự Ví dụ 10 nên ta có đáp số Đường tròn (T ) cần lập : ( x 3)2 ( y 4)2 ( x 3)2 ( y 4)2 20 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x2 y x y Viết phương trình đường tròn có tâm K (1;3) cắt đường tròn (C ) hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB , với I tâm đường tròn (C ) Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) bán kính R 2 IH AB R AH AH a a a (8 a ) 16 (a2 4)2 a a AH AB +) Gọi IM AB H đặt AH a , : S IAB +) Khi toán tương tự Ví dụ 10 nên ta có đáp số Đường tròn (C ) cần lập : ( x 1)2 ( y 3)2 13 ( x 1)2 ( y 3)2 53 Ví dụ 14.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : ( x 1)2 ( y 2)2 (C2 ) : ( x 2)2 ( y 10)2 Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết điểm A thuộc (C1 ) , điểm C có tọa độ nguyên thuộc (C2 ) đỉnh B, D thuộc đường thẳng x y Giải: +) Gọi (T ) đường tròn đối xứng với (C1 ) qua đường thẳng d Khi tâm I (T ) đối xứng với tâm I1 (1; 2) qua đường thẳng d có bán kính R R1 +) Đường thẳng II1 có phương trình: x y Khi tọa độ giao điểm H II1 d nghiệm hệ: x x y 9 H ; I (4;7) 2 x y y +) Khi phương trình đường tròn (T ) : ( x 4)2 ( y 7)2 Do A, C đối xứng qua d nên A (C1 ) C (T ) Suy tọa độ điểm C nghiệm hệ: 2 ( x 4) ( y 7) 2 ( x 2) ( y 10) 16 x x 4 16 106 13 C (4;10) C ; (loại) 13 13 y 10 y 106 13 Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do A đối xứng với C qua d nên đường thẳng AC có phương trình: x y Khi tọa độ giao điểm K AC d nghiệm hệ: x y x K (0;6) A(4; 2) x y y +) Đường tròn tâm K ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính KA có phương trình: x2 ( y 6)2 32 Khi tọa độ điểm B, D nghiệm hệ : x ( y 6)2 32 x 4 y x y Vậy A(4;2), B( 4;2), C( 4;10), D (4;10) x B(4; 2), D(4;10) y 10 B(4;10), D( 4; 2) A(4;2), B(4;10), C( 4;10), D( 4;2) CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học môn HOCMAI.VN giúp bạn tự tin đạt điểm số cao kì thi THPTQG tới ! [...]...GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Ví dụ 13 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn (C ) : x2 y 2 2 x 4 y 3 0 Viết phương trình đường tròn có tâm K (1;3) cắt đường tròn (C ) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4 , với I là tâm của đường tròn (C ) Giải: +) Đường tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R 2 2... Gọi (T ) là đường tròn đối xứng với (C1 ) qua đường thẳng d Khi đó tâm I của (T ) đối xứng với tâm I1 (1; 2) qua đường thẳng d và có bán kính R R1 3 +) Đường thẳng II1 có phương trình: x y 3 0 Khi đó tọa độ giao điểm H của II1 và d là nghiệm của hệ: 3 x x y 3 0 3 9 2 H ; I (4;7) 2 2 x y 6 0 y 9 2 +) Khi đó phương trình đường tròn (T ) :... toán tương tự như Ví dụ 10 nên ta có đáp số Đường tròn (C ) cần lập là : ( x 1)2 ( y 3)2 13 hoặc ( x 1)2 ( y 3)2 53 Ví dụ 14.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C1 ) : ( x 1)2 ( y 2)2 9 và (C2 ) : ( x 2)2 ( y 10)2 4 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD , biết điểm A thuộc (C1 ) , điểm C có tọa độ nguyên thuộc (C2 ) và các đỉnh B, D thuộc đường thẳng. .. HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới ! GV: THANH TÙNG HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan Do A đối xứng với C qua d nên đường thẳng AC có phương trình: x y 6 0 Khi đó tọa độ giao điểm K của AC và d là nghiệm của hệ: x y 6 0 x 0 K (0;6) A(4; 2) x y 6 0 y 6 +) Đường tròn tâm K ngoại tiếp hình vuông ABCD có bán kính KA 4 2 có phương trình:... 6 0 Vậy A(4;2), B( 4;2), C( 4;10), D (4;10) x 4 B(4; 2), D(4;10) y 10 B(4;10), D( 4; 2) hoặc A(4;2), B(4;10), C( 4;10), D( 4;2) CẢM ƠN CÁC BẠN ĐÃ ĐỌC TÀI LIỆU GV: Nguyễn Thanh Tùng Tham gia khóa học các môn trên HOCMAI.VN sẽ giúp bạn tự tin đạt điểm số cao trong kì thi THPTQG sắp tới !